纠缠纯化协议的最优插值

《Physical Review A》：Optimal interpolation of entanglement purification protocols

　　

# 两体纠缠纯化

两体纠缠纯化是指，两个分离方之间共享的弱纠缠对的副本，通过仅使用局域操作和经典通信（LOCC），转化为数量更少但纠缠程度更强的共享纠缠对的过程。在不同的纠缠纯化协议之间进行选择，通常涉及权衡两个因素：一是强纠缠对与所消耗的弱纠缠对之比（即我们所说的协议速率），二是所产生的强纠缠对的纠缠程度，通常以这些对与最大纠缠态的保真度来衡量。通过为我们要产生的每一个对，根据一组协议的列表上的概率分布随机选择一个协议，我们可以达到原协议都无法实现的速率和保真度组合。本文中，我们展示了如何选择该概率分布，以最大化以特定保真度相对于贝尔态产生量子比特对的速率，或者等价地，以最大概率使在给定速率下产生的量子比特对相对于贝尔态的保真度最大化。我们同时研究了渐近情形（即初始对的数量趋于无穷）和有限尺寸情形（即协议被限制在有限数量的弱纠缠对上）。

## I. 引言

在量子信息中，我们拥有一些在经典信息中没有对应物的资源。其中，纠缠是理解较为充分的一种。此外，纠缠也是最为有用的资源之一；在其他应用之外，纠缠被用于量子态传态协议[1]、使每次使用无噪声量子比特信道所能传递的经典信息量翻倍[2]，以及共享保密密码密钥[3–5]。与其他量子资源一样，纠缠受到一个基本的速率-损耗标度律的制约[6]，因此长距离端到端分发需要借助量子网络。

纠缠只能在局域产生[7]。因此，两个分离方——Alice和Bob——通常通过局域产生一个纠缠对，然后将两半分别发送给Alice和Bob来共享纠缠。这一过程会在纠缠对中引入噪声，因此我们不能期望Alice和Bob的状态是最大纠缠的。然而，如果该过程产生的纠缠对的质量低于我们的要求，或者产生纠缠对的速率高于我们使用所需，Alice和Bob可以选择牺牲部分纠缠对，以期提高其余纠缠对的纠缠质量。这一过程被称为纠缠蒸馏或纠缠纯化[8]。

我们将不关注量子香农理论中将我们的含噪纠缠对转化为尽可能多的完美最大纠缠态的任务（在对数趋于无穷时）。相反，我们将关注那些实现某种非最大纠缠水平的协议，其纠缠程度通过所得态与最大纠缠对之间的保真度来衡量。此外，我们将特别关注初始态为独立量子比特对的典型情形。

通常，我们期望纯化的对数（每消耗一个初始对所能纯化的对数）与所得对相对于所选贝尔态的保真度（即贝尔保真度）之间存在权衡关系，而不同的纯化协议会提供不同的权衡选项。在某些应用中，特别是在量子网络的背景下，我们可能希望以至少某一特定速率将初始态转化为纯化态，或者产生至少具有某一特定贝尔保真度的纯化态。例如，我们的应用可能需要最低纠缠质量[9]，或者网络中可能存在其他瓶颈，使得Alice和Bob在一定范围内降低纯化速率而几乎不会带来任何不利影响[10]。

通过为我们要产生的每一个对随机选择一个纯化协议——我们将此称为协议间的插值——我们可以达到由原协议所提供的选项之间的折中权衡。协议插值的初步方法在参考文献[11]中有所讨论。然而，在那篇论文中，插值仅考虑在将所有协议都旨在将相同固定数量的初始对转化为一个纯化对的情况之间进行。本文中，我们考虑在可能消耗可变数量对来产生一个纯化对的协议之间进行插值的优化策略。

如果我们有一组纠缠纯化协议并希望对其进行插值，我们必须选择这组协议上的一个概率分布，该分布告诉我们以多大的概率从列表中选取某个特定协议来纯化我们的下一对。该概率分布的不同选项会导致相应"插值"协议在速率和保真度方面呈现不同的权衡关系。在第二节中，我们展示了如何找到在特定速率下产生最高贝尔保真度的对，或者在特定贝尔保真度下以最高速率产生对的概率分布。这是在我们要纯化的初始对数趋于无穷时完成的。

