第三代探测器中引力波模式的探测

《APS Open ScienceNEW》：Detection of gravitational wave modes in third generation detectors

　　

我们研究了第三代地面引力波探测器在未来十年内投入运行后对引力波模式（由黑洞和中子星发射）的可探测性。我们的分析聚焦于宇宙探索者（Cosmic Explorer）和爱因斯坦望远镜（Einstein Telescope）项目，这两个项目的臂长预计将达到数十公里，并且在它们的自由光谱范围频率处能够放大引力波信号。我们发现，这两个项目还将以良好的信噪比探测到难以捉摸的w模式，w模式预计会以这些频率由旋转的中子星发射。

一、引言

引力波天文学现已成为一个成熟的研究领域，这得益于激光干涉仪探测器的成功开发和持续运行。第一代干涉仪——LIGO、Virgo和GEO600——在21世纪第一个十年内开始运行，证明了其设计灵敏度和运行能力。目前在线的第二代探测器，如高级LIGO（aLIGO）[1]、高级Virgo（aVirgo）[2]和KAGRA [3]，在投入运行后取得了突破性发现，在所谓的O1至O3科学运行期间观测了约90个事件。在O4运行的前半部分（即O4a），发现了128个候选事件，满足信噪比大于[4]的条件（意味着在数据中发现信号的可能性高于数据仅包含噪声的可能性）。运行的第二部分（O4b）又增加了150个满足相同标准的候选事件[5,6]，使编目的引力波暂现事件总数达到390个。当前的探测器已达到前所未有的灵敏度[6,7]，在最近的科学任务O4中产生了约200个警报。它们迄今主要探测到的是黑洞并合事件，包含中子星的事件非常少。这是一种选择效应，因为黑洞的引力波信号比中子星的信号强得多，因为黑洞的质量大得多。因此，黑洞信号可以从更远的距离被观测到，这导致了更大的事件率。当前一代干涉仪还开启了多信使天文学[8]，这是一个全新的天文学领域，涵盖电磁和引力波谱中的互补观测，有望进一步增强我们对宇宙的理解。未来的空间基干涉仪，如LISA、太极和天琴[9–11]，将使我们在兆赫兹频率区域进行引力波观测；开发臂长比目前运行的探测器长最多10倍的地面基干涉仪的可能性，使我们能够探测并合后动力学[12,13]、探测孤立脉冲星的连续信号[14,15]以及探测随机引力波背景[16]。爱因斯坦望远镜（ET）[17–19]和宇宙探索者（CE）[20,21]项目预计将达到比当前先进探测器远数倍的探测距离。这些探测器一个非常重要的目标是观测中子星及其并合，并研究它们的物理性质和状态方程。这些探测器预计将通过在更宽的带宽上实现更高的灵敏度，探测到宇宙中比当前更远区域的信号，从而彻底革新引力波天文学领域。特别是，频率接近光在干涉仪臂内完成一个来回所需时间的倒数的信号——即所谓的自由光谱范围（FSR）——将会经历放大，使它们能够在散粒噪声主导的频率区域被观测到。例如，宇宙探索者臂长为40公里，其FSR频率为3.75 kHz，在该频率处其信噪比将出现一个尖锐的极大值[22]。因此，w模式——最初由Kokkotas和Schutz[23]预测，预计会以千赫兹频段的频率由脉动中子星发射——可能通过这些探测器在该频率区域变得可观测。w模式源于恒星物质振荡与时空度规引力波振荡之间的耦合。它们的探测将使我们能够高精度推断其源的质量和尺寸[24]，从而对状态方程施加非常严格的约束。

本文的组织如下。在第二节中，我们给出法布里-珀罗干涉仪对任意波长引力波信号的响应。利用公开可用的软件程序生成宇宙探索者和爱因斯坦望远镜项目的预期位移噪声谱密度，然后我们得到这两个干涉仪的灵敏度曲线，这些曲线取决于信号的方向和偏振。这一结果使我们能够在第三节中推导出描述这些模式的阻尼正弦波信噪比（SNR）的近似解析表达式。我们发现，按照目前设想的干涉仪设计，对于距离为[距离值]的源并释放太阳静质量能量[倍数]倍能量的源，CE将获得超过5的平均信噪比，而ET将获得的信噪比约为4。在我们的计算中，我们考虑了0.8 Mpc的距离，这将延伸至仙女座星系，该星系包含一万亿颗恒星。这基本上将使可能的源在银河系的基础上增加一倍。然而，将反射率在目前设想的水平上提高几个百分点，将把FSR处的噪声谱进一步降低到使两个干涉仪的信噪比达到[信噪比值]的水平。

