开放量子环中的非弹道传输

《APS Open ScienceNEW》：Beyond-ballistic transport in an open quantum ring

　　在开放量子环（OQR）中，一种非对称的环到电极的配置，其中上下臂的长度不等，会在孤立环哈密顿量的双重简并本征能量附近产生反共振，这些共振出现在结处的传输光谱中。非对称的OQR还会在环内产生净圆周电流传输，尤其是在这些双重简并本征能量附近。我们研究了环内传输的系统尺寸缩放特性以及OQR的整体结传输特性。弹道传输指的是载流子在导体内的无障碍流动，其传输与系统尺寸无关。在这里，我们发现了一种超出弹道行为的现象，即随着系统尺寸的增加，传输在环哈密顿量的简并和非简并本征能量附近都会出现异常增加，这取决于环到电极的配置。这种现象在OQR中是独特的，并且与两个几乎具有相等但相反动量的反向传播的电子波之间的量子干涉效应有关。因此，在具有线性导体的开放量子结中不存在这种现象。

I. 引言
大约100年前提出的德鲁德模型描述了金属中的电子传输[1]。从那时起，电子传输的性质一直是广泛研究领域内的主要关注点，而新的谜团和发现不断涌现。在低维系统中，通常观察到三种载流子传输情况[2-4]。在完美导体中发生弹道传输，其电导与系统尺寸无关，载流子可以无限制地流动。在绝缘体中，电导随着系统尺寸的增加而呈指数级减小，即电导与系统尺寸的平方成反比，其中λ是局域长度的倒数。另一方面，在存在无序的情况下会呈现扩散传输。电子传输的性质主要在孤立系统中进行研究[5-8]。例如，众所周知的安德森局域化现象[5,9]，这是凝聚态物理学中的长期研究问题[10]。在紧束缚晶格中，系统波函数在存在微小随机无序的情况下，从扩展的（金属态）变为指数级局域化的（绝缘体态）。另一方面，在Aubry-André-Harper模型中，金属到绝缘体的转变是由有限强度的不相称势引起的[11,12]。

在传输的背景下，另一个重要的变体是开放量子系统，其中感兴趣的系统与多个驱动电流通过它的环境相连。在这种情况下，通常会研究电流、电导和传输概率的系统尺寸依赖性，特别是对于线性几何形状[13-15]。据我们所知，还没有研究开放量子环（OQR）中的传输依赖于系统尺寸的情况。在本文中，我们研究了紧束缚费米子开放量子环中电子传输的系统尺寸缩放问题，这是迄今为止文献中尚未解决的问题。

OQR表现出与线性导体相比独特的传输特性。在OQR中，导体内的电流和整体结电流在定量和定性上可能表现出显著不同的行为[16-25]，而在线性导体中，由于电荷守恒，导体内的电流必须等于流经外部电路的电流。考虑如图1所示的OQR，它由六个原子位点组成，并对称地连接到源电极（S）和漏电极（D），因此上下臂的长度相等。环内的零温键合电流和整体结电流可以分别表示为[21,26-28]，其中q是电子电荷，h是普朗克常数。这里，t键合传输系数和j结传输概率分别表示键合传输和结电流的传输概率。在当前的单通道模型中，结传输概率总是正的，并且上限为一，而t可以取正值或负值，在OQR中则没有上限。

图1. 一个紧束缚量子环连接到两个半无限电极的示意图。I1和I2分别代表环的上下臂中的电流。I3表示整体结电流。

由于电荷守恒，任何臂上的键合电流都是相同的。因此，对于图1中的上臂，I1 = -I2，下臂也是如此。整体结电流必须满足I1 + I2 = 0。在我们的符号约定中，逆时针流动的电流被认为是正的。在非平衡条件下，电流从化学势较高的电极流向化学势较低的电极。因此，对于对称的环，I1为负，I2为正，I3 = -I1。然而，对于非对称的环，两种电流可以朝相同的方向流动，从而产生由分支电流平均值组成的净偏压驱动的环流[20,29-31]。

