力学作为广义相对论规范场论，以及关系量子化

《APS Open ScienceNEW》：Mechanics as a general-relativistic gauge field theory, and relational quantization

　　

我们将点粒子的力学视为一种一维广义相对论性规范场论，可称之为机械场论（MFT），并利用机械场空间（MFS）的丛几何结构。MFT 的微分同胚协变性编码了其关系性特征，其产生方式与所有广义相对论性物理学中一样，源于洞论证和点重合论证的结合。任何所谓的"边界问题"——即认为"时空"边界破坏了微分同胚和规范对称性的论断——由此消解。我们着重指出，MFS 上的标准路径积分（PI），作为规范场论中所用路径积分的精确类比，在概念和技术上与量子力学的标准路径积分截然不同。然后我们利用穿衣场方法，给出 MFT 的显式不变且关系性的重新表述，该表述在选取时钟场作为（自然的）穿衣场时，可重现标准教科书中的表述。MFS 上经过"穿衣"的、即基本的路径积分——定义关系性量子化，即不变关系性自由度的量子化——被证明可重现量子力学的标准路径积分。这确立了关系性量子化作为一般指导原则的合理性。我们将其概括地推广到广义相对论性规范场论中。

I. 引言

广义相对论性（GR）规范场论（gRGFT）的典范性洞察，编码于其局域对称性之中，即关系性：物理的时空和内部场论自由度动态地共同定义彼此。正如文献 [1] 所阐述的，这一事实源于广义洞论证和点重合论证的结合。因此，gRGFT 的默认形式主义显式地协变于其局域变换群，即微分同胚群与内部规范群的半直积，并隐含着关系性。这导致许多表观上的概念困难，可能引发先验上令人困惑且相互关联的问题：最突出的是物理自由度和观测量之确定、gRGFT 中的"边界问题"或子系统问题，以及"时间问题"。gRGFT 的关系性重新表述，即在其下显式不变的重新表述，可能消解其中一些困难。在文献 [2] 中，我们基于穿衣场方法（DFM）——一种系统降低局域对称性的方法——完整详细地发展了这样的关系性表述（关于超对称场论的应用，参见文献 [3–6]）。

我们的目标计划在于对基础物理学进行关系性的、形式上统一的且概念清晰的改写。这必须涵盖量子理论。在文献 [2] 中，我们暗示了该计划的下一阶段是系统发展基于 DFM 的关系性量子化（RQ）概念：即穿衣理论的量子化。其实质主张是：合理的量子理论应当源于对物理的、关系性的自由度的量子化。应用于场，它将导致关系性量子场论（rQFT）。如果核心思想并非全新，有着漫长的分支历史，其中一个重要的章节是关于受约束系统的量子化，其根源在于 Bergmann [7] 和 Dirac [8] 的工作，另一个是协变相空间形式主义，在物理学中常被追溯至文献 [9–12]（但关于更完整的历史，参见文献 [13]）。我们的方法在精神上更接近后者，因为它从 gRGFT 的场空间出发。其独特之处在于系统利用场空间的丛几何——DFM 是实现其基同调的一种系统方法。

本文的目标有两个：首先，将基于 DFM 的关系性量子化确立为一个富有成效的工作假说；然后将其概括地推广到 gRGFT。

第一个目标通过将经典点粒子力学视为形式和概念上的实验室来实现。力学通常被视为通向更为"精密"的场论（FT），尤其是 gRGFT 的跳板。其久已确立的标准表述——拉格朗日量和哈密顿量/辛结构——确实为场论的类比处理提供了灵感。gRGFT 的局域对称性引入了更多的概念和技术困难，需要（表面上）对形式主义进行修改或完善：规范固定（GF）、约束等。因此，力学似乎对这类更高级的主题提供不了多少见解。

同样，标准量子力学（QM）当然是通向量子场论（QFT）的跳板，其标准表述为场论的类比量子化方案提供了动机——尤其是哈密顿量/正则方法和 Dirac-Feynman 路径积分（PI），较少涉及薛定谔方法。同样，gRGFT 的局域对称性引入了需要新概念和专门工具的困难：规范固定、鬼场、Becchi-Rouet-Stora-Tyutin（BRST）上同调、反常消除等 [14]。因此，除了其独特的诠释挑战以及偶尔被注意到的 QM 是一维（1D）QFT 的观察 [15] 之外，QM 似乎对 gRGFT 量子化所需的技术和概念结构提供不了多少启示。

一些作者曾论证，即使是简单的非相对论性（NR）点粒子经典力学，若重新审视，仍然有所教益；这尤其通过所谓的"参数化"表述 [16–18] 得以体现，有时用"部分可观测量与完全可观测量"的语言来表述（参见，例如，文献 [19–23]）。我们恰好发现自己在方向上与此一致，并将在本文中以上述计划中的术语来论证这一立场。首先，在第 II 和 III 节中，我们将提供将力学视为 1D gRGFT 的详细处理；为方便引用，我们将此表述称为"机械场论"（MFT）。为此，我们将依赖文献 [2] 的框架；将机械场空间（MFS）称为参数化力学坐标（"力学场"）的空间，我们系统利用其丛几何结构，特别是处理其自同构群并引入"关联区域丛"的概念。这推广了上述的"参数化"方法，给出与 gRGFT 完全平行的完整数学处理。我们将强调，作为 gRGFT 框架的一部分，力学的关系性以与广义相对论物理学中完全相同的方式产生。时间问题的类比和边界问题的类比在 MFT 中出现，但被证明在其关系结构被理解时消解——正如它们理应在 gRGFT 中一样。我们将阐明与标准力学方法的联系，后者也称为（a.k.a.）"非参数化"方法，表明它关联于 MFS 丛的模流形基底空间所编码的不变关系性自由度。由此获得的洞察可以推广到 gRGFT。

接着考虑 MFT 量子化的问题，我们按照与场论标准 PI 完全类比的方式写出 MFS 上的路径积分，强调它不是 QM 的标准路径积分方法。后者实际上是泛函积分，这是 RQ 的第一个暗示。

这个一般框架为在第 IV 节中描述以下内容奠定了基础：DFM 如何实现 MFS 的基同调，以及它如何因此关联于 MFT 的物理关系性自由度。然后我们将 DFM 应用于给出 MFT 的显式不变关系性重新表述：当穿衣场为时钟场时，它被证明精确地重现标准的、非参数化的力学表述——这呼应并恢复了上述部分/完全可观测量的概念。这也以技术清晰的方式展示了局域对称性引发的表观概念问题（例如边界问题）如何通过关系性的、穿衣的重新表述而消解。我们还着重指出 DFM 如何处理穿衣场的可能变换，即在 MFT 中时钟的变换：这自然地导致了"良好时钟"网络的关系性定义，与计量实践一致。为展示 RQ，我们写出 MFS 上的穿衣路径积分，它是基本的（不变的），并表明它重现（即为）教科书中的标准 PI 表述。换言之，我们指出 QM 是一维 rQFT，给出了一个概念验证，表明 RQ——即关系性不变自由度的量子化——是一个自然的可行方案。在第 IV C 3 节中，我们概述了 gRGFT 的 RQ 基础。我们特别展示了关系性表述如何自动实现反常消除机制，将 Wess-Zumino 反项作为特殊情况涵盖在内。

第 V 节包含总结性评述并暗示即将到来的和未来发展的方向，特别是关于关系性量子引力（RQG）模型。为完整性，附录 A 还呈现了 MFT 的协变相空间表述及其与（非相对论性）力学标准辛处理的关系，从而明确本框架与协变相空间方法、规范约化和在规范理论和一般协变系统中常用的边缘模构造之间的联系。

为方便读者，我们在表 I 中汇总了全文使用的缩略语。我们所采用的主要数学符号收集于表 III 中。

表 I. 缩略语列表。

| 缩写 | 全称 |
|------|------|
| d.o.f. | 自由度 |
| DFM | 穿衣场方法 |
| FT | 场论 |
| GFT | 规范场论 |
| GF | 规范固定 |
| gRGFT | 广义相对论性规范场论 |
| GR | 广义相对论 |
| MFS | 机械场空间 |
| MFT | 机械场论 |
| NR | 非相对论性 |
| PI | 路径积分 |
| QFT | 量子场论 |
| QM | 量子力学 |
| QG | 量子引力 |
| RQ | 关系性量子化 |
| rQFT | 关系性量子场论 |
| RQG | 关系性量子引力 |

II. 机械场空间的几何：运动学

我们将文献 [2]（另参见文献 [24]）中详述的形式主义特化，发展将力学视为广义相对论框架模型的观点，从而推广了所谓的"参数化方法"，如文献 [18, 25] 中所讨论的（强调概念方面）以及 Lanczos [16] 的经典著作（提供了更系统的技术阐述）中。为突出关键的概念结构，我们在此聚焦于无结构点粒子的力学，即无旋转且无自旋，但推广到具有自旋的粒子和具有自由度的延展体并不构成特殊挑战。

我们将考虑 个无结构点粒子的力学。这是一维流形 上场论，其中 是代表时空自由度的目标空间，时钟场 满足 。场 代表 个粒子集合的动力学历史的"参数化"。在标准 NR 力学中，对于 ，我们有 ，其中 是仿射欧几里得空间， 是仿射"时钟"时间轴；对于 ，典型但非必须地，对所有 个空间场 使用单个时钟场 ，故 且 。这自然推广到 ，其中 是三维流形；即弯曲三维空间中经典粒子的描述（这可以容纳，例如，Newton-Cartan 理论）。本文所呈现的框架可能推广到狭义相对论性力学，但为简化我们在此局限于非相对论性力学。

从流形 的观点看，场 的目标空间 是"内部的"，因此 的自然变换群 充当刚性的"内部群"，而映射 构成作用于场上的"规范群" ，即 [26]。对于非相对论性力学，可以例如考虑空间平移群 ，因此 （参见，例如，文献 [27]）。因此场 是 上的规范场。此外，它们自然地支持 的作用， 的元素也是如此，因此作用于 的完整变换群是 ，正如文献 [2] 中所述广义相对论性规范场论所应有。与力学的区别在于并非所有 都产生非物理的变换。出于这个原因，但更重要的是聚焦于关键的概念方面，在接下来的讨论中我们将注意力限制于仅 的作用，从而将力学视为"广义相对论性"场论的一个案例：我们可以称之为 MFT。

A. 机械场空间及其自然变换群

MFT 的场空间，我们称之为 MFS ，支持由 的自然右作用：

$$\text{(1)}$$

确实，它满足 。MFS 被此作用纤维化，通过点 的纤维是其 -轨道 。轨道集，或场的模空间，我们记为 。后者与所谓的扩展构型（相）空间 [19, 25, 28] 密切相关（参见第 III C 节的末尾）。因此，MFS 是结构群为 的无穷维主丛：

$$\text{(2)}$$

投影 满足 。点 上方的纤维作为流形微分同胚于结构群 。MFS 在子集 上方的一个局部截面是一个光滑映射 ，满足 。

在 覆盖的 区域内，局部截面 的像与纤维恰好相交一次，从而在每个 -轨道 中选取唯一一个代表元 ：即，选择局部截面 就是一种规范固定。不同的局部截面 之间通过 相关联，其中 , , 是 的过渡函数；这意味着规范固定不是 -不变操作。作为流形， 具有微分同胚群 ，但作为主丛，其最大的变换群是其自同构群（3），其元素保持纤维化结构，从而自然地诱导底流形 上的微分同胚。它包含一个正规子群，即垂直自同构群（4），它与 的规范群同构：（5）。该同构由 给出，即 诱导 。 中元素 的等变性蕴含 由 诱导：即 中的复合运算 对应于 中的复合运算 。由于 是 的正规子群，我们有短正合列（SES）（6）。群 体现的是所谓的"依赖于场的"规范变换，在此情况下是 上依赖于场的微分同胚 [29]。结构群 则提供了"不依赖于场的"规范变换的概念，即 上不依赖于场的微分同胚。公式（6）的线性版本给出了李代数的短正合列，定义了力学场空间（MFS） 的 Atiyah 李丛胚。

B. 微分结构

作为流形， 具有切丛 ，余切丛 ，以及更一般地，形式空间 。在考虑这些结构时，区分 上和 上的前推和拉回是很重要的：我们用 表示 上的这些运算 [如公式（1）中所述]，用 表示 上的对应运算。