二、法布里-珀罗干涉仪对引力波信号的响应

在臂长相等的迈克尔逊干涉仪中，两端有带有反射镜的惯性质量作为自由下落测试粒子，激光通过一个50:50分束器引入两个臂中。如果我们暂时假设光仅被端镜反射一次后便在光电探测器处重新合成（而整个过程持续运行），那么微弱的引力波串对相干光频率的影响在光电探测器处出现四次，即：光到达光源的时刻、波与端惯性质量相互作用的两个不同的延迟时刻，以及在光往返时间（延迟为t_R）处[25,26]。为了明确写出单次反射迈克尔逊干涉仪对引力波信号的响应，我们引入一组以角反射质量为中心的笛卡尔正交坐标系（x, y, z）（见图1）。这里，x轴平分两臂所夹角∠，y轴在其所在平面内与之正交；z轴与干涉仪平面正交并与（x, y）构成右手正交系。与波关联的坐标则由（ξ, η, ζ）表示，其中ζ轴与波的传播方向对齐（由单位向量n表示）。在波的平面内，另外两个轴（ξ, η）相互正交且与ζ轴正交，引力波信号的两个分量（h_+, h_×）相对于它们定义。然后我们可以引入欧拉角（α, β, γ）来关联这两个坐标系，在书写干涉仪响应时。

图1. 与干涉仪和引力波信号相关的两个坐标系。它们通过欧拉角（α, β, γ）相关联。完整几何描述见正文。

对于椭圆偏振的引力波信号，其偏振振幅（h_+, h_×）可写成以下形式[27]：

(2.1)

其中h字符化引力波的强度，其频率成分不包括t。此外，（α, β）定义了波的偏振态，并与自旋-2波在庞加莱球上的坐标相关联。在干涉仪坐标系中，来自每个臂的双向多普勒响应可写成如下形式[28]（采用光速c=1的单位制）：

(2.2)

(2.3)

其中n是平面引力波脉冲传播方向的单位向量。在公式(2.2)和(2.3)中，我们用n_1和n_2分别表示沿臂1和臂2方向的单位向量，并用F代表以下两个标量函数：

(2.4)

求和对重复的空时指标进行。在公式(2.4)中，张量T_{ab}的分量——与坐标系(ξ, η, ζ)中引力波信号相关联的2阶张量[28]——是三个欧拉角（α, β, γ）、两个波偏振振幅（h_+, h_×）和偏振角（α, β）的函数[29]。根据上述引力波信号对每个臂中光频率影响的表达式，单次反射迈克尔逊干涉仪的响应I_1等于：

(2.5)

之所以提供上述单次反射迈克尔逊干涉仪的表达式，是因为已经证明(1)多次反射迈克尔逊干涉仪[30]和(2)法布里-珀罗迈克尔逊干涉仪[31,32]的响应函数可以在傅里叶域中表示为单次反射响应I_1与一个传递函数的乘积，该传递函数考虑了光在每个臂内多次往返后在光电探测器处干涉的情况。如果我们用法布里-珀罗干涉仪与引力波信号相互作用时的相对频率涨落Δf/f_0表示，其傅里叶变换的表达式等于[31,32]：

(2.6)

其中R_c和R_e分别是角镜和端镜的反射率，f_0是傅里叶频率。在FSR频率f_FSR处，探测器对引力波信号的响应被放大因子√(R_e/R_c)所放大。对于宇宙探索者，f_FSR=3.75 kHz，而对于20公里配置的爱因斯坦望远镜，该频率为7.5 kHz。引力波信号在FSR频率处的放大——由镜子的反射率决定——在可能做出重要科学发现的频率区域可能是相当大的。根据关于两个项目预期噪声的技术研究[18,20,22]，我们在图2中绘制了CE和ET的应变灵敏度，其中对ET我们假设臂长为20公里。由于两个项目的预期性能信息以不同格式提供，因此其对应的灵敏度曲线以不同方式导出。对于CE项目，预期的干涉仪位移谱密度以ASCII文件形式提供，其中已经包含了法布里-珀罗引力波信号传递函数G。因此，为了获得法布里-珀罗干涉仪对天球上随机位置和随机偏振态的引力波信号集合的应变灵敏度，我们首先必须将提供的位移谱密度转换为相应的多普勒谱密度。然后，我们数值计算单次反射迈克尔逊响应传递函数在分布于全天球和随机偏振态的引力波信号上的均方根。其表达式等于：

