利用调制传输带宽增强弥合里德伯射频接收器性能差距

《Physical Review Applied》：Bridging gaps in Rydberg rf receivers using modulation-transfer bandwidth enhancement

　　

我们在理论和实验上优化了最近展示的调制传递协议的[Zhao等人，里德堡射频接收器的调制传递协议，Appl. Phys. Lett. 125, 154001 (2024)]性能，旨在扩展基于热里德堡原子的量子射频接收器的带宽。这种优化依赖于调节耦合光束的相位调制参数，该相位调制通过原子的非线性响应被转换为探测光束的振幅调制。我们开发了一个理论模型来优化耦合光束的调制频率和调制幅度，从而最大化原子响应。优化完成后，测量了该调制传递协议对失谐射频场的灵敏度，并将其与传统协议进行比较。比较表明，新协议允许显著提高检测带宽。实际上，只要待测量的射频信号失谐超过几MHz，它就优于常规协议。我们通过实验展示了该调制传递协议如何通过弥合两个相隔166 MHz的里德堡跃迁之间的间隙来增强检测带宽，以此说明其能力。在所有情况下，实验结果与模拟结果吻合良好。

I. 引言

大量量子传感器基于由电磁辐射探测的原子共振。在这种情况下，传感器灵敏度通常取决于(i) 被探测共振的强度以及(ii) 共振的线宽[1]。根据这两个标准，里德堡原子，即对应于主量子数$n$大值的原子能级，尤其具有吸引力，因为(i)两个相邻里德堡能级之间的电偶极矩按$n^3$比例缩放，并且(ii)里德堡能级的寿命可达毫秒量级，使其之间的共振极其窄。

由于里德堡能级之间的跃迁频率从MHz范围延伸至THz范围，这些考量促使开发了非常有前景的基于此类里德堡能级的射频接收器。这些射频接收器依赖于碱金属原子热蒸气中的三能级电磁感应透明(EIT)[2]，其中射频场诱导Autler-Townes (AT)劈裂。该技术最初使用铷-87($^{87}$Rb)[3]引入，此后扩展到铷-85($^{85}$Rb)[4]和铯[5]。

虽然此类传感器的主要焦点是通过测量射频场振幅来实现电计量，但一些研究利用相同的初始装置开发了替代方法。这些方法旨在测量相位[6–8]、偏振[9,10]，甚至射频场的到达角度[11,12]。

这种全光学检测方法允许检测从亚兆赫兹[13–16]范围到太赫兹频率[17]的信号，利用了碱金属原子里德堡态之间的大量允许原子跃迁。这些跃迁具有大的电偶极矩，使得里德堡射频接收器对共振微波场高度敏感。

然而，当射频信号与窄共振失谐时，这种灵敏度会迅速下降。确实，当射频场恰好处于共振时，能级间距与射频场振幅呈线性依赖关系(Autler-Townes双峰)，但远离共振时，这种依赖关系变为二次关系(光位移)。此外，在吉赫兹范围内存在显著的间隙，跃迁之间的间隔为几兆赫兹。这一限制阻碍了实现连续频率检测。

为了解决这一限制，一些研究小组提出通过使用高功率[18]失谐射频场诱导交流斯塔克位移来提高射频带宽。这种方法可以产生数吉赫兹的大带宽(从2到5 GHz)，但导致灵敏度降低，这对于检测弱射频场并不理想。另一种方法是使用射频本振[19–21]来增强灵敏度并实现弱射频场的检测。此外，已证明激发第二个里德堡跃迁可以调节传感器共振频率[22]。然而，这两种技术都需要第二个射频场，这违背了开发全光学检测系统的目标。或者，可以使用直流斯塔克位移[23]，但它们需要蒸气室内部放置电极，这也与创建全介电检测系统的目标相矛盾。