切丛与子丛。向量场 是切丛 的截面，在括号运算 下构成李代数。我们将 处的向量场写为 ，其流为 ，使得 。作为函数代数 的导出算子，我们可以写成 ，其中 是关于 的功能导数， 是功能分量。投影的前推为 。 的右作用的前推为 。一般情况下 ，即一般向量场沿纤维垂直前推时会"旋转"，因此 在模空间 上不是一个良定义的向量场。对于右不变向量场的李子代数（7）则不然，因为它们在垂直前推时不会旋转，因此在 上有良定义的投影。事实上，对于 ，我们有 。然后， 。不变向量场的性质意味着它们的流是 的自同构；因此李子代数 就是 的李代数：（8）。垂直切丛 是切丛 的典范子丛。垂直向量场是 的元素。由于 是子丛， 是 的李理想。基本垂直向量场由结构群的李代数 的作用生成：（9）。对于具有流 的 ， 处对应的基向量场为（10）。 上的李导数通常也由 Cartan 公式 给出，其中 是 上的 de Rham 外导数。它是 上形式代数 的零次导出算子，因为 的次数为 ， 的次数为1。另外，由于 是一维的， 。由于 且 ，我们有 ，即 。显然，基本向量场满足 ，因为 。可以证明映射 是李代数同态：即 。基本垂直向量场在 的右作用下的前推为（11）。因此，由 生成的基本向量场不是右不变的。另一方面，由规范群 的李代数 诱导的垂直向量场是右不变的。与 对应的是 。根据规范群的定义（5），其元素按 变换，我们有（12）。这个变换性质也可以写成 ，其无穷小版本由 沿对应于 的基本向量场的李导数给出：（13）。由 生成的基本向量场为（14）。其在 的右作用下的前推为（15）。此外，可以证明"垂直性映射" 是李反同态：即 。因此，由于右不变垂直向量场的李子代数就是群 的李代数，我们有（16）。由此，我们得到公式（6）的无穷小版本，即描述 的 Atiyah 李丛胚的短正合列，（17）。这个短正合列的一个分裂，即一个映射 ，或等价地，一个映射 ，允许将 上（右不变的）向量场分解为一个规范元素和 上一个向量场的和。这种分裂由选择 上的 Ehresmann 联络1-形式提供，其定义我们在第II.C节中回顾。最后，我们陈述一个关于 上规范变换几何定义的关键结果。由规范群 的元素诱导的垂直自同构 的前推是映射 。对于一般向量场 ，其结果为（18）。这个关系可以用来获得重复前推的结果，即迭代规范变换的结果：例如，要得到 的结果，只需将上述中的 替换为 即可。

微分形式。 的 de Rham 复形是 ，其中 是场空间上的 de Rham（外）导数，满足 ，通过 Koszul 公式定义。外积 像往常一样定义在标量值形式上，使得 是一个微分分次代数。外积也定义在取值于代数 的形式空间 上，使用 中的乘积而非 中的乘积。因此， 再次是一个微分分次代数 [30]。我们直接关心的情况是 ，即 上形式的代数。将 处取值的形 写为（19），其中 是 上的基1-形式， 是 的功能表达式，在第一组参数上交替多线性，在第二组参数上有任意的 依赖。例如，给定一个0-形式 ，我们有 。 对形式 的拉回作用定义其等变性 。 的拉回作用定义规范变换，我们记为 。我们有（20）。 的无穷小等变性和垂直变换由沿分别由 和 生成的 的元素方向上的李导数给出 [31]：（21）。值得注意的是，对于我们的目的， 值形式 的等变性为 ，无穷小地为 。有些形式具有特殊的意义，其规范变换可以直接从其定义性质中读出。首先，等变形式是指其等变性取简单形式的那些形式。标准等变形式取值于结构群 的表示 ，且满足（22）。对于 ，其无穷小等变性为 。上循环等变形式 [2,32] 的等变性由 在 上作用的1-上循环控制，即一个映射（23）。在 的情况下，我们有 且（24）。显然， -不依赖的1-上循环是群同态，即1-上循环是表示的推广。给定一个 -空间 ，定义上循环等变形式为（25）。性质（23）和（24）确保与右作用的相容性： 。无穷小等变性为 ，其中 是 在 上作用的1-上循环：（26）。无穷小关系（26）确保与右作用的相容性： 。注意，这是非阿贝尔反常的 Wess-Zumino（WZ）一致性条件的非阿贝尔推广。对于阿贝尔 ，WZ 一致性条件被复现。不变形式的子空间是那些等变性平凡的，水平形式是那些在垂直向量场上为零的：（27）。既是等变的又是水平的形式是张量性的。标准张量性形式为（28）。类似地，上循环张量性形式为（29）。在标准情况和上循环情况下，我们都有 。众所周知，de Rham 导数 不保持 ——水平性会丢失——这就是为什么需要在 上定义联络，以便在张量性形式空间上定义协变导数。我们接下来在第II.C节中讨论这一点。最后，既是不变又是水平的形式称为基本的：（30）。这个空间在 下保持不变，因此 是 的 de Rham 复形的一个子复形：基本子复形。 的上同调定义了 的等变上同调 [33]。由于 ，它同构于底模空间的上同调 。因此，基本形式也可以定义为（31）。当无法在 上进行具体操作时（正如广义相对论场论中通常情况那样），基本上同调尤为重要。注意，对于形式， 的类似物不是 而是 。只有基本形式能在 中诱导形式，因此只包含物理自由度。在第IV.A节中，我们回顾一种系统方法来构建形式 的基本版本 ：即 DFM。

规范变换。如上所见，形式 的规范变换是其被 拉回的结果，可以用 的元素表示，因此使用记号 。利用拉回/前推对偶性，结合公式（18），可以获得具体表达式：对于任何 ，有（32）。由此，显而易见地，形式的规范变换由其等变性和垂直性性质控制。特别地，张量性形式的垂直变换仅由其等变性控制：（33），其中我们引入1-上循环的简化记号 [34]。在 下的无穷小规范变换由公式（32）的线性化给出（34），其中 [35]。例如，对于 值形式 ，这特化为 [36]，而对于张量性形式，它给出公式（33）的无穷小版本（35），其中我们引入线性化1-上循环的记号 。根据其定义，基本形式是规范不变的：（36），这与预期一致，因为这些形式只包含物理的、 -不变的自由度，并在模空间 上诱导形式。为了说明，让我们考虑基1-形式 的例子，它很重要，因为其规范变换 出现在任何形式的规范变换的一般公式（20）中。 的等变性和垂直性由定义给出（37），垂直性性质复现了场 的 变换。由此立即可得（38）。在广义相对论场论协变相空间文献中，类似的结果是通过启发式方法得到的（见例如参考文献 [37]）。在参考文献 [2] 中，它像我们这里一样从几何第一性原理推导得出。线性版本为 ，从公式（34）也可看出。

C. 力学场空间上的联络

如上所述，MFS 上的联络对于在 上定义协变导数是必要的：对于标准张量性形式需要一个 Ehresmann 联络1-形式，而对于上循环张量性形式需要一个称为上循环联络1-形式的推广 [2,27,32]。我们简要回顾这两个概念。力学场空间 上的 Ehresmann 联络 由两个性质定义：（39）。在 下的无穷小等变性为 。联络 的空间是建模在向量空间 上的仿射空间：给定 和 ，我们有 。如前所述， 通过 在标准张量性形式上诱导协变导数。 的曲率为 ，由 Cartan 结构方程给出（40），从而满足 Bianchi 恒等式 。在张量性形式上，可以证明 。给定定义性质（39），使用公式（18）和（32）可以得出联络按如下方式进行规范变换（41）。相应地，其在 下的变换为 。类似地，曲率的有限规范变换为 ，是公式（33）的特殊情况。线性地，它是 ，是公式（35）的特殊情况。上循环联络1-形式 由以下两个性质定义：（42）。因此，在 下的无穷小等变性为 。扭曲联络 的空间是建模在向量空间 上的仿射空间：给定 和 ，我们有 。上循环协变导数定义为一级线性算子 。 的曲率2-形式定义为（43）。因此它满足 Bianchi 恒等式 。在上循环张量性形式上，我们有 。由公式（42）和公式（18）、（32），扭曲联络的规范变换为（44）。参见参考文献 [32] 的证明。相应地，其在 下的变换为 。曲率的有限和无穷小一般规范变换分别由 和 给出。这些说明了公式（33）和（35）。D.

# 关联区域丛与积分

我们旨在从几何上定义积分，将其视为我们所称的"关联区域丛"上的一个运算。与主丛相关联的丛由其结构群的表示（或承载其作用的空間）构建而成。关联区域丛由$\mathcal{F}$的"定义表示"构建：即$M$的闭集（区间）$\mathcal{K}(M)$代数[38]。通常，首先定义$\mathcal{F}$在直接乘积空间$\mathrm{Sol} \times \mathcal{K}(M)$上的右作用：

(45)

关联区域丛则由乘积空间对此右作用的商来定义：

(46)

丛理论的一个标准结果是，其截面空间$\Gamma(\mathcal{K}_{\mathcal{F}})$同构于

(47)

0-形式可被理解为"$\mathcal{F}$-依赖"的$\mathcal{K}(M)$集，即以一种"$\mathcal{G}$-相对"且$\mathcal{F}$-等变的$\mathcal{F}$-协变方式定义的$M$的区域。由公式(33)–(35)，其在$\mathcal{G}$和$\mathcal{F}$下的规范变换分别为：

(48)

**积分映射。** $M$上的积分可作为等变函数运算的一个示例。关于流形上积分作为场空间上关联区域丛上的运算的详尽阐述，参见文献[2]第3.5.2节。此处我们直接切入正题。

我们考虑$\mathcal{K}(M)$的"对偶表示"$\mathcal{K}^*(M)$，即关于$\mathcal{G}$-不变积分配对与$\mathcal{K}(M)$对偶的表示：

(49)

不变性为

(50)

一个熟知的恒等式，在线性化后给出

(51)

这可被理解为$\mathcal{F}$作用的一个连续性方程。由Stokes定理，de Rham导数$d$在$M$上与边界算子$\partial$在$\mathcal{K}(M)$上关于积分配对互为对偶算子：

(52)

注意，0-形式（如$\alpha$）在零维子流形$\{x\} \subset M$上的积分即求值运算：

(53)

简单的记号不应掩盖这一事实：该运算由定义即为$\mathcal{G}$-不变的；$\alpha^{\mathcal{G}} = \alpha$。

现在考虑$M$的场依赖顶形式$\alpha$，我们定义$M$上的积分：

(54)

在不会引起混淆时，可使用简写$\int_M \alpha$表示积分$\int_M \alpha$。自然地，对$\mathcal{F}$-张量形式有$\int_M \alpha^{\mathcal{F}} = \int_M \alpha$，且对$\mathcal{G}$-张量有$\int_M \alpha^{\mathcal{G}} = \int_M \alpha$。$\mathcal{F}$和$\mathcal{G}$诱导的作用（其"等变性"和"规范变换"）为

(55)

我们可将其分别简写为$\int_M \alpha^{\mathcal{F}}$和$\int_M \alpha^{\mathcal{G}}$。请注意，在后一种情况下，用$\mathcal{F}$作用将影响变换后的区域$\mathcal{K}^{\mathcal{F}}$，这是由于$\alpha$对$\mathcal{F}$的依赖。具体而言，

(56)

此处使用了恒等式(51)得出结论。此外，虽然我们使用了$M$上成立的标准关系$d\mathcal{L}^{\mathcal{F}} = \mathcal{L}^{\mathcal{F}}d$——这意味着$\mathcal{L}$是$M$上的自然算子——但该结果表明，在$\mathcal{F}$上我们有$d\mathcal{L}^{\mathcal{F}} \neq \mathcal{L}^{\mathcal{F}}d$——即$\mathcal{L}$不是$\mathcal{F}$上的自然算子。幸运的是，其对易子为边界项，$\{d\mathcal{L}^{\mathcal{F}} - \mathcal{L}^{\mathcal{F}}d\} = \mathcal{L}^{\mathcal{F}}$的边界，因为$\mathcal{L}^{\mathcal{F}}$是$M$上的顶形式（由公式(52)）；这一事实在第IV B节讨论MFT的关系变分原理时至关重要。

通过对公式(55)线性化，$\mathcal{F}$和$\mathcal{G}$的作用分别为

(57)

我们可启发性地将其分别简写为$\delta\int_M \alpha^{\mathcal{F}}$和$\delta\int_M \alpha^{\cal G}$。

对于$\mathcal{F}$-张量形式$\alpha$，有$\alpha^{\mathcal{F}} = \alpha$，因此其积分是$\mathcal{F}$-不变的，$\int_M \alpha^{\mathcal{F}} = \int_M \alpha$。线性化后，其积分的$\mathcal{F}$-不变性意味着

(58)

这同样可解释为连续性方程。因此，当$\alpha$为张量形式时，其积分$\int_M \alpha$是区域丛$\mathcal{K}_{\mathcal{F}}$上的良定义对象。由于$\int_M \alpha$沿$\mathcal{F}$-轨道在$\mathrm{Sol}$中为常数，可定义$\mathcal{F}$-等变的$\mathbb{R}$值函数$\hat{\alpha}$于$\mathrm{Sol}$上，利用$\alpha$为

(59)

该映射输出以"$\mathcal{G}$-相对"且$\mathcal{F}$-等变方式定义的$M$的区间，即$\hat{\alpha} \in \Gamma(\mathcal{K}_{\mathcal{F}})$。由同构$\Gamma(\mathcal{K}_{\mathcal{F}}) \cong \Omega^0(\mathrm{Sol}, \mathbb{R})$，$\hat{\alpha}$等价于区域丛的一个截面，$\hat{\alpha} \in \Gamma(\mathcal{K}_{\mathcal{F}})$。$\hat{\alpha}$的$\mathcal{G}$-不变性也意味着$\hat{\alpha}^{\mathcal{G}} = \hat{\alpha}$，即

(60)

最后，证明以下恒等式：

(61)

