基于高阶Magnus展开的李代数辅助量子模拟与量子最优控制

《Physical Review A》：Lie-algebra-assisted quantum simulation and quantum optimal control via high-order Magnus expansions

　　

在含时驱动下，量子系统的演化会呈现出其定态对应系统中不存在的现象。然而，量子动力学的高维性和不可交换性使这一问题极具挑战性。Magnus 展开提供了一种解析框架，用于近似短时间尺度上的有效动力学，但使用现有方法计算高阶项在计算上代价高昂。我们提出了一种可扩展的方法，适用于由时不变漂移项和可控项组成的哈密顿量，其中高阶 Magnus 展开被简化为驱动持续时间和含时控制函数参数的多项式表达式。对于固定的哈密顿量模型，繁重的代数计算只需执行一次并存储在动力学系数中，此后有效哈密顿量的数值评估速度可比现有技术快数个数量级。我们首先以量子模拟作为原理验证来展示该方法，验证了预期的高阶误差标度，并对多项式表示的数值效率进行了基准测试。随后，我们将同一解析可微框架应用于前沿的量子最优控制问题，为中性原子里德堡平台上的多量子比特相位门设计了连续控制脉冲。我们的结果表明，该方法为复杂驱动量子系统的最优控制提供了一条切实可行的路径。

一、引言

量子动力学是新兴技术发展的基石，包括量子计算 [1,2]、量子传感 [3–5]、量子通信 [6]，同时也是基础物理学的试验场 [7–10]。利用量子现象的器件正逐渐涌现，量子计算机便是其中的典型代表。这些多功能平台使量子信息理论的实验验证成为可能，涵盖量子控制 [11–13]、纠缠生成 [14]、基态制备 [15,16] 和量子纠错 [17–20] 等领域。然而，在当前含噪声中等规模量子（NISQ）时代，可用的量子比特仍然稀缺且极易受环境噪声影响，这限制了其相较于经典方法的实用优势 [21,22]。因此，从固有的复杂量子动力学中设计高效的量子操作，对于推动量子计算发展并克服该时代的挑战至关重要。

中性原子量子计算平台作为研究复杂量子动力学的工具箱尤为引人注目 [23–27]。由于原子间相互作用对距离具有很强的依赖性，不同的几何构型可作为模拟量子材料和研究其相关性质的试验平台 [16,26,27]。通过光学手段实现的相干重排是另一突出特性，使得灵活的量子电路和量子纠错演示成为可能 [20,28]。

利用量子系统的复杂动力学需要既精确又能保持相干性的操作。量子计算中的基本任务——如态制备和门合成——依赖于工程化的控制脉冲来塑造底层物理演化。然而，量子动力学的不可交换性通常阻碍了闭合解析解的存在，使得设计和理解真实器件上的这些操作必须进行模拟和优化。李群和李代数已被发现是描述和研究量子动力学不可交换性的有效工具 [11,29–35]。

Magnus 展开（ME）是量子系统解算符的一种指数表示，源于李代数的研究 [36,37]。它是一个级数展开，用于近似含时量子系统的解算符。该解算符被表示为常数哈密顿量，通常称为有效哈密顿量，它使量子系统的演化方式与含时动力学演化相同。Magnus 展开也常作为数值积分器使用，因为它具有方便的状态幺正性保证属性，即使在低阶也是如此 [36]。然而，使用标准技术评估该展开在实际中是不可行的，因为它们依赖于含时哈密顿量对易子的高阶时间积分。大多数利用 Magnus 展开的研究由于数值限制最多仅计算到四阶 [38,39]。

最早将 ME 作为数值积分器使用的研究之一见参考文献 [40]。该研究通过与典型 Runge-Kutta 积分器比较来验证 ME 方法的误差标度，展开阶数最高达到四阶。更近期的工作能够使用无对易子方法近似 Magnus 展开下的演化，最高可达到八阶方法 [38,41,42]。最后，参考文献 [43] 的作者找到了一种方法，将连续 Baker-Campbell-Hausdorff 公式 [44,45]（Magnus 展开的一个特例）有效地表示为直至八阶的嵌套积分。然而，他们依赖于复杂的解析积分表达式，其计算在高阶时不具有良好的标度性，且未提供系统性的评估方法。