为了克服这些限制，已展示了一种全光学方法来增加射频带宽，使用类似于四波混频的调制传递[24,25]。它基于对耦合激光进行相位调制，并通过原子介质的非线性将其传递到探测激光上。然后通过检测探测场的强度调制获得一个新信号，这已被证明可以显著改善射频检测带宽[25]。

因此，本文的目标是改进这一调制传递协议(MTP)，尽可能扩大射频带宽，与传统协议(CP)相比，从而弥合两个相近射频跃迁之间的间隙。这是在$^{85}$Rb中的三能级阶梯EIT方案中通过优化调制参数来实现的。第一步是开发并运用一个可靠的理论模型。这在第二部分进行，我们模拟了系统沿CP和MTP的响应。然后使用该模型来优化调制参数。这些模拟的结果随后在第三部分与实验测量值进行比较。第四部分提供了两种协议性能的详细比较。信号和噪声经过仔细测量和分析，以确定MTP优于通常方法的条件。提供了带宽和灵敏度的完整比较，并由模拟提供佐证。最后，通过展示该方法如何保持良好灵敏度同时在两个相邻里德堡跃迁之间调节射频频率，说明了新方法的优越性，而传统方法则导致灵敏度完全丧失。

II. 理论与模拟

正如引言所述，本节致力于里德堡传感器沿两种协议的理论和模拟。在CP中，II.A节，利用探测场直流传输的变化来测量射频场。在调制传递协议中[25]，耦合光束进行相位调制，导致探测光束强度的调制(II.B节)。本节中详细的模拟将在III.B节中用于优化调制参数。

A. 传统协议

为对原子与电磁场之间的相互作用进行建模，我们考虑一个四能级原子，如图1(a)所示。原子初始处于基态$|1\rangle$，通过频率为$\omega_p$的探测激光耦合到第一激发态$|2\rangle$。此外，一个频率为$\omega_c$的耦合激光将后者连接到里德堡态$|3\rangle$。与两个反向传播激光相关的电场[见图1(b)]分别记为$E_p$和$E_c$。此外，待检测的射频场将原子耦合到两个里德堡态$|3\rangle$和$|4\rangle$，频率为$\omega_{rf}$。其电场为$E_{rf}$。

图1. (a) 传统里德堡射频接收器使用的激发方案。(b) MTP里德堡射频接收器使用的激发方案，其中耦合场被相位调制。(c) 具有单频耦合和输出探测场的CP。(d) 包括耦合和输出探测场边带的MTP。

驱动系统的哈密顿量$H$由原子部分$H_a$和定义为$H_i = -d \cdot E$的相互作用项组成，其中$d$是偶极算符。不同的拉比频率分别为：探测场的$\Omega_p$、耦合场的$\Omega_c$和射频波的$\Omega_{rf}$。我们引入失谐量$\delta_p$、$\delta_c$和$\delta_{rf}$，其中$\omega_{ij}$是$|i\rangle$和$|j\rangle$之间的跃迁频率。在与场同步旋转的参考系中，支配系统演化的哈密顿量变为：

(1)

描述原子状态的密度算符$\rho$根据冯·诺依曼方程演化：

(2)

其中$D(\rho)$模拟弛豫机制。态$|i\rangle$布居数$n_i$的衰减率记为$\gamma_i$，而$\gamma_{ij}$是$|i\rangle$和$|j\rangle$之间相干项$\rho_{ij}$的衰减率。原子通过激光束的过境速率记为$\gamma_t$，并加到密度矩阵所有元素的衰减率中。最后，进入相互作用区域的基态原子的速率记为$\gamma_p$。通过将密度矩阵$\rho$表示为16分量列向量，方程(2)可以重写为以下形式：

(3)

其中$M$是一个$16\times16$矩阵，包含来自哈密顿量的元素；$K$也是一个$16\times16$矩阵，包含弛豫项；$I$是一个16元素列向量，其第一个元素为1，其他元素为零。在下文中，我们寻找方程(3)的稳态解。

