超冷原子孤子在吸引性接触杂质处的反射、透射与捕获

《APS Open ScienceNEW》：Reflection, transmission, and trapping of an ultracold atomic soliton at an attractive contact impurity

　　

反射和透射（隧穿）揭示了超冷物质从杂质散射时的波动性质，在原子电子学技术中具有重要意义。利用含时Gross-Pitaevskii方程（GPE），我们研究了在含接触缺陷的一维波导中传播的超冷原子气体内，一个亮孤子的俘获、反射和透射。这使得我们能够分析散射动力学随孤子速度v、接触杂质强度V?以及吸引非线性耦合强度g<0的变化关系。我们数值求解GPE，其中接触缺陷用Dirac δ函数的δ序列来建模。我们发现以v/V?和|g|/V?为参数存在普适行为，从而降低了参数空间的维度。我们的分析确定了四个不同的非线性耦合|g|/V?区域，它们由|g|/V?≈2、4和6分隔，并主导散射动力学。特别地，我们观察到孤子特征散射产物与高辐射弥散波包之间的不同参数依赖起始点。为了定量表征散射产物的性质，我们使用微分信息和Fisher信息论度量来确定散射产物的定域化程度。我们在基础量子力学和潜在实验装置的背景下讨论了这些发现的含义。

I. 引言

自1995年首次产生玻色-爱因斯坦凝聚体（BEC）[1–3]以来，超冷原子物理迅速扩展，并催生了多个新的研究方向。这一增长与能够高精度地产生、俘获和操控量子气体的实验平台的发展同步进行。这些平台之一是原子芯片，它已成为现代冷原子实验和新兴的原子电子学领域[4,5]的基石技术。原子电子学旨在通过控制工程化势场中的物质波电流，实现基于原子的电子材料、器件和电路的模拟[6]。原子芯片利用微加工的载流导线产生磁场，以冷却、俘获和引导超冷原子，在紧凑且可能便携的几何构型中实现这一目标。在这些导波设置中，电路特征如弯道、结或局域扰动可以反射、俘获或透射原子波包的一部分，从而塑造后续传播和干涉的动力学。这种控制水平对于物质波干涉和精密传感尤其重要，包括利用原子干涉和光与量子相干操控的原子重力仪，这是原子电子学实践中的一个重要例子[7]。

除了导波传输之外，原子电子学电路正在被开发为量子技术的多功能组件，远远超出了简单的物质波电流[8]。应用包括量子传感架构[9]和基于原子的电路元件，如开关、二极管和通用逻辑门，例如通过里德伯原子网络实现量子模拟和信息处理[10]。原子芯片能力的快速进展还使稳定量子混合物的研究成为可能，包括杂质动力学、混溶性、奇异拓扑结构的涌现，以及磁性与超流性相互作用的调查、人工分子和新奇少体态[11]。原子芯片和冷原子平台还被探索用于空间应用的量子惯性传感[12]，以及最近用于探测导波超冷物质波中的非线性波动力学[13]。

在本工作中，我们重新审视了一维（1D）Gross-Pitaevskii方程（GPE）中存在吸引点缺陷时的孤子散射，重点关注入射亮孤子的实验相关场景。受原子电子学的启发，我们在全参数空间范围内绘制了透射、俘获和反射的分布，为局域杂质的器件式工作区域提供了系统表征。虽然存在相关的散射研究，但据我们所知，我们的分析是目前最全面的此类结果调查。我们还超越了透射和反射系数，引入了散射后态的信息论（IT）度量，因为仅靠粒子数分裂并不能确定产生的碎片是否足够定域化以用于应用，例如原子电子学。

在描述超冷原子气体时，必须考虑组成系统的原子间的相互作用。在平均场近似内，这些相互作用通过GPE[14,15]被纳入薛定谔方程中。非线性相互作用由与玻色子的s波散射长度a_s成正比的项表示。在紧密约束的波导中，只要超冷BEC的纵向尺度远大于其横向尺寸，系统就可以被视为有效一维。以横向谐振子为单位，所得到的1D GPE为[16]

(1)

其中，非线性耦合常数为g = 4π?2a_s/(m l⊥)，l⊥ = √(?/(mω⊥))是横向振子长度，m是原子质量，ω⊥是横向约束频率。

在没有外部势的情况下，方程（1）的解析孤子解早已为人所知[17,18]。对于吸引相互作用的凝聚体（g < 0），这也是本研究关注的重点，亮孤子已在几种超冷碱原子气体中被实验实现[19–23]。