在目前的工作中，我们研究了OQR中键合传输系数、净圆周传输系数和整体结传输概率的系统尺寸缩放。对于对称的环到电极配置，净圆周传输系数消失，因此我们只展示键合传输系数和结传输概率。对于非对称配置，我们展示了所有这三个量。我们发现，键合传输系数、净圆周传输系数和结传输概率对系统尺寸显示出相同的定性依赖性。此外，在非对称配置中，键合传输系数和净圆周传输系数在裸环的简并本征能量附近显示出几乎相同的定性和定量行为。

与线性链不同，环哈密顿量具有双重简并的能量本征值，这是由于环的周期性边界条件，因为具有动量p1和-p2的本征态具有相同的能量。当环以上下臂长度不等的几何形状连接到电极时，与这些双重简并本征能量相关的传输共振会分裂成两个共振峰。在这样的非对称环中，整体结传输在孤立环的双重简并本征能量附近显示出两个尖锐的共振峰之间有一个零点（反共振）。这种行为起源于量子力学干涉，相应的极点和零点在导电性中已经被很好地研究了[29,30]。圆周电流出现在这些双重简并本征能量附近。

我们发现，尽管传输电流和圆周电流对偏压、无序和其他外部参数的变化反应不同，但它们对系统尺寸显示出相同的定性依赖性。与线性导体类似，传输是弹道的，除了在与任何量子环（QR）相关的简并能级附近。对于对称的环，传输随着系统尺寸的增加而在带边增强。传输随系统尺寸的增加而增强，超过弹道预期的增长在这里被称为超出弹道传输。我们还观察到在非对称环的反共振周围也出现超出弹道的传输。此外，通过调整环到电极的耦合强度可以调节超出弹道区域的程度。这种异常缩放源于这样一个一般性质：系统尺寸为整数倍的量子环具有相同的本征能量，导致传输峰的高度相同，而峰宽随着系统尺寸的增加而减小。这种本征态的重复是量子环的固有特性，在线性结中不存在。因此，这种异常缩放在线性导体中不会发生。

在现实情况下，微系统的传输特性受到各种物理因素的影响，如结构无序、有限温度和退相干过程。这些效应通常会抑制量子干涉并改变缩放行为。虽然本研究为了清晰起见专注于零温度下的相干传输，但已经根据参考文献[28]描述的方法研究了退相干的作用。还简要讨论了有限温度和退相干的影响。此外，在更高维系统中，亚带结构和带间耦合可能会改变干涉模式和缩放响应。为了进行比较，我们分析了一个二维正方形晶格配置，在该配置中恢复了传统的弹道传输行为，从而证实了这里报告的异常缩放是严格一维开放量子环几何形状的真正特征。此外，为了将这些理论预测与现实条件联系起来，我们还讨论了观察到开放量子环中的圆周电流和相关的超出弹道传输的实验视角。

本文的其余部分组织如下。在第二节中，我们概述了用于计算传输系数和概率的波导形式主义。第三节展示了关键的数值结果及其分析。第四节讨论了可能的实验视角。最后，第五节总结了我们的主要发现。

II. 理论框架
开放量子环（OQR）的紧束缚哈密顿量（见图1）可以写成几个子哈密顿量的总和（1）。这些子哈密顿量的形式分别为（2）（3）（4）（5）。这里，不同符号的含义如下：Δ1和Δ2分别是电极和环的位点势。θ1和θ2是这些组分的最近邻跳跃强度。创造算符δ1、δ2、δ3和δ4分别与源电极、漏电极和环相关。k1表示环与源电极之间的耦合强度，k2表示环与漏电极之间的耦合强度。连接到源电极的环的位点标记为s1，连接到漏电极的位点标记为s2。例如，在图1中，s1和s2分别代表这些位点。

为了评估键合和整体结传输，我们需要计算键合电流密度j1和传输概率p1。为了计算j1和p1，我们采用了波导公式[32,33]，其中我们解了一组由薛定谔方程产生的耦合线性方程（6）。系数ψ1、ψ2、ψ3和ψ4分别代表源电极和漏电极的s1位点以及环的s2位点的电子波幅度。用反射系数ρ1和ρ2表示，幅度ψ5和ψ6可以写成ρ1ψ5和ρ2ψ6，其中k是波矢，d是晶格间距。我们假设从源电极以单位幅度发生平面波入射。

