利用基于Voronoi图的决策逻辑在弱湍流中实现对OAM（光学振幅调制）状态的局部检测：效率与模式间干扰

《Optical Engineering》：Local detection of OAM states in weak turbulence with Voronoi-based decision logic: efficiency and intermodal crosstalk

　　我们通过实验研究了在弱湍流条件下，局部偏振复用（OAM）检测的鲁棒性，特别是从诱导的模间串扰角度来考虑。我们使用了一种双端口波前分割干涉仪，该干涉仪具有偏移的重叠光输出，以分离光束闪烁和局部相位畸变。通过引入基于Voronoi的决策逻辑，我们将湍流通道建模为Voronoi镶嵌相位空间内的随机位移，并证明了局部模间串扰的普适行为，这种行为由一个无量纲参数的主曲线描述。值得注意的是，这些主曲线与特定的OAM模式结构和湍流功率谱密度无关，它们仅由光学湍流的一阶统计特性决定。在Rytov近似下推导出的分析表达式与实验数据非常吻合。最后，我们将我们的发现与依赖于全场OAM模分解的标准方法进行了比较。尽管局部采样存在部分信息损失，但串扰概率的差异低于15%，从而验证了基于Voronoi决策逻辑的局部OAM检测方法在湍流环境中的FSOC（自由空间光学通信）系统中的鲁棒性。

1. 引言
携带轨道角动量（OAM）的光束具有螺旋波前，并且在传播轴上具有相位奇点和强度零点。纠缠螺旋的数量??∈?与围绕奇点的方位角方向的2???相位移动次数相关，通常被称为辐射束的拓扑电荷或OAM状态。它还表示每个单个光子携带的OAM，单位为约化普朗克常数?。近年来，OAM光束在众多科学学科和应用中得到了广泛使用。可以说，自由空间光学通信（FSOC）领域从携带OAM的光束中受益最多。由于不同的OAM模式是相互独立的，因此可以在同一光学链路上并行编码多个信息，从而实现高密度数据传输和增加的信道容量。可靠且鲁棒的OAM状态检测对于充分发挥基于OAM的系统至关重要。已经提出了几种技术，包括能够快速（单次拍摄）执行的高效OAM模式分离器、共轭螺旋相位板和水膜全息图、级联马赫-曾德尔干涉仪、Dammann光学涡旋光栅、对数极坐标变换，以及在合适的马赫-曾德尔配置中对干涉图进行方位角分析。关于OAM光束的产生和检测的更完整讨论可以在以下近期综述中找到。所有上述方法都需要收集完整的OAM波前。然而，在长距离应用中，衍射会导致OAM光束直径超过典型的接收器孔径，从而使得完全模式收集变得实际上不可行。因此，需要采用局部方法，仅通过采样远离奇点的传输波前的有限部分来检测不同的OAM模式。这已经通过利用小孔径的衍射或在混合或全光方案中的波前分割干涉仪来实现。在光学湍流存在的情况下，OAM模式的传播带来了挑战，必须解决两个重要问题，以便在真实场景中充分利用局部检测方案：（i）局部方法在大气湍流存在下的鲁棒性；（ii）与更标准的技术（如全OAM模分解）进行定量比较，因为这可以评估局部检测方案固有的信息损失在湍流诱导的模间串扰方面的性能下降程度。全OAM模分解通过将传播场投影到未受扰动的复数值OAM模式上来工作，因此它依赖于收集完整的波前。其计算需要了解OAM模式的详细径向结构，并假设光学湍流的分析模型。通常，分析公式是针对Laguerre-Gaussian模式和Kolmogorov功率谱密度模型的二次近似得到的。在这项工作中，我们通过量化诱导的模间串扰来实验研究在弱湍流条件下的局部OAM检测的鲁棒性。我们使用了一种基于双端口波前分割干涉仪的局部检测方案，该干涉仪具有偏移的重叠光输出，以区分光束闪烁和局部相位畸变。通过引入基于Voronoi的决策逻辑，我们将湍流通道建模为Voronoi镶嵌相位空间内的随机位移。这使我们能够证明局部模间串扰的普适行为，该行为由仅由光学湍流的一阶统计特性确定的主曲线描述。值得注意的是，这些主曲线与光学湍流的结构函数和功率谱密度无关，也与OAM模式的详细空间结构无关。在Rytov近似下推导出的分析表达式与实验数据非常吻合。最后，我们将我们的发现与依赖于全OAM模分解的标准结果进行了比较，并显示模间串扰概率的差异在15%的水平之内。

