斐波那契与完全简并圆锥衍射级联：通过路径干涉探索庞加莱球

《APS Open ScienceNEW》：Fibonacci and fully degenerate conical diffraction cascades: Exploring the Poincaré sphere by path interference

　　

通过对光束的强度、相位和偏振分布进行裁剪调控，近年来受到广泛关注。本工作考虑的是由锥体衍射（conical diffraction, CD）这一自然现象所产生的矢量光束，该现象发生在聚焦光束沿双轴晶体（BC）的光轴之一传播时。如果采用由若干双轴晶体串联组成的级联系统，在其成像最清晰的平面（焦像面，FIP）中，该现象通常产生带有空间变化线偏振的同心环图案，从而覆盖庞加莱球（Poincaré sphere）的赤道。在此，我们提出了基于斐波那契序列和简并序列的锥体衍射级联的智能排列方案，能够获得覆盖庞加莱球多个区域的矢量光束。本文所采用的方法基于路径干涉的概念，能够在呈现不同偏振态（线偏振、椭圆偏振、圆偏振）的区域之间实现清晰的空间分离。

I. 引言

在过去数十年中，对光束强度、相位和偏振分布的整形与结构化调控引起了广泛关注。这类结构化光场促成了广泛的一系列应用，包括微操控、三维（3D）成像以及经典与量子通信[1,2]。除了这些光子学应用之外，具有可定制空间特性的结构化光场也逐渐成为控制光-物质相互作用和构筑物质量子态的有力工具[3,4]。在可能的光束结构形式中，矢量光束的偏振在其横截面上呈空间变化。这些特殊光束可以通过不同的方式产生[5]，其中一种最自然的方法源于一种名为锥体衍射（CD）的线性现象。该光学效应发生在聚焦光束沿双轴晶体（BC）的光轴之一传播时，从而形成基底为圆形的倾斜锥面[6–8]。即便输入波为均匀偏振光，CD也会产生具有空间变化线偏振的双环形，使得环上任意两个对径点总是具有正交的线偏振态。尽管自哈密顿（Hamilton）预言以来已近200年[9]，但由于基础性和应用性的双重驱动，近二十年来该现象引起了新的兴趣。特别是，CD光束在现代光子学应用中展现出了重要的能力与潜力，包括光学捕获[10,11]、自由空间光通信[12]、超分辨成像[13,14]、偏振测量[15,16]以及偏振三维光整形[17]。最近，在偏振全息的研究背景下，人们证明这类矢量光束能够实现高效的 hologram（全息图）记录，无论输入物光和参考光的相互偏振关系如何。该方法允许在强度和偏振分布方面对重构或放大的矢量波进行调控，为其静态或动态操控开辟了新的机会[18]。与此同时，CD领域的另一项重要进展是研究级联构型，其中将两个或多个晶体依次排列，并使它们的光轴对齐（图 1）[19–21]。这种构型使得CD环的数量增加为原来的 N 倍，其中 N 为级联中晶体的数量。涉及多个双轴晶体、并在波矢空间中引入智能中间调节的更复杂排列方式，为这些矢量光束的复杂整形铺平了道路，产生出不具备典型圆周对称性的CD光束[22,23]。在这些特殊构型中，我们的研究组已经证明了能够生成高度结构化的非圆形CD图案，这些图案由各个独立结构组成，且它们周围的强度和偏振分布是非均匀的，这可从图案成像最清晰的平面（即焦像面，FIP）上观察到。对于由 N 个晶体组成的级联，N! 个结构中的每一个都可以与适当相空间中的某条特定路径相关联。根据级联参数，这些结构最终可能会相互交叉，因而在CD光束横截面上的某些空间区域发生重叠。虽然在结构彼此独立的位置处，局部偏振通常为线偏振，并且覆盖了整个庞加莱球的赤道，但在结构（即路径）发生干涉的位置处，这一情况不再成立。研究表明，在结构交叉和/或重叠的位置处，可以观察到混合（通常为椭圆）偏振态，从而将矢量波的偏振拓展到庞加莱球赤道之外[23]。