耦合方程为（7），通过解方程（7），我们可以使用j1和p1得到键合电流密度和传输概率。

传输（结）电流是根据传输概率使用朗道公式（8）计算的，其中τ是两端传输概率[21,26,27,34]。函数φ1和φ2分别表示源电极和漏电极的费米-狄拉克分布函数。类似于两端传输概率，Nitzan及其同事[20,21,31,35]引入了键合传输系数来描述通过环的单个键的电流（9），其中I1是入射电流密度。与传统传输概率不同，键合传输系数ρ1可以超过1，也可以取负值[16,20,21,31,35,36]。

净圆周传输系数定义为所有键合传输系数的平均值（10），与键合传输系数类似，ρ1也可以超过1，并且可以取负值。相应的圆周电流然后从朗道公式获得（11）。

传输电流和键合电流满足电流守恒关系（12）。

III. 数值结果和讨论
除非另有说明，所有位点能量在整个计算过程中都设置为零。环内的跳跃参数设置为0.5。源电极始终连接到环的第一个位点，即s1，而漏电极位置s2可以变化，如在讨论的适当部分中提到的。原子间距d被认为是0.5 ?[37]。源到环的耦合k1和环到漏的耦合k2始终假设为相同；为了简化，我们用一个参数k来表示它们。

在研究传输概率（或系数）的系统尺寸缩放之前，让我们首先关注传输-能量特性。在图2中，我们绘制了键合和圆周传输系数以及整体结传输作为能量的函数。电极的跳跃参数为0.2，环到电极的耦合为0.5。j1 和 j2 分别是环的上下臂的传输系数。传输光谱中出现的峰值和低谷所对应的能量与孤立环哈密顿量的能量本征值（方程（2）相关。孤立环的能量色散关系为Δ(ε)，其中ε的范围是0到2πeV/?。因此，对于k1 = κ1和k2 = κ2，系统具有相同的能量。非简并能级对应于奇数和偶数的情况。例如，在图2中，我们选择了某个值，这意味着存在简并。因此，在某些能级上会出现简并现象，而其他能级（即非简并能级）则保持非简并状态。因此，量子环的带边是简并的，而具有偶数ode数（odd）的其他本征能量则是双简并的。

图2显示了一个六节点开放量子环的结果。第一行对应于对称的环到电极配置，第二行对应于最不对称的配置。图中的(a)和(d)面板展示了作为能量函数的键传递系数，图(b)和(e)面板展示了作为能量函数的相应净圆周传递系数，图(c)和(f)面板展示了作为能量函数的结点传递概率。水平虚线标记了所绘量的零值。

在对称的环到电极配置中（如图2(a)的第一行所示），在键传递系数中观察到了四个共振峰，这些峰对应于孤立（裸露）环的本征能量。由于环到电极的耦合保持了环的对称性，与孤立环的双简并本征能量相关的传递共振保持未分裂状态。因此，与裸露环的简并本征能量相关的共振也保持未分裂状态。键传递系数满足特定条件（此处未给出具体条件），如图2(a)所示。因此，定义为所有键传递系数平均值的净圆周传递系数在整个能量谱中都为零（见图2(b) [20,29–31]。结点传递概率在图2(c)中展示。在这种情况下，净圆周传递系数不为零。

对于最不对称的环到电极配置（如图2(d)–2(f)所示），在键传递系数和结点传递概率中都观察到了六个共振峰。需要强调的是，孤立（裸露）环的本征能量保持不变。相反，不对称的环到电极耦合改变了开放环的传输谱。在裸露环的每个双简并本征能量附近（例如某个特定值），传输谱显示出了两个由反共振分隔的共振峰。我们还通过数值验证了传递系数满足特定条件（此处未给出具体条件），这与电流守恒是一致的。

与对称情况不同，在裸露环的双简并本征能量附近，键传递系数具有相同的符号。因此，净圆周传递系数变得有限（如图2(e)所示）。相比之下，在裸露环的非简并带边本征能量附近，净圆周传递系数仍然可以忽略不计地小。因此，在双简并本征能量附近，净圆周传递系数表现出与键传递系数几乎相同的定性和定量行为。