本文的组织结构如下。在第2节中，我们描述了实验设置；在第3节中，我们详细介绍了数据缩减过程；在第4节中，我们介绍了基于Voronoi的决策逻辑；然后在第5节和第6节中分别展示和讨论了实验结果；在第7节中，我们将我们的发现与全OAM模分解进行了比较；最后，在第8节中，我们总结了我们的结论。

2. 实验设置
实验设置的示意图如图1(a)所示。一束HeNe激光（??=632.8??nm，输出功率5?mW）经过空间滤波、扩展和准直。得到的高斯光束半径为1.8?mm（1/??2强度值）。它被导引到一个数字微镜设备（DLP6500，德州仪器）上，该设备显示了一个计算机生成的分叉全息图。分叉全息图的衍射产生了一个具有所需OAM状态的辐射光束。远场中的光束空间分布由Hypergeometric-Gaussian模式描述，该模式由修正的贝塞尔函数相减得到。在这项工作中使用了从??=1到??=7的OAM状态。OAM光束随后通过一个6.5米长的折叠路径传播，期间受到空气湍流的影响。通过在光路上方注入空气和通过空调通风口来引起湍流。通过控制气流速度来改变湍流强度。最后，使用一个正透镜在检测平面上扩展OAM光束。检测平面上OAM光束的直径随OAM状态的值而变化，对于??=4的情况约为100??mm。

图1
(a) OAM状态的生成、传播和局部检测的实验设置示意图。SF，空间滤波器和光束扩展器。DMD，数字微镜设备。CGH，计算机生成的全息图。M1，M2，M3：镜子。PMF，保偏单模光纤。BC，光束合成器。显示的二进制CGH对应于OAM状态??=1（放大了中心部分以便更好地观察分叉）。
(b) 在半径??处采样的偏心双端口波前分割干涉仪的几何结构，角分离为Δ???。
(c) 偏移的重叠光输出的细节。
(d) 由湍流模拟器在实验过程中生成的Fried参数??0的直方图，以及(e) 相应的Rytov方差??2??的直方图。湍流生成器的最大操作范围为??2??=max=0.17，因此处于弱湍流范围内。

在湍流通道中传播后的OAM状态的局部检测是通过一个特别设计的双端口波前分割干涉仪来执行的，该干涉仪具有偏移的重叠光输出。两个输入端口（清楚孔径6.7?mm）与OAM光束轴之间的径向距离为??=47??mm，它们之间的分离距离为Δ???=50??mm，如图1(b)所示。它们相对于光束中心构成了角度Δ???=2?arctan?(Δ???/2???)=0.98??rad。然后这两个光输入被传递并结合到一个CMOS传感器（DCC1240M，1280×1024??像素，5.3×5.3??μ?m像素大小）上，偏移角为Θ=6??mrad，如图1(c)所示。两个偏移光输出的干涉产生了周期为Λ=??/Θ=105??μ?m的平行干涉条纹。检测器上的总光功率为2?nW。一个主要的光功率损失来源是从二进制CGH分叉光栅到像素化DMD的衍射，这将光功率分散成多个衍射级的副本。另一个主要的光功率损失来源是光束通过会聚透镜的焦平面后的发散，以及光纤输入和输出处的插入/耦合损失。特别是，该设备的总传输效率??TOT由??TOT=????·????·????给出，其中????、????和????分别代表由于几何贡献、由有限波前曲率引起的纵向焦移以及空间模式不匹配造成的光功率损失。几何贡献考虑了收集光学的有限孔径，估计为孔径半径与孔径平面上光束半径的平方比。对于在孔径平面上半径为??=35??mm的??=0模式，这导致了????=7.44×10?3。通过会聚透镜的焦平面后的传播距离??=1??m在孔径平面上引入了有限的波前曲率1/??=1??m?1，使得聚焦光束的实际位置在光纤尖端后方移动了340??μ?m。