监测对格点规范理论中纠缠动力学的影响

《APS Open ScienceNEW》：Effects of monitoring on entanglement dynamics for lattice gauge theory

　　

（1+1）维??规范理论是允许通过量子模拟来探测与动力学费米子耦合的规范理论基本特性的最简单模型。要可靠地基准测试此类系统，理解有效非厄米演化及后选择监测协议所产生的非幺正量子动力学至关重要。本研究聚焦于??规范理论的后选择非厄米滤波动力学，其中非厄米项与理论中自然存在的局域和非局域规范不变算符相关。我们将所得动力学解释为后选择滤波，即不同算符扇区以不同速率耦合到耗散通道。这为局域电通量和粒子数项以及非局域介子跃迁项提供了统一的框架。采用张量网络计算来探测滤波对更大格点尺寸（高达256位系统）的影响。利用矩阵乘积态计算，研究了纠缠熵作为滤波速率和耦合常数函数的动力学行为。我们发现，在局域和非局域滤波下，双分纠缠熵的晚期饱和值均与系统尺寸无关，未在后选择动力学中观察到测量诱导相变类现象，范围涵盖所研究的滤波强度、演化时间和系统尺寸。

I. 引言

量子信息理论、凝聚态物理与高能物理的交汇为理解量子多体系统的基本性质开辟了新的途径。这一交叉领域的核心在于纠缠的研究，纠缠已从量子力学的一个特定特征演变为表征复杂量子多体系统（包括其相、动力学和计算复杂度）的有力工具。一个富有成效但充满挑战的前沿方向是这些概念在格点规范理论（LGTs）中的应用，LGT是研究从量子色动力学到凝聚态系统中涌现现象等基本相互作用的主要非微扰框架[1–14]。一维??规范理论是最简单也是最基础的LGT，为禁闭等复杂行为提供了必要的理论实验室。当与动力学物质（如交错费米子）耦合时，其物理变得显著丰富[1,3,15–36]。费米子的存在引入了弦断裂现象：两个静态电荷之间的束缚通量管可因从真空中产生费米子-反费米子对而断裂。这一物理过程在系统态的纠缠结构中有着直接而深远的印记[37–39]。在LGT中定义和计算纠缠熵（EE）可能因规范约束和非平凡中心的出现而在概念上变得复杂，后者规定物理Hilbert空间不是局域自由度的简单张量积。先驱性工作已建立了一个严格的框架来定义具有物理意义且规范不变的纠缠熵，通常通过考虑局域可观测量的代数来实现[40]。对于一维系统，张量网络，特别是矩阵乘积态（MPS），已被证明是一种异常强大的数值工具。它们为LGT基态典型的低纠缠态提供了高效的表示，并允许准确模拟其实时动力学[37,41–44]，使其非常适合在量子信息科学与强关联量子多体系统（如规范理论）的交界处进行大尺寸系统研究。对于与费米子物质耦合的一维??规范理论，哈密顿量可以映射到一个自旋模型。这消除了规范冗余，为数值模拟提供了便利的框架，进一步简化了利用张量网络方法计算纠缠熵和其他观测量以研究系统动力学。本文的主要目标之一是详细研究一维??规范理论的纠缠动力学，使用张量网络工具。

与这些进展并行，监测量子系统的研究——其中幺正演化与投影测量交替进行——揭示了一类新的非平衡现象。一个核心发现是测量诱导相变（MIPT）[45–73]。1 这一转变描述了一种竞争：幺正动力学倾向于传播信息并产生纠缠，导致纠缠熵的体积律标度，这是热化的特征。相反，频繁的局域测量从系统中提取信息，使波函数坍缩并阻碍纠缠增长，导致低纠缠的面积律标度相。这两种机制之间的转变是一种新颖的动力学相变，它不仅发生在态本身，而是发生在其纠缠性质上，并且对局域序参量是不可见的。这一范式已在随机幺正线路中被广泛研究，并开始在有守恒律的更结构化系统（作为迈向规范对称性刚性约束的踏脚石）中探索[74,75]。近期有研究[76–78]讨论了在量子模拟器中构建规范不变态的算法。