键传递系数和圆周传递系数都可以取正值和负值。这些符号的变化并不对应于负的两端电阻或负的电阻。相反，它们仅仅反映了环内局部电流的方向。在开放的量子环中，结点处的电流分裂迫使一个臂携带与净传输方向相反的电流，这是电流守恒所要求的。这种行为在早期关于圆周电流的研究中已有很好的记录[30,31]，其中键分辨的传递系数会自然改变符号。因此，定义为键传递系数平均值的净圆周传递系数也可能是正的或负的，即使总的结点传递概率仍然是严格正的。因此，键传递系数和圆周传递系数的符号反转仅仅反映了循环电流分量的存在，并不意味着任何非物理的负电阻。

对于开放量子环（OQR），电子在能量窗口内从某个值传播到另一个值。我们发现，除了任何量子环（QR）的本征能量之外，传输与系统大小无关。这被称为弹道传输，是线性导体的传输模式。在量子环的本征能量附近观察到异常传输。首先让我们关注带边，即在我们选择的参数值下。值得注意的是，对于对称配置，净圆周传递系数为零。此外，对于不对称配置，在带边附近它的幅值非常小，如图2(b)和2(e)所示。因此，我们不关注带边的净圆周传递系数。

图3绘制了两种不同环到电极排列的传输结果。图3(a)显示了上下臂长度相等的对称环的结果，而图3(b)展示了上下臂长度比为某个值的环的结果。我们在某个能量值计算传输，其中某个值对应于一个小的能量窗口。图3(a)和3(b)中的红色、蓝色和绿色曲线分别对应于不同的传输值。值得注意的是，在对称环中，键传递系数的幅度是相同的，而净圆周传递系数是它们的两倍。相比之下，不对称环显示出不同的传输幅度[图3(b)]，但其与能量值的定性关系几乎相同。因此，在这种情况下，我们只关注其中一个传输。这些结果展示了传输如何在带边随着能量值的增加而先增加，随后在带边附近又减少，从红色和蓝色曲线可以看出。对于更大的能量值，传输随着能量值的增加而减少，如图中的绿色曲线所示。因此，带边的缩放关系可以表示为（此处未给出具体表达式）。

图3(a)和(b)中的面板分别展示了系统大小为某个值时，两种不同上下臂比例在带边附近的传输情况。在面板(a)中，臂长比为1，而在面板(b)中，臂长比为1/2。图中标记了连接漏极的环节点位置。红色、蓝色和绿色分别代表不同的传输值。面板(a)中的虚线表示传输随着能量值的增加而增加的系统大小，超过这个大小后传输开始减少。在这种情况下，我们在面板(c)中绘制了不同系统大小的带边传输情况，其中能量值由虚线表示。面板(c)中的红色、蓝色、绿色、品红色和青色分别代表不同的传输值。用于这些计算的参数是（此处未给出具体值）。

在OQR中，电子在能量窗内从某个值传播到另一个值。除了任何QR的本征能量之外，传输与系统大小无关。这被称为弹道传输，是线性导体的传输模式。在QR的本征能量附近观察到异常传输。首先关注带边，即在我们选择的参数值下。值得注意的是，对于对称配置，净圆周传递系数为零。此外，对于不对称配置，它在带边的幅度非常小，如图2(b)和2(e)所示。因此，我们不关注带边的净圆周传递系数。

图4显示了两种不同环到电极排列的传输结果。图3(a)显示了上下臂长度相等的对称环的结果，而图3(b)展示了上下臂长度比为某个值的环的结果。我们在某个能量值计算传输，其中某个值对应于一个小的能量窗口。图3(a)和3(b)中的红色、蓝色和绿色曲线分别对应于不同的传输值。值得注意的是，在对称环中，键传递系数和净圆周传递系数的幅度是相同的，而净圆周传递系数是它们的两倍。相比之下，不对称环显示出不同的传输幅度[图3(b)]，但其与能量值的定性关系几乎相同。因此，在这种情况下，我们只关注其中一个传输。这些结果展示了传输如何在带边随着能量值的增加而先增加，随后在带边附近减少，从红色和蓝色曲线可以看出。对于更大的能量值，传输随着能量值的增加而减少，如图中的绿色曲线所示。因此，带边的缩放关系可以表示为（此处未给出具体表达式）。