因此，每根光纤在光束仍然汇聚时截获了它，以至于其在光纤平面的半径超过了光纤芯的半径。因此，相应的耦合效率估计为光纤芯半径与光纤平面上光束半径的平方比，得到????=2.92×10?4。最后，空间模式不匹配来自于聚焦光束的非高斯强度分布，它只能部分地与基本光纤模式耦合。我们估计耦合效率为????=0.6?0.8，相当于额外的功率损失约为20%到40%。其他光功率损失来源，如光纤内部的损失和各种光学接口处的光损失，在光功率预算中也得到了考虑，但作用较小。请注意，当OAM光束的奇点与图1(b)的中心相对应时，局部检测方法可以取得最佳性能。任何静态错位都会导致系统性的相位偏差，这仍然可以通过校准过程（使用??=0参考光束，见第3节）或通过概括干涉仪测量的相位术语的表达式来考虑两个孔径相对于入射光束轴的几何配置来减去。光学湍流的强度通常通过Fried参数??0和Rytov方差??2??来量化，其中??0描述了湍流引起的均方根相位波动的特征长度尺度，而??2??量化了强度分布的均方根波动。对于每次采集，相应的值都是直接从数据中推断出来的。Fried参数是通过采用Kolmogorov相位结构函数的一阶线性化模型从测量的相位波动??rms推断出来的：??rms∝(Δ???/??0)5/6～Δ???/??0。Rytov方差是通过结合干涉图案的振幅和对比度信息来提取两个孔径对应的强度??1和??2的均方根变化来提取的（完整的推导见附录A）。我们在图1(d)和1(e)中报告了实验中研究的Fried参数??0和相应的Rytov方差??2??的分布。湍流生成器的最大操作范围的Rytov方差为??2??,max=0.17。虽然Rytov方差的值0.17已经可以与湍流引起的OAM变化联系起来，但通常我们注意到相位方差与强度方差（闪烁）的缩放不同，因此可以在保持有限强度方差的同时发展出较大的RMS相位差异，从而仍然处于弱闪烁范围内。由于相对较小的传播距离，本文的情况就是如此，这阻止了相位畸变完全发展成深度幅度调制。因此，本文此后假设了弱湍流的Rytov近似。从直方图的双峰分布可以看出，我们探讨了传播波前的两种不同物理状态。第一种状态包括小于干涉仪基线的??0值，与各个端口的孔径相当（??0～10?20??mm），这样每个孔径内的局部相位结构开始退化。第二种制度代表的值显著大于干涉仪的基线（??0～200??mm）。3. 数据处理与之前的配置不同，13,14,49，干涉仪的新光学设计具有倾斜的重叠光输出，允许解耦闪烁和局部相位特性。闪烁影响干涉图案的总体幅度和对比度，而局部相位特性则映射到条纹位置。这一物理原理是光学干涉计的核心。条纹图案中的最大值和最小值位置由两个采样小波的建设性和破坏性干涉条件决定，这是由于从孔径到检测平面的光路中不同的相位延迟造成的。对于固定的几何配置，这最终取决于两个孔径处的相位差。相反，两个孔径处的强度不平衡，例如由不均匀照明或光束闪烁引起，只影响干涉图案的幅度和对比度。因此，我们可以通过基于干涉条纹相对于固定参考位置的横向位移的相位测量，明确确定辐射束的局部OAM状态??′。因为OAM束携带一个相位因子??????????，所以在两个相隔 azimuthal angle Δ??? 的不同点采样入射波前会产生一个相位差 Δ???=???Δ???。这个 Δ??? 直接决定了干涉条纹的横向位移 Δ???（在没有湍流的情况下），因此可以直接与OAM状态的值关联起来，公式（1）为 Δ???=???Δ???2????Θ=??????Δ???2????Θ。参考位置是通过在没有湍流的情况下（湍流发生器关闭）由标准高斯束（??=0）产生的干涉条纹获得的。值得注意的是，这也考虑了光束的总体倾斜和波前曲率，50,51，即由于原始光束的对齐或准直不良而产生的静态贡献，因此在下文中将被忽略。定量地，我们在每个干涉图案的中心提取条纹轮廓???(??)，该位置对应于整体条纹包络的最大值，以最大化信号，并将其拟合到以下函数公式（2）???