探测场在原子介质中传播期间的演化从麦克斯韦方程获得。原子在探测频率处的极化为$P = N \cdot p_{21}$，具有复振幅$\chi$，其中$N$是原子密度。为了考虑原子室在探测波长处的大光学厚度，我们将其厚度分为大量小切片，厚度为$\Delta z$，每个对应于小于1%的弱线性吸收。然后，对于每个切片，探测场振幅的演化可以表示为：

(4)

其中$c$是光速，$M(v_z)$是原子速度纵向分量$v_z$的麦克斯韦分布。在方程(4)的积分中，光学相干$\rho_{21}$通过探测和耦合光束的失谐量依赖于原子速度$v_z$，分别受多普勒频移$\delta_{Dp}$和$\delta_{Dc}$的影响。

在下文描述的实验中，原子介质是光学厚度的，我们将其长度$L$分为典型地100个等厚切片$\Delta z = L/100$，每个吸收不到1%的探测功率。每个的输出作为下一个的输入。然后我们得到探测传输为$T = E_p(L)/E_p(0)$。

在下文中，我们关注$^{85}$Rb的以下能级：能级$|1\rangle$为$5S_{1/2}$，能级$|2\rangle$为$5P_{3/2}$，能级$|3\rangle$为$48D_{5/2}$，能级$|4\rangle$对应于$50S_{1/2}$。参数$\Omega_p$、$\Omega_c$和$\gamma_t$的值从名为"alkali Rydberg calculator"的Python包[26]获得。电偶极矩阵元素的值通过对构成每个跃迁的不同子能级之间的跃迁取平均得到。这些在模拟中使用的参数值汇总在表I中。此外，共振时原子室的小信号传输等于0.34，光束中原子的过境速率为$\gamma_t = 2\pi \times 250$ kHz。所有这些值都是根据下文描述的实验参数推导出来的(见III.A节)。

表I. 模拟中使用的参数(见图2)，对应于III.A节中引入的实验参数(见图4)。

| 偶极矩$|d_{ij}|$ (a.u.) | 布居衰减$\gamma_i$ (MHz) | 拉比频率$\Omega$ (MHz) |
|---|---|---|
| $d_{12}$: 1.96 | $\gamma_1$: 6.050 | $\Omega_p$: 1.32 |
| $d_{23}$: 0.01 | $\gamma_2$: 0.002 | $\Omega_c$: 2.38 |
| $d_{34}$: 2272.4 | $\gamma_3$: 0.002 | $\Omega_{rf}$: 可变 |

B. 调制传递协议

在调制传递协议中，耦合激光在频率$\Omega_{mod}$下进行相位调制。这会产生两个符号相反的边带，如图1(b)所示。耦合场可以表示为$E_c = E_c^{(0)} + E_c^{(+)} + E_c^{(-)}$，其中载波和边带场分量由下式给出：

(5)

其中$E_c^{(\pm)}$和$E_c^{(0)}$是边带和载波的复振幅。由于这些边带的存在，方程(3)必须替换为：

(6)

其中$M^{(+)}$、$M^{(0)}$和$M^{(-)}$是包含场不同频率分量对应的哈密顿量项的$16\times16$矩阵。

该方程的解可以通过对密度矩阵进行Floquet展开来近似，即$\rho = \sum_n \rho^{(n)} e^{in\Omega_{mod}t}$。然后可以使用连分数法[27]获得不同频率分量的振幅$\rho^{(n)}$。通过将连分数截断到$n$阶，得到以下方程组：

(7)

其中$I_n$是$n\times n$的单位矩阵。在获得方程(7)中的矩阵$M^{(+)}$、$M^{(0)}$和$M^{(-)}$之后，我们可以写出旋转参考系中$|2\rangle$和$|1\rangle$之间的相干性为：

(8)