然后在第三节中，我们研究在仅有固定有限数量对可供纯化时，插值纯化协议的性能。请注意，虽然为了方便起见，我们将这些初始对描绘为同时存在于一个待纯化的状态"池"中，但该分析同样适用于许多对并非同时存在的其他情形，例如，两个方频繁生成弱纠缠对、对其进行纯化，然后将纯化后的对用于各自用途的情况。在那种情形下，所消耗的有限初始对数即为总共生成的弱纠缠对数量，即使它们无需同时存在。

为具体起见，在第二节和第三节中，我们演示了如何将所发展的一般技术应用于在不同迭代次数的"DEJMPS"协议[12]之间进行插值的情况，其中初始对是通过将贝尔态的半部分通过简单含噪量子信道而产生的。也就是说，我们分析了作用在形如

$$\rho = \mathbb{I} \otimes \mathcal{N}(|\Phi^+\rangle\langle\Phi^+|)$$

的初始态上的"插值DEJMPS"协议的性能，其中 $|\Phi^+\rangle$ 是我们选定的贝尔态，$\mathbb{I}$ 是Alice保留的 $|\Phi^+\rangle$ 半部分上的恒等操作，$\mathcal{N}$ 是施加于第二个（被传输的）量子比特上的量子信道。我们将插值协议所达到的速率与仅需对DEJMPS协议施加足够次数以达到目标保真度0.9（相对于 $|\Phi^+\rangle$）时所能达到的速率进行了比较。

## II. 渐近情形

### A. 一般情况

#### 1. 可实现的速率和保真度

设Alice和Bob拥有一个独立量子比特对的池，每对处于某种纠缠态 $\rho$，并希望将它们通过局域操作和经典通信（LOCC）转化为尽可能多的独立对，且贝尔保真度尽可能高。这里的贝尔保真度指的是相对于 $|\Phi^+\rangle$ 的保真度。自然而然地，我们期望他们所实现的贝尔保真度与他们从池中每消耗一对所产生的对数之间存在权衡关系。在这里，我们将两个密度算符 $\sigma$ 和 $\tau$ 之间的保真度定义为

$$F(\sigma, \tau) = \left\| \sqrt{\sigma} \sqrt{\tau} \right\|_{\text{Tr}} \quad (1)$$

此外，对每个 $f$，我们令

$$W_f = (1-f)\frac{\mathbb{I}}{4} + f|\Phi^+\rangle\langle\Phi^+| \quad (2)$$

其中 $\mathbb{I}$ 是四维恒等操作，$W_f$ 记为贝尔保真度为 $f$ 的Werner态。

设 $\mathcal{H}$ 是量子比特对状态存在的Hilbert空间。那么，给定 $N$ 和 $m$，如果对每个 $N$ 和 $m$，都存在一个 $K$ 和一个从 $\mathcal{H}^{\otimes N}$ 上密度算符空间到 $\mathcal{H}^{\otimes m}$ 上密度算符空间的LOCC $\Lambda_{N,m}$，使得

$$F\left(\Lambda_{N,m}(\rho^{\otimes N}),\, W_f^{\otimes m}\right) \geq 1 - \epsilon \quad (3)$$

其中 $W_f$ 记为贝尔保真度为 $f$ 的Werner态[13]，则我们称从 $\rho$ 出发可以以速率 $r$ 达到保真度 $f$。

#### 2. 插值协议

如果Alice和Bob商定一个协议，该协议平均消耗池中某个有限非零数量 $n$ 的状态，并以概率1产生单个处于某态 $\sigma$ 的纠缠量子比特对，则我们称该协议的速率为 $1/n$。由大数定律可知，如果Alice和Bob重复该过程足够多次，他们可以确保所产生的 $\sigma$ 态数量与所消耗的 $\rho$ 态数量之比任意接近该协议速率的概率任意接近1。

现在，假设我们有一组 $K$ 个协议（对某个 $K$），分别产生单个副本的态 $\sigma_1, \sigma_2, \ldots, \sigma_K$。我们记 $n_k$ 为各协议平均消耗的状态数，记 $r_k = 1/n_k$ 为各协议的速率。