图 1. 通过由 N 个双轴晶体 BC 组成的级联构型产生锥体衍射光束的示意装置图，这些晶体分别具有CD强度。输入光束沿每个晶体的光轴传播，并经由全部晶体聚焦到焦像面 FIP，在FIP上CD环结构最为清晰可见。各个BC可以绕其共同的光轴方向旋转一个角度。

尽管上述方法要求在级联中各个晶体之间进行波矢空间中的操控，但本工作中我们讨论了即使在没有这种操控的情况下，路径干涉又该如何被利用。事实上，对于标准级联，各个独立结构是同心环，它们无法相互交叉。然而，通过对级联参数进行智能选择，不同环可以在空间上发生重叠。当晶体长度遵循斐波那契型序列，或者另一种方案是让所有晶体长度相同（完全简并的级联）时，即可实现这一点。我们证明，这样的选择会导致庞加莱球上更多样的偏振态分布在特定的结构上，这可以从FIP上观察到。这种偏振态的展布在衍射作用下进一步演化。同时，我们还证明了可以在同一光束上实现空间隔离：让呈现圆偏振或椭圆偏振的区域与其他呈现各种线偏振的区域彼此分离。第II节介绍所研究的构型，并基于Berry关于级联CD的理论[20]总结理论基础。第III节通过若干实例说明斐波那契和完全简并级联情况下的路径干涉效应。最后，第IV节给出讨论与结论。

II. 级联构型与理论基础

本工作所分析的构型在图 1 中示意性地表示出来。它由 N 个BC组成的级联构成，所有BC均沿其两个光轴之一对齐。聚焦的输入光束穿过全部BC并经历级联CD。CD图案解析最清晰的平面即为FIP，如果晶体是各向同性的且折射率等于CD波所经历的折射率，该平面正好对应于输入波前的焦平面[6,24]。此处我们假设输入光束为圆偏振高斯波，并仅讨论FIP处的CD图案。在该平面上，对于足够强的聚焦，常规级联会产生一系列分辨良好的同心双环，其偏振为空间变化的线偏振。每对双环之间由一条暗环（Poggendorff环）分隔。为便于表述，下文将双环简称为"环"。

尽管保持与所有晶体的共同光轴方向对齐，每个BC都可以自由地绕该轴旋转。这与第个晶体对应的取向角有关（见图 1）。如果我们假设唯一的矢量对齐光轴方向，那么单个BC所观测到的CD锥面覆盖与该矢量相关联的所有Poynting矢量方向。重要的是，该CD锥面相对于光轴和矢量是倾斜的，而矢量指明倾斜的方向。关于倾斜方向和矢量的确定方法的详细讨论见文献[25]。不失一般性，我们可以令，此时就是第个BC相对于级联中第一个BC的取向角。这些角度是级联的重要参数。它们会影响组成CD图案的各结构之间的强度和偏振分布，详见后文。

另一个对于本工作目的至关重要的参数是各个BC的长度。在此背景下，方便地引入归一化的CD强度参数，它们与这些长度成正比。此处，是第个晶体的CD锥面的半张角，取决于材料的三个主要折射率。如果所有BC都由同一材料制成，则全部归约为一个共同值。乘积给出如果只有第个晶体存在时可观到环的半径。因此，对应于相对于输入波宽度度的归一化半径。如文献[20,26]所述，可以取为由球面透镜聚焦后的入射光束的焦平面（即FIP）上测得的强度半径。

级联CD已经由Berry[20]基于近轴衍射理论进行了理论建模，其中BC对光波的影响由傅里叶空间中的幺正矩阵表示。这些矩阵本质上描述波矢分量在穿过第个晶体时，当它们相对于精确光轴方向略有偏离时所产生的相位失配。它们是上述两个量的函数。在下文中，我们仅总结与本文相关Berry理论的主要结果。

