通过Cayley映射进行实值多项式根查找以实现root MUSIC算法

《Signal Processing》：Real-valued polynomial rooting for root MUSIC via Cayley mapping

　　摘要
Root MUSIC是一种用于均匀线阵（ULA）方向到达（DoA）估计的代表性多项式根查找方法。然而，其根查找阶段通常依赖于复数值系数，这增加了实现难度。本文提出了一种基于Cayley映射的Root MUSIC方法，以获得具有实数值系数的等效多项式根查找公式。传统的Root MUSIC多项式在Cayley域中被重新构造，得到一个具有实数值系数的等效多项式。相应的根关系确保了DoA信息在转换后的公式中得到保留，从而可以继续使用传统的根选择标准。通过利用子空间结构，进一步推导出了一种高效的系数构造方法。仿真结果表明，Cayley域公式保持了Root MUSIC的估计性能，并提高了大阵列的计算效率。

引言
使用均匀线阵（ULA）对多个窄带源进行方向到达（DoA）估计的问题已在阵列信号处理领域得到了广泛研究[1],[2],[3],[4],[5]。基于子空间的方法利用阵列协方差矩阵的特征值分解（EVD）来分离信号和噪声子空间。多信号分类（MUSIC）[6]是一种代表性的方法，通过搜索噪声子空间谱的峰值来估计DoA。对于ULA，导向向量的Vandermonde结构允许将MUSIC重新构造为一个多项式根查找问题，从而导致了Root MUSIC[7],[8]的出现。Root MUSIC用多项式根查找替换了谱搜索，所需DoA是从噪声子空间的根中推断出来的。这种根查找原理也被应用于其他相关的DoA估计方法中。根最小范数（Root MN）[9],[10]使用了一个降阶的根查找多项式。根传播器方法（Root PM）[11],[12]用传播器操作替换了特征空间构造，以减少计算负担。从统计角度来看，基于最大似然（ML）的DoA估计[13]提供了一个重要的公式，但直接实现通常涉及多维非线性优化。作为一种实用的替代方法，方向估计方法（MODE）[14]将估计问题转化为一个结构化多项式根查找问题。具有额外根的MODE（MODEX）[15]通过使用扩大的候选根集改善了阈值行为。主奇异向量利用模式分析（PUMA）[16]提供了一种与MODE密切相关的简化实现。增强的PUMA（EPUMA）[17]通过生成额外的候选根并进行根选择进一步提高了估计性能。因此，多项式根查找在无搜索高分辨率DoA估计中发挥了重要作用[18]。

另一类无搜索DoA估计方法利用了阵列流形的旋转不变性。通过旋转不变性技术估计信号参数（ESPRIT）[19]通过阵列流形的位移结构将这种不变性转化为一个特征值问题。总最小二乘ESPRIT（TLS ESPRIT）[20]通过考虑子阵列数据矩阵的扰动来提高鲁棒性。结构化最小二乘ESPRIT（SLS ESPRIT）[21]通过加入结构约束来精化解决方案。广义最小二乘ESPRIT（GLS ESPRIT）[22]进一步考虑了位移不变方程中的扰动统计。与基于根查找的方法相比，ESPRIT类型的算法通常具有较低的计算复杂性，因为它们避免了高阶多项式根查找[23]。

在实际应用中，特别是在面向硬件的场景中，具有实数值实现的DoA估计器受到了相当多的关注。大多数现有研究集中在EVD阶段。酉Root MUSIC[24]通过酉变换将EVD转换为实数值EVD。RV Root MUSIC[25],[26],[27]通过使用降维实数值EVD来减少计算负担。然而，传统基于根查找的DoA方法中的后续多项式根查找阶段仍然依赖于复数值系数。关于具有实数值系数的根查找多项式的研究相对较少。一个代表性的例子是实多项式根查找MUSIC框架[28]，它引入了一种保形变换以获得具有实数值系数的多项式，并为本工作提供了重要基础。同一原理也被扩展到了单站MIMO雷达的波束空间DoA估计[29]。然而，在这些变换域方法中，得到的多项式并没有明确地建立为传统Root MUSIC多项式的代数等价表示，且它们根之间的对应关系也没有严格刻画。因此，变换域的根不能保证是传统Root MUSIC根的精确镜像，得到的DoA估计可能偏离原始的根查找解。这种差距促使人们开发了Root MUSIC的精确实系数公式。在本文中，首先将传统的Root MUSIC多项式重新构造为一系列基于卷积的计算，从而明确揭示了其系数结构。在此基础上，应用Cayley映射来推导出一个具有实数值系数的代数等效多项式，并建立了相应的根映射。与之前的变换域方法不同，所提出的公式精确保持了传统的Root MUSIC根查找解。