首次实验观测亮物质波孤子是在2002年，当时Khaykovich等人[20]在准一维?Li原子凝聚体中观察到一个稳定的、非弥散的波包，并证明它可以在宏观距离上传播而无可测量的展宽。此后不久，Strecker等人[19]报告了?Li凝聚体在快速相互作用淬火（从排斥到吸引）后形成孤子列的现象，揭示了调制不稳定性在自发产生多个亮孤子中的关键作用。利用1?3Dy凝聚体，Cornish等人[21]表明，受控的吸引凝聚体塌缩可以产生长寿命的亮孤立物质波，从而将吸引凝聚体的研究扩展到最初的锂实验之外。随后，Marchant等人[24]展示了对亮孤子波的形成、传播和从光学势垒反射的精确控制，为研究基于自束缚物质波的非线性传输和原子-光学器件开辟了新的可能性。Lepoutre等人[25]首次在??K中实现亮孤子，使得对接近塌缩阈值稳定性的系统研究成为可能，并促进了实验与平均场理论之间的定量比较。最近，Di Carli等人[26]使用?Li进行的实验进一步扩大了吸引量子气体的可及参数空间。上述实验已实现了对孤子间碰撞[22]和从外部势散射的研究。

相关的理论工作考察了非线性薛定谔方程呼吸子在线性和非线性局域势下的分裂[27]、快速亮孤子从窄高斯势垒的散射[28]，以及在GPE支配的低能系统中亮孤子的分裂和重组[29]。

在此背景下，量子力学的波动性质允许粒子在经典允许区域反射，即使不存在经典转折点，这一现象已由Pasquini等人[30]用超冷原子实验证实。在吸引凝聚体（g < 0）中，原子被束缚在一起；原子间力使得孤子等局域态不太可能分裂或隧穿，这一现象在探测非线性波动力学中起着关键作用。最早对此进行理论研究的是Kivshar等人，他们分析了一维系统中孤子被点缺陷杂质散射的情况[31]。他们的微扰处理详细说明了杂质如何导致辐射能量损失，并指出与线性波不同，孤子可以在无序介质中传播而不经历Anderson定域化。随后，Lee和Brand[32]证明，亮孤子中的非线性相互作用允许从纯吸引势实现高效率的量子反射。他们的研究识别出一个尖锐的速度依赖转变，低速孤子以极小的损失反射，为BEC中的速度过滤提供了潜在机制。

方程（1）中的平均场哈密顿量基于所有N个原子处于由振幅ψ描述的同一量子态的假设。散射事件后，方程（1）的解可以写成叠加形式，前提是散射产物之间的重叠可以忽略。对于单粒子，相应的多模概率密度具有明确的解释。然而，对于凝聚体，必须区分实空间和Fock空间中的定域化，正如Streltsov等人[33]所指出的。他们探索了吸引玻色云的多体动力学，表明从窄势垒散射产生的是空间分离波包的真量子叠加态。Weiss和Castin[34]进一步表明，应该可以让亮孤子与势垒碰撞时的退相干率足够小，从而产生相干的介观量子叠加态，而非统计混合，即P(ψ) = |c?|2|ψ???ψ?| + |c?|2|ψ???ψ?| + c?c?*ψ?*ψ? + c?*c?ψ?ψ?*。

鉴于散射产生的量子态性质的不同可能性，考虑到GPE的非线性特征不允许量子叠加或混合的解，Gertjerenken等人[35]考察了当亮物质波孤子在低动能下从势垒散射时，N粒子量子动力学与平均场理论（GPE）之间的差异。他们猜想，使用GPE时反射系数透射行为的跳变表明在N粒子量子层面形成了量子叠加态。与此互补的是，Boissé等人[36]进行了实验，表明一维散斑无序中的物质波亮孤子表现出集体性的、全有或全无的透射或反射，而非单个粒子的散射。他们观察到的双峰、二元涨落源于对初始速度的极端敏感性，与Gross-Pitaevskii模拟高度一致，突出了GPE作为预测实验结果的指标的有用性。

以往基于求解GPE（1）的大量工作集中在孤子从排斥外部势的散射[37,38]，包括光学晶格设置。对于排斥势垒，可以直接定义反射和透射系数，正如最近在BEC通过薄排斥势垒隧穿实验中所做的那样[39]。在此背景下，Lorenzi和Salasnich研究了原子孤子从窄势垒散射时的透射和塌缩动力学[40]。Watabe和Kato分析了BEC激发在不同凝聚体密度区域之间势垒上的透射和反射，在低能极限下识别出与光学中斯涅尔定律类似的行为[41]。Lingua等人[42]研究了由几个1??Yb原子组成的玻色杂质与弱谐振约束下准一维??Sr凝聚体之间的碰撞。Holmer等人[43]在GPE框架内考察了排斥δ函数势存在下快速孤子的散射。

在本工作中，我们考虑从吸引势的散射，后者可以支持束缚态[32,44–58]。Marchant等人[59]首次在??K原子的BEC中实现了从吸引缺陷的孤子散射，并与Ernst和Brand[49]以及Goodman等人[47]的理论预测进行了比较。相关的实验也在非线性光学介质中进行了[60]。正如Marchant等人[59]所强调的，对于高度局域的杂质势，势的详细形状和深度可以强烈影响散射结果。Wang等人[52]表明，亮物质波孤子在低速时表现为经典粒子，但在较高速度下在势垒隧穿过程中表现出波动特性，而Hansen等人[51]研究了一维物质波孤子动力学，考察了穿越局域散射势垒或势阱时的反射和透射行为。一维量子液滴从P?schl-Teller无反射势阱的散射也得到了研究，揭示了小液滴和大液滴（平顶）在临界入射速度处全反射和全透射之间的尖锐转变[61]。关于透射的其他研究还探讨了BEC中由于阱势和散射长度的空间变化引起的线性和非线性非均匀性的作用[62]。Jensen等人[63]分析了方形阱内δ函数杂质GPE的动力学。

