通过字典选择和最大化最小化技术，结合脉冲序列和相位的联合优化来设计主动声纳波形

《Signal Processing》：Design of Active Sonar Waveforms via Joint Optimization of Pulse Train and Phase Using Dictionary Selection and Majorization Minimization

　　本文提出了一种方法，该方法通过结合基于字典的选择和最大值最小化算法来联合优化脉冲序列中子脉冲的选择及其相位，以最小化脉冲级的ISL（积分旁瓣水平）和WISL（加权旁瓣水平）。所提出的字典选择方法可以与其他任何相位优化技术集成使用，而不仅仅限于本研究中使用的技术。数值分析表明，结合字典选择显著提高了底层波形设计算法的性能。

引言
声呐是一种利用声波检测和定位水下目标（如潜艇）的技术。声呐系统通常以主动或被动模式运行。在主动声呐中，会发射一个声学脉冲，并由水听器阵列接收来自多个目标的反射回波。通过这些多通道传感器数据，可以估算目标的范围和方向。为了提高检测和定位性能，通常会采用波束成形和匹配滤波技术。波束成形涉及结合接收器阵列的空间测量数据来估算目标的方位角和高度角。匹配滤波则利用已知的发射波形对波形时间序列进行处理，以增强信噪比（SNR）并估算目标的范围。目标范围估算的准确性受到所使用波形类型、信号持续时间以及匹配滤波器输入端信噪比的影响[1]。接收端的信噪比由发射信号功率、背景噪声、传输损耗和目标强度决定。由于实际限制，发射信号功率和持续时间无法无限增加[2]。在这种情况下，优化发射波形可以减少均方误差（MSE）并提高目标范围估算的分辨率。此外，在强底面反射存在的情况下，具有良好范围和多普勒分辨力的波形可以提高对弱目标的检测能力[3]。
线性频率调制（LFM）和双曲频率调制（HFM）是主动声呐系统中最常用的发射波形。虽然LFM和HFM都具有良好的范围分辨率，但它们通常具有较差的多普勒分辨率[4]。为了改善目标参数估算并在有反射限制的环境中提升检测性能，通常选择在范围-多普勒域中具有图钉形模糊函数的波形。一种有效的方法是发射脉冲序列而不是单个脉冲[5][6][7]，并在接收端结合匹配滤波处理，这样可以同时提高范围和多普勒分辨率。脉冲序列的一个主要缺点是模糊函数中的高旁瓣。通过优化脉冲序列中各个脉冲的初始相位，可以控制这些高旁瓣水平[8]。大量研究集中在脉冲序列设计上，特别是那些能够最小化压缩脉冲旁瓣的算法[9]中，J. P. Costas提出了Costas序列，这类序列具有近乎理想的距离-多普勒模糊特性。这些序列具有优良的自相关特性，可以减少干扰和模糊度，使其在雷达和声呐应用中非常有效。在此基础上，Hickman和Krolik[10]提出了慢时间Costas（SLO-CO）波形，该波形使用由Costas序列调制的LFM脉冲组成。这种波形能够在范围和速度上进行的同时定位，并通过优化序列长度、重复间隔和中心频率来控制模糊度。在[11]中提出了一种称为LFM-Costas-T的新方法，该方法将脉冲宽度编码与Costas序列结合使用。与传统脉冲序列频率调制（PTFM）和LFM技术相比，该方法实现了更高的时间分辨率、更低的旁瓣水平和更好的多普勒分辨率[11]。在[12]中提出了一种改进的Costas编码，通过增加跳变之间的频率间隔并用其他脉冲形状替代传统的矩形波形。这种方法的新颖之处在于通过使用各种波形（包括相位码、Slepian序列和其他Costas码）对主Costas脉冲进行编码来引入波形多样性。进一步发展基于Costas的设计，Eizdashire[13]提出了一种加权变时间间隔Costas（WVTSC）波形，该波形根据目标散射系数调整脉冲权重并优化子脉冲之间的时间间隔。这种方法在不增加Costas编码长度的情况下显著降低了模糊函数的主瓣和复现旁瓣水平[13]。其他研究也探讨了利用波形多样性来减少旁瓣的方法[14]。Wang[14]提出了一种使用正负HFM信号的混合脉冲序列，提高了多普勒估算的准确性[14]。在[15]中，L. Lou提出了一种方法，通过引入V形和W形复合波形将LFM波形组合成HFM波形，在模拟中展示了高时间和频率分辨率以及强反射抑制效果[15]。在[16]中，另一种方法通过使用由不同持续时间或带宽组成的脉冲序列来减少LFM波形的旁瓣水平[16]。
尽管之前的工作[12][13][14][15][16]已经研究了使用多样化波形构建脉冲序列的方法，但设计从预定义脉冲字典中选取的异构子脉冲并优化其相位的想法却受到了较少关注。在这方面，相位优化也起着关键作用，已经提出了许多以减少旁瓣为主要目标的技术[17][18][19][20]。在[17]中，引入了一种基于最大值最小化（MM）框架的计算高效算法，通过最小化积分旁瓣水平（ISL）来设计具有低自相关性的单模序列，并通过FFT技术加速这一过程[17]。在[18]中，采用随机优化方法发现了对于46到80个序列长度几乎或全局最优的多相码[18]。在[19]中，提出了两种基于MM的算法，用于最小化加权积分旁瓣水平（WISL）和峰值旁瓣水平（PSL），从而在指定的滞后窗口内生成具有接近零自相关旁瓣的序列，并能够合成非常长的序列且PSL大幅降低[19]。在[20]中引入了两种WISL最小化的公式，使用单模四次程序[20]。通过松弛功率方法迭代（MaRLI）进行的M进制单模序列设计在最小化有限字母表自相关旁瓣方面表现出更好的性能[20]。
虽然现有的基于最大值最小化（MM）的技术仅针对连续相位空间进行优化，但所提出的框架将波形设计表述为一个混合的离散-连续优化问题。具体来说，我们的方法结合了离散波形选择和连续相位序列设计，有效规避了连续空间中的停滞。尽管不能保证绝对全局最小值，但所提出的方法成功避开了次优的局部最小值，始终能够达到更优的局部最优解。本文的其余部分组织如下：第2节介绍信号模型并定义了脉冲级的自相关函数。第3节提出了脉冲序列的WISL指标，并构建了结合字典选择和相位优化的问题。第4节关注脉冲序列中单个脉冲的相位优化。第5节详细介绍了脉冲序列构建的字典选择方法。第6节简要讨论了算法的收敛行为。第7节展示了结果并评估了所提算法的性能。最后，第8节总结了本文。