设 $p_1, p_2, \ldots, p_K$ 为 $\{1, 2, \ldots, K\}$ 上一个概率分布的概率，令

$$p = (p_1, p_2, \ldots, p_K) \quad (4)$$

现在，选择 $N$ 和 $\delta$。给定 $N$，令 $X_1, X_2, \ldots, X_M$ 为独立随机变量，每个按照所选概率分布在 $\{1, 2, \ldots, K\}$ 上分布。现在，设想Alice和Bob依次应用他们的 $X_1$ 协议，然后是 $X_2$ 协议，依此类推，直到应用完 $X_M$ 协议。如果消耗的 $\rho$ 态数量超过 $N$，则令 $S_M = 0$；否则令 $S_M = 1$。如果 $S_M = 0$，则他们宣布失败，并将所有量子比特替换为 $W_0$ 或他们选择的某个其他可分态。否则，他们宣布成功，并对他们的每一对应用旋转操作（即参考文献[14]中描述为随机双边旋转的操作），将它们转化为Werner态，同时保持每对的贝尔保真度。由弱大数定律，当 $M \to \infty$ 时，$S_M \to 1$。因此，我们可以固定 $M$ 使得 $S_M = 1$。

设 $f_k$ 分别表示 $\sigma_k$ 的贝尔保真度，令

$$\bar{f} = \sum_{k=1}^{K} p_k f_k \quad (5)$$

我们看到，Alice和Bob的插值协议将 $\rho$ 映射为

$$\bar{\sigma} = \sum_{k=1}^{K} p_k \sigma_k \quad (6)$$

其中

$$\bar{r} = \frac{\sum_{k=1}^{K} p_k}{\sum_{k=1}^{K} p_k n_k} \quad (7)$$

且具有 $\bar{f}$ 和 $\bar{r}$。注意 $\bar{\sigma}$ 和 $W_f$ 都是贝尔对角态。

设 $Y$ 和 $Z$ 为 $\{0, 1, 2, 3\}$ 上的随机变量，给定 $X_i$ 时条件独立，其中对每个 $i$ 和 $k$，

$$P(Y_i = j \mid X_i = k) = \text{（贝尔基下}\,\sigma_k\,\text{的对应对角元）} \quad (8)$$

以及

$$P(Z = j) = \text{（贝尔基下}\,W_{\bar{f}}\,\text{的对应对角元）} \quad (9)$$

然后，我们将每个可能的 $Y$ 态序列与 $\{0, 1, 2, 3\}$ 中的唯一 $Z$ 关联起来，使得 $Z$ 在 $\{0, 1, 2, 3\}$ 上的概率质量函数对应于 $\bar{\sigma}$ 在贝尔基下的对角元。同样地，我们定义一个随机变量 $Z'$，当 $S_M = 1$ 时等于 $Z$，当 $S_M = 0$ 时，是一个由 $M$ 个独立随机变量组成的序列，每个变量以概率 $1/4$ 取值为 $0, 1, 2, 3$。那么 $Z'$ 的概率质量函数对应于 $\bar{\sigma}$ 在贝尔基下的对角元，正如 $Z$ 对应于 $W_{\bar{f}}$ 的情况一样。

现在，

$$F\left(\bar{\sigma}^{\otimes M},\, W_{\bar{f}}^{\otimes M}\right) = 1 - \delta \quad (10)$$

因此，我们可以用迭代插值协议以速率 $\bar{r}$ 达到保真度 $\bar{f}$。在继续之前，我们指出，如果愿意，我们同样可以说，以概率 $1-\delta$，我们从 $\rho$ 出发成功产生一个相对于 $|\Phi^+\rangle$ 保真度至少为 $\bar{f}$ 的状态，即 $W_{\bar{f}}$。

#### 3. 插值的重参数化

现在，对每个 $k$，令

$$q_k = p_k / n_k \quad (11)$$

使得达到的保真度为

$$\bar{f} = \frac{\sum_{k=1}^{K} p_k f_k}{\sum_{k=1}^{K} p_k} = \frac{\sum_{k=1}^{K} q_k f_k}{\sum_{k=1}^{K} q_k} \quad (12)$$

而速率为

$$\bar{r} = \frac{\sum_{k=1}^{K} p_k}{\sum_{k=1}^{K} p_k n_k} = \frac{\sum_{k=1}^{K} q_k}{1} = \sum_{k=1}^{K} q_k \quad (13)$$