尽管已有大量工作，从吸引杂质散射的研究仅探索了参数空间的有限区域。因此，本工作的主要目标是确定在一维波导中包含吸引接触势V(x) = V?δ(x)、V? < 0的亮孤子的反射、透射和俘获。为此，我们遍历了入射孤子质心速度v，从低值v ? v_s（v_s为声速）到相对较大的值v ~ 3v_s，覆盖广泛的非线性耦合强度g区间。特别关注吸引接触杂质共振俘获的区域，这可以被视为超冷原子波导中弯道或局域缺陷的理想化模型。

我们的目标是确定高效传输开始发生的条件，并描述伴随产生的快速辐射波包。虽然可以说需要一种符合文献[33–35]精神的多体方法，但我们认为首先系统地详细描绘平均场参数空间是合适的，而将完整的多体问题留待未来工作。

## 二、理论

方程(1)的归一化亮孤子解，即对应于 的情形，由下式给出：

(2)

该孤子将从左侧（ ）与接触杂质发生碰撞，其中一部分将被捕获，另一部分将被反射，其余部分将被传输。

接触杂质由狄拉克δ函数描述：

(3)

关于接触狄拉克δ势中束缚态的解析解已由Seaman等人[17]用雅可比椭圆函数报告。然而，可以通过假设在没有势的区域中解是一个静止的孤子，并通过在波函数上的接触点处匹配不连续性来获得一个更简单的解（另见文献[47]），从而得到稳态波函数解：

(4)

其中束缚态化学势为：

(5)

这里，偏移位置 由下式给出：

(6)

方程(4)被归一化到1，即 。在接下来的内容中，我们将考虑初始归一化为1的孤子的部分捕获。如果被捕获的比例为 ，对于给定的相互作用强度 ，束缚态的波函数 具有化学势：

(7)

波函数 通过将方程(4)和(6)中的 替换为 得到。

由于GPE是非线性的，对于激发不存在传统意义上的频谱。然而，我们可以在具有某个化学势的方程(7)中的捕获态周围进行线性化。因此，对于 ，我们采用试探解：

(8)

将此试探解代入GPE[方程(1)]，并只保留 的一阶项，得到：

(9)

令 ，便得到玻戈柳博夫-德金（BdG）型方程：

(10)

其中 。对于吸引势 ，可以通过 处的边界条件将势纳入，即：

(11)

分别求解奇解和偶解，可以进一步在半平面 上求解该问题，要么使用齐次狄利克雷条件（奇模式），要么使用混合边界条件（偶模式）。

为了获得频谱，我们首先注意到在远离势的地方， 使系统解耦，产生平面波解 ，其色散为：

(12)

因此，势的存在导致频谱中出现一个间隙。为了获得完整频谱，需要进行数值对角化。我们通过对方程(10)应用有限差分（FD）并使用边界条件(11)求解特征值问题来实现。

在图1中，我们展示了接触杂质势中束缚态的激发频谱，对于 。对于 ，我们发现一个连续的解，对应于具有由方程(12)给出的色散的辐射色散解。在同一图中，我们还展示了奇激发和偶激发，它们支持动力学中的呼吸模式和晃动模式。这些态保持在势中，并且到 的一阶，不会引起衰减，而是引起被捕获密度的持续调制。然而，辐射态的连续存在与一同非线性将导致束缚激发模式的频率上转换，这可能导致缓慢的高阶衰减机制。

图1. 接触势 中束缚态的激发频谱，通过在区域 中线性化并求解方程(10)得到。对于 ，存在一个对应于辐射解的态连续区。这些导致被捕获比例 随时间减小。此外，还存在一个奇激发和一个偶激发。它们是局域化的，分别表现为"晃动"和呼吸模式。

上述解应与线性情形的束缚解进行对比，即 ，这些解已经在量子力学教科书中被报告，例如Griffiths和Schroeter[64]。对于束缚态情形， ，波函数为：

(13)

其中束缚态能量为 。注意方程(5)在 时简化为此情形。对于散射情形 ，解提供了反射系数和传输系数[64]：

(14)

其中 和 。这里没有激发态，也没有捕获。

对于方程(1)中带有 势形式为 的杂质和由方程(2)描述的入射孤子的非线性散射问题，我们可以通过重新缩放方程来减少自由参数的数量。通过将杂质的强度 吸收到耦合常数中作为 以及将速度缩放为 ，参数空间被简化。因此，只需求解GPE：