(??)=??·???2(???????)2??2·[1+???cos?(2??????Λ+Δ???)]+??。在公式（2）中，???(??) 是CMOS传感器上水平坐标??的测量强度轮廓，??、???? 和 ?? 是由两个重叠光输出产生的整体高斯包络的幅度、位置和宽度，?? 是条纹可见度，Δ??? 是描述干涉条纹横向位置的相位项，?? 考虑了散粒噪声和读出噪声。感兴趣的读者可以在附录A中找到公式（2）的完整推导。图2报告了根据公式（2）的实验数据及其相应的数值拟合示例。图2 下载完整尺寸图像 干涉数据处理。在CMOS传感器上的干涉条纹示例，分别对应于（a）标准高斯束和（b）OAM束，其中??=2。（c）穿过中心的相应水平轮廓（实心点）以及根据公式（2）的最佳拟合（实线）。数据是在湍流发生器关闭的情况下获取的，以显示OAM束的额外相位项???Δ???引入的不同条纹位置。局部OAM状态通过相位项Δ???编码在条纹图案的横向位移中。4. 基于Voronoi的决策逻辑由于局部检测方法的干涉特性，相位项Δ???直接与两个孔径处入射波前的相位特性相关。52 在没有湍流的情况下（湍流发生器关闭），由于螺旋波前的方位相位分量exp?(????????)，Δ???=???Δ???[另见附录A中的公式（15）]。这允许将OAM模式??与相位水平Δ???=???Δ???联系起来。因此，传播后的OAM状态??′可以通过将数据拟合到公式（2）并获得Δ???来获得，而Δ???是已知的。注意，在这种情况下??′=??，即没有模间串扰，正如在没有湍流时所预期的那样。与之前的情况相反，在有光湍流的情况下（湍流发生器启用），会出现动态波前失真和光相位偏移。对于给定的OAM模式??，测量的相位差Δ???会围绕???Δ???随机波动。这种波动可能导致测量的相位Δ???与对应于不同OAM模式??′的相位水平重叠，从而导致模间串扰。图3报告了两种不同湍流强度条件下的示例。图3 下载完整尺寸图像 测量相位项Δ???随时间的变化：（a）??rms=0.25??rad和（b）??rms=0.7??rad。数据指的是??=4的情况。阴影区域代表方程（4）和（5）中的Voronoi单元????′，对于特殊情况??′=??。请注意，由于较大的湍流引起的相位波动，图（b）中的串扰事件增加了。（c）基于Voronoi的决策逻辑和相位水平图的镶嵌，用于根据方程（4）和（5）计算OAM状态??和??′之间的局部串扰。当湍流引起的相位波动位于（Δ????1/2）?Δ???和（Δ???+1/2）?Δ???之间时，会发生模间串扰。为了将连续的相位Δ???映射到离散的OAM状态，我们采用基于Voronoi图相位图的最近邻解码规则。53–55 这将相位空间划分为以相位水平???Δ???为中心的Voronoi区域????，公式（3）????={Δ???∈?:|Δ???????Δ???|≤|Δ???????Δ???|??????•??≠????，其中????,??∈?}。然后通过包含测量相位的Voronoi单元的索引来确定通过湍流通道后的局部OAM状态??′，公式（4）??′def={??∈?:Δ???∈????}。在没有湍流的情况下，基于Voronoi的决策估计得出??′=??。在存在湍流的情况下，相位波动可能会将测量的Δ???移动到一个不同的Voronoi区域????′中，使得OAM状态??和??′之间发生模间串扰。在这个框架中，局部模间串扰????,??′代表了湍流引起的相位波动导致测量相位离开传输状态的Voronoi单元并进入相邻状态的概率，使我们能够将湍流通道视为镶嵌空间中的位移源。Voronoi镶嵌形式主义和Voronoi区域为存在湍流时的严格局部OAM状态估计提供了坚实的基础，这在过去的工作中是一个未解决的问题。对于本工作中处理的一维参数空间，Voronoi形式主义可以用决策阈值来重新表述。