Floquet 系统的研究围绕将时间周期性哈密顿量的动力学解释为有效（常数）哈密顿量展开 [46–50]。因此，Magnus 展开自然而然地成为该分析中的基本工具，在此场景下被称为 Floquet-Magnus 展开 [37]。Floquet 动力学的研究对于量子技术的发展至关重要，因为它经常出现在量子材料的研究中 [51–53]。然而，ME 的复杂性限制了这些研究只能涉及少数阶数，通常最多到四阶。

本文的核心信息是，高阶 Magnus 展开中的困难部分可以与控制哈密顿量对易子的重复数值计算分离开来。对于固定的哈密顿量模型，李代数和积分结构只需计算一次并存储在一组动力学系数中。此后，评估有效哈密顿量简化为计算一个关于脉冲持续时间和控制参数的多项式。我们首先使用量子模拟作为原理验证，以检验该构造的精度、标度和数值效率。

接下来，我们展示了相同的可微表示可直接用于具有挑战性的最优控制问题。由于所得表达式是解析可微的，它们可以方便地纳入最优量子控制算法中。相关工作已在控制应用中使用了 Magnus 展开 [54,55]。这些方法通常只考虑单个传播步骤并依赖于 Magnus 级数的低阶截断，从而限制了可访问的动力学类型。相比之下，本文开发的框架允许系统地包含高阶项和多个 Magnus 传播步骤，将基于 Magnus 的控制方法的应用范围扩展到更复杂的动力学区域。它对应于对样条形状脉冲的梯度上升脉冲工程（GRAPE）[56] 的扩展，使用了截断的 Magnus 展开。在此扩展中，我们直接优化脉冲持续时间与保真度。这项工作为使用李代数技术进行多量子比特控制脉冲设计开辟了替代途径。

本文结构如下：在第二节中，我们介绍 Magnus 展开。作为该方法的前置知识，我们引入动力学李代数，并考虑控制函数取多项式形式，分别对应图 1(a) 和 1(b)。这引出了本文的主要结果，在第三节中展示，显示在框图中的中央方框 [图 1(c)] 中。在第四节中，我们考察该方法在量子模拟中的应用 [图 1(d)]，研究随阶数增加的误差标度，并通过数值基准测试论证该方法的强标度性。在第五节中，我们展示了基于里德堡原子系统的最优控制应用，如图 1(e) 所示。最后，在第六节中，我们进行总结并讨论未来工作展望。

图 1. 本文提出了一种高效评估 Magnus 展开的方法。(a) 由单控制哈密顿量项 $H_D$ 和 $H_C$ 生成的动力学李代数的示意图。(b) 控制函数表示为最大次数为 $M$ 的多项式，这使得我们可以解析求解高阶积分。(c) Magnus 展开中的高阶积分和对易子被简化为多项式表达式。我们使用 $P_n$ 表示具有复数系数的通用多项式，及其在变量 $T, c_1, c_2, \ldots, c_M$ 中的相应单项式。(d) 这使得连续控制量子系统的高阶模拟成为可能。(e) 解析可微表达式使得量子最优控制应用成为可能。

二、Magnus 展开

相干量子系统按照含时薛定谔方程 [57] 演化：

$$\frac{d}{dt}|\psi(t)\rangle = -iH(t)|\psi(t)\rangle \tag{1}$$

其中哈密顿量 $H(t)$ 使系统态传播。将从 $t_0$ 到 $t_f$ 演化态的幺正态传播子为：

$$U(t_f, t_0) = \mathcal{T} e^{-i\int_{t_0}^{t_f} H(t)dt} \tag{2}$$

其中 $\mathcal{T}$ 是时间排序算符 [58]。在此表示中，$U$ 是传播子，编码了初始态 $|\psi(t_0)\rangle$ 演化为 $|\psi(t_f)\rangle$ 的过程。