(15)

其中 ，用于形式为：

(16)

的初始孤子。从方程(15)可以清楚看出，对于 的任何值，散射问题仅由参数 和 决定。这已被Cao和Malomed[45]以及Goodman等人[47]所认识，后者对方程(15)进行了数值求解。Cao和Malomed[45]专注于确定孤子何时被势捕获，而Goodman等人则针对几个特定的参数值求解，以展示可能出现的不同行为类型。重要的是，他们指出反射/传输比例可能保持为孤子或者作为辐射出来。对于低入射速度，他们还提出捕获是一种共振现象，这在Ernst和Brand[49]的模拟中得到证实。

共振捕获背后的主要论点基于这样一个观察：含有比例 的束缚态的频率为 [见方程(5)]，而孤子的频率为 。因此，非常缓慢移动的孤子（ ）接近一个初始为空的陷阱（ ）只能被共振捕获，条件是 。在第三节III B 1中，我们重现了这一结果，但还表明对于更强的非线性存在一系列这样的阈值和起点，在这些地方散射表现出非解析行为。

为了在数值网格中表征接触势，我们使用了狄拉克δ函数的解析 序列，由以下三种表示给出：

(17)

以及：

(18)

和：

(19)

其中 是需要作为网格间距 的函数确定的序列参数。在 的极限下，这些表达式变为狄拉克δ函数。

在附录A中，我们提供了通过FD方法进行动力学模拟的实施细节。在附录B中，我们展示了高斯-赛德尔（GS）方法来确定方程(17)–(19)的 的最优值，以及伪谱方法实施以确保结果收敛的细节。在附录C中，我们提供了基于动力学结果的信息论度量量的理论公式，以理解散射表现出非解析行为的四个阈值区域。最后，在附录D中，我们提供了与本工作报告的 和 值相对应的物理参数值及其实验可行性。

## 三、结果与讨论

### A. 稳态捕获解与-函数表示

为了正确描述孤子与吸引接触杂质碰撞的动力学，我们着手优化 序列。对于给定的数值均匀网格，参数 是通过改变它来获得的，使其作为 的函数重现接触δ函数束缚态的解析结果。对于线性情形 ，线性薛定谔方程的解析结果为能量 ，基态波函数为 。对于GPE情形， ，我们使用方程(4)和(6)，能量由方程(5)给出，结合附录B中描述的高斯-赛德尔方法。

在图2中，我们在数值网格中改变 时，通过要求方程(B2)或方程(5)中的 值，展示了参数 的行为。我们发现，在所有情况下， 的行为都是，即随着 减小， 增加，因为 -序列函数变得更窄。几个 的 值在表I中报告以供参考。我们发现，对于任何 值，被捕获束缚态的 的参数值都相同。

图2. 方程(17)–(19)的 -序列势的 参数，作为网格步长 的函数计算得出，使得数值解重现GPE基态波函数的解析结果，适用于三个 序列。见正文讨论。

表I. 通过高斯-赛德尔方法优化的参数 值，使得解析 -序列函数重现GPE对于束缚基态的解析结果。

| | | | |
|-----|------|------|------|
| 0.001 | 1077 | 1220 | 1109 |
| 0.002 | 558 | 657 | 607 |
| 0.005 | 235 | 292 | 276 |
| 0.01 | 122 | 160 | 153 |
| 0.02 | 63 | 87 | 85 |
| 0.04 | 33 | 48 | 47 |
| 0.057 | 24 | 37 | 38 |

为了评估 序列中拟合的 参数的性能，我们在图3中将其与 时的解析孤子解进行了比较，适用于几个 值。我们还展示了当使用方程(B2)的 序列时对GPE的高斯-赛德尔解，适用于几个 值。实线是方程(4)的解析结果，而符号是使用 时方程(B2)的结果。我们注意到对于所有 值都有很好的吻合，这使我们确信我们的数值方法在网格中描述狄拉克δ函数对于被捕获的束缚解是正确的。

图3. 当表示为高斯函数[方程(17)]时， -序列势的波函数的解析（线条）[方程(4)]和数值（符号）结果，适用于几个非线性的 值，对于 的情形，对应于 显示了两者之间的很好吻合。注意在 处对尖峰的出色描述。

### B. 反射、传输与捕获

对于散射模拟，我们使用两种独立的积分方法来求解无量纲GPE[方程(15)]：有限差分法（附录A）和伪谱法（附录B）。对于两种方法，杂质均使用方程(17)的高斯表示进行建模。我们选择呈现高斯结果，因为另外两种δ序列显示出类似的结果。间距值的选取是为了在区间 内重现精确的束缚态，而对于缩放速度值 ，我们选择了区间 。在附录E中，我们提供了使用 原子时这些值对应的物理范围。在边界处添加了遮罩函数以吸收辐射，如先前研究电子电离的工作中实施的那样[65]。

具有给定 和 值的孤子被启动在远离杂质的地方，然后向杂质传播。在模拟过程中，我们跟踪反射比例 、传输比例 和被捕获比例 ，由下式给出：

(20)