该式在讨论MFT的变分原理时将至关重要。

---

## III. $M$上的力学场论：动力学

我们将MFT作为$M$上的一个"广义相对论式"场论来发展。我们通过最简单的非相对论情形来说明这一抽象框架。其$\mathcal{G}$-协变性表明其关系本质。

经典（即非量子）动力学由拉格朗日量$L$指定，具有等变性

(62)

我们可注意到这可以改写为（平凡的Abel）1-上闭链$\theta$的形式，可轻易验证满足(24)，即

(63)

其中$\theta$是（平凡的Abel）$\mathcal{G}$ 1-上闭链：经典$\mathcal{G}$反常。它满足公式(26)的Abel版本，重现Wess-Zumino相容性条件：$\delta\theta = 0$。如前所述，张量形式的规范变换由其等变性控制。因此，作为公式(33)–(35)的特殊情况，拉格朗日量的规范变换立即可得为

(64)

这样的变换[在$\mathcal{G}$下]在文献中被称为$\mathcal{G}$的"场依赖规范变换"，而等变性[在$\mathcal{F}$下]则被称为"场独立规范变换"。拉格朗日量$L$在区域$\mathcal{K}$上的积分为作用泛函

(65)

它自然在$\mathcal{F}$的作用下不变（作为公式(55)的特殊情况），且由于拉格朗日量$L$是张量形式，进一步也是$\mathcal{G}$-不变的，$\int_\mathcal{K} L^{\mathcal{G}} = \int_\mathcal{K} L$。这是MFT具有比最初设想大得多的协变群的首个暗示，我们将在下文中详细确认。

$\int_\mathcal{K} L$的线性不变性为

(66)

作为公式(58)的特殊情况。对$\mathcal{G}$亦然。这可视为$\mathcal{F}$和$\mathcal{G}$作用的连续性方程。由于$\int_\mathcal{K} L$沿$\mathcal{F}$-轨道在$\mathrm{Sol}$中为常数，它是关联区域丛$\mathcal{K}_{\mathcal{F}}$的良定义截面，并诱导$\mathrm{Sol}$上的$\mathcal{F}$-等变$\mathbb{R}$值函数$\hat{L}$，如公式(59)所示。

### A. MFT的变分原理及其协变群

变分原理的相关对象是在有界区域$\mathcal{K}$上（边界$\partial\mathcal{K}$为余维1，$\dim = 1$，两点边界）的$\alpha = L$，其中$\alpha \in \Omega^0(M)$。根据文献[2]第5.1.3节的一般性论述，可将变分原理写为

(67)

其中$\varepsilon$是场方程1-形式，$\theta$在gRGFT的"协变相空间"方法中被称为前辛势电流（参见附录A）。解空间为

(68)

一个基本目标是评估其在$\mathcal{F}$的结构群和规范群作用下的稳定性。为此，我们将考察公式(67)中所有相关对象的等变性和规范变换。

首先注意，虽然$\varepsilon$是张量形式，但$\theta$不是，因为$\delta$不保持张量性（如第II C节所强调）。$\theta$的等变性和垂性性质由$\varepsilon$的自然性及公式(62)导出：

(69)

因此，其规范变换通过公式(32)几何地得到：

(70)

这可通过$\delta\theta$和公式(64)交叉验证。这立即意味着

(71)

这确实是公式(61)的特殊情况。该结果表明$\mathrm{Sol}$在规范群$\mathcal{G}$的作用下稳定。我们现在通过找到$\varepsilon$的规范变换来明确建立这一点。由于不需要额外的工作，我们也给出前辛势$\theta$的规范变换。为此，我们首先写出它们的等变性和垂性性质。等变性是直接的：

(72)

为找到其垂性性质，我们首先使用公式(67)和(69)，从中得出恒等式

(73)

然后，利用文献[2]公式(318)中推导的恒等式，在gRGFT中

(74)

并注意到在MFT中$\varepsilon = \delta L$，使得$\varepsilon = \varepsilon$，我们得到

(75)

因此，场方程是张量的，$\varepsilon^{\mathcal{F}} = \varepsilon$，但前辛势不是，$\theta^{\mathcal{F}} \neq \theta$。它们各自的规范变换立即可得为

(76)

这些是gRGFT中$\varepsilon$的规范变换[文献[2]公式(319)–(324)及$\theta$的规范变换[文献[24]公式(238)]的特殊情况。

场方程1-形式$\varepsilon$在MFS$\mathcal{F}$上的张量性及其上述规范变换，意味着$\mathrm{Sol}$确实在$\mathcal{G}$的作用下稳定。更精确地说，公式(72)和(76)建立了：解空间是MFS的一个主$\mathcal{G}$子丛，

(77)

其底空间为解的模空间$\mathrm{Sol}/\mathcal{G}$[其点$\{s\}$为$\mathcal{G}$-等价类]，规范群为$\mathcal{G}$。这意味着MFT的协变群不仅仅是（结构）群$\mathcal{G}$（场独立微分同胚），而是大得多的（规范）群$\mathcal{F}$（场依赖微分同胚）。这是gRGFT的典型特征，在文献[2]中已得到完全一般性的确立。据我们所知，这一事实在广义相对论中首先由文献[39,40]注意到，后来由文献[41]进一步发展，该文考虑了度规依赖的微分同胚$\mathcal{F}(M)$，其中$M$是"时空"流形[42]。

### B. MFT的关系性：洞论证与点重合论证

gRGFT的局域对称性编码了其所描述物理的关系本质，如第I节所提醒。MFT也不例外：其$\mathcal{F}$-协变性表明物理自由度最好被表示为场$x^\mu$之间的关系。这一洞见以与广义相对论物理（特别是GR）完全相同的方式产生，通过"洞论证"提出问题、"点重合论证"解决问题的结合。完整的技术处理参见文献[2]，深入的概念分析参见文献[1]。为教学与清晰起见，让我们为MFT详细说明其逻辑。

MFT运动学的先验审视可能让人以为$\mathcal{F}$是物理时间线[43]，称之为Time，参数化场$x^\mu$（具有（内部）"空间"自由度）与时钟场$\tau$的演化。这种情况看似与牛顿在《自然哲学的数学原理》（1687年）附录中对时间的著名定义相吻合："绝对的、真实的和数学的时间，就其自身及其固有性质而言，均匀流逝，与任何外部事物无关，并以另一名称被称为持续时间：……"引自文献[44]。我们可将这段话解释为指$\mathcal{F}$。紧接着的是"[……]相对的、表观的和通常的时间，是某种可感知的、外部的（无论精确还是不精确的）持续时间的度量，通过运动来实现，通常被用作真实时间的替代；如小时、天、月、年。"那将是（抽象地）时钟场$\tau$，被理解为物理对象。

然而，基于对数学框架的朴素解读，MFT的$\mathcal{F}$-协变性——即解空间是$\mathcal{F}$-主丛$\mathrm{Sol} \to \mathrm{Sol}/\mathcal{F}$——对这种简单观点构成了挑战。

这一挑战由"洞论证"设定：场方程$\varepsilon = 0$的$\mathcal{F}$-协变性意味着，如果$\phi$是解，那么$\phi^{\mathcal{F}}$也是解，对任意$\mathcal{F}$成立。现在考虑两个解$\phi_1, \phi_2$，即$\phi_1 = \phi_2^{\mathcal{F}}$，其中$\mathcal{F}$是一个紧支微分同胚，其支集$\mathrm{supp}(\mathcal{F})$是"洞"。我们有$\phi_1 = \phi_2$在$\partial\mathcal{K}$上，但$\phi_1 \neq \phi_2$在时间区间$\mathcal{K}$上。因此$\varepsilon = 0$有未定义的Cauchy问题；即场方程不能唯一确定时间演化，因此MFT似乎是严重非确定论的。为避免这一问题，必须承认同一$\mathcal{F}$-轨道$\{\phi^{\mathcal{F}}\}$内的所有解表示同一物理态。这意味着MFT无法在物理上区分$\mathcal{F}$-相关的$\varepsilon = 0$的解，因此也无法物理上区分$\mathcal{F}$-相关的$\mathcal{F}$中的点。换言之，$\mathcal{F}$不是Time，不是物理时间线。

那么，MFT如何编码Time和确定性演化的力学自由度？

解答来自"点重合论证"，这一术语由John Stachel创造，用以指称Einstein在1915年的概念突破，由此他理解了GR中微分同胚协变的含义。在MFT中，这断言其物理内容（因此其可观测量）由"空间"场$x^\mu$与时钟场$\tau$之间的重合集合穷尽，且这些重合的描述在$\mathcal{F}$下不变。力学场$x^\mu$间逐点相互关系$\mathcal{F}$-不变性的陈述可正式写为

(78)

其中$\mathrm{Sol}/\mathcal{F}$是直接乘积空间$\mathrm{Sol} \times \mathcal{K}(M)$对等价关系$\mathcal{F}$的商，即如第II D节定义的解丛的关联丛——参见文献[2]第3.5节。注意上述在$\mathcal{F}$（即运动学地，off shell）上也成立。

真正的物理力学自由度，受确定性Time演化的约束，是$x^\mu$与$\tau$之间的偶然关系——标准地记为$\{x^\mu = \tau\}$。这反向意味着，在MFT中，物理时间的一点，一个时刻，由场$x^\mu$与$\tau$的重合来定义。Time因此被关系性地定义，编码在由公式(78)描述的场$x^\mu$与$\tau$之间全部关系（实际的on shell和潜在的off shell）中。

流形从物理图像中消失，正如它在广义相对论中所做的那样。这使得我们必须重新审视上文牛顿引语的第二部分：与"共同时间是一种通过运动来衡量的可感知的、外在的持续时间度量，常被用来代替真实时间"这一观点相反，似乎力学中的真实时间确实是"通过运动"来定义的，即通过物理力学自由度，而不需要一个与任何外在事物无关的"数学时间"抽象概念。所有需要的只是时钟，这与实际的实验做法完全一致[45]。MFT的协变性因此编码了物理力学自由度与时间的关系性共同定义。

时间问题与边界问题。MFT的这一关系性核心具有根本性，并提供了直观的把握，使我们理解更广泛的gRGFT类别的关系性物理如何能缓解甚至彻底消除文献中公认的有效"问题"。让我们重点讨论以下两个最突出的问题。

第一个是广义相对论物理中的"时间问题"（及其对量子引力的影响）：人们的担忧在于，如果时间演化被理解为流形上的时间坐标变化，而该变化本身被解释为一种特殊的微分同胚，那么可观测量不可能随时间演化，因为它们按照定义必须是不变的。这被称为广义相对论中的"冻结形式主义"或"冻结时间"问题（参见文献[46–48]）。在MFT背景下的类似问题是：将解释为物理时间并将时间演化理解为参数变化的情况下，力学中的可观测量具有平凡的动力学；它们是"无时间的"，因为它们按照定义是不变的。

我们知道这种推理在力学中显然是错误的，力学中不存在这样的"时间问题"。MFT中的正确理解如前所述，遵循点重合论证：不变力学自由度（78）是场与之间的关系，而物理时间演化不是由两者相对于的变化来定义的，而是由一个相对于另一个的变化来定义的；在这种情况下，"空间"场的变分相对于时钟场的变分，如大家非常熟悉的功能形式所表达的。换言之，物理时间演化是场的关系结构的改变，这是一个不变的量，其场方程有明确定义的柯西问题，即确定性的时间演化。

原则上，同样的解决方案适用于广义相对论物理和gRGFT——按照Kucha?在文献[47]第3节中的警告——其中关系不变物理自由度具有明确定义的物理时空演化，这种演化不是被理解为单个（数学）场在流形（该流形从物理图像中消失）上的变分，而是被理解为它们关系结构的变分。gRGFT物理的关系性理解应该能消除"时间问题"（至少是其经典、即非量子变体）。

第二个问题在概念上密切相关，即"边界问题"：文献中常见的表述是"时空边界破坏局域对称性（微分同胚和/或规范变换）"[37,49–53]。有时，例如在协变相空间文献中，这一论断后紧随这样的主张：当在有限区域上研究gRGFT时，由于这种对称性破缺，"戈德斯通模式"（又名"边缘模式"）必须在时空边界处产生。更进一步，一些人声称这些边界模式是更深入理解量子gRGFT的关键。然而，上述论断是完全错误的。

其实际含义是类似但不等价的陈述："有限区域的边界不被局域对称性保持"，这显然为真但物理上无关紧要，因为它在逻辑上等价于洞论证。点重合论证使我们认识到，物理事件（时空点）的流形不是，而是由场的自由度之间的不变关系结构所表示。因此，时空区域的边界是以不变的方式关系性定义的（参见文献[54]）。

在MFT中，这种"边界问题"的不合理性是显而易见的。它将意味着在研究MFT的区间的边界处被"破坏"，即边界时钟时间读数和——以及边界场配置和——不是不变的。然后人们会声称需要引入"边缘模式"，或由于其破缺在该处作为"戈德斯通模式"产生，并且它们可能是理解有限区域上的MFT（即有限时间间隔内的力学）及其量子化（即量子力学）的关键。

