使用乘积三角混沌迭代序列对RGB图像进行无损压缩的方法

《Signal Processing》：Lossless compression method of RGB images using product trigonometric chaotic iterative sequences

　　摘要：对于RGB图像，进一步提高无损压缩比一直是一个难题。最近的研究发现，三角混沌系统的产物可以生成具有不同混沌特性的多个迭代序列，这些序列对应于不同的初始条件，并且在特定的数据集上都表现出强烈的遍历性。这为RGB图像压缩提供了新的视角。因此，本文提出了一种基于三维三角混沌迭代序列的RGB图像无损压缩方法。该方法包括四个主要阶段：图像预处理、数据遍历、压缩和解压缩。首先，通过预处理获得图像像素矩阵；其次，调整迭代序列的混沌特性以遍历数据，并记录遍历结果；然后使用设计的奇偶链变换算法对遍历结果进行编码；最后，通过解压缩算法恢复原始图像。其中，奇偶链变换算法的设计对于提高无损压缩比至关重要。实验结果表明，该方法不仅能有效提高无损压缩比，还能大大简化压缩实现过程，同时扩展了混沌计算的新应用领域。

引言：在信息时代，各种格式和大小的图像不断涌现。然而，硬件设备的存储空间和网络的传输带宽是有限的[[1], [2], [3], [4], [5], [6]]。因此，人们特别关注网络节点和边缘设备中图像数据的高效存储和快速传输[7]。图像压缩是解决这一问题的有效方法之一[8]，其目标是通过某些策略或手段消除数据之间的冗余，从而减少存储空间或网络带宽的占用[9]。然而，许多现有的图像压缩方法在实现效果上仍有明显不足。一方面，无损压缩比的提升并不显著；另一方面，压缩和解压缩算法的计算过程相对繁琐，需要进一步提高这些算法的执行效率。混沌是指存在于确定性系统中的伪随机现象，它具有高敏感性、自相似性和不可预测性等特性[10,11]。正是由于这些特性，混沌作为一种非线性计算理论和方法，近年来在图像加密[11,12]、网络通信[13]等领域得到了广泛应用。此外，后续研究还发现，在特定初始条件下，混沌迭代序列对给定图像的像素数据表现出极强的遍历性[14]。这不仅为无损图像压缩提供了新的可能性，也展示了混沌在跨学科应用中的新尝试。

目前，图像压缩方法主要有两类[15]。一种是有损压缩，它在降低图像重建质量的情况下能够实现较高的数据压缩率，这一结果在许多成像应用中得到了广泛接受，但其执行效率通常并不突出[15]。例如，传统有损图像压缩技术中的分形压缩技术试图通过将图像映射到自身来进行编码，但这一过程涉及大量的重复搜索，导致运行时间较长[16,17]。另一方面，近年来深度学习技术在图像学习和特征表示方面的出色能力催生了一系列新的有损图像压缩方法[[18], [19], [20], [21]]。例如，在RGB图像压缩方面，研究人员基于深度学习技术构建了端到端的图像压缩模型[18]，该模型使用两个独立的子模块处理待压缩图像的颜色和亮度，并通过添加损失函数到颜色差异度量中来优化色彩保真度。尽管这些方法能够实现良好的图像压缩效果，但模型的计算复杂度通常较高，且图像数据的变换和量化可能导致某些关键信息的丢失，使得实现任意压缩比变得困难。后来，人们研究了基于小波变换的图像压缩方法[[22], [23], [24]]，该方法可以将图像转换为系数而不丢失信息，然后通过调整量化比来实现任意压缩比，其中[24]提出的方法使用训练有素的卷积神经网络（CNN）分别对Y、U和V通道进行压缩。与RGB颜色空间相比，YUV编码模型可以进一步提高图像编码和传输的速度。实验结果表明，这种方法不仅能有效提高图像压缩质量，还具有较好的抗噪声干扰能力，但其计算复杂度仍然较高。另一种是无损压缩，它可以确保解压缩后图像数据能够恢复到原始状态，但其压缩率通常低于有损压缩。

最近，混沌理论和方法在图像处理领域取得了显著成果，引起了广泛关注[[28], [29], [30]]。从本质上看，混沌可以用来生动描述或解释人类社会和自然界中频繁出现的复杂现象，如空间中的量子轨迹和恒星运动轨迹、多媒体信息领域的图像加密与隐藏，以及生命科学领域的心脏治疗等。上述大多数系统或现象都是非线性的，非线性系统在特定条件下会演变成“混沌”[28]。图像数据的分布也通常具有非线性特征，例如，对于彩色图像，相邻像素并不独立，尤其是边缘区域的像素值分布不均匀，这种分布无法用简单的线性模型来描述和处理[28]。目前，混沌已成为计算机视觉、图像表示和信息安全等应用领域的研究热点[31], [32], [33], [34], [35], [36], [37], [38], [39], [40], [41]]。实际上，加密也是一种数据压缩过程。例如，为了减少加密图像检索时所占用的计算资源，研究提出了基于遗传算法的保持缩略图不变的加密算法[42]，该算法在加密后仍能保留原始图像的缩略图，从而显著降低了存储需求，同时实现了密文图像的隐私性和可用性之间的平衡[42]。然而，上述压缩过程中的多次迭代可能会降低图像的加密效率。为此，人们利用CycleGan模拟随机一元编码，并基于缩略图一致性损失稳定了密文图像的视觉效果[43]。此外，混沌系统本身的理论和方法也在实际应用中不断得到改进和发展[34], [35], [36], [37]]。例如，在[44]中提出了一种基于混合超混沌系统和元胞自动机的彩色图像加密方法，该方法利用混沌系统和非均匀元胞自动机框架对图像进行扰乱和扩散以实现加密。由于彩色图像可以根据规则分解为R、G和B三个通道，因此可以通过直接操作这三个通道实现对图像的加密，并通过融合它们来恢复原始图像。这也是本文实现RGB图像压缩的基本原理。