(2.7)

最后，我们将噪声的多普勒谱密度的平方根除以公式(2.7)给出的函数F。对于CE，我们假设臂长为40公里，得到图2中绘制的应变灵敏度曲线（实线）。注意，一个臂长为20公里且子系统与40公里配置相同的CE配置将导致灵敏度曲线向更高频率平移2倍。对于ET灵敏度，我们使用在线程序Plot Digitizer [33]从参考文献[18]图1中提取提供的应变灵敏度。这对应于等边三角形高频-低频（ET-D, HFLF）配置，臂长为20公里。这是图2中的虚线。

图2. CE和ET项目的应变灵敏度。对于CE项目，我们假设目前设想的臂长为40公里，而当前对ET的灵敏度研究考虑了10到20公里的臂长范围。这里，我们假设ET等边三角形高频-低频（ET-D, HFLF）配置，臂长为20公里，这导致FSR频率为7.5 kHz。

三、引力波模式信噪比的近似解析表达式

A.

广义信噪比表达式中，SNRWe模型将引力波（GW）模式建模为一个具有衰减常数和频率的阻尼正弦波。衰减时间或e折时间与该衰减常数之间存在如下关系。我们还将信号的起始时刻设定为。因此，我们将引力波模式写为（3.1），其中的恒定量为该信号的振幅。其傅里叶变换为（3.2）或（3.3）。通常的做法是使用单边功率谱密度，即负的频域成分折叠到正频域成分上。然后，当我们对该信号进行匹配滤波时，信噪比的平方由下式给出（3.4）。在典型的引力波模式中；例如，秒，而则为几kHz，从而得rad/s。在此极限下，该模式的带宽非常小，因此它通常是一个窄带信号。在这个小带宽内，功率谱密度本质上保持不变，可以提取到积分之外。我们将在第III B节中对此进行论证。因此，我们可以将其写为（3.5）。我们的任务是计算该积分以获得信噪比，这在时域中可以轻松完成。为了实现这一目标，我们依赖于Parseval定理。我们将其写为（3.6）。时域中的积分可以很容易地完成——积分范围为，因为当时刻小于0时信号为零。因此，（3.7）。当时刻趋于无穷大时，第二项可以忽略不计，因此我们得到。然后，信噪比由（3.8）给出。如果我们观察到在范围内为，且项的平均值为，那么该积分近似为，这个结果就很清晰了。

B. 引力波模式的带宽

我们同样计算引力波模式的傅里叶变换，以便明确确定其带宽。我们特别关注的情形，此时我们期望带宽足够小，使得我们在计算信噪比时所作的近似是有效的。由于带宽不依赖于振幅，我们令振幅为。在频域中，根据公式（3.3），我们有（3.9），因此，（3.10）。注意是频率的偶函数，即。因此，我们仅对正频率进行积分，然后将结果乘以因子2。在极限下，我们设，其中。那么在此极限下，（3.11）这是一个洛伦兹函数，其在频率从零到无穷大范围内的积分为。该结果必须乘以2并除以；因此，在时刻趋于无穷大且在给定极限下，该结果与时域公式（3.7）中的积分一致。洛伦兹函数的半高全宽出现在信号频率处，因此为。从图4中可以清楚地看出这一点。大部分信噪比被包含在几个信号频率的范围内。例如，通过对频率积分到约，可以获取90%的信噪比，这对应于秒时约为。这意味着积分范围为。在此范围内，功率谱密度本质上恒定或平坦——变化在几个百分点之内。从图3中可以看出这一点。因此，我们所作的近似是合理的。

图3. CE（40公里）和ET（20公里）灵敏度曲线的放大视图，突出显示了FSR区域的响应平坦性。

图4. 面板（a）显示了函数（信号频率取特定值和特定参数）。从公式（3.7）可以看出，峰值的高度为。在面板（b）中，展示了面板（a）在峰值附近的放大版本，并进一步显示了半高全宽rad/s，这大约对应于3 Hz。