尽管这两个领域取得了进展，但规范约束、物质-场动力学与量子测量之间的相互作用仍 largely 未被探索。LGT提供了一个独特的设置，可以在物理自由度（规范、物质或组合）上进行测量，且固有的非局域规范约束可能从根本上改变MIPT的性质。这引出了几个引人入胜的开放问题：局域规范对称性的存在如何影响MIPT的普适性质？规范理论的纠缠熵虽然微妙，但可能为弦断裂等动力学过程提供独特的探针。尚未探索由于非局域（物理）扩展观测量测量而导致的纠缠结构变化。在理论的强耦合（禁闭）和弱耦合区域，规范场和物质场的能量标度截然不同，纠缠动力学及测量对两者的影响有何不同？

在本文中，我们朝着解决这些问题迈出了一步。我们通过使用张量网络方法研究与交错费米子耦合的一维??格点规范理论中的后选择非厄米滤波动力学来研究这个问题的一个方面。我们研究了一类后选择非厄米滤波动力学，其中反厄米项与理论中自然出现的规范不变算符相关。这些包括局域电通量和粒子-反粒子数算符，以及涉及两个位点上的费米子产生或湮灭算符以及连接这两个位点的链上的规范场平移的非局域跃迁项。一种有用的解释方式是将其视为无点击型后选择演化[79–81]，其中所选规范不变算符的不同本征空间或扇区以不同速率耦合到外部耗散通道。对于局域算符，如电通量和粒子-反粒子数，这种解释与文献[82,83]中研究的无点击监测动力学密切相关。然而，由于我们的分析还包括非局域介子跃迁算符，它是厄米和规范不变的，但不是正投影算符，因此我们在整篇论文中采用这种更广泛的滤波解释。因此，反厄米项一般不应理解为对相应厄米可观测量的对称连续测量。相反，它们定义了一个与规范不变算符相关联的统一后选择非厄米滤波协议。我们详细地绘制了纠缠动力学作为非厄米滤波速率函数的关系，并调查它是否显示出MIPT，即其晚期饱和值相对于（子）系统尺寸的标度从体积律过渡到面积律。我们还发现，与无滤波情况相比，存在滤波时的纠缠动力学表现出完全不同的行为。此外，我们在强耦合和弱耦合两种情况下系统地进行了研究。我们的工作弥合了高能物理现象学与快速发展的监测量子系统领域之间的鸿沟，揭示了规范理论中量子信息的复杂本质。

本文组织如下：在第二节中，我们简要概述了一维??规范理论，并讨论了基础Hilbert空间的结构。我们还详细说明了在滤波下该系统的纠缠熵的计算，并讨论了我们在整篇论文中使用的数值方法。在第三节中，我们给出了无滤波时纠缠熵的分析。在第四节中，我们将注意力转向与局域和非局域规范不变算符相关联的滤波动力学下纠缠熵的动力学，并在第四节中的IV A 6部分中，我们研究了强耦合和弱耦合两种情况下的纠缠熵晚期饱和值。最后，在第五节中，我们总结我们的结果并指出一些未来方向。附录A提供了我们数值方法的各项一致性检查和基准测试。

II. 理论与计算框架

A. 规范理论的简要概述

我们首先简要回顾本文中考虑的模型所需的基本细节。我们关注一维与动力学交错费米子耦合的??规范理论。系统上具有开放边界条件的N位格点的哈密顿量为[15,17,32,84]

(2.1)

其中为作用在位点上的费米子产生（湮灭）算符，和表示相应的泡利矩阵）是每个位点间链上规范场平移的??元素。在式(2.1)中，无量纲参数与费米子质量、耦合和格点间距的关系为。对于固定的和格点体积，该理论的连续极限通过取和随后取来获得。我们将对所有计算设置。因此，在这种情况下耦合是唯一可调参数。

作为一个规范理论，哈密顿量与定义在每个位点上的高斯定律算符相关联：

(2.2)

式(2.1)中的哈密顿量与所有局域高斯定律算符对易：

(2.3)

因此保持理论的规范不变动力学。该理论的物理Hilbert空间包含满足规范不变条件即的态：

(2.4)