这无疑是非常清楚的：这种逻辑与我们所知的经典和量子力学的正确理解大相径庭，在后者中"时间边界"没有特别的物理后果——除了设定任意边界条件之外——并且在所考虑的时间区间的初始和最终时刻不需要额外的自由度。同样，这个"边界问题"在逻辑上等价于洞论证，因此通过点重合论证得以解决，后者使我们认识到时间，从而时间区间的边界（我们可以写成），是以不变的方式关系性定义的。

C. MFT模型：非相对论力学

为了具体化，让我们考虑MFT框架最简单的模型：（平直的）三维空间中的非相对论情形，其中使用单个时钟场。这个例子扮演了本文所开发的通用框架的基本具体实现的角色。特别是，它使我们能够明确展示参数化理论、时钟穿衣程序以及由此产生的穿衣经典作用量和路径积分（分别参见第IV B 1节和第IV C 1节），从而与参数化力学的标准去参数化和规范固定处理进行直接比较——此外，还建立了与构型时空中的标准方法的联系。目的不仅仅是恢复普通量子力学，而是从几何上表明其标准路径积分表述已经具有内在的关系性和穿衣结构。

拉格朗日量的构建需要在 上正确使用卡坦微积分以及场在目标空间 上的结构（几何），以及简单的量纲分析（物理）。让我们先从关于前者的进一步一般性开始。

在 上，场的德勒姆导数为

(79)

假设我们处于 的情况，则这是

(80)
其中 是"时钟1-形式场"。它具有一个自然对偶，即"时钟矢量场"，

(81)
注意它的形式为 ，即它是 的依赖于场的矢量场。对（79）式的作用，根据 的自然性，可轻松找到为

(82)
我们将记作 ，所以 。因此，对对偶时钟矢量场（81）的作用为

(83)
第一行与 一致，最后一行表明依赖 的矢量场具有等变性 ，因此是 的规范李代数元素。定义 的速度场和加速度场为

(84)
其中，确实，用 表示时，我们有 。根据李导数的一个众所周知的性质以及（83）式，它们在 下的变换为

(85)
由此，我们得到 和 ，正如人们会启发式地预期的那样。

拉格朗日量必须是 值顶形式 。由于 被认为是无量纲的， 必须具有作用量的量纲，即质量·长度2/时间。空间场和时钟场的量纲分别为 和 ，因此由于 再次是无量纲的， 和 。由此得出 。与点粒子相关的唯一固有物理参数是它们的质量 。因此，使用 上的标准标量积，我们可以为空间场写出动能项： 。给定一个具有能量量纲的势能泛函 ，我们可以构建一个势能项 。我们可以写出的最简单的拉格朗日量是

(86)
我们将很快看到，这精确地描述了具有势的标准非相对论粒子，接下来将在穿衣MFT框架内进行理解。从这个视角来看，通常的量子力学路径积分将作为与关系性时钟扇区相关的穿衣表达式出现，而不是来自任意规范固定方案。经典理论的穿衣过程在第IV B 1节中给出——其中我们也说明了通过DFM进行穿衣与规范固定之间的差异——其关系性路径积分量子化在第IV C 1节中提出并讨论。

根据前面的内容， 的协变性或等变性可轻松证明： ，也可写成 。注意我们无法为时钟场 写出动能项：只有借助一个具有速度量纲的物理常数，我们才可能写出一个动能项。这正是从MFT视角出发如何得到相对论力学的方法；它取决于引入我们称之为爱因斯坦常数的 ，使得 （又名"光速"）。这将在其他地方进一步阐述。

为了尽可能几何化地写出变分原理（67），即从（86）式的第一行开始，让我们写出一个有用的引理。定义时钟矢量场的变分为 。我们还有 。然后，我们发现

(87)
由此，并注意到 ——两项都给出 ——我们得到

(88)
这里我们使用了 在 上是1-形式的事实。前辛势可以重写为

(89)
其中 是与空间场 关联的正则动量，即线性动量，而 是与时钟场 关联的正则动量，即机械能， 表示 上的标量积。注意动量之间存在恒等式：

(90)
这在正则分析中通常被称为哈密顿"约束"。这与如下事实有关：在通常的方法中，机械能由标准哈密顿量 给出。

有趣地注意到，场方程可以被视为控制正则动量不守恒的连续性方程——势的梯度作为动量的源：

(91)
定义力1-形式为 ，记住3-加速度是 ，因此 ，空间场的场方程为

(92)
人们认出了牛顿方程的标准形式。时钟场的场方程表明，对于依赖 的势能（即非保守力），机械能不守恒。可以注意到， 和 的场方程在此不是独立的； 蕴含 。

我们可以对此情形显式验证性质（75）：首先，我们发现

(93)
这里我们使用了由 和（90）式得出的事实。正如我们在第III A节中所见， 性质是场方程张量性的关键，通过恒等式（73）得以体现。我们也可以直接证明，使用（91）式以及（90）式：

(94)
无论如何，场方程1-形式的张量性，即 ，不仅意味着牛顿力学解空间是一个 丛， ，而且其协变群为 ；即牛顿力学在依赖场的重参数化下是协变的。

与标准方法的联系。场的值是目标空间中一点的坐标化，在文献[27]中被称为（非相对论）构型时空并记作 ——在文献[19,25]中也被称为"扩展构型空间"或"偏可观测量空间"。在文献[27]中， 本质上还是一个 上的主丛这一事实被强调为本质事实——结构群为 ，当像我们这里所做的那样考虑仅有位置自由度、无结构的粒子时。 的纤维同构于力学标准方法中的构型空间，后者可称为 的"典型纤维"。在 的丛坐标系中，我们可以写 ，其中 且 ，即确实 或 。因此，标准的"相空间" 在每一时刻 都被视为与纤维 的竖直余切同构，因此余切 就是"扩展相空间"，如文献[18,25]中所提及的。后者通常与所谓的"参数化方法"[16]密切相关，而本文发展的MFT对其进行了推广。力学场 ，它是力学流形空间（MFS） 中的一个点，是曲线 的参数化坐标化。

但由于这样的曲线是内在的几何对象，独立于参数化，它对应于完整的轨道：因此。这意味着MFS丛的基空间恰好是构型时空中曲线（或路径）的空间：。我们可以说，后者是前者的一个很好的坐标化。曲线随后作为标准纤维中的曲线进行"投影"：因此，标准方法通常被称为"去参数化的"或"非参数化的"（见图1）。图1。构型时空中丛与标准构型空间。值得注意的是，MFT的变分原理在概念上与在或上进行变分原理是截然不同的：在后者情形中，人们是在包含运动学物理自由度的空间或上进行工作的。换句话说，在标准方法中，人们已经在模空间上工作，该模空间表示机械场之间的关系自由度。因此，临界曲线集合，即物理历史，是MFT解的丛的模空间。这一观察将促进关系量子化的概念，以及通过DFM（穿衣场方法）实现它。D. MFT的量子化作为一维经典gRGFT，MFT可以通过QFT的标准工具进行量子化，得到一个在上的玻色场的一维QFT。随后可以考察后者与标准QM的关系。可以指出，将（非相对论）量子力学视为一维QFT的思想并非全新；例如，Zee[15]明确陈述了这一点，以论证QFT的形式体系自然地扩展了标准QM：但讨论的是标准的非参数化版本，而不具有协变性。Polchinski[56]多次提到了相对论粒子的参数化版本，即MFT的相对论模型，但更多是作为弦理论的动机性例子，而非完整处理。通常，拉格朗日QFT使用路径积分量子化。对于作用量为的MFT，其路径积分为，其中是上允许定义积分的（形式）测度。将路径积分视为一个泛函，与在上的右作用兼容的最一般变换为，其中是如方程（23）和（24）所述的一个1上链。后者必须来源于测度缺乏不变性，因为作用量是-不变的，而其线性化是关于的1上链，即理论的异常：由于其定义性质（26），因为阿贝尔群，化为，并且也称为Wess-Zumino一致性条件。这意味着，一般来说，路径积分是一个共循环张量0-形式。但在MFT中，测度通常也是-不变的；路径积分具有平凡的等变性质，即它是不变的，因此是基本的。因此，它唯一地表示物理模空间上的路径积分，形式上写为。然而，按标准方式处理时，上的路径积分需要进行规范固定。如第二节A所述，规范固定是对局部分量的选择。具体而言，它由规范条件规定，该条件以场变量的代数方程和/或微分方程的形式给出，其解构成局部分量像：规范固定切片是局部分量的像[57]。因此，规范固定的路径积分等价于被被拉回到原像上的被积函数在上的积分，该区域仅包含物理自由度。注意取决于且不是不变的。这就是概念图景。实际上，可以通过BRST方法强制约束，这意味着引入鬼场，作为规范参数的Grassmann奇参数占位符，以及BRST微分算子，使得并生成双分次代数：且。显然，它编码了中关于的变换，且容易验证。结果是可以用有效作用量表示，该有效作用量与原始的在同一上同调类中，因此具有相同的可观测量（参见文献[56]第4.2节）。有趣的是，从概念上很重要的一点是，路径积分通过直接在关系物理自由度空间上定义量子化来避免了规范固定所需的技术性操作。如上所述，后者恰好是构型时空中路径的空间，确实表示机械场之间的不变关系自由度。因此，是QM的标准路径积分，表示MFT的关系自由度的量子化。由此得出我们想要传达的第一个关键信息：通常在GFT中使用的路径积分不是标准QM路径积分的对应物，无论是概念上还是技术上；前者定义在场空间上且是非关系的，后者定义在模空间上且本质上是关系的。在我们看来，这强烈表明（gR）GFT最自然的量子化方案是我们将要称为关系量子化的方案。当然，主要问题是在上找到尽可能好的表示（"坐标化"），就像MFT中已有的那样，其点是关系变量（实际上是关系历史）。事实上，一个常提出的理由是在（gR）GFT中采用规范固定，因为人们无法在模空间上工作。这正是场空间的基本（或等变的）上同调可能发挥关键作用的地方：如第二节B所观察到的，它与上的de Rham上同调同构，并且仍然允许操作上的相当具体的表达式。我们的主要关切因此是：给定上的对象（形式），如何提取其"基本分量"？或者更准确地说，如何产生其"基本对应物"？这就是穿衣场方法所回答的问题。四、穿衣场方法与关系量子化DFM是一种形式但系统的算法，用于构建场空间上的基本形式。在有利情况下，它产生的基本"穿衣"变量可以被理解为编码了"裸"场之间自由度的不变关系，因此具有自然的关系解释。它涵盖并推广了文献中的各种构造，例如边缘模式[37,49,58–60]（附录A简要解释了它们在协变相空间中的引入）、"引力穿衣"[52,61–67]、"动力学参考系"[68,69]或"嵌入场"[53,59,70,71]。迄今DFM最完整的技术和概念性表述由文献[2]提供，我们从中汲取以下简化叙述，给出构建穿衣MFT及其关系量子化所需的最低限度的内容。A. 通过穿衣构建基本形式DFM涉及一个条件命题：如果人们能够识别或从理论的运动学，即其场空间中，构建一个穿衣场，那么它就展示了如何在上构建基本形式。让我们定义在当前语境下至关重要的概念。给定一个参考一维流形，定义穿衣场的空间为。其定义性质的线性化为。穿衣映射定义为，其中是裸场的穿衣。根据定义，上的穿衣场"居住"在上，因此预计是-不变的：显式地，。我们接着定义场依赖的-穿衣场为。无穷小等变性质为。这样的依赖穿衣场因此是上的张量（等变的）0-形式，因此其和变换分别为。现在，一个依赖穿衣场诱导映射。沿-轨道的恒定性很容易证明：，意味着穿衣场确实代表裸场的一整个-轨道。因此，的像可以被看作是对（即运动学历史空间的）的"坐标化"。此外，显式地是嵌入在裸场中的物理自由度的依赖坐标化。换句话说，（运动学的）物理自由度以显式关系的方式被表示[72]。映射（101）显式地是投影的依赖实现，因此原则上允许通过构建上的基本形式。形式的对应基本形式按如下方式构建：首先考虑其在基空间上的形式泛函类似物，然后定义的穿衣为。它按构造是基本的，因此具有平凡的规范变换：其具体形式取决于、的穿衣以及基本形式基底的表达式。它可以通过拉回/前推对偶性计算得到，读者请参见文献[2]。结果为。因此，的穿衣可写为。人们可以从垂直自同构的作用与穿衣操作之间的形式相似性注意到类似表达式和，因此对于和[方程（102）–（104）]。这为DFM的"经验法则"提供了基础，用于获得上形式的穿衣：首先计算其规范变换，然后将表达式中的替换以获得。我们将系统使用此规则。然而，应该强调，尽管存在这种形式上的相似性，穿衣不是规范变换（因此也不是规范固定），因为穿衣场显然不是规范群的元素，且显然不是的垂直自同构。注意，一个上的穿衣（基本）形式可以看作上形式的形式。因此，当作用于它们时，外微分可以按方程（103）写为。这仅仅是其自然性的表现，以及它是基本形式的协变导数。一个穿衣形式是上形式的关系表示：特别是，力学变分原理涉及中的恰当形式，我们有，变分算子是被提到的"穿衣"版本。如我们在图1下方所注明的，后者与在裸场空间上进行变分原理不同，后者涉及中的恰当形式，其变分算子是"裸"的。这再次强调了本文的一个主题，即穿衣的、关系的量和运算是教科书中力学中的"标准"，因此后者与它们在场空间上的对应物是不类似的，后者是gRGFT（因此在MFT中）中通常使用的：应该更加关注这些概念和技术上的不类似之处。1. 穿衣区域与积分如上所述通过定义穿衣形式，即在上的基本形式。类似地，定义穿衣积分为在上的基本形式，即通过，其中和由方程（46）定义的与相关的区域丛。投影实现为。注意，一个穿衣区间是一个映射，因此对于：其中在上的作用由方程（45）定义——对于同理，因此。特别是，一个穿衣点也通过不变求值操作（53）书写：。在第三节B中，通过MFT的协变性以及空洞和点重合论证的结合，建立了物理时间通过机械场本身以不变关系方式定义。这种关系的物理时间概念，我们记为Time，在MFT中仅是默会的，但通过DFM被明确化：是Time的依赖不变区间的形式实现，在此区间上关系定义且-不变的场"居住"，并且可以对其进行积分[73]。特别是，很清楚的是，Time区间的（零维）边界是-不变的，因此正如第三节B中所预告的并通过DFM所显示的[54]，不存在"边界问题"。接下来，定义在空间上的穿衣操作为。然后，通过DFM的经验法则，使用方程（55），积分的穿衣为。我们还可以写为。