注意，如果我们将 $q_k$ 乘以同一个非零常数，可达到的保真度和速率不会改变。因此，在接下来的讨论中，我们将去掉归一化条件 $\sum_{k=1}^{K} q_k = 1$，而仅要求 $q_k \geq 0$ 且 $\sum_{k=1}^{K} q_k > 0$。

#### 4. 插值的优化

我们现在转向如何选择 $q_k$ 以在特定速率下最大化所达到的保真度，或者反过来。如果某个协议的速率和保真度都至少不低于另一个，那么就没有理由使用后者。因此，我们假设 $f_1 > f_2 > \cdots > f_K$ 和 $r_1 < r_2 < \cdots < r_K$。现在，如果至少三个 $q_k$ 为正，我们可以从 $\{1, 2, \ldots, K\}$ 中选择三个不同的值 $i, j, l$，使得 $q_i, q_j, q_l$ 为正，并且不妨设 $i < j < l$。那么，我们可以选择 $t$ 使得 $q_i + tq_j = q_l$。

对每个 $k$，令 $g_k = f_k q_k$。如果我们有一个 $q_k = 0$ 的情况，则令 $q_k = q_k$，$g_k = g_k$，$r_k = r_k$。否则，令 $q_k = q_k$，$g_k = g_k$，$r_k = r_k$，其中 $\tilde{q}_k > 0$。

在以上任何一种情况下，我们都会看到这些量都是非负的，非零项的数量少于非零项的数量，满足(14)式，并且满足(15)式。重复这一论证，我们看到必然存在一种方法，仅通过对Alice和Bob的两个协议进行插值，就能以与原始插值协议相同的速率实现至少与原始插值协议相同甚至更高的Bell保真度。因此，当我们探讨如何选择以最大化目标速率下最终状态的Bell保真度（或反之，以固定保真度最大化速率）时，我们只需考虑所有非零分量中仅有两个非零的选择。这大大简化了优化问题。

假设我们决定在Alice和Bob的两个协议之间进行插值，即和协议。进一步假设我们希望在某一速率（其中）下产生尽可能高保真度的近似ebit。我们可以看出，以这种方式可以实现的保真度为(16)式。因此，只要，通过在给定的纠缠提纯协议之间进行插值，在目标速率下能实现的最大保真度为(17)式，其中。

类似地，通过在给定的纠缠提纯协议之间进行插值，以保真度产生近似ebit的最大速率为(18)式，其中。

在进入下一步之前，我们注意到也可以从几何角度来理解这一优化问题。根据公式(4)和(5)，我们可以通过在协议之间进行插值以速率实现保真度，当且仅当点位于的凸包内。最优插值对应于凸包边界上的点。图1给出了一个示例。从这个几何视角来看，我们可以看出，正如我们上面所证明的那样，在寻找最优插值时，我们无需考虑超过两个协议的插值。我们还可以看出，只要我们的协议中没有任何协议对应于凸包严格内部的点，就总可以通过在我们列表中相邻协议之间进行插值来找到最优插值。

图1. 四个点的凸包，分别对应于DEJMPS协议应用于态时零次、一次、两次和三次迭代的性能。注意虽然图中不太明显，但对应于DEJMPS协议一次迭代的点严格位于凸包的内部。

5. 限制协议数量

假设Alice和Bob有一系列协议，分别以速率实现保真度，其中，，，。他们希望利用上述思路找到一种插值协议，例如以尽可能高的速率实现保真度。然而，在不选择值的情况下，他们无法使用公式(18)。他们如何选择的值并确信更大的值不会允许他们找到以更高速率实现目标保真度的插值协议？

自然地，我们假设。现在，令。假设Alice和Bob已经找到了某种以速率实现保真度的插值协议。我们将进一步假设，因为我们显然可以实现保真度（小于或等于），且速率至少为，如果我们能以速率实现它，那么协议将严格差于我们其他两个协议的某种插值，并且可以将其从协议集中省略而不损失任何性能。现在，如果对于某些和某些，通过在和协议之间进行插值，可以以大于的速率实现保真度，那么，从公式(18)可知，(19)式，因此我们得到(20)式，其中表示(21)式。注意公式(21)中的表达式为正，且独立于和。因此，Alice和Bob可以将设置为，从而将注意力限制在有限数量的协议进行插值，同时确信设置更大的不会实现更好的速率。如果我们希望在特定固定速率下最大化保真度，可以使用几乎相同的公式来限制。

