通过安德烈夫自旋实现量子点自旋量子比特的快速读出

《Physical Review Applied》：Fast readout of quantum dot spin qubits via Andreev spins

　　

半导体量子点中的自旋量子比特目前受限于缓慢的读出过程，其速度慢于门操作几个数量级。相比之下，安德烈夫自旋量子比特（Andreev spin qubits）得益于超导量子比特巨大的谐振腔耦合所带来的快速测量方案，但在量子比特的操作过程中会经历相干性的降低。在此，我们提出了一种基于量子点与安德烈夫自旋量子比特之间电可调耦合的快速、高保真度测量方案。在实际器件中，该耦合可以足够强，从而在远低于微秒的量级实现高保真度读出，潜在地实现电路中途测量（mid-circuit measurements）。关键在于，我们耦合器的电可调性允许在空闲期将其关闭，从而将串扰和测量后作用降至最低。我们的方法完全兼容基于锗（Ge）的器件，并通过利用异质量子比特实现的优点，为可扩展的量子计算架构铺平了道路。

I. 引言

量子点自旋量子比特（DSQs）[1]，尤其是基于硅和锗（Ge）异质结构的量子比特[2,3]，是大规模量子计算的领先候选方案[4]。这些系统将紧凑的芯片面积和与工业半导体制造工艺的兼容性，与优异的量子性能[5–20]结合在一起。DSQs表现出较长的相干时间，并支持高保真度的单量子比特和双量子比特门操作，通常超过容错阈值[21–24]，门操作时间为数十纳秒[25–31]，并已在中等规模器件中演示[32–35]。尽管具有这些优点，DSQ 系统面临的一个关键挑战仍然是读出，由于 DSQ-读出通道耦合较小，其速度明显慢于门操作[36]。最先进的器件通常需要数十至数百微秒的积分时间，才能达到高保真度自旋读出[4,37–42]。这一读出瓶颈会引入闲置错误，并对量子纠错协议以及需要频繁测量的算法构成严重限制。

相比之下，安德烈夫自旋量子比特（ASQs），即由半导体中定位的自旋、并通过超导约瑟夫森结实现近邻效应构成[43–53]，得益于与片上微波谐振腔的强电感耦合，可在数百纳秒内实现高保真度读出[45,52]，并实现长程连接[48]。锗异质结构对 ASQs 尤其具有前景[54,55]。它们与超导体的兼容性[56–61]最近实现了显著的近邻诱导超导能隙[54,62–64]，并演示了门可调约瑟夫森结[65,66]。锗的同位素纯化潜力[67]和 p 型波函数[68–70]可抑制核自旋噪声，这很可能是当前 ASQs 的关键限制因素[46,47]。此外，空穴纳米结构中强且可调的自旋-轨道相互作用（SOI），尤其是在晶格匹配无应变[71–73]和拉伸应变[74–76]的锗通道中尤为显著，为量子比特的电学控制提供了高效手段。这些特性使锗成为混合超导-半导体系自旋量子比特架构的理想平台[77–79]。

在此，我们提出了 DSQs 与 ASQs 之间的可调耦合方案，如图 1 所示，将 DSQs 的高保真度门操作与 ASQs 的快速高效读出能力结合起来。该耦合可电学切换：在 DSQ 门操作期间保持关闭，以抑制串扰和后作用[80–82]，仅在读出阶段被激活。我们提出了几种针对不同实验配置量身定制的读出方案，均兼容基于 Ge 的混合器件[54,65]。我们的分析表明，可以在远低于微秒的量级实现超过 99.9% 的读出保真度，代表了测量速度的数量级提升。我们设想，通过利用强大的 ASQ-谐振腔电感耦合（其可实现长程 ASQ-ASQ 连接[83,84]），我们的 ASQ-DSQ 耦合器还可以介导遥远 DSQs 之间的纠缠门操作，克服它们的短程连接限制[85]，并为大规模自旋量子处理器中的灵活布局提供机会。

图 1. 可调 ASQ-DSQ 耦合器。(a) 一个 DSQ（Q1）通过隧穿耦合到一个 ASQ（Q2），后者通过电感耦合到微波谐振腔。(b) 在特定条件下的电荷稳定性图，参见式(A1)和(2)。蓝色和红色实心圆点分别代表 Q2 空态和占据态时 ASQ-DSQ 杂化程度较大的两个快速读出点。杂化可通过减小相应参数或通过向空心圆点方向移动来修改 Q1-Q2 失谐而被电学抑制，在空心圆点处可对 DSQ 执行高保真量子门而不受 ASQ 的后作用影响。(c) 电感谐振腔-ASQ 相互作用幅度随相应参数的变化，参见式(B2)。