可以证明，由CD强度为的N个BC组成的级联，在FIP上会产生一个具有同心环的图案，其归一化半径为：
（1）
式（1）中正负号的不同选择导致半径的可能取值，对应于N个同心环的位置。正如文献[20]所指出的，上述每一种可能性都由一串和组成的字符串标识，可以称为一条路径。整个CD图案由这些路径的相干叠加获得，或者换而言之，通过叠加各个CD环的复光场振幅得到，每个环都与一条特定路径相关联。在CD强度为随机值的常见情况下，的可能取值通常互不相同，意味着所有环都是彼此独立的。然而，存在两种有趣的情况，其中相同的值可能两次或更多次出现，因此少数环可以在同一空间位置上发生重叠。正如下一节给出的若干示例所示，在这种情况下路径干涉可以产生有趣的效果，特别是对局部偏振分布的影响。

第一种情况涉及斐波那契级联。在此情况下，BC的CD强度值应选为斐波那契数列的元素：
（2）
可以很容易地证明，对于这种选择方式，如果级联长度N增大，则环重叠的概率会显著上升。需要注意的是，虽然式（2）暗示BC应按照数值递增的顺序排列，但对本工作的目的而言这并非必需。事实上，式（1）意味着之间的任何排列都会得到相同的取值集合。唯一条件是，这些数必须是所考虑斐波那契序列元素的一个排列。不同的排列会导致相同数量的重叠环。尽管如此，所观测环的相对强度和局部偏振可能会有所不同，因为这些还与BC各自的取向角有关。

另一种有趣的情况是完全简并级联，即。此时，所得到的CD环在径向上等间距分布。如果是奇数，则有对应的取值，其中。对于偶数，得到取值位于，其中，因此包含了环缩减为中心光斑的情形。显然，随着N的增加，大部分路径会与其他一些路径发生干涉。例如，对于，在一般情况下的128种潜在可能取值中只有4个不同的环半径。

与各个独立路径相关联的振幅值得稍作讨论。该振幅取决于各个BC的取向角，更具体地说，取决于相邻晶体之间的取向角之差，即：
（3）
可以证明，如果所有都不为0或，则所有路径都对整体CD图案作出贡献。这两种情形通常分别被称为晶体平行或晶体反平行。

如果相邻的BC对既不是平行也不是反平行，那么所有路径都是活跃的，在一般情况下，所有同心环都可见，但处于不同的强度水平。一种有趣的情况是所有BC对都相互交叉，使得$\delta_n = \pi/2$。在这种情况下，CD现象将光功率平均分配到$N$个环中[21]。因此，在没有路径干涉的情况下，环上的局部强度与其归一化半径$R_n$和周长成反比。

相反，如果某些相邻的BC对是平行或反平行的，某些路径将携带消失的振幅，相应的CD环就会消失。这种效应可以通过选择所有$\delta_n$为0或$\pi$而被推向极端。可以证明，这会导致选择一条单独的路径而所有其他路径消失，从而只有CD级联图案中的一个环存活下来。由于有$2^{N-1}$种可能的排列满足上述条件，因此通过适当选择BC排列，所有可能的路径都可以被单独选择。在斐波那契级联和完全简并级联情况下的后果将在下一节讨论。需要注意，这种选择特性也存在于组成图案的结构由于BC之间的波矢空间操纵而变为非圆形的情况中，此前在参考文献[23]中已有报道。

我们最后简要说明如何按照参考文献[20]采用半解析处理方法来确定第三节中计算的图案。首先确定与每条路径相关联的系数，如上所述，这些系数是所有相对BC取向$\delta_n$的函数。由于表达式数量众多且冗长，我们在此不显式给出。然后将这些系数与所谓的Belsky-Khapalyuk积分[27,28]的数值评估值结合起来，定义为：