B. DEJMPS情形

1. DEJMPS插值

我们将把这些概念应用于一个具体示例。假设Alice和Bob希望通过在具有不同迭代次数的DEJMPS协议之间进行插值，以最高速率产生保真度为的近似ebit。关于DEJMPS协议的描述见附录A。

令，对于，令，其中是在两个独立的对（每个处于将DEJMPS协议应用次后的输出态）上应用DEJMPS协议成功时的概率。如果我们将一个大的状态池中的态进行连续迭代的DEJMPS协议，则对于每个，我们预计在第次迭代中能存活的量子比特对比例为。然后我们可以看到，对于，执行次的DEJMPS协议的速率为。该结果的替代推导方法见附录A3b。图2展示了通过将退极化通道作用于真实ebit所产生的Werner态，通过此类插值协议转换为保真度为0.9的态的速率。

图2. 使用DEJMPS和插值DEJMPS协议将退极化通道作用于真实ebit产生的输出态转换为保真度为0.9的近似ebit的速率。通过在不同次数的DEJMPS迭代之间进行插值所能实现的速率以蓝色显示。通过简单地将DEJMPS协议迭代应用（无插值）直到达到目标保真度所能实现的速率以橙色显示。以绿色显示的可达速率上界基于纠缠相对熵（REE）。

2. 可达速率的上界

作为参考，将标准的迭代DEJMPS和插值DEJMPS协议实现目标保真度的速率与某个可达速率上界进行比较也是有用的。假设可以从以速率实现保真度。现在，令是渐近连续的纠缠度量。我们可以看到，对于所有，我们必须有(22)式。例如，假设是纠缠相对熵（REE），是某个Werner态。尽管它通常不具有可加性，但它对于相同的Werner态是可加的，因此我们发现[15,16](23)式，其中是二元熵函数。再次参见图2，其中我们将此上界与标准和插值DEJMPS协议进行比较。

III. 有限尺寸情形

A. 有限性能

在实践中，我们进行纠缠提纯的状态池是有限的。因此，在仅限于个初始状态的情况下，能够量化第II节中描述的协议与渐近保真度和速率的接近程度将是非常有用的。如前所述，我们令表示当趋向无穷时我们的协议所能实现的保真度。如果我们要产生的状态数量为，且我们的协议作用于上的联合输出态为，那么我们可以定义全局不保真度为(24)式，以及（平均）每对不保真度为(25)式。

在这里，我们将关注Alice和Bob能够瞄准产生的最大状态数，同时保持全局不保真度或每对不保真度低于某个选定的阈值。也就是说，我们要么设定(26)式，要么设定(27)式，取决于我们关注的是全局还是每对不保真度。然后我们将说，从出发，我们以全局或每对不保真度最多为实现了保真度和速率。

在此时我们重申，尽管为了方便起见我们将讨论称为个初始状态的状态池，但这些状态并不需要同时存在。例如，假设量子网络中的两个节点产生初始纠缠态，尽可能多地对他们目前生成的状态应用协议，并在产生提纯对后立即使用它们。例如，如果他们使用的是第II B 1节中描述的插值DEJMPS协议，其中他们应用的DEJMPS协议的最大迭代次数为，那么他们每次只需存储多达对量子比特对即可。然后，如果我们知道在某段时间内，这两个节点将生成的副本，并希望将它们提纯为尽可能多的副本（在某个指定的不保真度范围内），那么我们可以通过某些数量的提纯状态来做到这一点，即使的副本不需要同时存在。

B. 界定

在实践中，寻找可能会在计算上代价很高。因此，我们将分别为不同值的上界和下界来代替地找到其上下界。不等式(10)告诉我们，我们将有。如果我们不使用插值协议，而是使用始终产生独立态的协议，那么我们可以利用和的独立性来修改推导不等式(10)时使用的论证，从而获得更紧的下界，(28)式。例如，如果我们的协议包括应用足够多的DEJMPS迭代以使输出态的Bell保真度超过，然后再应用twirling和退极化操作将输出态转换为态，那么不等式(28)将适用。我们可以利用两个状态之间的保真度在任何子系统的偏迹作用下会增大这一事实来获得的上界。令等于(29)式。然后，对所有除最后一对量子比特对之外的所有子系统取偏迹，我们发现(30)式。

