通过转移矩阵法求解具有Brascamp-Kunz边界条件的Ising模型

《APS Open ScienceNEW》：Solution of the Ising model with Brascamp-Kunz boundary conditions by the transfer matrix method

　　

# 平方晶格Ising模型在Brascamp-Kunz边界条件下的精确解

在Brascamp-Kunz边界条件下的平方晶格Ising模型是一个著名的可精确求解的格点模型。该系统的精确解是在Pfaffian类型方法的框架内推导出来的。在本文中，我们提供了利用Schultz-Mattis-Lieb方法在传递矩阵形式下对解的推导。我们在边界上设置特殊的相互作用并对这些相互作用取某些极限，从而使Brascamp-Kunz边界条件下的系统转变为圆环边界条件下的另一系统。Schultz-Mattis-Lieb方法应用于映射系统，配分函数在费米子表示中被精确求解。Fisher零点被解析地计算出来，物理临界点被识别。我们还讨论了传递矩阵方法在Brascamp-Kunz边界条件和圆环边界条件下的差异。我们的工作为Ising模型在各种边界条件下的传递矩阵研究家族引入了一位新成员。

## I. 引言

Ising模型是统计格点模型领域中最基本的系统之一。它由Lenz和Ising在20世纪20年代首次引入[1–3]，拥有超过一百年的历史。在早期研究中，一维Ising模型的配分函数被精确求解[1]，并且提出了高维的理论近似[4–6]。二维中第一个精确解是Onsager对无磁场平方晶格的解[7]。此后，某些其他二维格点上的无场模型已被精确求解，包括蜂窝[8,9]、三角[10]、Kagomé[11,12]和棋盘格[13]。除了实值场，Lee和Yang首先发现了复数场中平方晶格Ising模型的精确解[14]，这是他们在Lee-Yang零点方面的工作。无场和复数场情形对应于复平面中单位圆与实轴的两个交点，其中表示场。复数场情形是独特的，因为非零场中Ising模型的解通常是一个未解决的问题。对于上述提到的其他二维格点上的模型，复数场情形也已被求解[15–19]。

在本文中，我们关注零场中的平方晶格Ising模型。Onsager通过传递矩阵方法推导了该模型在热力学极限下的精确解[7]。这一成就是格点系统统计物理研究中的一个里程碑，特别是可精确求解的模型[20,21]。Kaufman利用旋量表示理论简化了Onsager的方法，给出了圆环边界条件下的有限晶格配分函数[22]。在传递矩阵方法的框架内，除了Kaufman的方法之外，还有各种重要的简化[23–26]。在Kaufman的解提出之后，一种相当不同的方法，即所谓的组合公式，被提出并发展[27–34]。组合公式的一个重要变体是Pfaffian或Pfaffian类型方法[35–39]，它在求解统计格点模型中显示出显著的有效性[40]。还有一些解既不是来自传递矩阵方法，也不是来自组合形式体系，例如来自反对易变量积分[41]和Grassmann积分[42]。在所有解的推导中，Schultz-Mattis-Lieb方法[24]利用传递矩阵的费米子表示，对我们而言尤为引人注目，因为它大大简化并澄清了Onsager最初的代数推导。

本文旨在利用SML方法推导Brascamp-Kunz边界条件下有限平方晶格Ising模型的配分函数[43]。Brascamp-Kunz边界条件的引入是Ising模型Fisher零点研究中的一个突破[44]。Kaufman[22]首先表明，圆环边界条件下的有限晶格配分函数由四个乘积项之和组成，这使得Fisher零点的解析计算难以处理。而在Brascamp-Kunz边界条件下，有限晶格配分函数可以表示为双重乘积形式，从而Fisher零点可以被显式求解，并且发现它们精确地位于良定义的轨迹上。Brascamp-Kunz边界条件的使用使得可以严格确定热力学极限下的Fisher轨迹和Fisher零点的密度分布函数[45]。自从Brascamp-Kunz边界条件被引入以来，这些边界条件下配分函数的性质及其推导方法引起了极大的关注。在各向同性相互作用的情况下，该模型的配分函数首先通过其已被精确求解的对偶系统获得[43,46]。各向异性相互作用情况下的解也已被提出[47–49]。本文作者近期的一项工作利用映射到自由费米子模型的特殊边界条件重新发现了各向同性相互作用的结果[50]。现有的Brascamp-Kunz边界条件下配分函数的推导是在Pfaffian类型方法的框架内进行的。然而，我们未发现基于传递矩阵的推导。在本工作中，我们利用SML方法提供了这样的推导，为该领域做出贡献。除了与圆环边界条件相关的传递矩阵方法[22,24–26]之外，在各种替代边界条件下也有基于传递矩阵的研究[47,51–54]。我们的工作将为这个家族引入一位新成员。