可以对费米子执行约当-温格变换，所得到的哈密顿量为：

(2.5)

其中。在式(2.5)中，存在两种独立的自旋物种：对应于定义在链上的二分量??规范场，和对应于通过约当-温格变换获得的费米子。两者均由泡利矩阵表示。

全局物质-规范Hilbert空间由整个格点上位点自旋和链上自旋的直积张成；然而，物理Hilbert空间是该空间的一个子集，其中所有态都满足式(2.4)。如算符所规定，物理态的位点贡献在费米子和反费米子所在的偶位点和奇位点之间存在差异。我们采用的约定是：费米子的存在（不存在）映射为自旋向上（自旋向下），反费米子的存在（不存在）映射为自旋向下（自旋向上）。每个位点的规范不变性意味着：在费米子（反费米子）存在（不存在）的情况下，链上的自旋会翻转。在本文中，我们考虑从规范不变态开始的淬火动力学。最常见的是，我们考虑强耦合真空作为规范不变初态。对于交错理论，强耦合真空被定义为：奇位点被费米子填满，偶位点全部为空，且整个格点上不存在规范通量。用约当-温格自旋表示，通过将奇位点赋予自旋向上，偶位点赋予自旋向下，同时保持所有链上规范场为来获得。图1给出了强耦合真空及几种其他规范不变态的示意图。

图1. 一个表示六位格点上物理态的示意图。最上方面板表示格点及每个位点的标签；下一个表示强耦合真空——一个对应于无粒子、无反粒子和无规范通量的格点全局自旋构型。接下来的两个表示两个全局规范不变态和，分别包含1对和3对粒子-反粒子对，由规范通量连接。

需要注意的是，对于所有三种配置，入射边界通量均被设定为零，而两种出射边界通量同样为零，因为格点中所含的总粒子数与反粒子数之差为零。这三种状态对应于该理论中的单一全局荷扇区，其中 [85]。

在讨论了我们即将施加淬灭协议的底层希尔伯特空间结构和初始态之后，我们将概述精确的协议，其中包括后选择过滤过程。

B. 监测量子系统的框架

如前所述，测量和监测在理解量子动力学中起着重要作用。最近，测量诱导相变（MIPT）[45–73] 已在量子自旋链模型和量子线路的背景下得到了研究。这些研究表明，存在两个相（取决于测量速率）：一个纠错相，其中态对外部测量保持韧性；以及一个芝诺相，其中态的动力学因测量而坍缩。受这些进展的启发，我们研究了类似的非幺正、后选择动力学如何影响第 II A 节中描述的格点规范理论的纠缠结构。

当一个量子系统被一个测量算符连续监测时，其演化不是确定性的，而是由随机薛定谔方程 [86,87] 描述，该方程包含了测量对系统的影响。当量子态被测量时，幺正演化和测量之间会形成一种竞争。演化可以通过两种方式进行：第一，通过量子跃迁；第二，在测量下缓慢且连续地进行。第二种情形被称为无点击极限 [86–91]。在无点击极限下，从一个初始态出发，使用一个有效非厄米哈密顿量对系统进行演化，其中非厄米项与测量算符相关联，测量速率决定了非厄米强度。在某些自旋链模型中，人们也在这样的后选择非厄米设置下研究了测量诱导的转变 [82,83,92,93]。在本工作中，我们为该规范理论采用了一个统一的后选择非厄米过滤框架。反厄米项与理论的规范不变算符相关联，参数控制相应的过滤强度。等价地，该动力学可被视为一种无点击型演化，其中所选规范不变算符的不同特征空间或扇区以不同的速率耦合到外部损失通道。对于局域电力通量和粒子-反粒子数算符，这与在受监测的自旋链或费米子链中常用的无点击解释密切相关。然而，由于我们还考虑了非局域介子跃迁算符，将其直接解释为对称连续测量的方式更加微妙，因此我们在整个过程中使用后选择过滤这一更广泛的术语。这种确定性的非厄米演化使我们能够轻松地使用张量网络方法来研究纠缠动力学，而将完整的随机监测动力学的分析留给未来的工作。