II. 可调 ASQ-DSQ 耦合器

我们考虑两个量子点，其中点 Q1 承载一个 DSQ，点 Q2 被两个相位差为 φ 的超导电极实现近邻效应并形成一个 ASQ，如图 1(a) 所示。耦合的 DSQ-ASQ 系统由哈密顿量（式(1)）描述，其中为具有密度矩阵密度算符的费米子算符，更多细节见附录。Hubbard 点内和点间相互作用分别为 U 和 U'，满足 U > U' [86]，并定义了图 1(b) 中勾勒的电荷稳定性图。点 Q1 的单粒子哈密顿量 H1 包括点能量 E1、Zeeman 能量 EZ1，以及一个抵消 Hubbard 能贡献的偏移量 δ。对于 DSQ，点能量等于其化学势 μ1，Zeeman 能量 EZ1 由磁场 B 和可调的点 g 张量[72,87–90]决定。对于 ASQ，E2 通过约瑟夫森能 EJ 依赖于 φ。Zeeman 能量 EZ2 也包含额外的相位依赖的 SOI 贡献，其方向对齐于 SOI 矢量 g。ASQ 还继承自超导电极的近邻关联能量 Δs [91–94]。虽然式(A1)是在假设超导电极中的母能隙远大于点充电能的情况下推导的，但数值研究表明 Δs 在大能隙极限之外的更广泛范围内仍然定性有效[49]。有关小能隙极限的更多信息见附录。

关键在于，DSQ 和 ASQ 通过隧穿耦合 t 相互连接。栅极电压可高效按需控制 t [27]，仅在读出期间将其打开。相互作用项（式(2)）包含了 SOI 诱导的自旋翻转幺正演化，其特征为绕 SOI 轴 g 的旋转角 θ，通常不与 g 方向对齐。

在 SOI 最大化的无应变锗通道中[71–73]，我们预期相应的参数取值，详见附录。这些数值与现有的基于 InAs 的 ASQs[46,49]相当。我们对能隙的估计基于最近实现的 Ge/PtSiGe 器件[62]；然而，原则上在由 Al 或 Nb 近邻化的 Ge 基器件中可以 achieving 显著更大的能隙[63]。对于高达 200 mT 的平面磁场，在 Ge 兼容超导体的临界场之内[54,62,63]，Zeeman 能量处于相应范围[27,32]，其方向和幅度可通过点工程和应变工程控制[72,87]。

III. 与谐振腔的电感耦合

我们的读出由一个电感耦合的谐振腔执行，其能量为 ωr。电感耦合使相位 φ 偏移，其中相应关系式成立。有效零点相位 δφ0 取决于谐振腔阻抗 Zr、超导电阻量子 RQ [95]，并按参与率 p（即达到 ASQ 的谐振腔相位部分）进行重新标度。当相关参数取特定值时，δφ0 取相应值。我们限于低阻抗谐振腔，这与电容耦合系统[96–104]形成对比，后者需要高阻抗谐振腔来增强自旋-光子耦合，代价是损耗和复杂度增加。

耦合哈密顿量（式(3)）包含了谐振腔诱导的 ASQ 点能量和 Zeeman 能量涨落，以及谐振腔介导的配对项。一阶和二阶响应率显示在图 1(c) 中。与自旋无关的项在相应参数取值时分别是奇（偶）函数，而相应项具有相反的奇偶性。

IV. 单粒子区

我们考虑被约束在我们的混合双量子点中的单个粒子，这是一种稳定的构型，原因是相应参数关系，如图 1(b) 所示。为最小化串扰和 ASQ 介导的噪声，我们假设 DSQ 量子门在 (1,0) 区域（空心蓝方框）执行，而 ASQ-DSQ 杂化仅在通过增大相应参数并靠近 (0,1) 区域（实心蓝方框）读出时被激活。DSQ 操作期间残余隧穿和点间相互作用可能产生的不利影响，可通过在 DSQ 和 ASQ 之间加入一个空量子点，并在读出期间将 DSQ 相干转移[105]到空量子点来抑制。