这里 表示模拟单元的限制，位于区间 中，取决于孤子速度。 的值被选择为使得被捕获成分被正确描述，即被捕获的解已充分衰减。为了评估 和 ，我们监测总归一化，直到反射或传输波到达边界导致归一化减小的点为止。然后确定传输、反射和捕获。

在图4中，我们展示了对于缩放速度 和非线性强度 的所有参数区域的反射、传输和捕获。在同一图中，我们观察到捕获行为表现出四个明显不同的区域，由红色虚线清晰标出，对应于 ，4和6。在下面，我们详细讨论每个区域。

图4. 孤子从接触杂质散射后的反射、传输和被捕获比例，作为缩放初始孤子速度 和非线性参数 强度的函数。红线分隔了四个特征动力学区域。见正文讨论。

#### 1. 小非线性

我们首先考虑小非线性区域，我们将其定义在区域 。在 的极限下，我们恢复线性薛定谔方程的结果，即 。相应的反射和传输，如方程(14)对 给出的，分别以实粗灰线显示在图5(a)和5(b)中。对于近线性情形 ，我们获得近乎完美的吻合。

随着非线性强度的增加，我们注意到在某一区间内，反射率最初得到增强，同时伴随透射率的抑制。然而，在此区间内尚未出现可辨识的俘获现象[见图5(c)]。

图5：孤子从接触杂质散射后，反射率、透射率和俘获率随无量纲化初始孤子速度（v?）的变化关系，对应不同非线性参数强度η。 (a) 反射率。增强非线性强度相比线性情况（实线）最初会增加反射率。(b) 透射率。增强非线性强度会导致透射被抑制。(c) 俘获率。对于速度v? < v_c，入射孤子的一小部分被俘获。对于v? > v_c，如果η较小，则俘获极少或不可能发生。详细讨论见正文。

图6展示了该区域中时间演化的一个示例，图中展示了v?取不同入射速度时在η = 0.15时的四种散射事件。对于较低的v?，入射孤子被杂质完美反射并保持其初始孤子形状。增加速度会导致以弥散波包形式的透射[图6(b)]，而反射成分仍保持孤子形态。接近v? ≈ v_c时，反射部分和透射部分的孤子特征变得不那么明确，如图6(c)所示。进一步增加初始速度，则达到前向散射以孤子形式出现、而后散射波包表现出弥散特性的情况[图6(d)]。

图6：小非线性η = 0.15时，不同初始孤子速度下的孤子散射。 (a) v? = 0.3。在入射孤子速度较小的极限下，整个波包被反射。反射部分保持孤子形态。(b) v? = 1.0。增加入射速度后，部分孤子以弥散波包形式透射。(c) v? = 2.0。当v? = v_c时，透射和反射均表现出弥散行为。(d) v? = 4.0。在入射速度较高的极限下，初始孤子穿过接触杂质，反射部分以弥散波包形式发射。注意强度映射采用了对数标度以增强小振幅的可视化。

当非线性强度η增加时，在v? ≈ v_c附近出现一个俘获分量。图7展示了η = 0.15时不同初始速度下的动力学行为。其动力学行为与η = 0.15时相似，但有几处例外。在图7(a)中，低速碰撞孤子从接触杂质完全反射。在图7(b)中，虽然现在存在俘获分量，但透射和反射部分的特征也有所改变。特别是，我们观察到透射中存在高度离域的辐射贡献。在图7的(c)部分中，观察到反射孤子被散射的同时还伴随一部分非孤子成分。注意色标采用对数标度，且该部分对总反射的贡献不大。图7(d)部分的透射孤子情况也是如此。此外，还存在一个强度极低的弥散背景。

图7：与图6类似，但为η = 0.15。 (a) v? = 0.3。在入射孤子速度较小的极限下，整个波包被反射。反射部分保持孤子形态。(b) v? = 1.0。增加入射速度后，部分孤子以弥散波包形式透射，部分作为孤子被反射，部分被俘获在束缚态中。(c) v? = 2.0。当v? = v_c时，透射表现出弥散行为，而背散射部分叠加在弥散贡献之上。(d) v? = 4.0。在入射速度较高的极限下，初始孤子穿过接触杂质，反射部分以弥散波包形式发射。

在我们所有仿真中，当η < 1时的共同特征是：随着初始速度充分减小，俘获现象消失。这与Goodman等人[47]提出的论证一致，即除非v? > v_c，否则共振俘获不会出现。然而，重要的是要指出，这并不意味着俘获现象完全不会发生。图8中通过在对数-对数坐标下绘制俘获率可以最好地说明这一点，其中我们展示了η = 0.3时俘获率随入射孤子归一化速度v?的变化关系。注意v? < v_c（粗黑线）两侧的曲线随着速度减小而偏离该线。此外，俘获在速度v? ≈ v_c处表现出极大值。