为了研究上述后选择非厄米动力学，我们在该简单的与动力学物质耦合的规范理论模型中添加了三个不同的项（将在后续章节中明确定义）：电场、交错质量项和跃迁项。我们从第 II A 节中定义的强耦合真空态出发，构造密度矩阵。然后，我们按以下方式对其进行时间演化：

(2.6)

其中具有如下形式：，其中定义于公式 (2.5)，而表示导致非厄米动力学的部分。表示非厄米过滤速率。公式 (2.6) 中的分母确保态在每个时间点都保持归一化。由于引入的简化，我们可以使用下一小节中描述的MPS计算框架来研究动力学。

在本文中，我们将研究纠缠的动力学。为此，我们将在该非厄米演化下计算纠缠熵。我们首先将系统划分为两个子系统。然后，通过对子系统取偏迹来计算子系统 的约化密度矩阵 。图 2 展示了我们这种情况下的这种二分法，包括有效哈密顿量的非厄米部分如何作用在（子）系统上。

图 2. 八格点格子上物理态的代表性示意图。虚线标出了用于计算纠缠熵的二分法，子系统 在左侧，其补集 在右侧。与格点或链路算符相关联的局域过滤项在整个系统中施加。对于作用在两个相邻物质格点及其之间规范链路上的非局域介子跃迁算符，我们主要将过滤项限制在一个子系统中，使它们不跨越纠缠切割 [85]。

利用 ，我们计算子系统的冯·诺依曼熵，并记为 ，

(2.7)

如前所述，与费米子物质耦合的维规范理论的哈密顿量可以映射到一个自旋模型，这进一步简化了纠缠熵的计算，因为我们可以使用公式 (2.7)。为了调查是否存在可能的MIPT，我们需要确定 随系统大小的标度关系，而探测非常大的系统至关重要。我们通过使用张量网络工具来实现这一点，如下所述。

C. 计算框架

我们现在简要描述本文中用于纠缠熵的张量网络方法，并研究其动力学。由于我们聚焦于维情况，MPS 是一种成熟的工具，能够高效地表示系统的量子态，尤其是在系统很大且精确对角化变得指数级昂贵时 [94,95]。我们使用 ITensor 包 [96] 进行所有数值分析。矩阵乘积态提供了一种极其高效的方法来模拟大型强耦合一维量子系统的动力学。与存储随粒子数指数增长的全量子态向量不同，MPS 将态表示为一系列相互连接的小张量的链。纠缠的量由一个称为键维度的参数控制。只要系统中的纠缠保持有限（正如本文后半部分分析所反映的那样），所需的键维度就保持较小。这使得模拟时间演化的计算成本保持可控，随系统大小多项式增长而非指数增长，从而能够准确地计算数百个量子粒子的动力学。

MPS 计算通常从计算哈密顿量的基态开始，其中哈密顿量以矩阵乘积算符（MPO）形式写出 [94,96]，基态通过密度矩阵重正化群技术获得，从一个以MPS形式写出的初始猜测波函数出发。期望的初始态也可以映射为其MPS表示，以研究其实时演化。使用规范理论哈密顿量的MPO表示将量子态演化到期望的时间后，所得到的态自然被编码为一个纠缠的MPS。本文报告的所有实时演化均使用二阶时间演化块对角化（TEBD）[96] 进行，在ITensor中实现，采用二阶Suzuki-Trotter分解。最后，我们计算纠缠熵。从该MPS中提取纠缠熵极其高效。为此，首先将系统分为两个子系统 和 ，对应于切断构成MPS的张量链中的一条"键"。MPS形式化的美妙之处在于，该键上的奇异值（）恰好是量子态二分的施密特系数。因此，无需构造完整且指数大的约化密度矩阵，只需在感兴趣的键处执行一次奇异值分解即可。公式 (2.7) 中定义的冯·诺依曼纠缠熵可以直接通过这些奇异值使用公式 计算。此过程计算量小，且是张量网络算法的原生操作，使其成为实时追踪纠缠动力学的有力工具。