C. 引力波模式的振幅和信噪比

为了计算由公式（3.8）给出的信噪比，我们需要该模式振幅的值。阻尼正弦波信噪比的表达式此前已在文献中出现[34,35]。我们在此当前的上下文中推导它们，以便内容自成一体并完整。我们通常对模式辐射出的能量有一个估计值。对于超新星爆发，能量可以从范围变化[36,37]，其中高能量数值对应于高度不对称的坍缩。然而，在我们的研究中，我们假设能量为[24]。现在，我们将振幅与能量联系起来。为此，我们需要对所有方向上该模式的引力波通量进行积分。频率为的单色引力波的通量与引力波振幅之间的关系由下式给出（3.12），其中表示引力波在特定方向上的通量。因此，振幅为的引力波模式的能量可以通过对时间和半径为的球面进行通量积分得到。结果如下：（3.13）。然而，通量在各个方向上并不是均匀的，而且其对所有方向的平均值是相关的。但在这里我们无需考虑这一点，因为它已在灵敏度曲线中考虑在内，如第II节所述。公式（3.13）中出现的积分当为阻尼常数时等于。将所有这些组合在一起，我们得到如下结果：（3.14）。上述方程可以反解为，结果为（3.15），其中我们将写为。现在，我们估计该模式的振幅以用于宇宙探索者探测器。我们取距离为0.8 Mpc，以便包括仙女座星系中可能的源，该星系包含约一万亿颗恒星。因此，（3.16）。对于爱因斯坦望远镜，由于FSR频率是宇宙探索者的两倍，在保持所有其他参数不变的情况下，相应的振幅减半。将公式（3.8）给出的信噪比表达式与公式（3.15）给出的振幅相结合，我们得到信噪比的表达式为（3.17）。对于宇宙探索者，我们有特定参数值，对于灵敏度，我们考虑图2中的曲线。因此，典型的信噪比，我们记为，由（3.18）给出。对于爱因斯坦望远镜，我们有特定参数值，在相关频率范围内ASD为特定值，因此我们得到（3.19）。虽然上述信噪比的统计显著性处于探测的边缘，但关于上述信噪比估计应考虑几个因素。以这里假设的能量而言，我们可能只能探测到本星系群范围内的源，而且超新星及时激发模式并不保证能以及时的方式发生。然而，我们在这里只考虑了在源天区位置和偏振状态上的平均值。因此，将会有一些信号发射出所选定的能量，导致信噪比高于其平均值。第二，我们假设辐射能量为特定值。如果将其取为10倍高，信噪比将增加相应的因子，使得两个探测器的信噪比都具有统计显著性。对于高度不对称的坍缩[36]，其能量为数个百分数倍于此假设值，我们甚至可能探测到室女座星系团，该星系团约有1500个星系，从而使这些事件变得更加可能。然而，也必须记住，w模式的频率可能不在灵敏度最大的FSR附近，这将会降低信噪比。第三，作为一种可能的仪器改进，可以选择反射率更高的镜子，以进一步降低FSR频率处的噪声谱值。我们估计，将反射率乘积增加到特定值，将使宇宙探索者的信噪比达到特定值，而将参数提高到特定值，也将使爱因斯坦望远镜的信噪比达到特定值。

IV. 结论与总结

大多数引力波源的搜寻专注于第三代探测器（如宇宙探索者和爱因斯坦望远镜）灵敏度曲线的宽频带部分。所考虑的频率范围通常从几赫兹到略高于千赫兹。另一方面，在本工作中，我们专注于这些探测器的高频范围，即FSR频率附近的频段。由于其臂长很长，它们的FSR频率相对较低，即宇宙探索者为3.75 kHz，20公里爱因斯坦望远镜为7.5 kHz，它们落在引力波模式发射的频率范围内。我们研究了高频源的可探测性，特别是脉动中子星发射的引力波模式以及由于恒星物质振荡与引力波时空度规振荡耦合而产生的w模式。

我们发现，这些模式具有足够窄的带宽，在此范围内噪声功率谱密度没有明显变化，这使得利用Parseval恒等式在时域中方便地评估信噪比成为可能。此外，我们的研究表明，如果源位于0.8 Mpc以内（包括仙女座星系），则计算出的信噪比具有显著性。另外，如果相关能量比公式（3.18）和（3.19）中所假设的大10倍，则各自的信噪比将增加相应的因子——宇宙探索者的信噪比将提升至约17，爱因斯坦望远镜的信噪比将提升至约13。此外，我们证明了，对目前设想的镜子进行小幅度的反射率提升，将使两个干涉仪在它们的FSR频率处均产生信噪比为10的结果。