由式(A1)和(2)，利用三阶微扰理论，我们得到跃迁哈密顿量（式(4)），其中 Pauli 矩阵作用于点子空间。我们通过对称于 g 张量的局域自旋旋转（由相应算符生成，满足相应条件）将两个 Zeeman 场对齐到相应方向。在此参考系中，自旋翻转隧穿算符变换为相应形式，其修正后的参数相应更新。

近邻关联项重整化点失谐 δ 和隧穿 t，为相应量增加了对参数的依赖性。这里相应定义成立。最后，对角化相应矩阵的幺正变换一般依赖于相应参数，并为相应量印上相应依赖性。我们设想这可以通过偏置相应参数来实现高效的 ASQ-DSQ 相互作用工程，并介导我们在此忽略的额外谐振腔耦合。

V. 杂化的 DSQ

式(B3)中的跃迁哈密顿量使不同的读出方案成为可能。一种可能的方案是将自旋从 DSQ 物理转移到 ASQ，例如在减小相应参数的同时激活相应耦合，然后通过 ASQ 与谐振腔的巨大直接电感耦合读出 ASQ 自旋[52]。

尽管在自旋转移方面取得实验进展使这一方法颇具前景[27,105]，但这里我们考虑自旋保持约束在 DSQ 中、通过相应算符与 ASQ 杂化的情况，类似于翻转型量子比特（flopping-mode qubits）[106,107]。ASQ 修改 DSQ 的 Zeeman 能量如式(5)所示，其中相应量包含 g 张量的倾斜和自旋翻转隧穿。

DSQ-ASQ 杂化由相应量捕获，其中相应量是轨道能量，并介导 DSQ-谐振腔耦合，其中式(6a)和(6b)给出相应表达式。矢量由两个不同的贡献组成：ASQ 的磁化率项和轨道磁化率项。它们具有互补的参数依赖性，在两种参数取值下符号相反，如图 2(a)和 2(b) 所示，这使通过磁通偏置选择性地利用不同耦合成为可能。

图 2. 杂化 DSQ 的读出。(a)、(b) (a) 一阶和 (b) 二阶 DSQ-谐振腔耦合幅度随相应参数变化的曲线[参见式(6)]，对应不同的点失谐。我们采用无应变 Ge 中可达到的参数取值。另外，相应参数取特定值。(c) 色散和直接谐振腔频移[参见式(7)]。我们对每种耦合假设最优场景。(d) 频率调制度和纵向读出方案的读出非保真度（对数尺度）。插图：信噪比随相应参数的变化（双对数尺度）。我们采用相应频率取值，相应参数设置，对色散（直接）读出采用相应条件。对于纵向读出，通过在相应频率调制相应参数，我们估计相应参数取值。

VI. 读出保真度

DSQ-谐振腔相互作用可实现自旋上态和下态的有效区分。读出通过一个弱耦合输入场驱动谐振腔进行，其幅度和耦合率分别为相应取值，在绕驱动频率旋转的参考系中产生驱动哈密顿量。在此参考系中，到相应量的二阶，DSQ-谐振腔相互作用哈密顿量产生自旋依赖的交流 Stark 频移（式(7)）。这包含色散[95]和直接电感耦合[52]两种贡献，分别依赖于不同参数。我们忽略修改 DSQ 频率的 Lamb 位移，并引入 Zeeman 场幅度相应量，参见式(5)。

重要的是，这些贡献在两个方面具有互补性。如图 2(c) 所示，它们的磁通依赖性相反：在某一参数取值时，色散和直接耦合分别取最大值和最小值，而在另一参数取值时情况相反。我们预期相应量取超导量子比特可比拟的值[95]，从而实现快速读出。此外，它们根据相应矢量相对于 Zeeman 场的方向表现出互补趋势：色散和直接耦合分别依赖于相应矢量的横向和纵向分量。由于相应角度可以被设计，例如通过使相应量对齐到 SOI [102,108] 或通过电学调节 g 张量[32,109]，我们比较了相应取值下最优场景的差异。

类似于超导量子比特，相应量在输出场中印上自旋依赖性，积分时间为相应时间，从而以信噪比（式(8)）实现对 DSQ 的读出[95,110]，其中我们采用最大稳态信噪比条件[111]。小的信噪比会导致状态区分的错误，进而导致读出非保真度相应值[112,113]。这里，我们忽略由于有限的读出链效率造成的保真度降低[114]，后者可通过优化滤波和脉冲整形[115–117]加以抑制。此外，投影读出可能因有限弛豫时间而退化，其对保真度的影响在附录中讨论。