现在，我们准备讨论维规范理论纠缠熵的动力学。我们首先讨论无过滤的情况，然后将其与具有非厄米过滤的情况进行对比。

III. 无过滤的规范理论纠缠熵动力学

在本节中，我们研究了无过滤项的维中与动力学交错费米子耦合的规范理论的纠缠熵（EE）动力学结构。如前所述，我们选择一个强耦合真空（图1）作为初始态 。这里，所有物质（反物质）格点被下（上）自旋占据，链路被下自旋占据。该态的幺正时间演化如下： ，其中 是公式 (2.5) 中定义的哈密顿量。我们在格点处对系统进行二分法（如图2所示，通过连接格点和 的链路切割系统）。子系统的冯·诺依曼熵由公式 (2.7) 给出。

如前所述，我们在MPS表示中使用了张量网络方法进行实时演化，如在ITensor中实现的 [96]。为了近似时间演化算符，我们主要使用作用于不重叠三格点簇的二阶Trotter分解。此过程在每一步引入阶的局域截断误差（全局截断误差为阶）。我们在条链上进行模拟，时间步长为，总演化时间为。我们允许MPS键维度增长到，截断截断为。我们选择强耦合真空态作为初始态并在时间上演化，在每个时间步对态进行归一化。对于所有后续计算，我们将使用这些参数。此外，我们已经明确检查了高斯定律在整个观测期间均成立。这是一个关键点，因为我们在研究动力学时不希望破坏底层的规范结构。

纠缠动力学

纠缠熵的动力学行为如图3（左面板）所示。我们观察到，对于我们的理论，EE并未饱和。EE随时间增加，然后在后期时间振荡。这种行为对于耦合参数的不同取值均持续存在。值得注意的是，从强耦合真空态出发，在不存在任何非厄米过滤项的情况下，维规范理论的EE不出现饱和（从而可能不出现热化 [97]）。此外，我们将时间平均EE作为耦合参数 的函数绘制，并发现随着 的增加（趋向连续极限），它持续增长。这也显示在图3（右面板）中。

图 3. 系统大小为 时的纠缠熵时间演化 [85]。（a）该图描绘了无非厄米过滤时的EE演化。即使在后期时间，EE也没有表现出饱和。（b）不同 值的时间平均纠缠熵。

IV. 规范理论中的后选择动力学：对纠缠的影响

我们现在转向后选择非厄米过滤对规范理论纠缠熵动力学的影响。我们的动机有二：（1）理解在这种过滤动力学下纠缠熵是否饱和；（2）是否观察到类似MIPT的转变。我们考虑与三个规范不变算符相关联的过滤动力学：电力通量、粒子-反粒子数和介子跃迁算符。前两个是局域算符，而最后一个是非局域扩展算符，涉及两个物质格点和连接它们的规范链路。尽管局域情况与受监测系统的无点击极限密切相关，但我们统一将这三种情况解释为相对于规范不变算符扇区的后选择过滤。这特别有用，因为跃迁算符不是投影算符的形式，因此无法立即解释为标准连续测量通道。大多数先前对MIPT的研究都集中在自旋链或量子线路中的局域测量上。相比之下，当前的规范理论设置自然包含局域规范不变算符和扩展非局域算符。这使我们能够在统一的后选择过滤框架下研究进入非厄米项的算符的局域性结构如何影响纠缠动力学。因此，这使得当前研究更加令人兴奋。在下一节中，我们调查局域算符的后选择。

A.

关于局域可观测量的后选择动力学：电通量与粒子 - 反粒子数

1. 电通量
从强耦合真空态开始，我们将研究电通量算符作用于位点 和 之间链上的后选择滤波动力学。由于我们将在无点击极限下工作，支配时间演化的有效哈密顿量由以下方程给出：

(4.1)

其中 是滤波强度。我们根据方程 (2.6) 演化初始密度矩阵 并计算纠缠熵 (EE)。

2. 粒子 - 反粒子数
我们也研究另一个局域算符，即粒子 - 反粒子数 的后选择滤波动力学。在这种情况下，非厄米哈密顿量由以下方程给出：

(4.2)