在这方面，可以证明54，Voronoi决策逻辑也等同于最大似然估计。为了量化OAM状态??和??′之间的局部串扰????,??′，对于每个OAM状态??，我们记录了??TOT=104个连续的条纹图案序列。在不同的湍流条件下获取不同的序列。最后，根据方程（3）和（4），我们从OAM状态??传输OAM状态??时的发生次数????,??′来实验性地确定????,??′，公式（5）????,??′=???{???transmitted,??′?received}=????,??′??????????，其中???{·}表示括号内事件的概率。这里值得一提的是湍流强度的估计。对于每次采集，我们根据引起的相位波动的rms值??rms来量化湍流强度，因为根据定义，较大的??rms值表示更严重的湍流条件。然而，我们发现引入无量纲参数???rms=??rms/Δ???来研究局部模间串扰是方便的。正如我们将在第7节中展示的，它可以直接与标准湍流强度参数???=??/??0相关联，其中??是收集光学的孔径或光束的直径，??0是Fried参数。56 因为??rms指的是入射波前两个特定位置上湍流引起的rms相位波动，因此，我们在这里将???rms称为局部湍流强度参数。因此，局部湍流强度参数是通过对长时间采集中的rms相位波动（例如，图3中的迹线rms波动）与两个干涉仪端口的角度分离之比来计算的。5. 实验结果局部模间串扰的实验结果报告在图4中。数据涉及从??=1到??=7的OAM状态。对于每个传输的OAM状态??，我们评估了与前六个不同相邻模式（范围（???3,??+3）的串扰概率。数据显示，OAM状态??和??′之间的局部模间串扰仅取决于OAM状态跳跃Δ???=?????′，而不是单独依赖于??和??′，因此????,??′=??Δ???。这是湍流引起的相位波动是一个零均值随机过程的直接结果。图4 下载完整尺寸图像 局部模间串扰??Δ????(???rms)作为局部湍流强度参数???rms的函数的全局行为。实验数据对于从??=1到??=7的OAM状态（开放符号）与基于公式（7）的预测（实线）进行了比较：（a）Δ???=0，（b）Δ???=±1，（c）Δ???=±2，以及（d）Δ???=±3。与公式（7）的比较不涉及任何自由参数。极好的一致性（低SSE和RMSE）确认了局部串扰与OAM束的特定径向模式结构以及光湍流的结构函数和功率谱密度无关。为了定量描述实验结果，我们利用了第4节中先前介绍的基于Voronoi的湍流通道作为镶嵌空间中位移源的模型。OAM状态??和??′之间的串扰与测量相位Δ???落入索引为??′的Voronoi单元的概率有关，如图3(c)所示。这导致了局部模间串扰????,??′的表达式，通过与光湍流的一阶统计相关的累积分布公式（6）??Δ???=????(OT)?[(Δ???+12)?Δ???]?????(OT)?[(Δ????12)?Δ???]，其中Δ???=?????′，?????(??)是随机变量??在值??处的累积分布，??(OT)是描述由光湍流引起的随机相位扰动的随机变量。注意，公式（6）仅依赖于光湍流的一阶统计，而不依赖于光湍流的功率谱密度或更高阶的相关函数。此外，公式（6）取决于OAM状态跳跃Δ???，而不是单独依赖于??和??′，也不依赖于进入湍流区域的OAM束的详细空间模式结构。最后，基于Voronoi的决策逻辑由Voronoi单元的宽度Δ???的存在来表示。在Rytov近似的背景下，正如之前所展示的，光湍流具有高斯一阶统计特性，公式（6）采取形式（7）??Δ????(???rms)=12?{erf?[1???rms?√2?(Δ???+12)]?erf?[1???rms?√2?(Δ????12)]。我们在图4(a)中直接比较了实验数据和公式（7），值得注意的是没有任何自由参数。一致性通过均方误差（SSE）和均方根误差（RMSE）来评估，这些也在图中报告。