必须考虑到，对穿衣积分的该操作现在会影响依赖 $\tau$ 的穿衣区域 $\Gamma$：我们有方程 (56) 的类比，

(109)

这一结果源于 $\tilde{}$ 并非 $\Gamma$ 上的自然算子，意味着穿衣积分的 $\tau$ 不变性通常不会被该操作所保持。然而，该对易子产生了一个边界项，这是获得一个良好性质关系变分原理的关键事实。

现在，对于 $\tilde{}$，由积分配对的不变性性质 (50)，我们有

(110)

这意味着，正如人们预期的那样，具有张量被积函数的不变裸" $\tau$ 积分"在数值上等于其穿衣（物理）对应物"时间积分"。对于此类积分，我们有 $\tilde{}$。结合方程 (109)（对张量 $\tau$ 的特化，使得 $\tilde{}$），可得方程 (61) 的穿衣类比：

(111)

这同样是下一节 IV B 中我们要讨论的关系变分原理的关键。

### 2. 第二类剩余变换

如果穿衣场仅针对一个正规子群 $\tilde{}$ 定义，则应预期穿衣场和穿衣形式在剩余群下展示变换——穿衣积分亦同。这在 DFM 中通常被称为第一类剩余变换 [2]。例如，可取 $\tilde{}$ 为具有紧支的微分同胚子群，涉及"洞论证"。但我们在此不再进一步探讨，而是聚焦于另一种剩余变换类型。

给定定义 (97)，两个穿衣场可通过其源空间上一个光滑可逆映射的作用相关联，即存在一个的先验右作用：

(112)

该群参数化了穿衣场选择中的"歧义"：我们称之为第二类剩余变换群 [2]。若其不作用于 $\tilde{}$，记为 $\tilde{}$，则其对穿衣场的作用为

(113)

那么穿衣场的空间先验地是一个 $\tilde{}$ 丛，$\tilde{}$，其 SES 为

(114)

其中 $\tilde{}$ 是 $\tilde{}$ 的规范群，作用于穿衣形式 $\tilde{}$ 的方式为

(115)

这与规范群作用于裸形式 $\tilde{}$ 的方式完全类比 [方程 (20) 和 (38)]。

由于对所有 $\tilde{}$ 都有 $\tilde{}$ 是 $\tau$-不变的，$\tilde{}$ 轨道中 $\tilde{}$ 的所有代表都是 $\tilde{}$ 的有效坐标化。因此，先验地 $\tilde{}$ 且 $\tilde{}$。在穿衣似乎无甚增益的情况中——因为 $\tilde{}$ 替代了被消除的 $\tilde{}$——这种情形典型（但不仅限于）出现在 $\tilde{}$-独立的穿衣场 $\tilde{}$，或由公理化引入作为新自由度的特设穿衣场中（由此创建了一个不同理论）。关于此点的更多讨论，请参阅参考文献 [2] 的 5.2.5 节。在具体且有利的情况下，从理论场 $\tilde{}$ 构建 $\tilde{}$-依赖穿衣场 $\tilde{}$ 的构造过程，使得方程 (112) 所反映的任意性仅由 $\tilde{}$ 的一个离散子群参数化——例如，仅计数字段列表中候选穿衣场的有限选项——或甚至由平凡群参数化（意味着穿衣场的唯一性）。

但还有另一个重要情形，早期 DFM 表述中被忽略了，然而事实证明此处至关重要——并在 gRGFT 中更为普遍地重要（例如，当 DFM 重现广义相对论的"标量坐标化"时）：当 $\tilde{}$ 作用于 $\tilde{}$ 的情形，通常是因为集合 $\tilde{}$ 中的一个场本身即为穿衣场。此时，$\tilde{}$，且通常不能保证 $\tilde{}$。变换 (115) 仍然成立，只是 $\tilde{}$ 需要根据具体情形计算而非由方程 (113) 定义。例如，若由场 $\tilde{}$ 构建穿衣 $\tilde{}$，使得

(116)

在任何一种情况下，$\tilde{}$ 或 $\tilde{}$ 作用于穿衣积分 $\tilde{}$ 的方式为

(117)

类比于规范群 $\tilde{}$ 对裸积分 $\tilde{}$ 的作用 (55)。但在 $\tilde{}$ 情形下，穿衣对象 $\tilde{}$ 先验地不以类似裸量 $\tilde{}$ 在 $\tilde{}$ 下变换的方式在 $\tilde{}$ 下变换。这意味着第二类剩余变换可以携带原始 $\tilde{}$ 变换所不具备的物理意义。事实上，在 $\tilde{}$ 下的协变性并非自动成立，但可能对某些子群（或许平凡）成立，揭示理论的非平凡物理特征：因为它们通常编码了标架变换，要求不变性/协变性区分了一类特殊的标架。

#### B. 基本经典力学

我们现在应用 DFM 以获得基本（即显式不变且关系性的）MFT 版本。首先，自然地写出穿衣作用积分

(118)

涉及穿衣拉格朗日量 $\tilde{}$，即以穿衣场 $\tilde{}$ 表达的拉格朗日量，正如之前观察到的，它"生活在"（由 $\tilde{}$ 参数化）物理时间区间 $\tilde{}$ 上。

由于 $\tilde{}$，我们有 $\tilde{}$ 作为方程 (110) 的特例，意味着裸 ($\tau$-积分) 作用在数值上等于穿衣物理（时间积分）作用。因此人们会想变分原理保持不变，如 $\tilde{}$。但应提醒，由方程 (109) $\tilde{}$，且强调 $\tilde{}$ 不会 $\tau$-不变。要获得不变的关系变分原理，我们必须按照方程 (111) 所示修正裸原理，即

(119)

这表明裸与穿衣变分原理导致具有相同函数形式的运动方程，我们可以立即展开。由方程 (108) 以及裸变分原理 (67) 的定义，我们有

(120)

其中 $\tilde{}$ 是穿衣运动方程，$\tilde{}$ 是穿衣辛势。由 DFM 规则，利用其规范变换 (76) 找到它们用裸对应物表示的表达式，

(121)

关系运动方程 $\tilde{}$ 是 $\tau$-不变的，且显式实现了点重合论证，因此对洞论证免疫（两者均在第 III B 节中讨论），从而具有良好定解的柯西问题。因此，穿衣/关系解空间 $\tilde{}$ 是裸解丛 $\tilde{}$ 底空间 $\tilde{}$ 的坐标化，后者——如图 1 下方所述——本身与构型时空中物理动力学历史（临界曲线）空间 $\tilde{}$ 同构——后者又投射到构型空间 $\tilde{}$ 中临界曲线空间 $\tilde{}$：我们有 $\tilde{}$ 且 $\tilde{}$。

第二类剩余变换的存在与意义评估通常无法超出第 IV A 2 节已述内容。但接下来，我们将展开非相对论性 (NR) MFT 的情形，其中它们确实将与时钟变化的概念相关联，并可区分出一类"好"时钟。

##### 1. 穿衣非相对论力学

第 III C 节从裸运动学考虑开始；因此我们将从穿衣运动学开始。首先，令 $\tilde{}$ 为 $\tilde{}$ 的基 1-形式（$\tilde{}$ 先验），$\tilde{}$ 为对偶向量基，则 $\tilde{}$ 且穿衣场上的外微分为 $\tilde{}$。首先我们有

(122)

因此，类比于方程 (83)，我们有

(123)

第一行的结果确保 $\tilde{}$，第二行允许使用方程 (83) 交叉检验 $\tilde{}$ 的 $\tau$ 不变性——这首先从 $\tilde{}$ 的不变性显式得出。穿衣速度和加速度则为

(124)

由此可得 $\tilde{}$ 且 $\tilde{}$。现在考虑穿衣动力学。

给定裸拉格朗日量 (86)，穿衣拉格朗日量为

(125)

关系变分原理 (120) 给出穿衣场方程 1-形式：

(126)

其中穿衣正则动量 $\tilde{}$ 也可记为 $\tilde{}$。穿衣场方程与裸场方程 [方程 (88)–(91)] 具有函数相同形式；因此，如裸情形一样，$\tilde{}$ 蕴含 $\tilde{}$。由上述穿衣运动学及方程 (103)，可验证方程 (121) $\tilde{}$ 成立。特别地，$\tilde{}$ 给出 $\tilde{}$。由同一变分原理 (120)，找到穿衣预辛势

(127)

同样，由上述穿衣运动学和方程 (103)，可轻松验证方程 (121) 成立，即 $\tilde{}$。

所有这些都表明 DFM 规则仍然适用，但仍仅是形式上的。事实上，穿衣场 $\tilde{}$ 是由公理化引入的：它并非由现有机械场 $\tilde{}$ 构造性构建，而是作为独立自由度添加，从而将 MFS $\tilde{}$ 扩展至 $\tilde{}$。这就是如第 IV A 2 节所提及的特设穿衣场（关于讨论请参阅参考文献 [2] 的 5.2.5 节）。事实上，$\tau$-不变的穿衣拉格朗日量 (125) 类似于教科书形式，但还不完全相同。要实现穿衣形式体系物理的展开，穿衣场必须从 $\tilde{}$ 中提取。

##### 2. 作为穿衣场的时钟场

要识别或构建 $\tilde{}$-依赖穿衣场 (99)，首先要检视（裸）运动学以确认是否有候选者从现有场中脱颖而出。在 MFT 中，这样一个自然候选者正是时钟场：由于 $\tilde{}$，我们有

(128)

在此情形下，我们有 $\tilde{}$ 且 $\tilde{}$ 是时钟场 $\tilde{}$ 的读数。对应的穿衣场为

(129)

其中 $\tilde{}$，使得 $\tilde{}$ 表示构型时空（丛）$\tilde{}$ 中的一点 $\tilde{}$。因此显然，$\tau$-不变的穿衣场 $\tilde{}$ 表示一条曲线 $\tilde{}$，也是函数 $\tilde{}$ 的图，即一条曲线 $\tilde{}$。

前节的穿衣运动学相应地略有简化。首先得到

(130)

时钟向量场 (123) 简化为 $\tilde{}$。穿衣速度和加速度简化为

(131)

因此 $\tilde{}$ 且 $\tilde{}$。因此，如预期，$\tau$-不变的穿衣速度 $\tilde{}$ 是用（穿衣）时钟场 $\tilde{}$（的取值集）测量的 $\tau$-不变的穿衣空间场 $\tilde{}$ 的变化。

基本基 1-形式 (103) 则为 $\tilde{}$，注意到 $\tilde{}$，且基本形式 (104) 为

(132)

外微分作用于它们的方式为 $\tilde{}$，确实反映了 $\tilde{}$ 上的变分操作。表达式 (132) 表明我们现在处理的是 $\tilde{}$ 依赖的，即时钟时间依赖的量。穿衣积分 (108) 因此是 $\tilde{}$ 积分：$\tilde{}$，其中 $\tilde{}$ [74]。

穿衣作用 (118) 因此是标准时钟时间积分

(133)

穿衣拉格朗日量 (125)

(134)

正是 NR 力学的标准教科书拉格朗日量表述。穿衣变分原理 [方程 (119) 和 (120)]，然后涉及通过 $\tilde{}$ 变分 $\tilde{}$，给出穿衣场方程

(135)

作为方程 (126) 的约化，也可记为 $\tilde{}$。显然，$\tilde{}$ 正是牛顿第二定律的教科书形式。关系解空间因此为 $\tilde{}$，前述等距同构和投射 $\tilde{}$ 在方程 (121) 下方显式地读作 $\tilde{}$。场方程的一部分在 $\tilde{}$ 时似乎丢失，但如前所注意，幸运的是这已经是 $\tilde{}$ 的推论，且仅是 $\tau$-不变机械能不守恒的连续性方程：

(136)

因此，切换到穿衣/不变形式体系不丢失信息。同样，穿衣预辛势是标准的：

(137)

作为方程 (127) 的约化，可记为 $\tilde{}$。它"生活"或评估于不变物理零维边界 $\tilde{}$，其中 $\tilde{}$——其中裸（非物理）边界为 $\tilde{}$。这仅仅是时钟场的初末读数（为物理空间场 $\tilde{}$ 设定边界条件 $\tilde{}$）[75]。