同样， 表示滤波强度。

在讨论我们的结果之前，让我们简要讨论一下我们如何对张量网络代码进行基准测试，以展示我们结果的有效性。

3. 代码基准测试
我们将我们的张量网络代码与一个小系统尺寸的精确对角化代码进行了基准测试。此外，我们还使用 ITensor 通过实现三种方法对小系统尺寸执行了时间演化：一阶和二阶 TEBD，以及时间相关变分原理 (TDVP) [98]。所有这些方法获得的 在整个时间范围内相互吻合。这在图 11 中有所展示。此外，我们通过改变键维度 和截断阈值 检查了 的行为。同样，我们发现完全吻合。这在图 12(a) 和 12(b) 中有所展示。这些帮助我们进行一致性检查（并测试我们结果的收敛性），确保我们的数值结果独立于各种内在 ITensor 参数的选择，仅取决于底层理论的参数。

4. 纠缠动力学
现在，我们将展示我们的结果。在图 4 中，我们绘制了不同系统尺寸和滤波强度下纠缠熵随时间的演化。这些图中出现了几个特征；我们在下面列出它们。

(1) 这些图清楚地表明，无论系统尺寸如何，纠缠熵演化的定性行为对于这里考虑的两种局域滤波项，即电场通量和粒子 - 反粒子对密度，都是相同的。这可能表明纠缠熵的动力学演化主要取决于进入滤波项的算符是局域的还是非局域的。在接下来的小节中，我们将这种局域算符行为与从与非局域介子跳跃算符相关的滤波获得的动力学进行对比。

(2) 与无滤波（即 ）的情况不同，纠缠熵在早期显示振荡后，在晚期饱和。此外，如图 4 所示，随着滤波强度增加，它达到更低的饱和值。我们将很快对纠缠熵晚期饱和值对滤波率 的依赖性进行彻底调查。

(3) 有趣的是，我们发现纠缠熵的晚期饱和值与系统尺寸无关（此处，我们考虑三种晶格尺寸： ）。虽然我们在图中展示了两个特定的滤波强度值，但我们广泛扫描了 的值以获得 的混合值，反之亦然。这依然成立。因此，在我们调查的滤波强度、演化时间和系统尺寸范围内，我们没有发现类似 MIPT 的有限尺寸标度跃变的证据。

图 4. 局域可观测量的后选择滤波下的纠缠动力学，取两个不同的 值且 (a) 电通量。(b) 粒子 - 反粒子密度。

我们还注意到，我们使用不同的初始态重复了此练习，以检查上述结果是否对初始态的选择敏感。在附录 B 中，我们对另一个初始态，即方程 (2.5) 中定义的 哈密顿量的基态，重复了相同的练习。我们发现与上面报告的行为相同。

5. 纠缠熵晚期饱和值对滤波率的依赖性
从图 4 中，我们发现对于不同的局域滤波项，纠缠熵表现出无标度行为（关于系统尺寸）。我们现在将晶格尺寸设为 和 。我们现在研究纠缠熵对滤波强度 的依赖性。从图 5 和 6 中，我们观察到纠缠熵在更长的时间尺度上经过一些初始振荡后饱和。随着 增加，振荡减小，纠缠熵的晚期饱和值 减小，显示出量子芝诺效应 [45,46,50,75,99]。此外，我们发现纠缠熵晚期饱和值作为滤波强度 的函数的形式。这显示在图 5 和 6 的右侧面板中。注意，我们对 进行了此分析。考虑到连续极限（如第 II 节中讨论），我们在附录 C 中针对 重复了相同的练习。我们发现相同的芝诺样行为，尽管 的函数形式与 情况不同，这从图 14 和 15 右侧面板的图中可以看出。

图 5. 针对电通量算符在不同滤波率下后选择滤波时的纠缠动力学，针对 和 (a) 电通量滤波。(b) 纠缠熵饱和值关于滤波强度 的函数形式 ， ，其中 在所有考虑的值下评估于 。

图 6. 针对粒子 - 反粒子数在不同滤波率下后选择滤波时的纠缠动力学，针对 和 (a) 粒子 - 反粒子数滤波。(b) 纠缠熵饱和值关于滤波强度 的函数形式，其中 在所有考虑的值下评估于晚期时间 。

