马尔可夫链、AR模型与正则变化

《Stochastic Processes and their Applications》：Markov chains, AR models, and regular variation

　　

## 摘要

我们研究了广义向量空间上马尔可夫链以及随机系数线性模型的多变量正则变化。首先，我们证明在满足由量规函数表述的适当单调性条件下，转移核的正则变化蕴含平稳分布的正则变化。其次，我们研究了通过显式递推方案定义的随机系数线性模型，并证明基础链的精细结构会影响相应谱测度的形式。

## 引言

正则变化是重尾现象分析中的一个基本概念，这类现象出现在金融、保险和气象等领域。该理论最初是针对单变量函数和实值随机变量发展起来的（参见 Bingham 等人 [1] 和 Resnick [2]）。后来，它被推广到随机向量 [3]、[4]、[5]、[6]，并由此自然地引发了对函数空间中正则变化的研究 [7]、[8]。

在这一方向上的重要贡献包括 Hult 和 Lindskog [9] 的工作，他们引入了 M?-收敛性，用于分析配备标量乘法的度量空间上的测度。在此基础上，Meinguet 和 Segers [10] 以及 Segers 等人 [11] 为 Banach 空间中的正则变化时间序列发展了一个系统的框架，扩展了经典结果并引入了星状度量空间中的极分解等结构工具。关于正则变化及其现代发展的全面介绍，请参阅 [12]、[13]。

对重尾现象的理论研究通常需要对随机过程进行分析，这些过程通常被建模为马尔可夫链或马尔可夫链的泛函。研究马尔可夫链极端行为的有用工具是尾链 [14]，它在转移核的正则性假设下产生 [15]。直观地说，该条件意味着马尔可夫链是渐近乘性的。在这种设定下，通常考虑链的平稳版本 [16]。

在此背景下，对马尔可夫核的研究始于 Smith [17] 的单变量设定，并由 Perfekt [18]、[19] 扩展到多变量情形。本文的主要目标是在平稳设定之外，分析马尔可夫转移核如何传播正则变化，然后利用此分析来描述平稳测度的正则变化。据我们所知，此类论证至今主要在实值链 [20]、[21]、[22]、[23]、[24] 或非常特殊的多变量马尔可夫链类 [25] 中得到发展。

这与重尾时间序列模型相关联，在这些模型中随机过程通常通过随机向量的无穷级数来表示 [26]。许多模型，包括随机积分和随机差分方程的解，都具有这种类型的表示 [27]，通常为以下形式：

$$\sum_{j=1}^{\infty} M_j N_j$$

其中 $\{N_j\}_{j \in \mathbb{N}}$ 是创新序列的独立同分布序列，$\{M_j\}_{j \in \mathbb{N}}$ 是随机系数序列。

当随机系数由底层的马尔可夫机制生成时，马尔可夫核的视角变得有用。在这种情况下，系数序列 $\{M_j\}_{j \in \mathbb{N}}$ 的尾部行为，从而也是由此产生的级数的谱测度，取决于相关联马尔可夫链的结构。

随机系数线性模型的重尾行为已被广泛研究 [28]、[29]。当创新是重尾的时，无穷和的大值通常由少数异常大的噪声变量引起，它们的效果被随机系数放大或衰减。在大多数此类模型的分析中，创新 $\{N_j\}_{j \in \mathbb{N}}$ 被假设为重尾的，而随机系数 $\{M_j\}_{j \in \mathbb{N}}$ 则相对轻尾。

我们的目标是通过允许系数本身是重尾的来放松这一假设。在这种设定下，$\{M_j\}_{j \in \mathbb{N}}$ 的依赖结构在级数的极端行为中起着至关重要的作用 [30]。理解这一机制在联合极端为核心的应用中具有重要意义，如金融市场中的同步崩溃、保险投资组合中的灾难性损失以及电信网络中的重流量突发性。

本文在三个主要方向上发展结果：第2节讨论多变量正则变化，第3节讨论重尾马尔可夫链，第4节讨论随机系数线性模型。我们简要总结各节的主要贡献。

**第2节**回顾了 Banach 空间中的多变量正则变化概念。其主要结果（引理2.2）表明，相应的 M?-收敛性可以在适当的检验函数类上进行验证。该判据将在全文中使用。

**第3节**将前一节的结果应用于具有重尾创新、转移机制渐近齐次的非平稳马尔可夫链。除了分析相关的尾链之外，我们还在定理3.10中证明了对于满足适当单调性条件的遍历链，其平稳分布是正则变化的。

**第4节**研究了创新与系数均可能为重尾的随机系数线性模型。我们表明，当系数由马尔可夫链生成时，系数与创新的联合正则变化会影响整个系统的极端行为，包括由此产生的正则变化指数。

## 2 多变量正则变化

在本节中，我们回顾全文所使用的多变量正则变化的记号和形式。这些内容是标准的；关于一般度量空间中的表述请参阅 [9]、[11]，关于 Banach 空间中的概率背景请参阅 [31]、[32]。我们在可分 Banach 空间的设定下工作，尽管下面若干结论可推广到星状度量空间。Banach 空间设定与有限维欧几里得空间的主要差异点在于……

## 3 马尔可夫链

我们现在介绍关于 $\mathcal{V}$-值马尔可夫链正则变化结果所使用的框架。全文中，设 $\Sigma$ 表示 $\mathcal{V}$ 上的 Borel σ-代数，即由 $\mathcal{V}$ 中所有开集生成的 σ-代数。

## 4 随机系数线性模型

我们现在转向随机系数线性模型。我们首先介绍一般框架，然后在两种不同的设定中呈现结果。

## 未引用的引用

图1的缺失引用。

Piotr Dyszewski | Tamara Mika