（4）

（5）

其中$J_0$和$J_1$分别是零阶和一阶第一类贝塞尔函数，$r$是实空间中的归一化径向坐标，$0 \leq r \leq 1$。此外，$\kappa$是相对于光轴纵向方向$\hat{z}$的归一化横向波矢，即$\kappa = \frac{r}{2\pi W^2 q}$。变量$z$是沿$\hat{z}$方向的归一化纵向坐标，$z = \frac{z}{2k_0^2 W^2 q^2}$，其中$k_0$对应于真空波长$\lambda_0$的光波数。积分$I$和$J$包含了与每条路径相关的CD结构的径向振幅信息。它们通过对初始的二维傅里叶积分进行方位角积分后得到，该积分以径向坐标表示，并包含描述级联的传递矩阵$M$的乘积。通过固定$\kappa$，这些积分必须根据公式（1）中参数的所有可能值（即所有路径）作为$z$的函数进行数值评估。最后，将所有路径系数和Belsky-Khapalyuk积分结合起来，计算一个$2 \times 2$矩阵$M$的四个复数元素，从而可以从输入波的初始琼斯矢量得到电位移矢量$D$的复数$D_x$和$D_y$分量的空间分布，在我们的情况下是圆偏振的。这个复数$D$矢量包含了关于局部强度$I$和光CD波局部偏振的所有信息。

三、斐波那契级联和完全简并级联

A. 斐波那契级联

我们首先讨论斐波那契级联；五个BC系列的例子如图2所示。结果基于Berry理论和前节描述的程序进行数值计算。输入波被假设为高斯光束并具有左圆偏振。

图2. 在FIP处通过五个BC的斐波那契级联产生的圆锥衍射结构，位置在$\delta_n$处。CD强度序列$\delta_n$的值和相应的取向$\delta_n$给出在每行的左侧。第一行[(a1)–(a4)]对应标准斐波那契序列，根据公式（2）具有递增的$\delta_n$值，而其他两行[(b1)–(c4)]对应相同值的置换版本。前两行对应相互交叉的BC，最后一行[(c1)–(c4)]的相互角度为45°。第一列[(a1)–(c1)]：由10个同心环组成的CD结构中的强度分布（一般级联为16个环）。第二列[(a2)–(c2)]：输出$D$场的$D_x$和$D_y$分量之间的相位差$\phi$。第三列[(a3)–(c3)]：局部偏振椭圆取向的角度$\alpha$。第四列[(a4)–(c4)]：CD结构上的局部偏振椭圆。这里，红色对应右旋偏振，蓝色对应左旋偏振。青色圆圈给出偏振在微小容差范围内为圆形的区域（见正文）。面板(b4)中的圈号标识了由于路径干涉具有二重或三重简并的五个环的半径$R_n$。

第一行[图2(a1)–2(a4)]对应标准斐波那契序列，强度参数$\delta_n$的值根据公式（2）递增，即有序序列$\delta_n = (1, 1, 2, 3, 5)$。在此，相邻晶体被认为是交叉的，使得$\delta_n$在公式（3）中为$\pi/2$。在五个BC级联中潜在可能的16个环半径中，只有10个在此斐波那契级联中存活下来。确实，四个环（在$R_n = 3, 29, 39$和$55$处）对应两条路径的叠加，而$R_n = 5$处的环是三重叠加。这些环在图2(b4)中被明确标识。伪彩色强度图[第一列，图2(a1)]显示各环具有不同的局部强度水平，其中两个最内部的环$R_n = 3$（二重）和$R_n = 5$（三重）以及$R_n = 29$处的环（二重）最为显著。