结果显示，局部模间串扰可以通过局部湍流强度参数???rms的唯一主曲线来描述，并且仅由Δ???参数化。值得注意的是，我们注意到由公式（6）（一般情况）和公式（7）（Rytov近似）描述的主曲线与高阶相关函数和光湍流的功率谱密度无关，也与OAM模式的详细空间结构无关，从而突出了局部OAM模间串扰的普遍行为。这些特性使得该方法特别适用于OAM复用FSOC架构的系统级建模，其中湍流引起的串扰可以直接映射到链接边际惩罚、故障概率和比特错误率（BER）上。6. 讨论OAM状态跳跃±Δ???的数据由相同的起始曲线描述，该曲线在Δ???的符号变化时是不变的，这也可以通过直接检查公式（7）来推断。这种不变性源于Rytov近似下湍流引起的波前失真遵循对称的概率密度函数。此外，我们回顾了误差函数erf?(??)～2???/√??在小参数时的渐近行为，并注意到对于???rms?1，局部OAM模间串扰变得与Δ???无关，公式（8）??Δ????(???rms)????rms?11???rms?√2???。公式（8）描述的渐近行为在图4中用蓝色虚线表示（为了视觉目的而垂直移动）。方程（8）描述了当湍流引起的相位失真大于Voronoi单元的宽度时，任意两个OAM状态??和??′之间的均匀串扰概率。通过利用局部模式间串扰的对称性质以及方程（8）中的近似公式，我们还可以推导出一个简单的表达式来估计相邻串扰模式的数量2???MAX作为局部湍流强度参数???rms的函数。为此，我们回顾一下??Δ????(???rms)代表任何值下的概率。因此，我们要求方程（8）对从Δ???=???MAX到Δ???=??MAX范围内的2???MAX+1个相邻OAM状态求和的结果为1。这导致了方程（9）：??MAX=???rms?√??2?1/2。串扰模式的数量与局部湍流强度参数成线性增长。对于特殊情况??MAX=1，方程（9）表明模式间串扰从???rms≈1开始，即当湍流引起的相位波动与Voronoi单元的宽度相当时，这加强了我们在第5节开始时的观察。这一点也在图4中得到了体现，因为在???rms=1时，检测到正确OAM状态（Δ???=0）的概率降低到40%，而OAM状态跃迁Δ???=±1的总串扰概率增加到40%到50%。为了阐明方程（9）的有效范围，我们采用了一种更严格的方法，基于方程（7）给出的更一般表达式计算OAM状态跃迁的串扰概率之和????，范围从Δ???=???到Δ???=+??。对于任何值的???rms，这个和可以解析求解：方程（10）?????(???rms)=??∑Δ???=?????Δ????(???rms)=erf?[1/√(2?(??+1/2)]。我们在图5中绘制了?????(???rms)作为??和???rms的函数的二维图，并将其与方程（9）进行比较。比较显示，方程（9）中的??MAX提供了串扰模式数量的良好估计，准确度为80%。图5下载全尺寸图像二维图显示了累积串扰概率????作为相邻串扰模式数量??和局部湍流强度参数???rms的函数。蓝色虚线代表方程（8）中的近似公式。

7. 与OAM模态分解的比较
一个关键问题是，本文描述的局部方法与全场OAM模态分解相比如何。特别是，在本节中，我们比较了仅收集波前有限部分时的模式间串扰概率（即方程（7）与收集整个波前时的模式间串扰概率。比较的目的是为了了解局部方法中固有的信息丢失在多大程度上会转化为相对于全局方法的性能下降。正如引言中提到的，全场OAM模态分解是通过将传播的场投影到未受扰动的复值OAM模态上来工作的。对于Laguerre-Gauss（LG）模态，在Kolmogorov的光学湍流功率谱密度的二次近似下，已经得到了描述全局串扰概率的解析公式：方程（11）??(??)Δ????(???)=??|Δ???|2|Δ???|3Γ?(??+1)·2??2(??,??;??+1,2???;?2???)，其中??=|Δ???|+1/2，??