6. 强耦合和弱耦合区局域后选择滤波下的纠缠熵
我们已经表明，对于之前考虑的各种滤波率 值，两种局域滤波项的纠缠熵晚期饱和值保持与系统尺寸无关。最后，我们研究了在固定 值下纠缠熵对耦合参数的依赖性。我们将系统尺寸固定为 ，并在针对局域可观测量的后选择下，计算不同耦合参数 值下的 。我们展示了两种不同滤波率的结果。

从图 7 和 8 中，我们可以观察到随着 增加，纠缠熵的晚期饱和值随耦合 线性增加。如果我们在不同滤波率 下针对局域可观测量进行后选择，这种行为保持不变。

图 7. 电通量滤波下 EE 饱和值 vs 耦合参数 (a) (b) 。
图 8. 粒子 - 反粒子数滤波下 EE 饱和值 vs 耦合参数 (a) (b) 。

B. 关于跳跃项的后选择动力学
我们现在转向与扩展规范不变算符相关的后选择滤波动力学，即介子跳跃项。该项代表了最小的介子/弦对象的物质 - 规范相互作用能，跨越两个相邻物质位点及其间的规范链，并对应于哈密顿量 (2.5) 中的规范诱导跳跃项。从与之前相同的初始态开始，我们通过添加与此跳跃算符成正比的反厄米贡献来研究生成的有效非厄米动力学。这种情况与前一小节考虑的局域滤波项不同。电通量算符作用于链上，而粒子 - 反粒子数算符作用于位点上。相比之下，介子跳跃项共同作用于两个物质位点及其连接的规范链，因此是一个扩展算符。相应的有效非厄米哈密顿量为：

(4.3)

其中 表示非厄米滤波强度。

要计算纠缠熵，我们将系统二分为子系统 及其补集。由于介子跳跃算符共同作用于相邻位点 和 及其间的规范链，它可以跨越纠缠切割。在以下结果中，我们因此主要仅在子系统 内应用跳跃滤波项，从与 成正比的反厄米部分中排除连接 到其补集的项。然后我们计算两个代表性的滤波强度 值下的纠缠熵。

从图 9 中，我们观察到即使对于这种非局域算符的滤波，纠缠熵的饱和值保持与系统尺寸无关。我们再次扫描 的参数空间，并发现即使在针对此非局域可观测量的后选择下，对于我们的系统也不存在类似 MIPT 的跃变，在我们调查的滤波强度、演化时间和系统尺寸范围内也是如此。同样，即使我们通过在整个系统中添加跳跃项来执行后选择，结论依然成立。注意，随着 增加，早期出现纠缠熵的峰值（我们稍后会对此进行更多评论），尽管目前那的物理意义尚不清楚。

图 9. 限制在子系统 内的介子跳跃滤波下的纠缠动力学，针对 (a) (b) 。

纠缠熵晚期饱和值对滤波率的依赖性
在上一节讨论了进入滤波项的非局域算符对纠缠熵饱和的影响后，我们详细研究了此饱和值如何依赖于两个不同耦合参数 的滤波强度 。可以从图 10 中的这些图中注意到几个有趣的点。我们在下面总结它们。

(1) 如图 10 所示，对于较大的 值，经过初始增加后，纠缠熵饱和；在此之前，它表现出峰值，这不同于之前使用局域算符滤波的情况。这表明进入非厄米滤波项的算符的局域结构可以显著影响 的动力学。我们针对小系统尺寸对此特征进行了精确对角化检查，发现峰值持续存在，表明这不是张量网络伪影。目前，此峰值的物理起源尚不完全清楚，我们将其留作未来研究。

(2) 对于较小的 值，纠缠熵持续振荡，并在研究的时间窗口内不饱和。这是预期的，因为在此区域，方程 (4.3) 中的有效哈密顿量仍然接近厄米哈密顿量方程 (2.5)，对于后者，如第 III 节中讨论，未观察到纠缠熵的晚期饱和。

(3) 当 值较大时，纠缠熵饱和，且晚期饱和值随 的增加而增加。从图 10 的两个图中，我们可以观察到当 值小于或等于 0.5 时，纠缠熵中的峰值开始出现，并且随着 增加（即 减少），峰值开始向早期时间 ( ) 移动。