本文的其余部分组织如下。在第二节中，介绍了Brascamp-Kunz边界条件下的平方晶格Ising模型。在第三节中，我们详细给出了利用SML方法的推导，并给出了有限晶格的配分函数。为了处理Brascamp-Kunz边界条件和圆环边界条件之间的差异，我们采用了在边界上对相互作用取某些极限的技术。第三节包含三个小节。在第三节A中，我们用Pauli表示表达传递矩阵。然后，在第三节B中，我们利用Jordan-Wigner变换引入费米子表示，并取一个线性正则变换来构建传递矩阵的直积分解。在第三节C中，基于直积形式精确求解了配分函数。第四节给出了讨论和总结。

## II. 模型

我们研究的系统是$m$行$n$列的平方晶格上的Ising模型，具有最近邻相互作用且无磁场。模型的每个自旋$s_i$可以取两个值$\pm 1$。哈密顿量为

$$\mathcal{H} = -\sum_{\langle i,j \rangle} (K_x \sigma_i \sigma_j + K_y \sigma_i \sigma_j) \quad (1)$$

其中$K_x$和$K_y$分别表示水平和垂直方向的最近邻相互作用常数。系统设置在Brascamp-Kunz边界条件下[43]，这是1974年首次提出的。在Brascamp-Kunz边界条件下，有限晶格的配分函数可以表示为双重乘积形式，Fisher零点可以被显式求解。Brascamp-Kunz边界条件的这一优美性质在Ising模型研究中具有重大意义。Brascamp-Kunz边界条件可以描述如下：在$x$方向为周期边界条件，上边界（第0行）固定为"$+$"自旋，下边界（第$m$行）为交替的"$+$"和"$-$"自旋。即系统被排列在一个具有固定上下边界的圆柱面上。图1展示了$5\times 5$晶格上的一个例子。

**图1.** $5\times 5$晶格上Brascamp-Kunz边界条件下的Ising模型。标注了水平和垂直方向。公式(1)中的水平和垂直方向的相互作用常数，即$K_x$和$K_y$，已标出。

系统的配分函数定义为所有可能自旋构型上Boltzmann因子的总和：

$$Z = \sum_{\{\sigma\}} e^{-\beta \mathcal{H}} \quad (2)$$

其中$\beta = 1/k_BT$。我们的目标是在Brascamp-Kunz边界条件下寻找配分函数的数学精确解，使用一种不同于以往研究的方法。如第一节所述，现有的推导是在Pfaffian类型方法的框架内进行的。由于众所周知，二维Ising模型的第一个精确解是使用传递矩阵方法找到的，因此在传递矩阵形式下重新推导Brascamp-Kunz边界条件下的结果具有数学意义。此外，我们相信传递矩阵方法可以通过引入费米子表示，从物理角度提供新的见解。因此，我们采用了极其简化的SML方法，该方法建立了二维经典Ising模型到一维费米子系统的映射。在第三节中，我们给出了详细的推导。

## III. 推导与结果

圆环边界条件下的Ising模型是最常研究的情况。使用逐行传递矩阵的SML方法最初应用于圆环边界条件的情况[24]。为了利用SML方法推导Brascamp-Kunz边界条件下的解，我们使用了一种在上下边界上对相互作用取某些极限的技术。考虑$m \times n$晶格上圆环边界条件下的一个系统，除了第0行和第$m$行之外的相互作用常数与公式(1)中给出的相同。将第0行的相互作用常数设为$K_x'$，第$m$行的设为$K_x''$，如图2所示。注意第0行和第$m$行中的自旋现在不再固定。用$Z'$表示该系统的配分函数。我们要表明，Brascamp-Kunz边界条件下的配分函数可以通过取极限$K_x' \to \infty, K_x'' \to \infty$来实现。详细分析如下。