• 为ULA DoA估计开发了一种精确的Cayley域Root MUSIC公式。通过对传统根查找多项式应用Cayley映射，获得了具有实数值系数的等效多项式。
• 严格建立了原始域和Cayley域之间的多项式等价性和根对应关系。特别是，传统Root MUSIC的倒数共轭根对映射到Cayley域中的共轭根对，确保相同的DoA信息得到保留。
• 提出了一种高效的Cayley域多项式构造实现。通过利用子空间结构，只需使用信号子空间的特征向量就可以形成系数，从而降低了计算成本。
• 仿真结果确认，所提出的方法在保持传统Root MUSIC的估计精度和分辨率能力的同时，实现了大阵列的更低运行时间。

符号说明：
在本文中，?、?和?分别表示复数集、实数集和整数集。对于正整数p和q，???和???×??分别表示p维复数向量和p×q复数矩阵的集合，而???和???×??表示它们的实数值对应物。虚数单位用j表示，j2=?1。期望运算符用???{·}表示。转置、厄米转置和复共轭分别用(·)T、(·)H和(·)*表示。实部、虚部、主辐角和主反正弦函数分别用Re{·}、Im{·}、∠(·)和sin?1(·)表示。对于标量x，定义：????2(??)=[???…???]??。n×n交换矩阵、单位矩阵和p×q零矩阵分别用Jn、In和0p×q表示，其中0??=0??×1。向量en,i表示In的第i列，A?0表示A是正定的。对于??=[???,???,…,???]??和??=[???,???,…,???]??，conv?{??,??}=[???,???,…,???]??表示线性卷积，其中：????=min?(??,??)∑?=max?(0,?????)???3??????, ??=0,1,…,??+?。二项式系数定义为：(????)=??!??!(?????)!，其中!表示阶乘运算符。

部分代码片段
信号模型
考虑一个具有M个元素的ULA，接收来自不同DoA {????}????=1的K个窄带远场源，其中M>??。设??=???1。对于第t个快照，接收到的数据向量建模为：???(??)=??3???(??)+???(??)∈???，其中???(??)∈???是源向量，???(??)∈???是噪声向量，??∈???×??表示为：??=[????2(???)????2(???)?????2(???)]，其中：????=exp?{?j?2?π?????sin?????}。这里，d和?分别表示元素间距和波长。
在整个工作中，我们假设：??=???{???(??)?????(??)}?0，???{???(??)}=0，???{???(??)?????(??)}=0，???{???(??)}=0，???{???(??)}=0。

Cayley域Root MUSIC
在本节中，通过在Cayley域中表示Root MUSIC多项式来开发所提出的方法。这种表示将多项式构造转化为一个实系数根查找问题。

计算复杂性
所提出的方法总结如下：
步骤1. 通过方程(12)计算???，并执行方程(13)中的EVD，以获得{?????}????=1和{?????}???????=1。
步骤2. 通过方程(58)或等效的方程(59)构造???。
步骤3. 找到????(??)的根并形成共轭对{?????,???*??}????=1。
步骤4. 根据?Δ??对根对进行排序，并保留前K个代表性根{?????}????=1。
步骤5. 通过方程(55)估计DoA。

实验
在本节中，进行了几项数值模拟来评估所提出的方法。使用Root MUSIC、ESPRIT、GLS ESPRIT和PUMA作为基准方法。除非另有说明，否则考虑了具有半波长元素间距的ULA，且入射源是无关的窄带远场信号。对于每个参数设置，进行??MC=500次蒙特卡洛试验。模拟在配备Intel Core i7 CPU的个人计算机上使用MATLAB R2022a进行。

结论
本文提出了一种基于Cayley映射的ULA DoA估计方法。Root MUSIC多项式从z域转换为w域，将倒数共轭根结构转换为共轭对称性，并得到具有实数值系数的根查找多项式。建立了Cayley映射下的根对应关系，并通过高效的系数构造减少了所需的卷积操作。总体而言，结果表明...

致谢
作者衷心感谢教育部集成电路硬件-软件协同设计工程研究中心以及广东理工大学的半导体与纳米技术中心的支持。

作者贡献声明
陈一立：撰写——原始草案，概念化。
傅哲：形式分析。
顾晓波：方法论。
于向瑜：项目管理工作。
李建忠：方法论。