关于穿衣与规范固定的备注

如第 III C 节所暗示，NR 力学中用 $\tau$ 表述的裸形式通常被称为"参数化"形式体系，相对于"去参数化"（或"非参数化"）标准形式体系，后者我们通过上述 $\tilde{}$ 表述获得为穿衣形式体系。几乎同样频繁地，人们说可以通过"规范固定"从前者形式体系过渡到后者；其含义是要求时钟场满足条件 $\tilde{}$，启发式地解释为将 $\tau$ 与参数 $\tilde{}$ 等同，使得 $\tilde{}$。

虽然这种选择当然是允许的，但应注意到，正如第 II A 节所强调，与任何规范固定一样，它不 $\tau$-不变：如同 $\tilde{}$ 满足 $\tilde{}$，$\tau$ 不会满足。则可以仅考虑保持规范固定条件的 $\tau$ 的子群；但由于 $\tilde{}$，该子群是平凡的，$\tilde{}$。这意味着通过施加此条件，我们"人为地破坏"了群 $\tau$。

因此，从一般原则来看，在概念上称$\delta$-协变的参数化（裸）表述可以通过"规范固定"得到$\delta$-不变的解除参数化（缀饰）表述，这是不正确的。我们还需指出，这一条件既缺乏精确的数学刻画，也缺乏精确的物理刻画——如果我们希望保持时钟场的源空间与目标空间之间的清晰概念区分的话，即便在实践中承认（非典范的）同构$\Phi$也是如此。关于物理方面，我们将在讨论"好"时钟的概念之后，于下一节重新审视。关于数学方面，这一条件中所包含的真理内核在于，若理解得当，它允许我们将时钟场识别为缀饰场。

具体而言，考虑复合场$\tilde{K} = K \circ \Phi$，其中$\Phi$是以目标空间$\mathcal{C}$（尚且未说它是缀饰场）为映射的目标空间的光滑映射。现在，施加条件$\Phi_*\Phi = \mathrm{Id}$，对$\Phi$在$\Phi$的目标空间$\mathcal{C}$上的向量场基$\{\partial_i\}$成立，这意味着$\Phi$的源空间也是$\mathcal{C}$。因此，$\Phi$不是$\mathcal{F}$的元素，$\Phi$也不是$K$的规范变换，而是$\mathcal{C}$上的一个光滑映射。该条件——显然不是规范固定——则可以写为
$$\Phi_*\Phi = \mathrm{Id}_{\mathcal{C}} \tag{138}$$
用$K$求解$\Phi$，得到$\Phi = \Phi(K)$；由此，发现$\Phi = \Phi(K)$，即$\Phi$是一个$K$-依赖的缀饰场（且显然不是$\mathcal{F}$的元素），这正是我们在第四节B2的出发点。因此，最终得到$K^{\mathrm{dr}}$和$K^{\mathrm{dr}}_\mu$是$\delta$-不变的缀饰场，由构造满足式(138)，并且是内禀不变地满足。

我们对此稍作展开，以强调缀饰与规范固定之间重要的技术和概念区别：缀饰产生的是不变表述，而规范固定则不然。这是DFM（动力学表述方法）的一个关键点。上述情形——即"规范固定条件"当以其参数（类比$g$）求解时，得到的不是场依赖的规范群元素（类比$g$），而是场依赖的缀饰场，从而使人们最终构造的是不变场而非规范固定场——在（广义规范不变场论）(gR)GFT文献中有若干回响：例如，库仑条件或洛伦兹条件以及电弱模型中的"幺正规范"[76–78]就属于此类情形，在超对称场论中也可找到类似实例[3,4]。

3. 第二类残余变换：时钟变换协变性 与"好"时钟

在第四节A2中，我们讨论了缀饰场选择中可能存在的歧义，并证明它由我们所谓的第二类残余变换群$\mathrm{SES}$所参数化：$\sigma \mapsto \sigma'$，$\sigma \in \mathrm{SES}$。我们区分了两种情形。

第一种情形假设$\Phi$是固定的，即第二类变换群通过拉回作用作用于缀饰场(113)：$\sigma \cdot K^{\mathrm{dr}} = K^{\mathrm{dr}} \circ \sigma$。若如此，则整个缀饰表述在$\mathrm{SES}$下的变换方式与裸表述在$\delta$下的变换方式完全一致。

当缀饰场是临时构造的——即作为独立自由度由手引入——这通常就会发生，由此确实可以得到$\Phi$：但在这种情况下，由缀饰获得了什么收益其实并不明确，因为看起来似乎只是用$\sigma$替换了$\delta$。如果有任何收益的话，它似乎完全依赖于某种诠释性的努力：例如，人们可以认为$K^{\mathrm{dr}}$的$\sigma$不变性意味着缀饰场是物理自由度，从而$\sigma$是某种比$\delta$（其本质是规范变换）更直接"物理"的变换群[79]，而其直接意义则与其作为物理操作的诠释联系在一起。

以此考虑第四节B1中非相对论力学的缀饰化，则缀饰拉格朗日量(125)和场方程(126)将是$\sigma$协变的。现在，尝试进行诠释：假设人们将$\sigma$视为物理时间线，$\sigma$在缀饰时钟$\tau$上的作用似乎合理地实例化了时钟的改变，然后通过$\sigma$在缀饰空间场上实施。但如此将意味着非相对论力学[式(125)和(126)]在任意时钟改变下是协变的。这一结论与我们对经典力学的一般理解不相符。

另一种回应可能是，在临时缀饰场的情形下，充其量只是用一个规范对称性$\delta$替换成了另一个规范对称性$\sigma$[80]。事实上，广义对称群(114)与广义对称群(6)同构，可以用于支持这一替代观点——如式(114)后一段所暗示的那样。但如此，我们又回到了质疑由临时方式缀饰获得了什么收益的问题。这一讨论凸显了单纯依赖形式主义的危险，以及它如何可能导致令人困惑和/或错误的物理结论[81]。

正如第四节A2末尾所预告的，第二种情形即$\Phi$不固定，意味着缀饰表述在第二类变换下的协变性并非自动成立，因此它们可能具有独特的诠释，并潜在地编码了相关的物理信息。第四节B2中缀饰非相对论力学正是如此。在那里，时钟场即为缀饰场，第二类残余变换群为$\mathrm{SES}$，且按定义作用于$\sigma$为$\sigma \cdot K^{\mathrm{dr}} = K^{\mathrm{dr}} \circ \sigma$，$\sigma \in \mathrm{SES}$，即$\sigma \cdot \tau = \tau \circ \sigma$。换言之，第二类残余变换显然是时钟变换：$\sigma \cdot \tau = \tau \circ \sigma$。我们确实处于式(116)所描述的情形：$\sigma$在裸场上的作用为$\sigma \cdot \tau = \tau \circ \sigma$，其在缀饰场$K^{\mathrm{dr}}$上的作用因此为
$$\sigma \cdot K^{\mathrm{dr}} = K^{\mathrm{dr}} \circ \sigma \tag{139}$$
定义$\tau'$为新时钟$\tau$的一个读数（从值集来看），以及$\tau = \tau' \circ \sigma^{-1}$，则我们得到$\tau = \tau' \circ \sigma^{-1}$。这表明在时钟改变$\sigma$之后，我们仍然保留了对旧时钟的追踪，从而允许对两者进行比较。关系(139)意味着缀饰拉格朗日量和场方程并不是$\sigma$协变的：
$$\sigma \cdot \mathcal{L}^{\mathrm{dr}} \neq \mathcal{L}^{\mathrm{dr}} \circ \sigma \tag{140}$$
这意味着非相对论力学在任意时钟改变下并不协变，正如我们所期望的。其在$\mathrm{SES}$的某个子群$\mathrm{SES}_\mathrm{good}$下的可能协变性将意味着$\mathrm{SES}_\mathrm{good}$定义了一类特殊的时钟：即"好"时钟。

要确认事实真相，只需找出缀饰运动学的$\sigma$变换即可。但首先，作为参考，让我们注意到由式(134)我们有
$$\mathcal{L}^{\mathrm{dr}} = T - V(\tau, x^i) \tag{141}$$
其中$\dot{\tau}$可通过与$\tau$相关联的对偶时钟向量场$\theta = d\tau$定义为$\dot{\tau} = \theta(\partial_t)$——在最后一步中等式中使用式(131)——从而$\dot{\tau} = 1$。相应地，我们定义$\dot{x}^i = \theta_i(\partial_t)$——再次使用式(131)——从而$\dot{x}^i = v^i$。现在，由式(139)我们有
$$\sigma \cdot \dot{\tau} = \dot{\tau} \circ \sigma \tag{142}$$
因此确实$\sigma \cdot \dot{\tau} = \dot{\tau} \circ \sigma$。相应地，缀饰时钟场的$\sigma$变换确实被发现为
$$\sigma \cdot \tau = \tau \circ \sigma \tag{143}$$
缀饰速度$\dot{x}^i$和缀饰加速度$\ddot{x}^i$的$\sigma$变换(131)则为
$$\sigma \cdot \dot{x}^i = \dot{x}^i \circ \sigma, \quad \sigma \cdot \ddot{x}^i = \ddot{x}^i \circ \sigma \tag{144}$$
因此，我们有$\sigma \cdot \dot{\tau} = \dot{\tau} \circ \sigma$（这也等于$\dot{\tau}$，由$\sigma \cdot \dot{\tau} = \dot{\tau} \circ \sigma$预期得出），以及$\sigma \cdot \dot{x}^i = \dot{x}^i \circ \sigma$。由此，我们得到缀饰拉格朗日量(134)的$\sigma$变换为
$$\sigma \cdot \mathcal{L}^{\mathrm{dr}} = T \circ \sigma - V(\tau \circ \sigma, x^i \circ \sigma) \tag{145}$$
比较式(145)和(141)，可以识别出缀饰表述的协变子群$\mathrm{SES}_\mathrm{good}$。

我们首先注意到，如果势能显式依赖于（时钟-）时间，则协变群退化为恒等群$\{e\}$：协变性因此将时钟场$\tau$单独选定为唯一的缀饰场。这呼应了第四节A2中的评论，即构造/识别$\tau$-依赖缀饰场的程序的结果可能是其任意性由第二类变换的一个子群参数化，而该子群是离散的或平凡的。

当势能不依赖于（时钟-）时间（即$V = V(x^i)$）时，我们注意到由式(136)力学能量$E = T + V$是守恒的，且式(141)–(145)简化为
$$\sigma \cdot \mathcal{L}^{\mathrm{dr}} = T \circ \sigma - V(x^i \circ \sigma) \tag{146}$$
注意其与裸拉格朗日量(86)表达式的（不）相似性。协变群则为
$$\mathrm{SES}_\mathrm{good} = \{\sigma : \sigma \cdot \tau = \tau \circ \sigma\} \tag{147}$$
现在，由定义关系$\sigma \cdot \tau = \tau \circ \sigma$，或$\dot{\tau} \circ \sigma = \sigma_*\dot{\tau}$，或等价地，$\sigma_*\dot{\tau}/\dot{\tau} = 1$，我们得到
$$\sigma_*\dot{\tau} = \dot{\tau}, \quad \sigma_*\ddot{\tau} = \ddot{\tau} \tag{148}$$
因此，$\dot{\tau}$以$\delta$-不变的方式编码了不同时钟的速率比，而$\ddot{\tau}$是该比率的变分。两个量都是可观测量。由此得出，由协变群$\mathrm{SES}_\mathrm{good}$定义的时钟类——即好时钟——是那些相对速率相同者：求解$\sigma_*\dot{\tau} = \dot{\tau}$得到$\dot{\tau} = c$，其中$c$为常数（平移），这转化为时钟场之间的关系：$\tau = c \cdot t + t_0$。非相对论力学（对于时间无关的势能）在这样相关的时钟交换下是协变的，即它在"时间平移"下是不变的：我们因此恢复了由伽利略（和Bargmann）群给出的时间坐标变换[82]。

场方程1-形式的$\sigma$变换为$\sigma \cdot \xi = \xi \circ \sigma$。然后，虽然在自由情形（$V=0$）下$\sigma \cdot \xi = \xi$给出$\xi = \mathrm{const}$，但由式(144)可知$\sigma \cdot \xi = \xi \circ \sigma$给出$\xi \neq \mathrm{const}$。因此，由协变群$\mathrm{SES}_\mathrm{good}$定义的时钟是那些不存在"虚假/运动学力"的时钟。这类似于对惯性系的（次级）刻画，即不存在"虚假/惯性力"的参考系：由$\mathrm{SES}_\mathrm{good}$定义的好时钟因此也可被启发性地称为惯性时钟[83]。

关于好时钟的定义

在MFT（力学形式体系）的裸表述中，我们称$\tau$为时钟场。但时钟的速率$\dot{\tau}$与其读数（其值集）同样重要，其速率的改变$\ddot{\tau}$也是如此（等等）。可以说，一个时钟（至少）是2-射影$\tau^{(2)}$。