方程(8)表明原子在频率$\omega_p \pm \Omega_{mod}$处辐射光。

这种从耦合光束到探测光束的调制转移，可以被解释为由原子非线性介导的四波混频现象[28]，它给探测光束添加了边带。例如，我们看到三个入射频率 、 和 的组合产生了新的边带频率 。这些新边带的出现导致了探测光束强度的调制，如图1(d)所示。因此，我们可以从探测光束的检测中提取出一个被称为相对调制幅度（RMA）的新信号，定义为 (9)其中 、 和 分别是探测载波和边带的复振幅， 是入射探测场的复振幅。值得注意的是，该信号虽然是通过在耦合光束的相位调制频率处对探测功率进行解调获得的，但与使用标准锁相检测方法所能获得的结果有显著不同。式(9)的RMA信号的模拟结果如图2所示，作为探测失谐的函数绘制。计算这些谱线所用的参数值如表I所列，与下面将描述的实验参数相对应。图2(a)显示了在没有射频场时RMA谱。与插图所示的通常EIT谱相反，RMA谱在 处表现出非常尖锐的破坏性干涉特征。这种破坏性行为源于相位调制的耦合光束的两个边带之间 的相位差。当存在与里德堡跃迁共振的射频场时，信号变为图2(b)所示的形式。接下来，我们的目标是利用这些信号中由于破坏性干涉现象而展现出的尖锐共振，来增强射频信号检测的带宽。

FIG. 2. 探测强度RMA随探测失谐变化的模拟演化，(a) 和(b) 。插图显示了传统方案中相应的探测透明度演化。透明度定义为耦合光束存在时探测透过率的变。模拟参数值见表I。对于调制转移方案， 和 。

耦合场的调制基于两个关键参数：(i) 调制频率 ，和(ii) 调制幅度。后者由 来量化，定义为 (10)在接下来的部分中，我们将优化这两个参数以最大化射频检测带宽，使用调制转移方案。

III. 调制转移方案的实验与理论优化

基于前一节描述的理论方法，本节的目的是描述优化调制转移方案响应的实验和模拟工作。

A. 实验装置

在讨论RMA优化之前，我们先描述实验配置，如图3所示。

FIG. 3. 简化实验装置。BS：分束器， ：四分之一波片， ：半波片，PD：放大光电探测器，APD：雪崩光电二极管，DM：二向色镜，AOM：声光调制器，AWG：任意波形发生器。放大光电探测器和雪崩光电二极管用于监测探测激光在通过蒸汽室前后的功率。在传统方案中，耦合激光使用方波信号进行幅度调制。相反，调制转移方案采用正弦信号对耦合激光进行相位调制。

780 nm和480 nm的探测和耦合激光分别以相反方向通过一个石英蒸汽室，其中包含室温下的天然铷同位素混合物。在蒸汽室中，探测（耦合）激光的束腰直径为 ，其瑞利距离长于7.5 cm的蒸汽室长度。入射激光功率分别为探测激光 和耦合激光 。位于蒸汽室57.5 cm处的号角天线（MVG QR18000）产生射频场，该场垂直于激光束送入蒸汽室。为保护天线和蒸汽室免受外部场影响，我们使用了一个由铝板制成并贴有射频吸收面板的定制小型消声室。探测场、耦合场和射频场均沿 轴线性偏振。

780 nm探测激光（Toptica DL-Pro）的频率使用调制转移光谱法[29–32]在辅助腔中锁定到 和 之间的跃迁。480 nm耦合激光（Toptica TA-SHG）在探测激光存在的条件下，使用EIT共振锁定到 和 能级之间的跃迁[33]。在考虑损耗、天线增益及其与蒸汽室的距离后，估算了蒸汽室位置的射频电场幅度 。腔扰动因子[34–36]（该因子减小了腔内的平均射频场）根据使用AT分裂进行的实验表征估计约为0.54。该射频信号将 能级与 能级耦合。