**图2.** 新的圆环边界条件下的系统，标出了相互作用。标注了水平和垂直方向。水平和垂直方向的相互作用常数在公式(1)中给出，除了第0行和第$m$行的水平相互作用分别为$K_x'$和$K_x''$。

考虑第0行和第$m$行中自旋排列在$K_x' \to \infty, K_x'' \to \infty$极限下的情况。注意到

$$e^{\beta K_x' \sigma_i \sigma_{i+1}} \to \begin{cases} 1, & \sigma_i \sigma_{i+1} = +1 \\ 0, & \sigma_i \sigma_{i+1} = -1 \end{cases}$$

我们可以验证，在第0行中只有两种自旋构型——"$++\cdots+$"和"$--\cdots-$"——能够对该极限下的配分函数做出非零贡献。类似地，在第$m$行中只有两种选择——"$+-+\cdots+$"和"$-+{-}\cdots-$"。因此，我们在$K_x' \to \infty, K_x'' \to \infty$极限下得到四组存活的边界条件：

(i) 第0行：$+$；第$m$行：$+-$（Brascamp-Kunz边界条件）。

(ii) 第0行：$+$；第$m$行：$-+$。

(iii) 第0行：$-$；第$m$行：$+$。

(iv) 第0行：$-$；第$m$行：$-+$。

现在我们可以看到，这四组边界条件下的配分函数之和为

$$Z' \to Z_{BK}^{++} + Z_{BK}^{+-} + Z_{BK}^{-+} + Z_{BK}^{--} \quad (3)$$

我们证明这四组边界条件下的配分函数是相同的。首先，通过注意$x$方向存在周期边界条件，可以直接验证$Z_{BK}^{++} = Z_{BK}^{--}$和$Z_{BK}^{+-} = Z_{BK}^{-+}$。其次，由于哈密顿量在所有自旋反转时守恒，我们有$Z_{BK}^{++} = Z_{BK}^{--}$和$Z_{BK}^{+-} = Z_{BK}^{-+}$。现在我们可以看到，Brascamp-Kunz边界条件下的配分函数被转化为圆环边界条件下配分函数的四分之一，即

$$Z_{BK} = \frac{1}{4} \lim_{K_x', K_x'' \to \infty} Z' \quad (4)$$

用传递矩阵形式表达$Z'$是自然的，然后可以应用SML方法。

### A. 传递矩阵

逐行传递矩阵已被定义和研究了很长时间。Ising问题可以方便地使用传递矩阵的语言来表述。为此，我们应该首先使用晶格上的一行作为传递单元来计算配分函数。用$\sigma_j$表示第$j$行中的自旋构型，它由$n$个自旋$\sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_n$的状态组成。定义三个$2^n \times 2^n$矩阵

$$e_1 = \prod_{j=1}^{n} \exp(K_x \sigma_j \sigma_{j+1}) \quad (5)$$

$$e_2 = \prod_{j=1}^{n} \exp(K_y \sigma_j \sigma_{j+1})$$

其中$\sigma_{n+1} = \sigma_1$。对角矩阵$e_1$和$e_2$考虑了每行内相互作用关联的Boltzmann因子，而矩阵$e_3$对应于相邻行之间相互作用关联的因子。根据公式(2)，在我们的情况下，$Z'$可以表示为

$$Z' = \text{Tr}(e_1^m e_2) \quad (6)$$

配分函数现在被写为$2^n \times 2^n$矩阵的迹。公式(4)变为

$$Z_{BK} = \frac{1}{4} \text{Tr}(e_1^m e_2) \bigg|_{\text{limit}} \quad (7)$$

$e_1, e_2$和$e_3$的显式表达式在Pauli表示中清楚地给出[7,22,24]。使用记号

$$\sigma_j = \sigma_x^{\otimes (j-1)} \otimes \sigma_z \otimes I^{\otimes (n-j)} \quad (8)$$

其中$I$是单位矩阵，$\sigma_x$和$\sigma_z$是两个Pauli矩阵：

$$\sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \quad (9)$$

$e_1, e_2$和$e_3$可以显式给出：

$$e_1 = \prod_{j=1}^{n} \exp(K_x \sigma_x^{\otimes (j-1)} \otimes \sigma_z \otimes I^{\otimes (n-j)} \otimes \sigma_x^{\otimes (j-1)} \otimes \sigma_z \otimes I^{\otimes (n-j)}) \quad (10)$$