图 10. 介子跳跃滤波下纠缠熵饱和值随滤波强度 的变化。(a) 针对 (b) 针对 。

V. 结论
在本文中，受最近关于 MIPT 的研究，包括在后选择无点击设置中的研究 [82,83,92,93] 启发，我们发起了一项关于 维 晶格规范理论中后选择非厄米滤波动力学的研究。这里考虑的滤波项与理论中自然存在的规范不变算符相关：电通量、粒子 - 反粒子数和介子跳跃算符。在此，我们强调我们的工作与以前的工作不同，例如参考文献 [75]，其中作者研究测量下高斯定律的破坏或未破坏，并在无点击极限下工作。相比之下，我们的重点是规范不变后选择滤波项生成的纠缠动力学。由于 规范理论自然包含局域算符和扩展介子跳跃算符，它提供了一个有用的设置，以便在共同框架内比较局域和非局域滤波动力学。我们还明确检查了高斯定律在整个时间演化过程中始终保持满足。

我们首先研究了由方程 (2.5) 中的哈密顿量生成的幺正动力学。在没有非厄米滤波项的情况下，纠缠熵在研究的时间窗口内不饱和。我们还计算了不同耦合参数 值下的时间平均纠缠熵，并发现它随 增加而增加。然后我们转向后选择非厄米动力学。具体来说，我们研究了纠缠熵的晚期行为如何依赖于滤波强度 、系统尺寸以及进入反厄米项的算符的局域结构。数值计算是使用二阶 TEBD 进行的，并与小系统的精确对角化、一阶 TEBD 和 TDVP 进行了基准测试。我们还使用不同的数值方案检查了时间演化，并使用 ITensor 中实现的二阶 TEBD 算法和 MPS 来控制 Trotter 误差，特别是针对扩展跳跃算符。

我们发现，在非厄米滤波项存在的情况下，纠缠熵会饱和。

对于局部电通量和粒子-反粒子数算符的滤波，在所研究的参数范围内，纠缠熵（EE）的晚期饱和值始终保持与系统尺寸无关。这表明在所考察的滤波强度、演化时间和系统尺寸范围内，不存在类似测量诱导相变（MIPT）的有限尺寸标度转变。对于非局域介子跳跃算符——即通过规范链连接两个相邻物质位点的最小弦状对象——我们也发现，每当纠缠熵饱和时，其晚期饱和值本质上仍与系统尺寸无关。因此，在此情形下，我们同样未观察到类似MIPT的转变（至少在我们所考虑的滤波强度、演化时间和系统尺寸范围内）。我们还研究了饱和值对滤波强度的依赖关系。对于局部滤波项，纠缠熵先发生振荡，然后在晚期趋于饱和；随着滤波强度的增加，振荡被抑制，呈现出类似于量子芝诺的趋势。非局域介子跳跃算符的行为在定性上有所不同。取决于该参数的比值，纠缠熵可能在饱和之前出现一个早期峰值，且其晚期饱和值随滤波强度增大而增加。该峰值的出现使非局域滤波动力学与局部情形区分开来。其精确的物理起源目前尚不完全清楚，我们将其留作未来工作。这些发现为未来的研究提供了新的机遇。将此研究推广到长（介子）弦上将是有趣的，以观察纠缠熵峰值是否在早期出现。此类研究也可能阐明弦断裂如何在后选择滤波下的纠缠动力学中体现出来。一个立即可验证的问题是，对于更高维度的晶格规范理论是否也成立类似结论。为此，本文发展的方法论可能有所助益。事实上，将总纠缠熵分离为可蒸馏部分和不可蒸馏部分之后，再进行更细致的分析也是有趣的，并研究每一部分的贡献如何响应滤波动力学。最后，本文的工作仅限于确定性的后选择动力学。一个重要扩展是超越这一限制，纳入监测动力学所关联的完整随机演化。将本文所考虑的滤波方案可能的电路实现方案具体化也将十分有用，这可以为量子硬件模拟铺平道路。另一个有前景的方向是将本分析推广到非阿贝尔晶格规范理论，例如某些规范理论，其中更丰富的规范结构和更大范围的物理算符可能带来定性地新的纠缠现象。