幺正算符 $U$ 可以被解释为有效哈密顿量 $\tilde{H}$ 的常数时间演化传播子：

$$U(t_f, t_0) = e^{-i\tilde{H}\Delta t} \tag{3}$$

ME 提供了计算 $\tilde{H}$ 的构造性方法 [36]：

$$\tilde{H} = \frac{1}{\Delta t}\Omega_1 + \frac{1}{\Delta t}\Omega_2 + \cdots \tag{4}$$

只要相应的级数收敛。级数展开的形式为：

$$\Omega = \int_{t_0}^{t_0+\Delta t} H(t)dt + \frac{1}{2}\int_{t_0}^{t_0+\Delta t}\int_{t_0}^{t_2} [H(t_1), H(t_2)]dt_1dt_2 + \cdots \tag{5}$$

其中

$$\Omega_1 = \int_{t_0}^{t_0+\Delta t} H(t)dt \tag{6}$$

$$\Omega_2 = \frac{1}{2}\int_{t_0}^{t_0+\Delta t}\int_{t_0}^{t_2} [H(t_1), H(t_2)]dt_1dt_2 \tag{7}$$

其中 $B_n$ 是第 $n$ 个 Bernoulli 数 [59]。$\Omega_n$ 算符递归定义为：

$$\Omega_3 = \frac{1}{6}\int_{t_0}^{t_0+\Delta t}\int_{t_0}^{t_3}\int_{t_0}^{t_2}\left([H(t_1), [H(t_2), H(t_3)]] + [[H(t_2), H(t_1)], H(t_3)]\right)dt_1dt_2dt_3 \tag{8}$$

$$\Omega_4 = \cdots \tag{9}$$

$$\Omega_n = \cdots \tag{10}$$

伴随算符为 $ad_X(Y) = [X, Y]$，其中 $ad_X^n(Y) = [X, ad_X^{n-1}(Y)]$。为说明目的，Magnus 展开的前三阶如下所示，它们是 $H$ 对不同 $t$ 值的对易子的时间积分，其中 $\Delta t = t_f - t_0$：

$$\Omega_1 = \int_{t_0}^{t_0+\Delta t} H(t)dt \tag{11}$$

$$\Omega_2 = \frac{1}{2}\int_{t_0}^{t_0+\Delta t}\int_{t_0}^{t_2} [H(t_1), H(t_2)]dt_1dt_2 \tag{12}$$

$$\Omega_3 = \frac{1}{6}\int_{t_0}^{t_0+\Delta t}\int_{t_0}^{t_3}\int_{t_0}^{t_2}\left([H(t_1), [H(t_2), H(t_3)]] + [[H(t_2), H(t_1)], H(t_3)]\right)dt_1dt_2dt_3 \tag{13}$$

只要级数收敛，Magnus 展开就近似有效哈密顿量 $\tilde{H}$。收敛的充要条件由下式给出：

$$\int_{t_0}^{t} \|H(t')\|dt' < r \tag{14}$$

其中 $\|\cdot\|$ 是算符谱范数，$r$ 是 Magnus 展开的收敛半径 [60]。对于给定的含时哈密顿量，收敛时间是上述不等式成立的最大时间，记为 $t_c$。此外，ME 是时间对称的，即：

$$\tilde{H}(t_f, t_0) = \tilde{H}(t_0, t_f) \tag{15}$$

这对于数值积分器是一个重要性质，因为它保证了状态幺正性等几何量的保持。通常取 $t_0 = 0$，$t_f = \Delta t$，从而写为 $\tilde{H}(0, \Delta t)$。在数值研究中，级数必须在某个阶数 $N$ 处截断：