其中$K_x$定义为

$$e^{2K_x} = \cosh(2K_x) + \sinh(2K_x) \sigma_z \quad (11a)$$

或等价地

$$e^{2K_x} = e^{K_x} \cosh K_x + e^{K_x} \sinh K_x \sigma_z \quad (11b)$$

注意在这种表示中，矩阵的行和列具有相同的指标（即行和列中出现的自旋构型具有相同的顺序）。

由式(10)可以清晰地验证，二维经典伊辛模型的转移矩阵可映射为的一维量子伊辛模型的密度算符。按照文献[24]的提议，我们进行正典变换，该变换保持泡利矩阵的对易关系不变。在此变换下，和用式(12)表示，且式(7)仍然成立。现在转移矩阵可以选取为对称形式，即式(13)。式(7)中的配分函数可以用这些矩阵表示为式(14)。下一节将基于式(12)引入费米子表示。

B. 费米子表示

1. 约旦-温格变换

定义自旋升降算符，即式(15)。可以简单地得到，即式(16)（这里是的单位矩阵）。则式(12)可以写为式(17)。现在采用SML方法，并利用约旦-温格变换[55]引入费米子湮灭和产生算符，即式(18)。费米子算符的反交换关系可以检验如下，即式(19)。可以简单地验证和，即式(20)，因此逆变换为式(21)。为了将泡利表示转换为费米子表示，需要进行一些代数运算。利用费米子反交换关系[式(19)]，可以识别出式(22)。然后，从式(21)和(22)可以推导出以下恒等式，即式(23)。现在将式(20)和(23)代入式(17)，即可用费米子算符表示和，即式(24)，其中式(25)。

为了处理式(24)中算符带来的困难，我们采用文献[22,25]中的技术。注意到和中的每一项都涉及费米子算符的双线性乘积；总数目的奇偶性守恒[24]。因此，与其中每一项对易，即式(26)。更准确地说，与费米子算符的双线性乘积对易。利用，可以得到式(27)。由此得到式(28)，其中式(29)，并按反循环定义和：式(30)（对应），以及循环定义式(31)（对应）。和可以类似地确定。现在可以用投影算符将式(13)中的转移矩阵表示为式(32)。和[参见式(13)]可以类似地定义。可以看到，的本征矢量（的和本征矢量也类似）涉及偶数个费米子，而的本征矢量（和的也类似）涉及奇数个费米子。

下一步是考虑式(14)中的。利用式(33a)和式(33b)，可以清楚地证明式(34)。如同我们对的分析，被分为两部分，此后分别称为偶数部分和奇数部分。现在，用和表示的算符被消去，代之以和。在费米子表示下的进一步变换基于式(29)–(31)。式(34)的迹是四项之和。注意当横向相互作用均匀时（即通常的环面情形），迹实际上是考夫曼的解[22]，迹中的四项可以看作四个佩弗函数[21]。

2. 直积分解

通过约旦-温格变换，我们获得了用费米子算符表示的和的表达式。期望对这些矩阵进行直积分解，以简化对角化。按照SML方法，我们对新的费米子算符进行线性正典变换，即式(35)。可以检验，和满足费米子反交换关系[如式(19)]。逆变换如下：即式(36)。指标设置为式(37)（对偶数部分中的反循环条件[式(30)]），以及式(38)（对奇数部分中的循环条件[式(31)]）。有了这些记号，我们也可以将称为或不损失清晰度。

现在可以用和表示和。为此需要进行一些代数运算。首先，很容易看出式(39)。这得到式(24)中的形式为式(40)（对偶数部分）和式(41)（对奇数部分）。接下来，我们计算式(42)。对偶数部分，上述结果可以写为式(43)，而对奇数部分则写为式(44)。这得到式(29)中的形式为式(45)，和类似给出。

现在，我们成功地从式(40)、(41)、(45)和(46)构建了转移矩阵的直积分解：式(47)，其中式(48)以及式(49)，其中式(50)。和类似定义。显然，算符具有形式式(51)。然后，我们可以回到式(34)。的偶数部分和奇数部分可以分别用直积表示，即式(52)，其中式(53)，以及式(54)，其中式(55)。下一节将基于直积分解[式(52)–(55)]推导配分函数。

C. 配分函数

配分函数在式(14)中表达为在极限下的迹。我们已经获得了的费米子表示和直积分解形式。将式(52)和(54)代入式(14)，得到式(56)，其中式(57)。因此，问题简化为计算与式(53)和(55)中定义的和相关的矩阵的迹。在将表示为式(56)和(57)时，我们对因子进行了划分。下面我们将说明这种划分是合理的。