=|Δ???|+1，????=??/??0是湍流强度参数，??是收集光学系统的孔径或光束，??0是设定光学湍流特征尺度的Fried参数，??=1.8025·?????/3，Γ是Gamma函数，2??2是广义超几何函数。类似于方程（7），方程（11）描述了一族依赖于单一无量纲参数（???）的曲线，并由OAM状态跃迁Δ???=?????′参数化。通过以下缩放可以直观比较方程（7）和（11）。对于Kolmogorov湍流，特征长度尺度Δ???上的均方根相位波动由??rms?(Δ???)=1.015·(Δ???/??0)?/?给出。因此，局部湍流强度参数可以重写为方程（12）：???rms=??rmsΔ???=1.015·(Δ???/??0)?/?Δ???/??。通过线性化分子1.015·(Δ???/??0)?/?～Δ???/???，最终得到???rms～??/???，这与将??视为收集孔径或光束的特征长度尺度时的湍流强度参数???=??/???相匹配。在这种情况下，至少在参数层面上，可以比较局部方法和全局方法。比较结果如图6所示。

图6下载全尺寸图像
(a) 不同OAM状态跃迁Δ???下，方程（7）中的局部串扰与方程（11）中的全局串扰的直接比较，作为无量纲量???rms（局部方法）和???（全局方法）的函数。(b) 局部方法和全局方法之间的差异。尽管局部方法中固有地丢失了空间信息，串扰概率的差异仍然保持在15%以内。请注意，一些差异可能是由于生成的Hypergeometric-Gaussian模式与进行全局模式间串扰矩阵计算所需的Laguerre-Gaussian场分布之间的差异所致。尽管这些差异较小，但某些差异值得一提，因为它们直接源于这两种方法的独特特性。对于???rms?1的情况，由于方程（4）中Voronoi单元的有限宽度，局部方法导致了较低的模式间串扰。相反，对于???rms?1的情况，出现了一个明显的悖论。在这种情况下，全OAM模态分解在保持原始OAM模式方面更有效，因为对于????1，有??(??)0?(???)>??0?(???rms)。然而，同时它也导致与相邻模式的串扰概率增加。解决这个明显悖论的必然结果是，全局方法的串扰模式总数较低。这是因为全场模态分解还考虑了OAM光束的强度分布，对于高??模式，强度分布对光学湍流的抵抗力比相位属性更强，而仅基于相位测量的局部方法对湍流引起的波前失真更敏感。

8. 结论
在这项工作中，我们提供了在弱湍流条件下基于OAM的FSOC链路中局部模式间串扰的实验特性。通过使用一个特别设计的双端口波前分割干涉仪，该干涉仪具有偏斜的重叠光输出，以解耦光束闪烁和局部波前失真，直接从仅基于相位的测量获得了穿过湍流通道后的辐射光束的局部OAM状态。为此，我们引入了一种基于Voronoi的决策逻辑，该逻辑基于相空间的Voronoi镶嵌，允许我们将湍流通道描述为相邻单元之间的随机位移。在这个框架中，我们证明了局部模式间串扰的普遍行为，这种行为由一个无量纲参数的主曲线描述。值得注意的是，这些曲线仅依赖于光学湍流的一阶统计特性，并且与湍流功率谱密度（无论是Kolmogorov、von Kármán还是其他类型）和OAM模式的详细空间结构无关，因此使得在湍流环境中对基于OAM的系统进行简单建模成为可能。在Rytov近似下为弱湍流推导出的解析表达式与实验数据非常吻合。最后，我们将我们的结果与标准的全场OAM模态分解进行了比较，显示差异始终低于15%的水平。尽管局部方法中固有地丢失了部分信息，但基于Voronoi的决策逻辑的鲁棒性和理论模型的简单性使得该方法对于OAM基FSOC系统的系统级建模和性能评估具有吸引力。局部串扰矩阵的普遍属性可以用于实际应用中，以调整不同光学通道的参数，通过最小化相互串扰概率来优化复用OAM状态的数量和值，并快速估计链路预算，而且无需采用特定的复杂光学湍流模型。重要的是，局部模式间串扰与OAM状态??的观测独立性允许将结果扩展到更高阶的模式，这对于高容量复用更为相关。Voronoi形式主义可以轻松扩展到多维参数空间，这将在未来的工作中得到应用，以利用多孔径和多参数检测方案提供的全部潜力。最后，尽管在本文中没有对失真波前进行Zernike模式分析，但这无疑将为该技术未来的发展提供支持，特别是在实际操作场景中部署可靠的基于OAM的FSOC系统时，强分布式湍流常常会导致光束内出现额外的分支点和光信号的深度衰减，从而需要基于自适应光学的主动缓解策略。