$$\tilde{H}_N = \frac{1}{\Delta t}\sum_{n=1}^{N} \Omega_n \tag{16}$$

由于级数的时间对称性，偶数阶 $N$ 的截断误差为：

$$\text{err}(\tilde{H}_N) \sim (\Delta t)^{N+1} \tag{17}$$

关于 Magnus 展开的更多细节，请参阅参考文献 [36] 中的综述论文。

三、Magnus 展开的多项式表示

我们考虑哈密顿量控制模型由时不变不可控项 $H_D$ 和单个可控项 $H_C$ 组成的情况：

$$H(t) = H_D + c(t)H_C \tag{18}$$

其中 $H_D$ 和 $H_C$ 均为厄米算符。这类哈密顿量经常在量子模拟或控制问题中考虑，物理系统范围从中性原子 [25] 到超导电路 [61] 不等。

我们的目标是寻找由 $H$ 的含时动力学生成的有效哈密顿量 $\tilde{H}$。Magnus 展开为此提供了一种方法，但它需要计算涉及 $H$ 对易子的高阶积分，类似于方程 (11)–(13) 中的积分。直接计算在实际中是不可行的，因此需要寻找替代方法来获得 $\tilde{H}$。

控制函数 $c(t)$ 表示为最大次数为 $M$ 的多项式：

$$c(t) = \sum_{k=0}^{M} c_k t^k = \mathbf{c}^T \mathbf{t} \tag{19}$$

其中 $c_k$ 是多项式 $c(t)$ 的实数系数，$\mathbf{c}$ 是其在时间变量中的向量表示。将控制函数表示为时间的多项式这种有限表示是有用的，因为它允许 Magnus 展开中涉及的高阶时间积分的解析表达式。只要多项式的阶数 $M$ 大于 ME 的截断阶数，由任意控制函数产生的动力学与其多项式近似产生的动力学实际上将相等。这使我们能够准确地表示所有现实的控制函数。这如图 1(b) 所示。

计算的下一元素是高阶对易子。由 $H(t)$ 的含时动力学生成的有效哈密顿量属于由算符 $H_D$ 和 $H_C$ 生成的动力学李代数 [30]。动力学李代数 $\mathfrak{g}$ 是在李括号 $\cdot, \cdot]$ 下封闭的向量空间，其中：

$$[A, B] = AB - BA \tag{20}$$

李闭包 $\mathfrak{g}$ 是通过反复应用李括号直到不再获得新的线性无关元素为止所获得元素的集合 [30]。集合 $\{G_i\}$ 是李代数 $\mathfrak{g}$ 的独立厄米元素基底。我们记 $\mathfrak{g}^m$ 为最多应用 $m$ 次李括号后生成的动力学李代数。在阶数为 $N$ 的截断 Magnus 展开中，所需最大代数 $\mathfrak{g}^{N-1}$。通常，该动力学李代数的大小远小于 $d^2$，这对本文所提算法的效率是有利的。在李代数上我们可以定义结构常数 $C_{ijk}$ 来描述其元素之间的关系：

$$[G_i, G_j] = \sum_k C_{ijk} G_k \tag{21}$$

因此，当我们用该李代数元素的基底表示哈密顿量 $H$ 时，我们事先就知道 Magnus 展开所需的所有对易关系。

该计算部分对应图1(a)。该过程的最后一步是确定给定展开阶数需要求解哪些对易子积分。我们采用文献[40]的提案，因其具有系统性。该文献的作者将对易子积分表示为二叉树，将Magnus展开表示为二叉树的加权和。此方法的详细说明见附录A。

上述步骤共同给出了Magnus展开的显式表达式，由此可快速获得有效哈密顿量。该哈密顿量表示为动力李代数的一个元素：(22) 其中包含截断阶数、传播时间和以控制函数表示的项。李代数系数是演化时间和控制函数系数的多项式：(23) 其中指标与控制系数及动力系数相关。

该表达式的推导详见附录A，其中给出了系数的公式。该表达式中的求和项数可通过设定时间截断阶数来优化，即忽略求和中低于该阶数的项。各指标代表通过排列等价的项；因此，我们将代表相同项的动力系数累加为一个项，从而减少方程(23)中求和的总元素数量。

动力系数封装了从给定哈密顿量出发、到某个特定阶数为止所产生的时间依赖动力学。如前所述，这些系数的计算相当复杂，但对于给定的控制模型只需计算一次。事实上，一个给定的动力系数包含了许多对易子积分的贡献，这些积分产生相同的李代数元素且关联相同的多项式单项。本质上，这有效地将ME计算的复杂性压缩到这些动力系数中，而非先前第二节中提到的繁琐的对易子积分。计算中剩余的复杂性取决于演化时间和控制系数所给定的自由度。因此，一旦获得动力系数，计算ME便简化为快速的多项式求值。