所有相关矩阵的显式表达式可以在基或基下给出，为简便计，记为。我们首先考虑偶数部分的。矩阵由式(53)给出，其中和由式(48)和(50)定义。我们观察到和是具有相同特征值的本征矢量，因为式(58)。我们看到在和的空间中，矩阵为式(59)。在极限下，该矩阵对的贡献为零[参见式(57)]。因此，在和的空间中被确定。相同的分析也适用于和，因此我们知道式(60)。在和的空间中，和的显式形式为式(61)，其中式(62)。显然是对角矩阵，确定和元素的细节紧密遵循文献[24]中提出的方法。我们取极限：式(63)，其中式(64)。结果表明对的划分是合理的。然后，我们对角化：式(65)，其中是的方程式(66)的正根，以及式(67)，其中式(68)。现在将式(63)–(68)代入式(53)并在极限下取迹，通过初等代数运算得到式(69)。利用恒等式式(70)，我们得到的形式为式(71)。

接下来转向奇数部分。注意到和都是对角的，且式(72)。显然和与无关。我们从式(57)立即验证式(73)。因此，奇数部分对配分函数没有贡献。

现在我们可以进入最后一步。只有转移矩阵的偶数部分对配分函数有贡献。将式(60)、(71)和(73)代入式(56)，并利用、式(11b)和恒等式式(74)，最终结果变为式(75)。至此，我们的推导完成。我们的解与先前发表的结果完全一致[43,47–50]。

IV. 讨论与总结

我们成功地利用SML方法在转移矩阵框架内推导了B-K边界条件下方格伊辛模型的解。如式(75)所示，配分函数具有双重乘积形式，这使得可以解析地计算费希尔零点。在变量中，费希尔零点可以显式求解：式(76)。对于有限的和，复平面上的费希尔零点不位于实轴上。当系统趋近热力学极限时，费希尔轨迹在与实轴相交。因此，系统在由决定的临界温度处发生相变（和同号）或（和异号）。从式(75)可以直接得到热力学极限下每个自旋的自由能：式(77)，即昂撒格著名的解[7]。在式(77)的第二步中，我们利用了可以表示为求和的观察，当项数趋于无穷时，该求和收敛到积分。物理临界点也可以通过取解式(77)关于的导数来验证。

系统的两个特殊情况值得关注。第一种情况是，即系统退化为模型。式(76)中的费希尔零点变为式(78)。该结果与先前对模型的研究一致[56]。第二种情况是各向同性相互作用，即和。关于，式(75)中的配分函数表示为式(79)。费希尔零点为式(80)，其中式(81)。对于任何有限格点，费希尔零点位于复平面上的单位圆上。在热力学极限下，费希尔轨迹形成连续的单位圆；因此，我们找到物理临界点在（）或（）处。当我们考虑变量时，费希尔轨迹形成两个圆，这首先由费希尔提出[44]。在变量中的物理临界点为（）或（）。

最后，我们简要讨论B-K边界条件和环面边界条件下的转移矩阵方法之间的差异。在第三节中，我们通过在上边界和下边界设置特殊相互作用并取极限，将B-K边界条件下的系统转换为环面边界条件下的系统。利用SML方法，我们用费米子表示表示转移矩阵，从而将二维经典伊辛模型的问题转化为一维费米子系统特征值求解的问题。在式(34)中，转移矩阵的乘积被分为偶数部分和奇数部分，它们分别对应涉及偶数和奇数个费米子的映射系统。偶数部分和奇数部分各有两个子部分。取极限的效果是奇数部分的贡献为0，而偶数部分两个子部分的贡献相等，从而实现了配分函数的最终双重乘积形式。而在通常的环面边界条件下，即我们模型中横向相互作用均匀时，式(34)中的简单地变为。在这种情况下，偶数部分和奇数部分中的每个子部分都有非零贡献；因此，解是四个双重乘积之和[22]。转移矩阵中的细节导致了两个解形式之间的显著差异。因此，在转移矩阵框架中，将取某些相互作用的某种极限的技术应用于其他格点或其他边界条件，如卡戈梅格点模型[12]和开边界条件下的方格模型[53]，是自然而然的。各种边界条件下的格点模型中的转移矩阵方法，特别是利用费米子表示的SML方法，值得进一步研究。我们也希望费米子表示可以进一步扩展作为一种新方法，应用于更多感兴趣的问题，如自发磁化。