MDS和NMDS代数几何码的新显式构造

《IEEE Transactions on Information Theory》：New Explicit Constructions of MDS and NMDS Algebraic Geometry Codes

　　最大距离可分（MDS）代数几何码的长码构造是编码理论中一个尚未解决且具有挑战性的问题。在本文中，我们首先基于P. Beelen和M. Montanucci引入的一族最大曲线，提出了一种长度和维度受限的MDS码的构造方法。所提出的MDS码实现了比现有利用高亏格代数曲线构造方法更长的码长。其次，我们建立了MDS椭圆码的框架，达到了Han和Ren提出的码长上界。此外，通过利用亏格为2的双有理超椭圆曲线的分裂雅可比群，我们推导了MDS码的三个充分条件，并提出了一种近最大距离可分（NMDS）码的构造方法。我们从一条最大超椭圆曲线中获得了显式的MDS和NMDS码，其中NMDS码的长度$n$满足$n \leq (q+3+2\sqrt{q})/2$。此外，我们证明这些椭圆和超椭圆MDS码与Reed-Solomon码不等价，而我们的NMDS码与一点NMDS椭圆码不等价。一、引言有限域上的线性码是维度的线性子空间。的最小距离定义为中所有非零向量的最小汉明重量。著名的Singleton界断言。当等式成立时，码称为最大距离可分（MDS）码。