借助ME的多项式形式，可以实际地获得高近似阶数的有效哈密顿量。我们将在下一节证明这在数值上是高效的。方程(23)的多项式形式还允许解析求导；我们将在第五节展示其在最优控制中的应用。

IV. 量子模拟

为进行量子模拟，我们将考虑两个特定的哈密顿模型：具有最近邻相互作用的"稀疏"模型和具有长程相互作用的"稠密"模型。同时回忆方程(18)中的单控制哈密顿格式。

(1) 稀疏模型是一个一维横场Ising模型，包含个量子比特，其动力学生成元为：(24)

(2) 稠密模型是一个具有长程相互作用的横场Ising模型：(25) 其中。选择这些模型是为了比较演化方法在动力学简单（稀疏和/或低阶）与复杂（稠密和/或高阶）情形下的性能差异。我们预期该方法的性能将与动力李代数的大小成比例。

A. 数值效率

生


计算该部分与图1(a)相对应。该过程的最后一步是确定给定展开阶数下需要求解哪些对易子积分。由于文献[40]中的方案具有系统性，我们采用了该方案。这些作者将对易子积分表示为二叉树，并将Magnus展开表示为二叉树的加权序列。该方法的详细说明见附录A。

这些步骤共同给出了Magnus展开的显式表达式，从而可以快速获得有效哈密顿量。有效哈密顿量表示为动力李代数的一个元素：(22)，其中截断阶数为，传播时间为，控制函数用表示。李代数系数是演化时间和控制函数系数的多项式：(23)，其中指标与控制系数以及动力系数相关，且满足特定关系。该表达式的推导详见附录A，其中给出了系数的计算公式。该表达式中的求和项数可以通过设定时间截断阶数来优化，即忽略求和中小于的项。这些指标代表通过排列等价的项目；因此，我们将代表相同项的动力系数累加为单个项，从而减少了方程(23)中求和的总元素数量。

动力系数封装了从某个哈密顿量出发、到某一特定阶数为止所产生的时间依赖动力学。如前所述，这些系数的计算相当复杂，但对于给定的控制模型（和），只需计算一次。事实上，一个给定的动力系数包含了许多对易子积分的贡献，这些积分产生相同的李代数元素并关联相同的单项式。本质上，这将ME计算的复杂性高效地压缩到这些动力系数中，而非前文第二节中提到的繁琐的对易子积分。计算中剩余的复杂性取决于演化时间和控制系数所给定的自由度。因此，一旦获得动力系数，计算ME就简化为快速的多项式求值。

借助ME的多项式形式，可以获得高近似阶数的有效哈密顿量。我们将在下一节证明这在数值上是高效的。方程(23)的多项式形式还允许解析求导；我们将在第五节中展示其在最优控制中的应用。

IV. 量子模拟

为了进行量子模拟，我们将考虑两个特定的哈密顿模型：具有最近邻相互作用的"稀疏"模型和具有长程相互作用的"稠密"模型。同时回忆方程(18)中的单控制哈密顿格式。

(1) 稀疏模型是一个一维横场Ising模型，包含个量子比特，其动力学生成元为：(24)

(2) 稠密模型是一个具有长程相互作用的横场Ising模型：(25)，其中。选择这些模型是为了比较演化方法在动力学简单（稀疏和/或低阶）与复杂（稠密和/或高阶）情况下的性能差异。我们预期该方法的性能将与动力李代数的大小成比例。

A. 数值效率

生

多项式函数 是 阶多项式，因为该段上的约束数量为 ，当 时完全确定。图6展示了这些段之一的示例。具有类 且包含 段的Hermite样条通过 个节点 和 个时间间隔 完全确定。每个节点具有 个参数。因此，此类样条的参数数量为 。这些就是Hermite样条参数 ，与定义每个段 的多项式函数 的段多项式系数 形成对比。