图8：η = 0.3时的俘获率，说明共振俘获现象。在v? < v_c时，随着v? → 0，俘获率趋于零。对于v? > v_c，共振俘获是可能的，且俘获率在v? → 0时保持非零。

图8所示数据的另一种表示方式见法图9，其中俘获率被绘制为非线性强度η的函数，对应不同的初始速度。随着η减小，向共振俘获区域的转变变得越来越尖锐。在插图中，我们观察到当η → 0.15时，共振俘获的起始点v? = v_c清晰可辨。共振俘获的这一起始点在图4中也可观察到，即在低孤子碰撞能量处，由v? = v_c处的红色虚线标示。虽然该起始点不影响透射成分，但在反射部分可见，反射率在阈值v? = v_c以上出现相应下降，如图5所示。为了估算v? → 0极限下的俘获率，我们可以利用共振条件v? = v_c并求解俘获率。由此得到表达式(21)。这个对俘获率的粗略估算作为红线显示在图9中。

图9：向共振俘获的转变。在η → 0的极限下，只有当v? > v_c时，俘获才可能发生。利用公式(21)的简单估算得到红线。

2. 中等非线性，图10展示了η在1 < η < 3区域中的仿真结果。反射率、透射率和俘获率在定性上与较弱非线性区域（η < 1）（图7所示）有所不同。特别是，反射率随η增大而减小，如图10(a)所示。透射率（图10(b)所示）在小v?时表现出明显不同的行为，下文将详细讨论。同时，图10(c)中的俘获率在小v?时随非线性增强而继续增大，而不是趋于零。

图10：孤子从接触杂质散射后，反射率、透射率和俘获率随无量纲化初始孤子速度v?的变化关系，对应不同非线性参数η的强度。 (a) 反射率。增强非线性强度时，反射率下降。线性情况（η = 0）作为灰色实线加入以供参考。(b) 透射率。注意对于η > 1，透射率随非线性增强而增加。(c) 俘获率。在v? < v_c区间内，俘获率随η增大而增大。

透射率的行为在图11中展示得更加清晰。对于固定的v?，透射率随η增大而增大。特别是，对于较小的v?，透射率在v? ≈ v_c处变为非零，表明在低速极限下，一旦η > 1，透射就会开始。如图10所示，在v? < v_c时透射率几乎保持不变，而在v? > v_c时透射率增加。

图11：透射概率率随非线性强度η的变化关系，对应几种初始孤子速度。注意当η → 0时，对于v? > v_c才发生透射。

图12展示了该区域中的散射动力学。对于小v?，系统处于共振俘获区域。图12(a)展示了入射孤子速度v? = 0.3且η = 2时的一个典型散射事件。当孤子前沿到达δ势时，波包迅速分裂为四个成分：一个束缚态、一个反射和透射孤子，以及透射和反射弥散波包。从图12(a)中的斜率可以看出，弥散波包的传播速度显著快于反射孤子，且远快于入射孤子，同时具有非常小的振幅。它们的形状表明它们对应物质波辐射。这种辐射发射伴随俘获过程，解释了η在1 < η < 3区域中透射率随η增大而增加的现象。利用能量守恒论证可以更加明确地解释这一点。假设出射态仅由一个速度为v_R的反射孤子和一个俘获率f_T的俘获孤子组成。利用公式(D8)和(D9)确保散射过程中的能量守恒，得到(22)。对于η > 1，公式(22)的右侧在入射孤子速度v?低于临界速度v_c = (2η - 1)^{1/2}（公式23）时可能变为负值。因此，对于v? < v_c，仅散射为反射孤子已不再可能。多余的能量必须通过额外通道带走，即图12(a)中看到的辐射成分。这一结论也与比较图7(a)和图12(a)时观察到的低入射速度下更大的反射孤子速度一致。

图12：η = 2的非线性强度下，孤子从吸引型接触杂质散射。 (a) v? = 0.3。在入射孤子速度较小的极限下，孤子被反射，同时伴随反射和透射弥散波包。注意反射和透射部分的高速度。(b) v? = 1.0。行为与(a)部分定性相似，但幅度和速度有所改变。此外，反射孤子现在呈现呼吸现象。(c) v? = 2.0。此处，透射和反射孤子叠加在弥散贡献之上。俘获部分表现出阻尼振荡行为。(d) v? = 4.0。在入射速度较高的极限下，初始孤子穿过接触杂质，反射部分以弥散波包形式发射。

在图12(b)中，我们看到η = 2时，对于俘获和反射孤子以及弥散（辐射）贡献，表现出相同的行为。此处需要注意的是，反射孤子在传播过程中表现出呼吸现象。继续增大初始速度，最终达到一个区域，我们识别出散射事件中产生两个孤子，如图12(c)所示。仔细观察发现，束缚态需要一定时间才能稳定。在这段时间（t ≈ 50）内，散射过程继续向两个方向辐射。这对应于激发束缚态的辐射振荡激发态，该激发态属于图1中所示的激发态连续谱。