图2中的第二至第四列涉及局部偏振分布。$D$矢量的$D_x$和$D_y$分量是复数，通常可表示为$D_x = |D_x|e^{i\phi_x}$和$D_y = |D_y|e^{i\phi_y}$。第二列表示$D_x$和$D_y$分量之间的相移$\phi$。在此表示中，线偏振对应于0或$\pi$的相移（分别为灰色或黑色），而椭圆偏振或圆偏振则与中间的蓝褐色和棕褐色相关。图2(a2)显示，对于这种常规排序的斐波那契序列，只有从内数第二个环（$R_n = 3$）的光显著偏离线偏振。第三列描绘了角度$\alpha$。这是线偏振的取向角（$\alpha = 0$对应水平偏振），或者对于光为椭圆偏振的区域，是偏振椭圆主轴的取向角。如图2(a3)所示，在每个环上角度$\alpha$覆盖所有可能的方向，直径相对点与偏振椭圆的正交方向相关联。后者在第四列的表示中被明确绘制。如前所述，对于我们的标准斐波那契序列[图2(a4)]，偏振通常为线性的，蓝色和红色指示与（小的）残余椭圆度相关的旋向性，蓝色对应左旋光，红色对应右旋光。这种旋向性通常对于组成双环的两个子环是相反的，例如对于$R_n = 29$的情况（从外数第四个环），偏振方向在每个子环上被明确标示。如上推断，图2(a4)确认在此情况下只有$R_n = 5$处的环表现出显著椭圆度，这是路径干涉的结果。请注意，为了保持对底层环结构的信息，在图2的第二和第三列中，只有当相应的局部强度超过某一阈值时（通常为整体峰值强度的0.1%–0.5%）才绘制$\phi$和$\alpha$的值。出于相同原因，第四列中的偏振椭圆叠加在灰度显示的环强度上。

如前所述，其圆锥衍射强度属于斐波那契序列的晶体不一定需要按$\delta_n$递增的值排列。斐波那契值的任何置换都会产生相同的一组可能环半径$R_n$。图2中的第二行显示了某种可能置换的结果[BC按$\delta_n = (5, 3, 2, 1, 1)$排列]，后续BC仍处于交叉构型。在图2(b1)中，可以识别出预期的十个环，包括$R_n = 5$处的环，该环在图2(a1)中由于两条涉及路径之间的完全相消干涉而不可见。显然，由于不同的BC排列顺序，环之间的强度层次发生了变化。此外，这种变化还导致偏振分布的重大改变。现在，除了$R_n = 5$处的环之外，$R_n = 29, 39$和$55$处的环也表现出光偏振的强椭圆度[见图2(b2)和2(b4)]。对于$R_n = 29$和$55$处的环，光确实非常接近圆偏振。注意，后者在第四列的图中用青色圆圈表示。该选择的标准是椭圆角$\chi$等于45°（对应精确圆偏振），容差为3°，其中$a$和$b$分别是偏振椭圆两个主轴的长度。

环之间的强度和偏振分布不仅受BC排列顺序的影响，还受BC取向角$\delta_n$的影响。图2中的第三行给出了与第二行相同的BC排列的结果，但对于较小的相对旋转$\delta_n = \pi/4$而不是$\pi/2$，使得BC不再交叉。较小的$\delta_n$倾向于增加外环中的功率，以牺牲内环为代价，通过比较图2(c1)与图2(b1)可以明显看出。现在只有$R_n = 29$和$39$处的环表现出光偏振的显著椭圆度，对于$R_n = 29$，我们基本上有左圆偏振。在三重环$R_n = 5$处，在前两种情况下表现出强椭圆度，现在与本质上线偏振的光相关联。

上述结果清楚地表明，斐波那契级联中的路径干涉增加了CD矢量波的复杂性。即使在FIP处结构很锐利，它也将偏振覆盖范围扩展到庞加莱球赤道之外。该平面最有趣，因为它允许清晰地空间分离具有不同偏振特征的区域。然而，具有增强叠加环数的最佳斐波那契序列仅出现在超过五个BC的级联中。因此，此类级联是产生类似庞加莱束的有趣解决方案，尽管其实验实现相对复杂。不过，接下来我们将看到，完全简并级联构型可以用较少的BC数量提供增强的路径干涉和偏振多样性。

B. 完全简并级联

作为说明，图3展示了由两个到五个BC组成的完全简并级联，其中所有BC共享相同的CD强度$\delta$。对于$N$为偶数，级联始终产生中心强度斑点，其中偏振与入射光束的偏振对齐。确实，如图3(a2)和3(c2)所示，中心斑点表现出相对相位$\phi$为$\pi/2$，与左圆偏振一致。这些结果与先前关于两个BC简并级联的理论研究和实验研究很好地吻合，这些研究表明中心斑点保持与入射光束相同的偏振[29–31]。