图6. Hermite样条的段 。Hermite节点以橙色菱形表示，划定一个持续时间为 的时间间隔。这些节点处的Hermite多项式 和 以绿色线条表示。连接橙色标记的黑色线条是定义该区间内样条形状的多项式。

Hermite样条参数 是数值优化器中使用的控制参数。由于ME用段多项式系数 表示，Hermite样条参数 通过公式(30)和(31)转换为段多项式系数 。基于梯度的优化需要此转换的雅可比矩阵。此转换的数学细节在附录B中讨论。

B. Rydberg原子

针对Rydberg原子的多控制相位门 设计问题已在多项工作中得到解决[28,68,70–72]，其中 是控制量子比特数。这里我们关注参数化变体 (32)

其中 是原子数。因此，量子最优控制问题的目标门为 。研究Rydberg原子时通常考虑的哈密顿量为 (33)

其中 (34)

这里 是全局旋转的拉比频率， 是相应跃迁的失谐[76]。由于状态 和 具有长寿命特性，它们用于单量子比特操作和存储。状态 是Rydberg态，可实现相邻原子间的纠缠产生。这些状态通过van der Waals原子间势 相互作用，该势随 变化，其中 是原子 和 之间的距离[25]。

在为该平台设计门时，通常考虑 的区间，称为 blockade 区间。在完美 blockade 情形下，存在对称的全对全 blockade 相互作用，我们可以用更简单的哈密顿量控制模型表示[68]： (35)

其中 (36)

(37)

拉比频率保持恒定， ，失谐控制函数 相应地重新缩放： 。控制函数 取Hermite样条形式，对应于待优化的控制脉冲。我们仅关注状态子空间的一个子集 (38)

因为系统哈密顿量在原子置换下保持不变，能够忠实地表示完整的希尔伯特空间。

在为Rydberg原子设计门时，通常考虑可在产生纠缠的相互作用前后作用单量子比特门的可用性[16,70]。然后，参数化门序列 (39)

用于目标门的设计，其中 是Hermite样条参数，如V A节所述， 是段数， 是单量子比特旋转的旋转角， (40)

作用于原子 ，而 (41)

是从公式(22)的截断Magnus展开得到的酉传播子。

数值优化需要传播子 和 的导数。获得这些的方法在附录B中展示。

C. 数值优化

为数值优化代价函数 ，我们使用了带有时间间隔盒约束的Broyden-Fletcher-Goldfarb-Shanno (BFGS) 算法[77]。通过对Hermite样条的时间间隔施加约束 ，将脉冲持续时间约束为 。在优化过程中，ME的截断误差通过 (42)

进行估计，其中 是李代数元素 的 算子范数，在优化前计算一次。我们设定一个阈值 ，每当 (43)

时，停止优化以增加样条的节点数，直到 ，其中 是段 的截断误差。这确保了截断误差保持在有界范围内，同时样条几乎不变。缺点是随着Hermite节点数增加， 发生变化，优化必须中断。一旦 ，优化成功收敛。通过包含拉格朗日乘数项， (44)

来改进脉冲持续时间，该项在代价函数中，其中 通过启发式方法调整。

图7展示了一个示例，说明控制脉冲在优化过程中如何变化，目标为受控-受控-Z ( ) 门。控制脉冲是具有Hermite阶数 的Hermite样条。在此优化中应用了边界 。我们观察到，当使用较低的 边界时，优化器需要更多迭代才能找到适当的控制脉冲，且通常 。优化开始时， 是 的具有21段的Hermite样条近似，持续时间为 。随着优化进行，ME的总截断误差超过阈值，导致控制脉冲样条的重新采样，增加了节点数和控制参数数。在第180次迭代时，代价函数 大幅减少，并在优化的其余部分保持在约 左右。这个平台很可能归因于传播子梯度中的误差。在此期间，代价函数出现尖峰。这些尖峰与为了保持ME截断误差有界而重新采样Hermite样条的实例相吻合。从那时起，脉冲持续时间通过拉格朗日乘数项 逐步改进，导致控制脉冲峰值锐度增加。最终脉冲持续时间为 ，比具有 的时间最优脉冲[28]慢 。这种差异可能源于我们优化激光失谐 而非相位[78]。与标记脉冲相关的持续时间 、段数、 、脉冲参数数 以及代价函数 的显式值显示在表I中。随着优化进行，控制脉冲变得更加详细，参数数相应增加。这与参考文献[68]中时间最优性研究使用的400个离散时间步相当。