为调节频率，耦合光束通过两个单程AOM，它们产生符号相反的频移。第二个AOM还在调制转移方案中用于对耦合光束进行相位调制[37]。相位调制频率 和幅度 使用任意波形发生器编程。这使我们能够精细调节 并仅提供一阶边带进行调制。 的值通过用Fabry-Perot干涉仪测量激光谱线来实验校准。在调制转移方案中，探测光束强度在 处进行解调，将该解调提供的两个正交分量组合起来测量式(9)定义的RMA。在传统方案中，耦合光束强度由100 kHz的方波信号以100%调制深度进行调制，探测光束强度通过锁相检测进行解调。这直接提供了所谓的探测光束透明度，即耦合光束存在和不存在时探测光束透过率的差值。类似于耦合光束，探测光束频率也可以通过两个声光调制器进行扫描。在所有情况下，探测光束由快速雪崩光电二极管（APD）（Thorlabs ）检测，带宽为10 MHz，在780 nm处的灵敏度为 。另一个光电探测器检测入射到蒸汽室的探测功率的一部分以校准透过率测量。

图4重现了通过扫描探测激光频率获得的典型实验谱线。图4(a)和4(b)分别对应于没有射频场和存在射频场时的RMA信号。插图是在传统方案中获得的相应透明度谱，即在不存在耦合光束相位调制的情况下，通过测量探测光束的直流透过率获得的。图4(a)中RMA信号和探测透明度的振幅和宽度与图2(a)中对应的模拟结果非常吻合。在存在射频场时，理论与实验之间的吻合度[见图2(b)和4(b)]略有下降。特别是，实验谱线变得比预测的稍宽。我们将这种展宽归因于以下事实：虽然模型只依赖于四个能级，但实验的能级结构要复杂得多，不同能级的不同塞曼子能级表现出不同的AT分裂。尽管存在这一微小差异，我们仍然在以下部分依赖简单的四能级模型来优化调制转移方案。

FIG. 4. 对应于图2模拟结果的实验谱线。(a) 和(b)

B. 耦合光束相位调制的优化

现在我们已验证了模拟的有效性，可以利用它们来优化调制转移方案的响应。特别是，我们在参考文献[25]中表明，调制转移方案在增强射频检测带宽方面尤为有趣。这种改进来自于在图2和图4中 附近可观察到的尖锐凹陷。这个凹陷源于耦合光束两个边带之间的破坏性干涉，在探测共振 附近创建了陡峭的斜率。当射频场失谐时，可以利用在 处（通常 ）略有偏离0的陡峭斜率来增强RMA信号对 变化的响应。

为优化调制转移方案的系统响应，我们通过改变 和 的值来优化 处的RMA斜率和RMA信号的幅度。相应结果总结于图5。图5(a)显示了RMA幅度随 和 变化的模拟演化，由图5(c)所示的不同实验谱线加以说明。如图5(a)中的黑色等值线所示，最大值出现在 和 处。类似地，RMA斜率的演化如图5(b)所示，相关的测量谱线选取显示在图5(c)和(5d)中。这一次，如图5(b)中的白色等值线所示，最大斜率出现在 和 处。

FIG. 5. 模拟RMA信号的(a)幅度和(b) 处的斜率随 和 的变化。黑色线条：等幅度线（0.027和0.023）。白色线条：恒定信号斜率的等值线（0.029和0.023 ）。彩色十字标记表示用于绘制图(c)、(d)的参数，该图显示了MTP的实验谱线。(d)是(c)的放大视图。

作为两个最优值之间可接受的折中，我们选择 和 。值得注意的是， 的优化值在 量级，即EIT峰宽的量级，从而优化了需要发生破坏性干涉的信号之间的重叠。此外，我们注意到 等于0.25的最优值意味着耦合光束的一半功率包含在其两个边带中。此外，图5的模拟显示，调制转移方案对参数 和 的小变化相当鲁棒。只要 在0.15到0.4之间且 在1到6 MHz之间，RMA信号仍保持舒适水平。

现在我们已使用第II节的模型优化了耦合光束相位调制的参数，我们可以检查系统是否确实按预期方式响应共振或失谐的射频场。这如图6所示，该图比较了传统方案和调制转移方案在共振和失谐射频场下的模拟和实验谱线。在每个图中，探测透明度（对于CP）或探测RMA（对于MTP）以伪彩色图的形式作为探测失谐和射频场幅度的函数表示。