图3. $N$个BC的完全简并级联，$\delta_n = \delta$，相互交叉的BC [$\delta_n = \pi/2$]。级联长度$z$给出在每列顶部。各行给出局部强度$I$的分布（第一行），相对相位$\phi$的分布（第二行），偏振主方向的分布（第三行），以及局部偏振椭圆（第四行），如与图2相关的定义。

图3第一行中看到的环之间的路径干涉程度可以很容易地确定。对于$N = 2$，不存在路径干涉。此外，公式（1）意味着图3(b1)–3(d1)中所有最外部的环只能通过单一路径获得（这包括$N = 3$时几乎不可见的$R_n = 3$处的环）。这些环总是与线偏振相关联，可以通过第二行中$\phi$的值以及第四行中局部偏振的明确表示来验证。

对于，处的内环为三重态，而对于，处的环与十条路径相关，处的环为五重态。最后，对于，中心斑点对应于三条路径的叠加，而处的环为四重态。显然，完全简并级联产生的CD环结构更为简单，具有径向等间距的环，有利于区分。除最外侧的环之外，贡献路径的数量与斐波那契情形相比大大增加。然而，正如在第二节中已经提到的，并非所有路径对给定环的贡献都相同，椭圆性的程度取决于与不同路径相关的权重。图3的实例显示，对于（）和（），内环呈现显著的局部椭圆性。在前一种情况下，偏振为椭圆偏振，在后一种情况下为圆偏振[见图3(b2)、3(b4)、3(d2)和3(d4)]。在较小程度上，对于的中间环也发现了椭圆偏振光[图3(c2)和3(c4)]。我们还验证了，与斐波那契情形一样，环结构的强度和偏振分布会随着BC取向角集合的变化而改变。注意，在极限情况下，即所有BC均为平行或反平行时（所有的均为或，图3中未显示），由于所有剩余的条路径的贡献为零，因此仅存一条路径。在这种情况下，仅存的一条环始终与线偏振相关联，类似于图3每列中最外侧的环。最后，我们讨论另一种引人入胜的场景，即将设为，对应于输入波的较弱聚焦。在这种情况下，的单一CD图案产生环形光束，而不是典型的CD双环，因为波根多夫环不存在。三个、四个和五个BC配置的完全简并级联（）如所示。图4. 具有较小CD强度参数（）和相互交叉的BC（）的完全简并级联，级联长度为、4和5。各行分别给出局部强度（第一行）、相对相位（第二行）、主偏振方向（第三行）的分布，以及局部偏振椭圆（第四行），其定义见图2的说明。对于三BC级联，强度分布仍呈环形[见图4(a1)]，且相对相位发生变化。值得注意的是，这种变化不仅沿方位角方向发生，现在在一定程度上也沿径向发生[见图4(a2)]，对应于随着半径增加从椭圆偏振逐渐演化到线偏振[见图4(a4)]。将的简并级联扩展到四个和五个BC会产生更复杂的强度分布：四个晶体时为中心强度斑点周围环绕一个宽环，五个晶体时为环形被一个宽外环包围[见图4(b1)和4(c1)]。内环和外环上的相对相位分布揭示了沿方位角方向存在变化的椭圆偏振。此外，在任何给定方位角处，内环和外环的椭圆偏振状态不同[例如见图4(c2)和4(c4)]。显然，与图2和图3所示的情况相比，这里低值导致几乎平滑变化的复矢量波，不同偏振特征区域之间的边界不那么明显。四、讨论与结论我们证明了圆锥衍射级联中的路径干涉可以导致庞加莱球上更强的覆盖范围，同时保持不同局部偏振特征区域之间清晰定义的边界。讨论了两种类型的级联，并证明它们能够实现这种偏振多样性。斐波那契级联通常会产生大量同心环，其中一些表现出路径干涉。如果BC数量较少，后者相对较少，并随着增加而逐渐增多。