基于第三节B中引用的牛顿的注释所表达的那种直觉——"绝对的、真实的和数学的时间，就其本身和自身性质而言，均匀地流逝[...]"（我们着重强调）——并鉴于对$\tau$代表此"绝对的、真实的和数学的时间"的先验理解，可以将好时钟定义为一个"精确走时"的时钟，即其速率稳定的时钟（在计量学意义上）：意味着好时钟$\tau$满足$\ddot{\tau} = 0$，其中$\dot{\tau}$为常数。第四节B2末尾提到的"规范固定"条件则可被诠释为选取一个好时钟：设定$\dot{\tau} = 1$可以被理解为指定了时间单位的选择，这将$\tau$（牛顿的时间）与一个好时钟$\tau$的值集$\mathbb{R}$等同起来。然后，任何其他好时钟$\tau'$都将满足$\dot{\tau}' = c$，从而它们速率的无量纲比率为$\dot{\tau}'/\dot{\tau} = c$。

在裸表述框架内这样定义好时钟的问题在于，呼应第三节B的关系论图景，$\tau$是不可观测的，那么人们从操作层面如何首先验证条件$\ddot{\tau} = 0$呢[84]？相关地，这一定义与裸MFT形式体系$\delta$协变性的要求（或与其作为重要特征的概念）相冲突，因为它使其变得平凡化：如第四节B2所讨论的，这一定义显然不是$\delta$-不变的，它只被$\{e\}$保持。

相比之下，通过缀饰形式体系的协变群$\mathrm{SES}_\mathrm{good}$(147)出现的"好时钟"定义是$\delta$-不变的，而且本质上是关系性的——与第三节B中讨论的MFT关系结构相一致，但并不相同。事实上，它不依赖于不可观测量：由式(148)，任意两个好时钟场$\tau$和$\tau'$的（不可观测的）"速率"可以是任意的，只要它们的比率为一，$\dot{\tau}'/\dot{\tau} = 1$。这与实际的（计量学）实践是一致的，在实践中，人们永远无法孤立地、单独地定义一个好而稳定的物理时钟，而总是只能作为时钟比较网络的一部分来定义，其中各时钟的速率是相对于彼此定义的。换言之，人们不必（实际上也不能）从定义一个好时钟开始，然后将定义推广到其他时钟。相反，人们必须一次性地通过协变群$\mathrm{SES}_\mathrm{good}$本身来定义整个（包括实际的和潜在的）好时钟的相对网络。一个好时钟也不能从它所参与的网络中分离出来：好时钟及其关系共同定义了彼此；关系物与关系是共延的[85]。

C. 关系量子化

我们终于处于可以充实第三节D末尾所暗示的关系量子化概念的位置了。它将首先在MFT的框架下定义，具体而言是上述讨论的非相对论MFT。这将给出为gRGFT（广义规范不变场论）的关系量子化所遵循的模板，我们将在本节结尾概述之。

1. 量子力学作为MFT的关系量子化

让我们首先考虑非反常的量子MFT情形：那些由PI（物理不变量）定义的、其基础的$\omega_1$，即$\omega_1 = \eta$或$\omega_1 = \eta + d\lambda$，$\eta \in \Omega^1(\mathcal{F})$，其中$\eta$是$\mathcal{F}$上的一个形式积分测度。由基础形式的定义，它必须诱导（或源自拉回）模空间基$\mathcal{M}$上的相应0-形式$\omega_0$，即物理自由度所在的路径空间（运动学历史）$\mathcal{M}$，即构型时空$\mathcal{Q} \times \mathcal{T}$中的路径空间。

优先处理仅涉及物理关系自由度、而不涉及"规范"自由度的问题，从先验角度来看更为优越。然而，正如我们在第三节D中所观察到的，在场论中通常并不直接在 $\mathcal{M}$ 上工作，而是通过截面 $\sigma$ 由式(96)定义的规范固定版本 $\tilde{\mathcal{M}}$ 来工作。其缺点在于，这明显地破坏了对协变性。第四节B 2中讨论的 $\dot{t}=1$ 的选择可以被解释为这样一个截面，通过 $T \equiv t$ 实现。与此相反，DFM通过"穿衣"路径积分给出了一种显式 $D$-不变的量化方案：
$$
\text{(149)}
$$
其中"穿衣"作用量积分 $\tilde{S}$ 由式(118)给出，且 $\tilde{\mathcal{M}}$ 为模空间。与 $\mathcal{Z}[\phi]$ 不同，$\tilde{\mathcal{Z}}[\tilde{\phi}]$ 的不变性并非源于其函数形式，而是因为它由不变场构建而成。正如上文所表达的，"穿衣"路径积分可以简单地视为穿衣场空间 $\tilde{\mathcal{M}}$ 上的一个泛函，其中 $\mathcal{D}\tilde{\phi}$ 是 $\tilde{\mathcal{M}}$ 上的积分测度。而且，由于后者是模空间 $\mathcal{M}$ 的一个良好坐标化，我们确实有 $\tilde{\mathcal{M}} = \mathcal{M}/G$。此外，由于对于 $t$-依赖的穿衣场 $\tilde{\phi}$，$\tilde{\phi}$ 显式为关系变量，我们可以说"穿衣"路径积分(149)定义了一个关系量化方案。

与规范约化、边界条件、测度因子以及可能的全局障碍相关的问题，自然地与MFT构型空间底层的几何结构相关联——以及与附录A中讨论的协变相空间表述相关联。在当前设定中，一旦证明"穿衣"路径积分能够重现标准量子力学的路径积分，这些方面就相应地归结为普通QM中的标准对应物。从这一视角来看，穿衣程序并未在量化中引入额外结构，而是为底层冗余及其约化提供了一种几何组织，并伴有一个自动的反常消去机制，下文将对此进行讨论。

这一分析还阐明了为什么DFM在扩展到MFT设置之外的gRGFT场空间构造时变得尤为强大，在那里规范、关系和反常结构的几何组织对于构建不变的关系路径积分量化是必需的。在这样的语境中，来自反常的物理上有意义的信息并未丢失，而是通过穿衣场本身的变换重新出现，编码物理参考系的改变（参见第四节C 3）。

考虑拉格朗日量为 $L$ 的NR MFT，那么NR量子MFT由"裸"路径积分 $\mathcal{Z}[\phi]$ 给出，如上所述。容易看出，条件 $\dot{t}=1$（视为规范固定）导致 $\mathcal{Z}_{\text{bare}} = \int_{\mathcal{C}} \mathcal{D}\phi \, e^{iS[\phi]}$，这与NR QM的标准Feynman-Dirac路径积分极为相似。然而，它不可能真正相同，因为它并非定义在 $t$-不变自由度（路径）空间 $\mathcal{M}$ 上。我们主张后者实际上是通过DFM重现的。确实，NR MFT的"穿衣"路径积分由式(149)给出，其中"穿衣"拉格朗日量(125)为 $\tilde{L} = L - \dot{t} \cdot \text{const}$。然而，如我们所见，这一形式化结果需要通过构造一个显式的 $t$-依赖穿衣场来充实[86]。这在第四节B 2中已完成，通过将钟字段识别为穿衣场(128)，通过条件(138)实现，即 $\dot{t}=1$。

然后得到最终结果，即NR MFT的 $t$-不变关系量化为
$$
\text{(150)}
$$
其中"穿衣"拉格朗日量(134)为 $\tilde{L} = \frac{1}{2}m\dot{x}^2 - V(x)$：这正是教科书中的NR QM路径积分。正如人们所预期的，经典NR力学的关系结构被继承到了量子理论中。

当然，"穿衣"路径积分(150)在第二类变换 $\mathcal{G}$（即任意钟变换）下不是不变的，因为正如我们在第四节B 3中所见，"穿衣"作用量 $\tilde{S}$ 不是。然而，后者的协变群 $\mathcal{G}$ 定义了良好钟的关系网络。值得注意的是，形式测度 $\mathcal{D}\tilde{x}$ 的 $\mathcal{G}$ 变换是否吻合，或是否给出额外信息：我们得到
$$
\text{(151)}
$$
因此，$\tilde{\mathcal{Z}}$ 和 $\mathcal{D}\tilde{x}$ 具有相同的协变群 $\mathcal{G}$。可以将式(151)中的指数项称为第二类变换反常，不应与规范反常混淆，后者通过DFM被自动消去。

2. 通过穿衣自动消去反常

正如在第三节D中观察到的，裸场空间 $\mathcal{M}$ 上的路径积分 $\mathcal{Z}[\phi]$ 通常是一个余循环张量0-形式 $\mathcal{Z}[\phi]$，其 $D$-等变性由式(95)给出：$\mathcal{Z}[g \cdot \phi] = e^{i\alpha(g,\phi)} \mathcal{Z}[\phi]$。如果是这样，路径积分就是有反常的，满足式(23)的1-循环 $\alpha$ 是积分的 $D$ 反常，可能源于 $\mathcal{M}$ 上积分测度的非不变性：$D$ 反常为 $\alpha$，其中 $\alpha = \alpha_1 - \alpha_2$，且满足 $D$ 的1-循环性质(26)的阿贝尔版本[87]。

假设该1-循环可以形式化为 $\alpha \to \alpha + d\beta$，那么对于 $t$-依赖的穿衣场 $\tilde{\phi}$，我们引入记号 $\tilde{\alpha} \equiv \alpha + \beta$，即 $\tilde{\alpha}$。由定义的1-循环性质(23)和穿衣场的定义性质，我们有
$$
\text{(152)}
$$
即，$\tilde{\phi}$ 是一个余循环穿衣场。其等变性的线性版本为 $\delta \tilde{\phi} = \tilde{\phi} - \phi$。对于有反常的理论，"穿衣"路径积分(149)为
$$
\text{(153)}
$$
再次说明了DFM的经验法则。它按构造是 $D$-不变的，即 $\mathcal{Z}[\tilde{\phi}] = \mathcal{Z}[\tilde{\phi}']$，或者 $\tilde{\mathcal{Z}}$，可以轻松验证。这意味着在"穿衣"路径积分中，反常通过余循环穿衣场 $\tilde{\phi}$ 被自动消去。这包含了所谓的WZ反项构造作为特殊情况，后者通常被手动引入以消去反常。下一节将对此进行更多讨论。

我们可以观察到，由于 $\tilde{\phi}$ 的存在，变分 $\delta \tilde{\phi}$ 在几何上是良好定义的，而 $\delta \phi$ 则不然；如第二节B所述，$\delta$ 是基本形式的协变导数，而非张量形式的。相关地，注意式(152)连同其线性化意味着 $\tilde{\phi}$ 是由式(42)定义的 $\mathcal{M}$ 上的平坦余循环连接。那么，有反常的路径积分的余循环协变导数是扭曲张量1-形式 $\mathcal{A}$。容易看出 $\mathcal{A} \neq 0$。这表明了 $\mathcal{A}$ 与WZ反项之间的联系。

设定义有反常的有效量子泛函 $\mathcal{W}[\phi]$ 以及 $\tilde{\mathcal{W}}[\phi]$，使得 $\mathcal{W}[\phi] = S[\phi] + i\mathcal{A}[\phi]$，或 $\tilde{\mathcal{W}} = S + i\alpha$。假设我们可以类似地定义 $\tilde{\phi}$，由式(152)它成为一个阿贝尔余循环穿衣场：即 $\tilde{\phi} = \phi + \beta$ 或 $\delta \tilde{\phi} = \beta$。那么，$\delta \tilde{\mathcal{W}} = 0$，且由于 $\tilde{\mathcal{W}}$ 和 $\mathcal{W}$ 具有相同的（扭曲）等变性，我们有 $\tilde{\mathcal{W}} = \mathcal{W} + \alpha$。这是WZ构造的一个版本（的DFM推广）：$\alpha$ 消去了 $\mathcal{W}$ 的反常。显然，水平条件 $\delta \alpha = 0$ 等价于"穿衣"（或WZ"改进"）有效量子泛函的 $D$ 不变性，$\delta \tilde{\mathcal{W}} = 0$。再次地，$\delta \tilde{\phi}$ 在几何上是良好定义的，而 $\delta \phi$ 则不然。

3. 广义相对论性规范场理论的关系量化

我们的前提是展示（NR）MFT是更广泛的gRGFT框架的一个特殊情况。在后者中，场空间 $\mathcal{M}$ 通常由场 $\Phi$ 组成，包含Ehresmann连接 $\Gamma$（杨-米尔斯型规范势）、Cartan连接（引力势）由自旋型连接 $\omega$ 和焊接（或vielbein）1-形式 $\vartheta$ 组成、旋量场 $\psi$（物质）、标量场 $\phi$ 等。作为主丛，$\mathcal{M}$ 的结构群，即gRGFT的协变群，是 $\mathcal{G} = \mathcal{G}_{\text{int}} \ltimes \text{Diff}(M)$，其中 $\mathcal{G}_{\text{int}}$ 是内部规范群（例如 $SU(3)$ 或 $SU(4)$），$\text{Diff}(M)$ 是代表时空的流形 $M$ 的微分同胚群[88]。结构群在 $\mathcal{M}$ 上的右作用为 $g \cdot \Phi = \Phi^g$，其中 $g$ 且此处 $\mathcal{G}$ 一般表示 $\mathcal{G}$ 的规范变换。该作用诱导场空间 $\mathcal{M}$ 的纤维化，其中底空间 $\mathcal{M}/\mathcal{G}$ 是包含不变物理自由度的模空间。gRGFT场空间 $\mathcal{M}$ 的丛几何在文献[2, 89]中被详细研究——产生第二节和第三节A中描述的MFT特化——并推导了拉格朗日量、作用量、变分原理和场方程在规范群 $\mathcal{G}$（又称场依赖规范变换）下的变换的一般结果[90]。