我们将使用这些上下界来对进行上下界定，使我们能够将新的插值协议的性能与原始协议进行比较。为了具体化，我们假设希望将协议的输出的全局不保真度限制在小于，即我们使用公式(26)来定义。如果相反希望使用公式(27)，以下内容可以 straightforwardly 调整为该情况。

我们有(31)式，其中表示(32)式。如果我们的协议仅在成功时产生独立的态，我们可以使用不等式(28)来改进这一点，并写出(33)式，其中(34)式。最后，基于不等式(30)，我们有(35)式，其中表示(36)式。因此，如果我们有一种方法可以计算不同值和时的，那么我们就可以对进行界定。在附录B中，我们描述了两种方法，我们将其应用于插值DEJMPS协议以产生图3和图4。这些图提供了一个示例，展示了在某些区域中可以使用本文描述的插值技术获得的改进性能。特别是，我们看到插值DEJMPS协议如何能够在各种中间区域中明显优于标准DEJMPS协议的速率。附录C提供了额外的此类图。

图3. 对于不同的初始对数（通过将一个选定的Bell态的一个量子比特施加退极化通道生成），DEJMPS协议和插值DEJMPS协议在达到目标保真度0.9时的最大输出对数（相对于每输入对）的下界和上界，其中全局不保真度为。初始态的Bell保真度线性间隔分布，范围从左上角图的0.55到右下角图的0.9。在每个面板的顶部，我们显示了与这些保真度相对应的退极化概率（精确到三位有效数字）。如果退极化概率为，则初始态的Bell保真度为。DEJMPS协议的下界和上界分别以红色和绿色显示，插值DEJMPS协议的下界和上界分别以黄色和品红色显示。DEJMPS和插值DEJMPS协议的渐近速率分别以蓝色和青色显示。

请注意，插值协议的下界基于不等式(31)，未插值的DEJMPS协议的下界基于不等式(33)，上界基于不等式(35)。图4. 与图3相同，但允许的最大不保真度为每对的不保真度。

四、结论

在不同协议之间进行插值，通常能使双方以更高的速率将弱纠缠对纯化到具有特定目标贝尔保真度的对，或者以特定速率输入对并纯化出比任何"未插值"协议所能达到的更高的贝尔保真度输出对。当在离散协议集中选择时，若没有任何一个协议能在无多余的情况下达到目标保真度或目标速率，这一点尤为明显。因此，在纠缠纯化协议之间进行插值，对于任何需要在特定速率下纯化对或达到特定质量的应用来说，很可能是一种有用的技术。

为了简单起见，我们只考虑了每次仅纯化一对的协议，即所谓的单对协议，但我们的结果可以推广到同时产生多对纯化对的协议，即所谓的多对协议。当我们使用多对协议时，情况会因纯化后的对不再相互独立而变得复杂，它们与同时产生的对存在关联。例如，如果我们所有的协议都产生两对具有特定贝尔保真度的Werner态，而非一对，那么如果你知道第一对纯化对的状态，你也就能知道第二对的状态。对于某些应用，态之间的这些关联可能无关紧要，但对于其他应用则可能很重要。为了产生一个近似等于具有目标保真度的Werner态张量积的全局态（以我们平均全局输出态与该全局目标态的保真度来衡量），我们可以纯化许多对，然后对纯化后的对执行随机排列。这种方法的一个缺点是，我们无法在纯化完成后立即使用纯化对。相反，我们必须等到纯化出足够多的对后才能执行排列操作。

本文未考虑的一个问题是，在有限尺度场景下如何最优地插值。渐近场景下的最优插值在有限$N$时未必最优，例如在图3中可以看到，对于某些信道参数和$N$值，标准DEJMPS协议比我们的插值协议表现更好。这可能是未来研究的一个有趣方向。

一个自然的后续步骤是将本文开发的成果应用于现实场景中。例如，建模其在现实量子网络中[17–22]作为实用纠缠分配协议一部分的应用效果将很有意义。注意，虽然我们选择使用DEJMPS协议来说明插值思想，但在设计纠缠分配协议时，我们可能通过考虑其他实用的纠缠纯化协议来获得更好的性能。