例如，对于，CD图案仍然显示出最大环数的75%（8环中的6环），其中33%与路径干涉相关。对于第三节给出的示例（），观察到最大环数的62.5%（16环中的10环），其中一半表现出路径干涉。将斐波那契级联扩展到更多BC时，这些数字会进一步变化。增加一个具有参数的第六个BC导致最大32环中的17环（），包括与相关的中心斑点。在这17个环中，只有6个没有路径干涉，即在大约65%的环上发现了路径干涉。对于具有参数的级联，增加一个具有参数的BC得到27个环（64环中，），其中20个（）为二重、三重、四重或五重态。这些数字表明，斐波那契级联只有在包含至少六个或七个BC的级联中才能发挥全部潜力，此时总环数约为20个，且一些环半径的值彼此接近。确实，对于我们选择的斐波那契序列起始值，对于，两个环的半径之比可以接近1.029，如在七BC斐波那契级联中从外侧数的第二个和第三个环中所述。完全简并级联的情况稍显简单，因为存留环的数量大大减少，且它们的排列为径向等间距。在这种情况下，少于五个BC即可实现高度的路径干涉。我们还讨论了BC圆锥衍射强度较小的情况，对应于输入高斯波的弱聚焦。在这种情况下，可以得到输出光束截面上平滑的偏振变化，如果不需要不同偏振区域之间的尖锐边界，则这一点具有意义。对于两种类型的级联，正如第三节中的实例所示，路径干涉并不总是能保证相应环上的局部偏振显著偏离线偏振。单个环的偏振状态源于到达相同径向位置的所有路径所关联的所有复场贡献的相干叠加。根据级联参数的不同，贡献路径可能获得相当或不同的振幅。当一个贡献占主导地位时，所得偏振倾向于遵循与该路径相关的偏振状态，而相当的可比较的贡献可以通过干涉导致显著的偏振变换。特别是，当相干叠加产生振幅相当的正交场分量且相对相位接近时，可得到显著的椭圆性或近圆偏振。相反，当正交分量之间的相对相位接近0或时，偏振保持线偏振。不同路径的单个场贡献的振幅和相位取决于多个耦合参数，包括连续BC的相对取向（对两种级联类型均适用）和BC的排列顺序（对斐波那契级联）。因此，虽然正向计算偏振状态是直接的，但设计产生指定偏振分布的级联仍然是一个需要数值探索或优化的挑战性逆问题。从实际角度来看，实施这种BC级联基本上有两种可能性。第一种是制备具有正确厚度的独立BC样品，并将每个样品安装在单独的支架上。这种实现方式允许在实验室坐标系中精细调整每个样品的光轴方向及其相对取向角。虽然较为笨重，但这种方案对于给定的一组样品厚度可以保持该方法的全部通用性。第二种可能性是将厚BC晶体切割成多片所需厚度的平面平行薄片，并在施加所需的角度相对旋转后以确定的顺序粘合在一起。这种方案紧凑但只能获得特定的矢量波结构。在这里，关键在于每个薄片的相关光轴必须很好地垂直于其表面取向，以便薄片粘合后光轴保持平行。确实，光轴方向从一片到另一片的过度进动会阻碍它们与输入波传播方向的总体对齐。对于两种方案，单个BC样品或薄片所需的厚度精度相对宽松。确实，CD环的半径与其宽度之比通常在量级。因此，对于，厚度精度约为1%即可保证适当的环重叠；对于更小的值，甚至允许更大的误差。以上所有发现都突出了产生庞加莱类似光束的广阔前景，这类光束具有空间分离的线偏振、圆偏振和椭圆偏振状态，在我们的情况中以同心环的形式排列。因此，所提出的斐波那契级联和完全简并级联为CD矢量光束的偏振分布的控制和定制提供了重要机遇，从而拓宽了矢量光束已有应用的功能范围，包括光学捕获[32,33]、自由空间光通信复用和加密[34]、单次和空间分辨偏振测量方案[35]、超分辨率显微镜[36]以及其他新兴应用[37,38]。