FIG. 6. 谱线随(a)、(c)、(e)、(g)共振或(b)、(d)、(f)、(h)失谐射频场幅度的演化。(a)–(d) 实验。(e)–(h) 模拟。(a)、(b)、(e)、(f) 传统方案。(c)、(d)、(g)、(h) 调制转移方案。

首先，我们观察到模拟与实验非常吻合。其次，可以从图6(a)和6(e)注意到，CP在检测共振射频场方面非常有效。例如，通过监测 处的探测透明度，可以看到即使场幅度小至 ，透明度也会发生强烈变化。相反，图6(b)和6(f)证实了只要射频场偏离里德堡能级之间的跃迁10 MHz，CP就变得相当低效。相反，图6(c)、6(d)、6(g)和6(h)显示，对于MTP恰好得出相反的结论：在探测共振处（ ），该方案对共振射频场不敏感[见图6(c)和6(g)]，但对失谐射频场的微弱场变得极其敏感，例如当 时[见图6(d)和6(h)]。

以上讨论基于图6的结果，证实了优化后的MTP能够将传感器的灵敏度扩展到失谐射频场。在下一节中，我们定量比较了两种方案的灵敏度以及优化MTP提供的带宽改善。我们还展示了MTP弥合两个邻近射频跃迁之间差距的能力。

IV. 射频带宽的扩展

本节探讨了通过第III.B节中进行的MTP优化所允许的射频带宽扩展。

我们将首先检查单个跃迁周围的带宽扩展。接下来，我们将比较两种协议的灵敏度。最后，我们将评估带宽的改善是否足以弥合两个里德伯跃迁之间的频率间隙。

**A. 单个跃迁周围的射频带宽扩展**

为了检查调制转移协议（MTP）相对于传统协议（CP）的性能，我们关注弱射频场和失谐射频场。具体来说，我们研究MTP是否允许扩展射频带宽。灵敏度[38]（以V/Hz为单位表达）定义为：

(11)

其中是测得电压对射频信号幅度的依赖关系，是检测带宽（RBW）内的均方根信号噪声。如下所述，在我们的实验条件下，CP和MTP的这种噪声是同一数量级的。

斜率由使用雪崩光电二极管测量的探测输出信号确定，在传统协议中测量位置为3 MHz，在调制转移协议中测量位置为3 MHz。在扫描射频失谐量时监测输出电压。射频场各种失谐量下的信号响应示例如图7(a)和7(b)所示（分别对应CP和MTP协议），相应的模拟结果如图7(c)和7(d)所示。模拟与实验吻合良好，而残余的小差异如前所述归因于模拟中被忽略的超精细结构。

图7. (a),(b) 测得和 (c),(d) 模拟的传感器对射频场各种失谐量的响应（）。(a),(c) 传统协议，3 MHz。(b),(d) 调制转移协议，3 MHz。

正如在图6中预期的一样，在CP中，探测透射率的变化在射频共振时最大。CP响应曲线的斜率在较大失谐量下几乎趋近于零，导致灵敏度差。相反，对于MTP，共振处的信号对射频场的响应最小。然而，斜率逐渐增大，直到一定失谐量后才开始减小，但在较大失谐量下仍然保持显著。

为了更好地评估两种协议的测量带宽，我们对射频失谐量从0到30 MHz的范围进行了101次测量，并用多项式对结果进行了插值。这得到了以色图形式表示在图8中的响应斜率。

图8. (a),(b) 实验和 (c),(d) 理论的系统对射频场幅度变化的响应斜率，以失谐量和射频场幅度作图。(a),(c) 传统协议，3 MHz。(b),(d) 调制转移协议，3 MHz。白色和灰色线分别表示3 MHz和17 MHz处的射频带宽，与传统协议在3 MHz处的响应相比。