大写字母表示矩阵，粗体小写字母表示列向量，斜体字母表示标量。此外，???(??,??)表示矩阵??的第i行第j列的元素；??max?(??)表示矩阵??的最大特征值；????表示向量??的第i个子向量；?表示复数域；(?·?)?和(?·?)H分别表示向量或矩阵的转置和共轭转置；?????(·)和???????(·)分别表示复数的实部和相位；Vec?(??)表示将??的所有列堆叠在一起形成的列向量；blkdiag?(??1,?,????)是一个以????为对角线元素的块对角矩阵；tr?(·)表示矩阵的迹。

信号模型
本文介绍了一种脉冲序列设计框架，该框架结合了字典选择和相位调制来抑制旁瓣水平。本节描述了该方法背后的信号模型。考虑一个主动声呐系统，它发射一系列长度为L的N个单模子脉冲，如图1所示。这种脉冲序列可以表示为：
???(??)=??∑??=1?????(???(???1)?????)，
其中xm表示第m个子脉冲，tp对应于子脉冲的持续时间。

问题表述
已经开发了多种指标来评估序列在减少旁瓣方面的有效性。其中两个指标是ISL和WISL[20][21]。在这项工作中，我们将这些指标修改为脉冲级框架，并定义了脉冲级的ISL和WISL：
pISL=???1∑??=1|????|2
pWISL=???1∑??=1?????|????|2，
其中rk通过公式(4)获得，????≥0,??=1,?,???1。将公式(4)代入公式(5)后，pWISL可以写为：
???(??)=???1∑??=1?????∣????????????∣2
将公式(3)代入公式(6)，我们得到：
???(??)=????(??,??)=∑???1??=1????∣Pulse-

脉冲相位设计
本文采用了[19]中讨论的用于WISL的单调最小化器（MWISL）来设计相位向量?。该过程首先为目标函数导出一个最大值函数，然后最小化得到的替代函数。使用迹运算符，公式(7)可以重写为：
????(??,??)=???1∑??=1?????|tr?(?????????????)∣2=???1∑??=1?????|tr?(????????)∣2，
其中，??=???????且????=tr?(????????)。利用这一点，我们可以将公式(8)中的目标函数重写为：
minimize??,??
???1∑??=1?????∣tr?(????????)∣2
subject to

脉冲序列设计
通过从脉冲字典中选择一组子脉冲来形成最优脉冲序列，以最小化旁瓣水平。为此，使用坐标下降法[22]来选择子脉冲，目标是最小化公式(6)中定义的pWISL。考虑公式(3)中描述的脉冲序列，它包含N个子脉冲。优化过程是逐个更新每个子脉冲，同时保持其他子脉冲不变。考虑优化??中的第i个参考脉冲????。

收敛性分析
算法1所示的D-MWISL算法的每次主要迭代包括两个不同的步骤：一个相位更新步骤，其中修改向量?；以及一个字典选择步骤，其中更新脉冲选择矩阵??。设t、?和?分别表示主要迭代索引、内部相位更新索引和总相位更新步数。根据公式(3)，定义：
??(??)??=??(??)???(?)为相位更新后的中间向量，
??(??+1)=??(??+1)???(?)为最终结果。

数值实验与讨论
本节对所提出的D-MWISL算法进行了全面评估，并将其性能与[19]中的最新MWISL算法进行了基准测试。

结论
在本文中，我们提出了Dictionary selection-Monotonic minimizer for Weighted ISL (D-MWISL)算法，用于主动声呐脉冲序列中子脉冲选择和相位的联合优化。通过将波形设计表述为一个混合的离散-连续优化问题，所提出的框架有效地利用了脉冲内波形多样性，从而规避了传统连续空间求解器常见的局部最小值陷阱。定量评估证明了...

未引用的参考文献
[24], [25]