图7. 门的优化，其中 。(a) 显示了第0、180和2106次迭代的三个脉冲，颜色分别为蓝色、绿色和橙色。橙色脉冲有两个标记的高值峰，超出了绘图区域。黄色 符号显示了该样条Hermite节点的位置。(b) 一条黑线显示了无量纲脉冲持续时间 在优化过程中的进展。垂直的实心灰色线条表示公式(43)中的阈值被触发的位置。代价函数 以粉色绘制。

表I. 用于实现 门的若干控制脉冲的参数和特性。迭代 0 9.00 21 65 3.74 180 14.2 58 176 500 12.6 95 287 1000 11.8 123 371 2106 11.5 208 626 我们现在将注意力转向 门族的控制脉冲优化。由于量子比特数量增加，这本质上是一个更具挑战性的问题。据我们所知，先前关于时间最优脉冲的工作仅考虑了该族中的一个成员： 门[28]。除了仿真和梯度评估的计算成本增加外，控制脉冲本身表现出更大的结构复杂性，需要更多的样条段来准确表示。这导致了更高维度的优化景观。

每一轮优化过程与 情形类似。我们的策略是以 的增量优化门族，使用热启动： 的优化脉冲作为 的初始猜测。我们首先找到 门的脉冲， ，通过启发式方法调整 和 。在此阶段我们设置 ，因为脉冲持续时间尚不是问题。一旦 ，我们通过将其收紧至 并启用持续时间优化 来进行改进。此改进程序随后重复用于每个后续门直到 。对于 ，我们更新持续时间约束以改善优化器收敛性。优化结果在图8中显示。获得的 脉冲大约比参考文献[28]中的时间最优结果长 ，我们再次将此差异归因于优化激光失谐而非其相位。区间 中其余的门表现出相似的持续时间，这一趋势在双和三量子比特控制相位门中也观察到[68,71]。

图8. 不同角度下的脉冲持续时间和代价。标记的颜色表示各自的代价，与右侧的颜色条相关。给定 处标记的大小展示了脉冲持续时间和代价随迭代的进展。较小的标记表示较早的迭代。灰色线表示参考文献[28]中 处的时间最优脉冲持续时间。对于 ，我们预计更低的优化时间。上三角形和下三角形标记分别表示施加的脉冲持续时间边界 和 。

VI. 讨论与展望

我们证明高阶Magnus展开现在可以在涉及计算成本曾使其不切实际的区域中使用。对于由时间无关漂移和单个控制项组成的哈密顿量，我们将Magnus展开的解算子表示为多项式形式。这是通过系统地解决Magnus展开所需的高阶交换子积分实现的。这种多项式形式将动力学浓缩为一组系数，将Magnus展开的计算复杂性转移到控制自由度上。此方法使得能够在数百微秒内进行Magnus展开的数值计算，最高达12阶，比以前的方法快4个数量级。自然，此应用非常适合涉及在经典计算机上模拟时变量子系统的任务，但也可以成为研究这些系统的重要分析工具。

我们进一步证明该方法适用于量子最优控制，为Rydberg原子系统设计多量子比特门。该方法能够优化表示为样条的连续控制脉冲，同时与当前技术水平相比保持相似的参数数量。由于脉冲持续时间与脉冲形状联合优化，与标准GRAPE技术相比，合适的解决方案需要更少的微调。利用此框架，我们成功设计了五量子比特相位门族的脉冲，利用了我们方法的自适应时间能力。

用于生成动力学系数并评估相应Magnus展开多项式及其导数的Julia代码可在参考文献[79]中找到。它还包含本工作采用的最优量子控制方法的代码。