在传统协议中，最强的斜率（因此对射频场最好的灵敏度）在较大射频场幅度下测得，且在失谐量为0.05到某个值之间。基于此参考值，图8中的白色和灰色等高线分别对应斜率降低6 dB和10 dB。这些图显示，对于CP，失谐射频场的最大灵敏度在较大失谐量下获得。此外，在MTP中，最佳灵敏度在失谐量到6 MHz之间实现。在此失谐范围及以上，MTP优于CP。

图8展示了MTP如何允许改善传感器的带宽。对于趋于零的射频场幅度，3 MHz处的射频带宽在传统协议中为某个值，而在调制转移协议中为某个值。类似地，17 MHz处的射频带宽（表示灵敏度损失90%）在传统协议中达到某个值，在调制转移协议中达到某个值。这使得射频带宽提高了11.5 MHz。实验中这一改善略大于模拟所预期的。

**B. 两种协议之间的灵敏度比较**

最后，我们希望能确定在哪些参数范围内以及到什么程度调制转移协议优于传统协议。

为了进行这种比较，由于两种协议的噪声相似，我们计算了两种协议中系统响应斜率的比值。这一比值以色图形式显示在图9中，包括实验和理论结果。白色线指示两种协议灵敏度相等的位置，即灵敏度改善因子等于1时。在该线上方，调制转移协议优于传统协议。在实验中[见图9(a)]，只要失谐量大于3 MHz，对于趋于零的射频场幅度，调制转移协议就表现出更好的性能。从某个失谐量开始，灵敏度的改善超过2倍。这一极限密切遵循3 MHz处的射频带宽。对于更大的射频失谐量，这一改善超过20倍。如前所述，图9(b)的模拟很好地复制了实验结果。

图9. MTP相对于CP灵敏度的改善，MTP与CP之间的灵敏度对比，针对各种射频场幅度和各种射频失谐量。 (a) 实验。(b) 模拟。白色线指示两种协议灵敏度相等的位置。

最后一段我们展示了两种协议灵敏度的比较，灵敏度由公式(11)定义。表II列出了两种协议在各种射频失谐量下的灵敏度。对于每种情况，我们给出两个灵敏度值：一个是基于公式(11)中测得的噪声取散粒噪声极限得到的，另一个是基于实验中噪声的测量值。在这两种情况下，斜率都是测得的。我们注意到，对于弱场，只要失谐量大于3 MHz，MTP就优于CP。此外，与考虑散粒噪声极限相比，当我们考虑实测噪声时，MTP相对于CP的灵敏度改善甚至更好。这是因为MTP对应3 MHz处的测量，在该频率检测到的噪声远低于CP实现的较低频率（100 kHz）处的噪声。此外，我们观察到这些灵敏度测量值与现有文献[39,40]中在同一射频频率范围内的测量值相比非常有利。

表II. 两种测量协议以及若干射频失谐量下射频场幅度测量的灵敏度。灵敏度以V/Hz为单位给出。表格的第一部分（第二部分）基于实验中测得的噪声值（从散粒噪声极限推导得出）。基于散粒噪声的灵敏度 传统协议 调制转移协议 实测噪声 1.0 21.2 7.4 1.3 36.0 2.6 350.6 5.3 529.2 8.1 散粒噪声 0.1 3.9 0.6 0.2 2.8 0.5 26.7 1.0 40.3 1.5