9. 附录A. 方程（2）的推导
设??(IN)1,2=|??(IN)1,2|·???????1,2为干涉仪两个输入端口对应的传播OAM光束的复场。振幅项|??(IN)1,2|考虑了OAM模式的空间结构和湍流引起的闪烁。相位项??1,2是三个主要贡献的总和：方程（13）??1,2=???1,2+??(TC)1,2+??(OT)1,2，其中???1,2描述了OAM光束的方位角相位依赖性，??(TC)1,2描述了入射波前的整体倾斜和曲率，??(OT)1,2描述了光学湍流引入的随机相位波动。在这里，我们假设了一个对我们的实验条件特别相关的假设，即湍流引起的波前失真在特征尺度上与收集光学的孔径相当或更大。因此，在以下推导中，振幅和相位项将被认为是两个采样区域上的常数。相反，在更严重的湍流条件下，入射波前的振幅和相位属性会随接收孔径的变化而变化，从而影响单模光纤的收集效率，并在相位属性和检测到的强度之间引入不必要的耦合。检测平面上的复场由以下公式给出：方程（14）??(OUT)1=??1·?????2+??2??2·??(IN)1·???????1??(OUT)2=??2·?????2+??2??2·??(IN)2·???????2·???????·?? cos Θ，其中高斯项描述了来自两个单模光纤的准直输出，??1,2考虑了诸如光纤耦合和光纤衰减之类的光学功率损失，??1,2是每个单模光纤输出的总相位因子，由从两个输入端口到检测器的光纤沿线的累积相位延迟产生，exp?(????·?? cos Θ)描述了偏斜的光输出，其中??=2??/??。对于小的偏斜角度Θ，近轴近似sin?Θ≈Θ成立，相位项可以重写为exp?(??·2·??·??/Λ)，其中Λ=??/Θ。因此，测量到的强度???(??,??)=|??(OUT)1+??(OUT)2|2是方程（15）：???(??,??)=???2·(??2+??2)??2[??21·|??(IN)1|2+??22·|??(IN)2|2+2·??1·??2·|??(IN)1|·|??(IN)1| cos (2·??·??Λ+Δ?+??(TC)2???(TC)1+??2???1]。我们定义??1,2=??21,2·|??(IN)1,2|2，使得??1,2·???2·(??2+??2)??2是每个输入端口分别产生的检测平面上的强度。因此，方程（15）可以方便地重写为方程（16）：???(??,??)=??·???2·(??2+??2)??2[1+?? cos (2·??·??Λ+Δ?+Δ?0)]，其中??=??1+??2，??=2·√??1·??2/(??1+??2)，Δ?0=??(TC)2??(TC)2+??2???1。方程（16）描述了沿??方向发展的平行条纹，这些条纹的可见度为??，被具有总体幅度??的高斯项所包围。条纹的周期性为Λ，高斯包络内的横向位置由相位项Δ?+Δ?0决定。我们注意到光束闪烁只影响??和??，而湍流引起的相位失真则通过相位项Δ?影响条纹的横向位置。在没有光学湍流（??(OT)1,2=0）的情况下，常数相位项Δ?0可以用标准高斯光束（??=0）轻松测量，因此Δ?在方程（16）中为0。然后可以使用结果干涉条纹的位置??c=(Λ/2·??)·Δ?0作为??坐标的原点，通过引入??′使得??=??′???c。最后，提取高斯包络最大值对应的水平轮廓（在这种情况下??=0），直接得到方程（2）。