通常，迭代序列的混沌特性取决于初始条件。研究发现，当初始条件在特定范围内正向变化时，迭代序列的混沌特性会相应增强。其中一个最明显的表现是它们能够遍历数据的能力。例如，在表1中的四种不同初始点作用下，三角混沌系统的吸引子如图1所示。所谓的吸引子是指混沌系统迭代点的轨迹。从图1可以看出，随着初始条件的正向变化，吸引子的分布轮廓逐渐变得混乱和不规则，表明系统的混沌特性得到增强。此外，图1中的所有吸引子都集中在相应的特定数据空间内，经过有限次迭代后，吸引子的数量逐渐增加，趋于填充整个数据空间。这些现象表明，混沌迭代序列在特定区间内对数据具有强遍历性。然而，常见的混沌系统不仅参数范围有限，而且混沌序列的周期较短[45,46]，因此难以在短时间内成功遍历所有需要压缩的图像数据点。后续研究发现在混沌系统中引入三角函数是一种更优的构造方法，这样的系统具有更长的周期[47], [48], [49]]。例如，在[49]中提出了一种基于三角函数的混沌离散动态系统，并通过严格的数学推导证明该系统不仅具有强混沌特性，而且在较大参数值空间内表现出良好的数据统计性和遍历性。这一研究结果有力证明了三角混沌系统在数据压缩方面的潜力。

在此基础上，构建了一种特殊的三维三角混沌系统[50]，其每个分支由三个余弦函数的乘积组成。理论研究和计算结果表明，系统的周期长度取决于每个三角函数周期的连续乘积[50]。仿真实验的数据也显示，其迭代轨迹更加随机[50]。这进一步证明了上述系统的混沌特性优于普通系统，能够在更短时间内成功遍历特定数据空间内的每个状态点。因此，对于三角形混沌系统而言，更长的迭代周期和更广泛的可用参数范围可以确保混沌系统生成足够长度和数量的迭代序列，以遍历图像数据点，从而实现压缩。Clifford系统就是其中之一，其表达式如下：
{xn+1=sin(ayn)?zcos(bxn)
yn+1=zsin(cxn)?cos(dyn)
zn+1=esin(kxn)
图2展示了其三维混沌迭代点的时间序列变化图。与一般的混沌系统类似，随着迭代次数的增加，混沌吸引子点的数量开始增加，但这些点通常被限制在特定的三维空间内。不同之处在于，Clifford系统表现出更明显的特性，例如周期性，且其变化频率更高。这正好证实了之前人们提出的结论，即三角形混沌迭代序列具有更强的数据遍历能力。实际上，现实世界中的许多问题都可以用三角函数来描述，一些常见的混沌系统是退化的三角形混沌系统或它们的线性组合。

综上所述，大量的研究和应用事实表明，三角形混沌迭代序列的强数据遍历性为实现RGB图像压缩提供了重要的可能性。因此，本文构建了一种基于乘积三角形混沌系统的新型RGB图像无损压缩方法。其主要工作内容如下：
1) 提出了一种基于乘积三角形混沌迭代序列的RGB图像无损压缩编码框架，包括图像预处理、数据遍历、压缩和解压缩。
2) 与传统的图像压缩方法不同，所提出的方法仅通过调整初始条件来改变系统迭代序列的混沌特性，从而生成大量迭代序列，从而快速完成待压缩图像数据的遍历和转换。
3) 提出了一些数据转换方法来简化模型计算。例如，使用二进制整数记录遍历结果。此外，还提出了一种两阶段的数据编码和压缩策略以提高模型性能。
4) 为了进一步提高图像的无损压缩率并降低解码算法的复杂性，本文提出了一种奇偶链变换算法。
5) 在Kodak和DIV2K数据集上进行了无损图像压缩实验。比较压缩方法的设置不仅包括当今流行的压缩方法，还包括一般的和传统的经典压缩技术。这使得实验结论更加有说服力和可靠性。

本文的结构如下：第2节介绍了所提出压缩方法的框架和实现方式；第3节使用不同的压缩方法对RGB图像进行压缩；第4节排列了实验结果和讨论；第5节总结了结论。

**方法部分**
在本文中，我们将给出一种具体的RGB图像压缩框架和方法，旨在进一步减少图像存储所需的空间并有效提高所提出压缩模型的执行效率。

**实验设置**
在本文中，分别在Kodak [51]和DIV2K [52]数据集上测试了所提出压缩方法的性能。前者包含200张分辨率为768 × 512的图像，后者包含500张分辨率为1020 × 800的图像。实验在装有Windows 11操作系统的PC上进行，集成开发环境为Pycharm3.6，编程语言为Python。计算机配备了Intel Celeron 1.50 GHz处理器和12.0 GB的RAM。

**比较压缩方法**

**结果部分**
本节将提供所提出压缩方法与两种比较方法在压缩率、数据重建质量以及压缩和解压缩速度三个方面的实验结果，并详细讨论上述结果。

**结论**
为了进一步减少RGB图像在网络设备上所占的存储空间并提高其数据传输率，本文提出了一种基于三维乘积三角形混沌迭代序列的RGB图像无损压缩方法。该方法包括图像预处理、数据遍历、压缩和解压缩过程。首先，通过对图像进行像素提取来重新表示待压缩的图像；然后，通过调整初始条件来改变系统的混沌特性。

**作者贡献声明**
张奇帆：撰写——审阅与编辑、撰写——原始草稿、可视化、验证、监督、软件开发、项目管理、方法论研究、数据分析、数据整理。
任志磊：监督、资源协调、概念化。