**C. 弥合两个里德伯跃迁之间的频率间隙**

现在我们知道MTP能扩展单个跃迁周围的射频带宽，让我们研究它能否弥合两个相邻里德伯跃迁之间的间隙。

我们选择了一个相邻跃迁，它耦合两个里德伯态（跃迁II），与之前使用的射频跃迁相距约166 MHz。对于CP来说，这一频率间隙过大，无法在两个跃迁之间保持良好的灵敏度，如图10(a)所示。该图以色图形式显示了测得的灵敏度随失谐量（垂直轴，相对于跃迁I）和射频场幅度（水平轴）的演化。两条带箭头的白色竖线显示了我们将耦合激光调谐到接近某一里德伯能级或另一里德伯能级的区域：对于第一个跃迁，失谐量从某个值变到某个值；对于第二个跃迁，失谐量从某个值变到某个值。两个跃迁之间的暗色区域表明，只要射频场从共振失谐几个MHz，灵敏度就变得非常差。白色等高线对应灵敏度等于某一值时的参数值。只有在不失谐时以及在射频共振处才能获得良好的灵敏度（约某一值），这对应于两个跃迁的共振。需要注意的是，我们仔细选择了具有相似电偶极矩的两个跃迁。然而，为了补偿耦合跃迁30%的偶极矩下降，在使用跃迁II时，我们将耦合激光功率提高了两倍。应该注意到，由于我们使用了两种略有不同的射频频率，腔内的射频场分布会发生变化。我们调整了激光束在腔内的位置以使腔扰动因子接近。对于跃迁I，之前是0.54，现在是0.59。此外，射频场更加均匀，导致随着射频场幅度增加峰值展宽减小。这使得灵敏度优于表II中的值，CP从某个值降到0.3 MHz，MTP从某个值降到某个值。对于新的跃迁，腔扰动因子为0.64。

图10. 两个相邻射频跃迁之间各种失谐量下射频场幅度测量灵敏度的演化。(a) 传统协议。(b) 调制转移协议。白色线指示等灵敏度线。

作为比较，图10(b)重复了使用MTP进行的相同测量。可以看到两个跃迁之间的间隙现在已经完全消失。虽然MTP在共振处的灵敏度略微降低到约某一值，但在所有其他失谐量下，灵敏度都变得好得多（达到某一值以下）。

**V. 结论**

在本文中，我们开发了一种量子里德伯接收机的理论模型，该模型基于测量透射探测场的直流功率（即所谓传统协议）或测量原子中耦合束到探测束的调制转移（即所谓调制转移协议）。通过与铷原子的实验比较，我们看到该模型准确地重现了实验结果。该模型被用于优化调制转移协议中耦合束相位调制的两个关键参数，即调制频率和调制幅度。理论和实验结果表明，在此处使用的实验条件下，最优组合是特定调制频率和特定调制幅度。

对两种协议性能的理论分析和实验分析表明，当射频场与里德伯跃迁共振时，传统协议是效率最高的。然而，当射频场失谐增加时，其灵敏度迅速下降。相反，优化后的调制转移协议从失谐3 MHz开始表现出更优的灵敏度。该协议提供的灵敏度改善在大失谐时可超过20倍。此外，该协议允许在3 MHz处增加射频带宽11.5 MHz，使带宽达到17 MHz。

因此，两种协议是互补的：对于小于3 MHz的射频场失谐，建议使用传统协议；对于更大的失谐，应使用调制协议。由于两种协议使用相同的装置，在它们之间切换是简单直接的，可以通过改变施加于耦合束声光调制器的调制来实现。也可以在同一气室中同时运行两种协议。本文提出的优化调制参数仅适用于铷-85；对于任何其他碱金属原子都应进行定制调整，并在探测原子数量改变时进行相应调整。我们证明了调制转移协议能够实现至少166 MHz的射频频率间隙弥合，这对于开发频率连续传感器具有前景。本文呈现的结果可以通过加热气室、使用光泵浦或增加原子渡越时间来改进。然而，值得注意的是，该技术并不能达到与基于射频本地振荡器的替代技术[18–22]相当的射频带宽或灵敏度。它也不对射频场的相位敏感。尽管如此，本文提出的协议是一种全光方法，不需要任何外部射频天线，这将破坏开发介电传感器的目标。

调制转移协议的未来发展可能涉及探索不同的调制模式或分别使用正交分量来研究各种非线性响应。此外，将调制转移协议与允许测量射频场相位或偏振的其他方法相结合也值得研究。