3. 强非线性，当非线性进入η > 3的区域时，散射动力学发生定性变化。如图13所示，反射率、透射率和俘获率不再是v?的平滑函数。最显著的特征是反射率中出现了阈值：随着η增大，反射率突然上升的起始速度向更大的值移动，最高约到v? ≈ 3。透射率中也可观察到类似特征，但在俘获率中最明显。

图13：孤子被杂质散射后，反射率、透射率和俘获率随无量纲化初始孤子速度v?的变化关系，对应不同非线性参数η的强度。 (a) 反射率。在1 < v? < 3区间内，出现急剧跃变和振荡。这些特征也出现在(b)部分所示的透射率和(c)部分所示的俘获率中。在此区域，当v?较小时，孤子的共振俘获不伴随反射或透射孤子，而是产生的缺陷模向两个方向辐射。详见正文讨论。

为了理解这一行为的起源，分析图14中几个入射速度下的散射事件并比较η = 4时图13(a)中的反射率v?（蓝色圆点）是很有帮助的。对于v? < 1，图14(a)显示反射孤子没有足够的动能从位于杂质处的俘获分量中分离出来。相反，它折返并反复与俘获模碰撞，产生振荡动力学。在这些反复相互作用过程中，辐射被发射并贡献给反射率和透射率。这些振荡与为非局域孤子[45,57]以及从扩展势（如方势阱）散射的孤子[48,49]所报告的振荡不同。在本例中，杂质束缚态始终处于占据状态，而只有一小部分围绕它振荡。

图14：大非线性η = 4时，孤子从杂质散射。 (a) v? = 0.5。在低于临界入射速度时，反射孤子没有足够的速度从接触杂质处的俘获分量中逃逸。相反，它围绕俘获分量振荡，在此过程中发射辐射。(b) v? = 1.5。

超过临界速度后，反射孤子可以逃逸接触杂质。(c) 和 (d)。随着该参数的增加，定性行为与中间区域相同。图 14(b) 展示了反射分数不连续处刚好之上的散射情况，位于该值处。此处，反射孤子具有刚好足够的动能从捕获部分分离并逃逸杂质区域，导致图 13(a) 中观察到的反射量急剧增加。对于更大的入射速度，散射回归到中间区域中观察到的相同定性行为，如图 14(c) 和 14(d) 所示。对于该参数，捕获伴随着快速辐射成分的发射。随着碰撞速度的增加，一个定义更清晰的透射孤子浮现，而反射部分变得越来越色散。

4. 强非线性。
最后，我们讨论该区域，特别关注该域。图 15(a)–15(c) 分别展示了该区域中的反射、透射和捕获特性。这里最显著的特征是临界速度的出现，在该条件下散射动力学发生急剧变化。

图 15. 孤子被杂质散射后的反射、透射和捕获分数随无量纲化初始孤子速度的变化关系，针对不同非线性参数强度。(a) 反射分数。对于大非线性，在该值处发生尖锐转变。其特征是反射的峰值 [面板 (a)]，以及透射 [面板 (b)] 和捕获 [面板 (c)] 的急剧上升（下降），分别。这种奇异行为与透射孤子解的出现有关，该解在该条件时出现，如图 16 所示。

图 16. 极大非线性下的孤子散射。(a) 该条件。低于临界入射速度时，相当一部分被捕获，而反射和透射以辐射形式存在。(b) 该条件。刚好低于阈值速度时，透射和反射辐射覆盖广泛的频谱。(c) 该条件。刚好高于阈值速度时，透射波可能出现慢速传播的孤子解。(d) 观察到完整的孤子透射和共振捕获。

我们注意到，在该值的上方和下方，反射、透射和捕获都表现出非单调行为。这在反射中最为明显，我们获得了一个尖锐的峰值，在该条件下非常显著。为了深入了解散射过程，图 16 展示了该参数下四种不同初始速度的散射情况。对于小速度，面板 (a) 显示大部分入射孤子被捕获，有些辐射向两个方向散射。刚好低于阈值时，面板 (b) 显示散射急剧增加，增强了反射和透射。这种增加的辐射与捕获态被激发成振荡运动有关，该运动持续辐射直到稳定。在跃迁之上，面板 (c) 显示允许外出的慢速孤子，导致整体透射急剧增加，伴随着波包捕获分数的下降。

迄今为止，我们一直专注于通过反射、透射和捕获来量化散射过程。正如我们所见，散射行为的变化与散射产物的波函数性质有关。特别是，我们寻求量化是否存在以孤子形式存在的局域化解，或者散射产物是否以更多离域波（色散波包）和/或辐射的形式存在。为此，使用其他可以量化散射产物之间定性差异的度量也是有意义的。

C. 信息论度量分析
量子力学中的一个基本概念是研究信息论（IT）度量，这提供了对量子系统不确定性和空间分布的关键见解 [66]。IT 度量允许研究系统的概率分布是局域还是离域。这可以使用各种熵度量来量化，例如微分熵和费雪信息熵，每种都提供了对系统行为的不同观点 [67–70]。