现在，(gR)GFT的标准路径积分量化定义在 $\mathcal{M}$ 上[91]：人们写出 $\mathcal{Z} = \int_{\mathcal{M}} \mathcal{D}\Phi \, e^{iS[\Phi]}$，其中 $\mathcal{D}\Phi$ 是 $\mathcal{M}$ 上的形式测度。由此导出有效量子泛函 $\mathcal{W}[\Phi]$。这是教科书方法，我们在第三节D中遵循此方法讨论了MFT的量化。众所周知，它被规范固定所补充，例如通过BRST形式主义。虽然上述 $\mathcal{Z}$ 通常被认为是（NR）QM标准路径积分的直接类比，但应该清楚的是，它实际上并非如此：后者[式(150)]是定义关系量化案例的"穿衣"路径积分。概念和技术图景总结在表II中。

表II. 裸路径积分与穿衣路径积分的量化。

| | NR MFT | gRGFT |
|---|---|---|
| 场空间上的量化 | ?（参数化路径积分） | ?[(gR)GFT的标准路径积分] |
| 模空间上的关系量化 | ?（QM的标准路径积分） | ? |

显然，GFT的标准路径积分是MFT"裸"路径积分的类比。要完成该表并找到gRGFT的标准（NR）路径积分的真正类比，必须为后者定义关系量化。

为此，应从经典gRGFT通过DFM的关系表述开始，详见文献[2]：这预设我们已找到（构造）了协变群 $\mathcal{G}$ 的穿衣场 $\tilde{\Phi}$，其中 $\tilde{\phi}_{\text{int}}$ 是内部规范群 $\mathcal{G}_{\text{int}}$ 的穿衣场，且我们已定义不变穿衣场 $\tilde{\Phi}$，鉴于 $\tilde{\Phi}$ 的 $\mathcal{G}$ 依赖性，显式为关系变量。这些提供了模空间 $\mathcal{M}/\mathcal{G}$（或其可能仅一个区域）的关系坐标化，因为 $\tilde{\Phi}$ 映射到 $\mathcal{G}$-类 $\tilde{\Phi}$。"穿衣"经典作用量则为 $\tilde{S} = \int_{\tilde{\mathcal{M}}} \mathcal{L}[\tilde{\Phi}]$，其中 $\tilde{\mathcal{M}}$ 是 $\mathcal{G}$-不变、$\mathcal{G}$-依赖的物理时空区域[92]。因此，通过"穿衣"路径积分定义gRGFT的关系量化：
$$
\text{(154)}
$$
其中 $\mathcal{D}\tilde{\Phi}$ 是不变穿衣场空间 $\tilde{\mathcal{M}}$ 上的形式测度。显然，式(149)现在被视为式(154)的一个特殊情况（在1D MFT中，且无规范群 $\mathcal{G}_{\text{int}}$）。我们可观察到，该路径积分绕过了规范固定的概念，不需要它。特别是，BRST规范固定不仅多余，而且无法实施，因为穿衣场 $\tilde{\Phi}$ 的BRST变换（模仿 $\mathcal{G}$ 变换）是平凡的[93]。

定义(154)适用于有反常和无反常的理论。在前者情况下，按定义，路径积分在 $\mathcal{G}$ 下变换为 $\mathcal{Z}[g \cdot \tilde{\Phi}] = e^{i\alpha(g,\tilde{\Phi})} \mathcal{Z}[\tilde{\Phi}]$，其中 $\alpha$，是（结构）群 $\mathcal{G}$ 的1-循环，即泛函满足
$$
\text{(155)}
$$
其中左侧"$\ltimes$"代表 $\mathcal{G}$ 的半直积，由 $\mathcal{G} = \mathcal{G}_{\text{int}} \ltimes \text{Diff}$ 给出。该1-循环编码了积分的联合微分同胚和规范反常 $\alpha$，其中 $\alpha = \alpha_{\text{diff}} + \alpha_{\text{gauge}}$，由线性化获得。如通常所见的，产生1-循环 $\alpha$ 的非平凡等变性来自测度 $\mathcal{D}\tilde{\Phi}$ 的非不变性。这暗示了规范群 $\mathcal{G}$ 元素的规范变换 $\mathcal{D}\tilde{\Phi} \to e^{i\beta(g)} \mathcal{D}\tilde{\Phi}$，其中我们定义了记号 $\mathcal{D}\tilde{\Phi}^g = e^{i\beta} \mathcal{D}\tilde{\Phi}$。对于这样的有反常理论，我们有式(154)为
$$
\text{(156)}
$$
根据DFM的经验法则，其中 $\tilde{\Phi}$ 被证明满足 $\tilde{\alpha}$ 利用穿衣场的定义性质 $\tilde{\phi} = \phi + \beta$ 和式(155)（参见文献[2]中式(349)-(351)的证明）；因此它是一个余循环穿衣场，规范变换为
$$
\text{(157)}
$$
其等变性的线性化为 $\delta \tilde{\Phi} = \beta$。显然，余循环穿衣补偿了有反常路径积分的变换，使得式(156)保持完全不变：即，关系量化的"穿衣"路径积分具有内建的自动反常消去机制。

对此的"线性"版本适用于有效量子泛函 $\mathcal{W}$，类似地定义 $\tilde{\mathcal{W}}$，使得 $\tilde{\mathcal{W}} = \mathcal{W} + \alpha$，或无穷小地 $\delta \tilde{\mathcal{W}} = 0$[94]。写出 $\mathcal{W} = \tilde{\mathcal{W}} + \alpha$，由式(156)（或由DFM经验法则），
$$
\text{(158)}
$$
其中 $\tilde{\alpha} = 0$ 或 $\beta = 0$；即，"线性"余循环穿衣场 $\beta$ 补偿了 $\mathcal{W}$ 的有反常变换。

上述包含了WZ反项构造作为特殊情况，后者被恢复为余循环穿衣场，其中 $\beta$ 是人为、手动引入理论中的，而非从其场内容 $\Phi$ 构造的（参见例如文献[95]的第12.3节、文献[96]的第15章、或文献[97]第4章末尾）。

现在，如果在MFT语境下如第四节A 2所述的第二类变换（参数化穿衣场选择的不确定性）存在，它们可能有自己的反常，从而产生我们可以启发式地称为"反常跷跷板机制"的东西。

反常的跷跷板机制

正如在文献[2]的第5.3.2节中详述的，在gRGFT的DFM语境中，第二类变换可能如下产生：另一个穿衣场必须满足 $\tilde{\phi}'$，对于 $g \in \mathcal{G}$，其中 $\tilde{\phi}'$ 是 $\mathcal{G}$-穿衣场 $\tilde{\phi}$ 的源空间，且 $\tilde{\phi}$（穿衣场 $\tilde{\phi}$ 的目标空间）支持由 $\mathcal{G}$ 的右作用。

这可以重写为 (159)，其中，第二个等式通过半直积结构 [98] 定义了 在 -服饰场空间上的右作用。现在，需要区分两种情况。第一种，(A)，是第二类变换不影响裸场，。那么，服饰场 按照 变换，其中 具有与裸场 的变换 相同的函数表达式。类似地，余循环服饰按照 (160) 变换，再次利用余循环 的定义性质 (155)。相应地，线性余循环 按照 变换。无穷小地，这得到 ，对 ，这是第二类变换的反常。因此，项 是其"积分"或整体版本。由此可得，服饰 PI (156) 和有效泛函 (158) 按照 (161) 变换。无穷小地，这特别给出 ，即服饰有效泛函的反常Ward恒等式。注意，第二类变换的反常与 的初始反常有相同的函数表达式，服饰场取代裸场，参数 取代规范参数 。第二种情况，(B)，是第二类变换确实影响裸场，。那么，服饰场，的变换必须逐个情况计算；先验上无法给出捷径来找到服饰 PI 和/或有效泛函的 变换。一般而言，应该找到 (162)，其中，或，是群 的1-余循环，区别于，或。无穷小地，我们特别得到；即，第二类变换的反常有先验上区别于初始反常的函数表达式。第四节B3中的时钟变化变换，其反常在MFT的关系量化中由等式 (151) 给出，可以看作情况(B)的一个例子。情况(A)的一个著名例子正是通过Bardeen-Zumino项实现的，在耦合引力场的轴手费米子理论中Lorentz反常与Einstein反常之间的移位；取值于的Cartan联络，其中 是自旋联络，是缝合形式。有效泛函是 ，费米子被积分掉，且 取无挠（参见例如参考文献 [97] 第12章和参考文献 [96] 第15章）。上述框架确实可以专门化为Lorentz规范群和局域坐标变化群[或]。依赖的（即，非专断的）服饰场是四脚场，，确实满足服饰场的定义性质（对），同时也受到第二类变换的影响，其中 是坐标变化（或微分同胚）的雅可比行列式。理论的裸场，作为形式，都是-不变的；，表明我们确实处于情况(A) [99]。因此，裸引力场 被服饰为 ，产生-不变场，，但支持由 引起的第二类变换；。我们可以补充，，其中 是闵氏度规，" " 是矩阵转置，按照 变换，被服饰为 ，其中 是 上的度规。如果——即，如果Cartan联络是正常的[100–104]——那么。当然，费米子不能通过 来服饰，因为""，由于 没有（有限维）旋量表示[105]，但它们被积分掉，因此在有效泛函变换的分析中只有引力场有贡献。反常是 ，其中，显式计算表明它与有效能量-动量张量的反对称部分有关。积分版本是。专门化等式 (158)，我们有服饰有效泛函 (163)，其中线性余循环服饰是Bardeen-Zumino项，根据等式 (157) 和 (160)（的线性和无穷小版本）满足 (164)，其中 是无穷小坐标变化（或微分同胚）的雅可比行列式；我们可以记作（其本身在参考文献 [97] 第12章中记作，或在参考文献 [96] 第15章中记作）。上述第一个关系表明 抵消了裸有效泛函 的Lorentz反常，而第二个关系暗示，根据等式 (162)（线性的、无穷小版本），服饰有效泛函的第二类变换是 ，这正好是Einstein反常；显式计算表明它与有效EM张量的非守恒有关，。我们看到反常跷跷板机制在起作用[106]。将等式 (163) 和 (164) 与参考文献 [97] 中的等式 (12.469)、(12.470)、(12.473)–(12.475) 进行比较，并与参考文献 [96] 中的等式 (15.49)–(15.64) 进行比较。让我们观察到，DFM向高规范理论的扩展在反常抵消和跷跷板机制方面具有相同的逻辑；我们将在即将发表的工作中详细说明[107]。我们还想提到，我们最近在参考文献 [108] 中提出了完整gRGFT设定中不变路径积分量化的正式发展，以及相应的自动反常抵消机制和反常跷跷板机制，感兴趣的读者可以参考该文献获取更多细节。这些结果为基于此处倡导的DFM的一般框架提供了进一步的支持。我们以对进一步发展和应用的前景展望结束本工作。V. 结论沿着参考文献 [2] 中发展的计划，我们通过分析（NR）力学的情形，论证了通过DFM实现的关系量化概念：将其框定为1D gRGFT，即MFT，从而推广了所谓的"参数化"方法，我们证明了当时钟场承担服饰场角色时，其服饰的、关系性的重构得出了众所周知的公式。因此，标准QM是MFT的服饰的、关系量化的一个案例。在以上关于gRGFT关系量化的一般性概述之后，在后续工作中，我们将通过应用于各种模型对其进行压力测试。作为一个最简单的案例，我们将首先执行标量电动力学的关系量化，然后是Abelian Higgs模型的关系量化。这将是通向电弱(EW)模型关系量化的垫脚石，这将与（或许包含）一种密切相关的已知方法——Fr?hlich-Morchio-Strocchi (FMS) 机制 [109–112]——产生联系：DFM和FMS方法都绕过了自发对称性破缺的概念[77,78]。这促使我们分析关系量化与重整化之间相互作用的问题（例如，参考文献 [113] 针对EW模型），这将是另一项贡献。关系量子引力。后者是发展RQG的主要目标的关键输入，首先是现象学上的。事实上，PI (154) 至少可以应用于有效广义相对论理论，特别是引力与作为尘埃流体建模的物质耦合的模型。在那里，我们将特别与GR"标量坐标化"的文献产生联系，例如参考文献 [47,114–119]——我们已在参考文献 [2,54] 中证明这是DFM的一个特例（并在其中推导出"关系Einstein方程"，应用于参考文献 [120] 中的星系旋转曲线）——以及与QG的FMS方法[121]产生联系。物质作为尘埃的模型特别适用于宇宙学，因此我们将着手关系量子宇宙学：这将是这里发展的关系MFT的一个案例，关系小超空间是服饰MFS 的一个案例。以更具基本性的面貌，包括费米子物质——因此通过Cartan几何方法处理[104]——的RQG将是下一步研究的对象。