在图 2(d) 中，我们展示我们的混合 DSQ-ASQ 系统使色散和直接耦合（红色和蓝色曲线）在微秒以下实现高保真度读出成为可能。在所考虑的装置中，直接耦合（蓝色曲线）可实现更快的读出，参见图 2(c)。这不仅因为其相应量更大，还因为直接耦合独立于谐振腔-量子比特失谐，而我们在较大的谐振腔频率下操作。这使我们能够放松色散区对最大驱动幅度施加的严格要求，在 0.2 GHz 失谐和 2 MHz 色散频移下临界光子数取相应值[81,113]，并抑制热光子和量子比特诱导的谐振腔非线性[118,119]。

最后，相应量的一阶纵向分量很大，配合通过驱动相应参数获得的谐振调制，产生参数纵向耦合，其幅度取相应值。

我们估计，即使DSQ和ASQ处于失谐状态，通过调节 ， 也可以达到MHz量级。这一耦合使得在短时极限下能够实现高效读出[110,120]，其中 ，见图2(d)中的黑线，为DSQ读出提供了另一种快速方案。

VII. 双粒子区

我们还研究了电荷稳定性图上的(1,1)区，此时双点量子点中束缚有两个粒子，见图1(b)的红色点。实心（空心）点表示DSQ和ASQ耦合（解耦）的读出（操作）区域。对式(A1)和(2)进行四阶微扰理论处理得到交换耦合自旋哈密顿量[26,109,121]
(9)
各向异性交换作用（假设 ）
(10)
包含DSQ贡献 和ASQ介导的贡献 。我们引入了 、 ，并舍弃了修正项 和 ，见附录。我们预期 处于DSQ已实现的范围内。由于 和 的相位依赖性， 继承了偶数的 -依赖性，见图3(a)，其符号和幅度取决于 。

图3. ASQ-DSQ交换相互作用。(a) 正负化学势偏移下 的相位依赖性。接近(2, 0)区（蓝线）或(0, 2)区（红线）会使 大幅增大。(b) 与上文相同参数下的色散（实线）和直接（虚线）谐振器频移。插图显示 下的读出保真度。我们使用 并固定 。其他参数同图2。

该系统通过以下表达式与谐振器耦合
(11)
我们识别出两种不同的贡献： 的磁调制以及 和 的电荷调制，后者产生 -依赖的 ，其易感性为 。我们聚焦于交换介导的过程，并忽略DSQ-ASQ自旋杂化 ，类似于式(5)。

VIII. 交换介导的读出

式(B23)中可调的各向异性交换作用实现了不同的高效读出方案。对于 和 ，一种便捷的读出方案是先在DSQ和ASQ之间执行SWAP门，通过激活近似各向同性的交换 持续 的时间来实现[122]，随后进行快速ASQ读出。

然而，Ge中的各向异性交换相互作用[109]使得交换介导的读出方案成为可能。通过将条件限制为 ， 简化为[123]
(12)
其中包含可调的Ising相互作用 。被忽略的翻转-摇摆相互作用可能引起SWAP动力学，从而导致读出误差。这些误差可通过交换各向异性[26,79,123]和较大的塞曼能差来最小化，在Ge中200 mT下可达 [124]。在这些条件下，在 时SWAP动力学发生在约 的时间尺度上，长于目标亚微秒级积分时间。

由于 ，ASQ的斯塔克偏移继承了DSQ态依赖性，在旋转框架下产生三体相互作用 ，其中
(13)
在与杂化读出相同的参数下，将 减半以抑制翻转-摇摆项，我们估计色散耦合可达MHz量级，见图3(b)，超过直接耦合且与 相当。色散频移 可通过将ASQ保持在其基态并检测谐振器频率的DSQ态依赖偏移，在合理保真度下实现亚微秒DSQ读出。这为快速、高保真DSQ读出提供了另一条途径。

IX. 结论

我们提出了可调的杂化耦合器，由通过隧穿耦合到ASQ的DSQ组成，而ASQ又通过电感耦合到谐振器。以锗基平台为重点，我们在耦合器被一个或两个粒子占据的配置下研究了多种读出方案。在两种情况下，我们都表明该架构能够在亚微秒时间尺度内支持快速、高保真的DSQ读出，其机制包括色散、直接或纵向谐振器耦合。除读出外，我们的ASQ-DSQ耦合器还为纠缠远处的DSQ提供了有前景的途径，为自旋量子处理器提供更灵活、可扩展的布局。