我们想强调，在 GPE 框架内，所有原子按构造处于相同的纯量子态，密度矩阵为相应值。因此，相应的物理熵，或冯·诺依曼熵，为零。等价地，由于只占据一个态，香农熵同样为零。这与 IT 微分熵不同，后者可以有意义地定义为任何概率分布，并且是香农熵的连续类比。

特别是，微分熵作为一种全局 IT 度量，反映了系统内的离域程度。较高的微分熵度量表明波包分布更加离域，意味着系统中存在更大的不确定性、随机性和信息含量，而低熵则表示更多的有序性或紧凑性。微分熵定义为 (24)，其中 (25) 是在特定时间位于特定处的系统概率密度分布，是粒子波函数。相比之下，费雪信息熵作为信息熵的局域度量。它的行为与微分熵互补，对概率分布的局域涨落更敏感。费雪熵定义为 (26)。费雪信息熵量化概率密度的锐度，通常与更加局域化的分布相关。这些 IT 度量在深入了解散射过程方面提供了相当大的潜力。据我们所知，以前没有研究探讨过 IT 度量在非线性区域散射过程中的作用。

在图 17 第一行中，我们展示了波函数反射、透射和捕获成分的微分熵结果，如附录 C 中讨论的。对于反射，我们观察到，对于小碰撞能量和小非线性强度，对应于小非线性区域，微分熵很大。因此，对微分熵的初步解释表明，低碰撞速度下的反射显示出大的离域性。然而，这在一定程度上是低速下入射孤子相对较宽的结果，以及微分熵的贡献 [见公式 (C7)]。在透射分数的微分熵中也观察到了类似的行为，即在大入射速度和低非线性强度下。在这两种情况下，我们观察到在所有非线性强度下，该处有一个脊状特征，此时大部分孤子已经隧穿，另一半反弹回来（反射）。更有趣的是捕获成分微分熵的行为。对于所有碰撞速度和小非线性强度，微分熵没有贡献，因为没有捕获，这与我们在图 10 中显示的结果一致。在大捕获情况下，在该区域内，微分熵达到较高值，但与最大时的反射和透射值相比仍然较小。因此，捕获是良好局域化的。

图 17. 第一行，无量纲化孤子速度和非线性强度下反射、透射和捕获区域的微分熵。第二行，费雪熵的相同情况。详见文本讨论。

费雪熵加强了这一讨论。在图 17 中，它显示在第二行。由于费雪熵对局域涨落更敏感，人们观察到，对于低碰撞速度值，反射更加色散，而透射成分在大碰撞能量和非线性强度下显示出色散。有趣的是，随着捕获概率的增加，捕获显示出概率密度的更大锐度。此外，动力学中观察到的起始点在两种 IT 度量结果中都得到明显增强。

IV. 结论
在这项工作中，我们在基于一维含时格罗斯 - 皮塔夫斯基方程（GPE）的框架下，研究了亮物质波孤子从吸引接触杂质散射的情况。通过将问题表示为约化参数的函数，我们表明散射动力学可以组织成通用的双参数映射，允许对广泛范围的入射速度和非线性耦合下的反射、透射和捕获进行系统表征。我们对接触缺陷的数值处理基于优化的序列表示和独立验证的时间传播方案，重现了预期的束缚态性质，并为动力学分析提供了稳健的框架。

核心结果是出现了四个截然不同的动力学区域，由非线性耦合的特征阈值分隔。在该区域，低速动力学由反射主导，且随着该值增加，捕获分数消失。在该阈值处，共振捕获开始出现，在该区域，捕获分数增加，同时通过发射快速辐射成分使低速透射成为可能。在该区间内，散射变得不光滑，阈值行为与反射孤子是否能从杂质束缚成分中分离有关。对于更强的非线性，在该值附近出现另一个跃迁，透射孤子通道的开启导致反射、透射和捕获之间的急剧重新分配。这些结果表明，吸引缺陷不仅仅是简单地分裂入射波包，而且可以根据动能、非线性和缺陷诱导捕获之间的相互作用，诱导定性不同的输出态。除了粒子数分数之外，我们的信息论分析为散射产物提供了互补的表征。微分熵和费雪熵证实，虽然捕获成分保持相对良好的局域化，但当辐射和色散发射很重要时，反射和透射成分可能变得高度离域。通过这种方式，熵度量有助于区分真正的孤子输出通道和高激发、非孤子波包，从而阐明散射映射中识别出的阈值结构的物理意义，这些结构在原子电子学电流中备受关注。

总之，我们的结果确定了吸引点缺陷可能作为可控原子电子元件起作用的参数区域，充当导向亮孤子的反射器、发射器或陷阱。这里报告的阈值结构应该有助于未来关于准一维玻色 - 爱因斯坦凝聚体中局域缺陷的实验研究，它还暗示了几个自然的扩展，包括有限宽度杂质的作用以及多缺陷几何结构。