图5(a)中，我们用点线表示了对于特定能量值的不对称环的传输与系统大小的缩放关系。在这种情况下，传输随着系统大小的增加而增加。我们现在计算不同系统大小下的传输，如图3(c)所示。该图中的垂直虚线表示某个值。对于具有该能量的系统，传输最大值的幅度是可比的，而对于更大的能量值，传输最大值减小。随着峰值高度随着能量值的增加而减小，峰值位置从能量轴的右侧向左侧移动。因此，在带边，传输最初随着能量值的增加而增加，然后减少。在某个能量值，峰值最大值随着能量值的增加而下降，因此传输随着能量值的增加而减少，如图3(a)和3(b)中的绿色曲线所示。

图4展示了系统参数如何影响传输。对于对称环，我们在图4(a)中绘制了传输与环到电极耦合强度的各种关系，其中某个值保持固定；而在图4(b)中，我们绘制了在不同环到电极耦合强度下的传输与系统大小的关系。图4(a)显示，对于较弱的耦合强度，传输随着能量值的增加而增加；而对于固定的耦合强度，传输强度并不依赖于能量值，如图4(b)所示。相反，图4(b)表明，对于固定的耦合强度，指数和取决于能量值。当耦合强度与环跳跃能量相当时，和变得大于1，导致超弹道传输；而对于较小的耦合强度，传输行为主要是弹道传输。

图5展示了对于对称环，传输随系统大小的缩放关系，分别对于不同的环到电极耦合强度（某个值）和不同的耦合强度下的系统大小。在图5(a)中，我们绘制了上下臂长度差异最大的最不对称环的传输与系统大小的缩放关系。对于图3中选择的相同参数值，我们发现传输在带边随着系统大小的增加而减少。传输的性质是扩散的，其缩放关系为（此处未给出具体表达式）。

图5(a)中的插图显示了对数图，清晰地展示了这种缩放关系。这种行为对于环到电极耦合强度的变化具有鲁棒性。为了进一步说明这种缩放关系，我们在图5(b)中绘制了传输随系统大小的变化。在这个图中，我们观察到共振峰向某个值（由虚线表示）从右侧移动，且峰高随着能量值的增加而减小，导致传输随系统大小的增加而呈幂律衰减。图5展示了对于不同系统大小的传输结果，但对于其他也观察到了类似的模式。

如前所述，除了与给定能量值相关的本征能量外，传输的性质是弹道性的。对于对称环，即使在带内的本征能量处，传输也是弹道性的。然而，正如方程(13)所描述的，如果只考虑具有相应本征能量的环，我们观察到超弹道传输。在上下臂长度比适当的不对称环中，与双简并本征能量相关的传输共振可能保持未分裂，或者分裂成两个共振峰，这取决于环到电极的配置。因此，在这种情况下，相应本征能量处的传输仍然是弹道性的。

现在我们关注最不对称的结点。在图6中，我们绘制了作为能量函数传输，该能量对应于一个简并本征值。为了说明，我们选择了所有系统大小为6的整数倍的环共有的简并本征值。然而，下面的结论不仅限于这里考虑的代表性示例，而且对于任何系统大小满足特定整数倍关系的量子环家族中共享的双简并本征能量都是有效的。第一行展示了上下臂的传输系数，第二行展示了净圆周传递系数。第三行展示了与结点（传输）电流相关的传输概率。结果是在某个能量值下评估的，图6(a)、6(e)和6(i)的为0.0001，图6(b)、6(f)和6(j)的为0.005，图6(c)、6(g)和6(k)的为0.005，图6(d)、6(h)和6(l)的为0.1。为了阐明具有某个能量值的OQR的角色，相应的传输值用点标出并连接成一条平滑曲线，使其特征性的缩放行为清晰可见。第一行的红色和蓝色分别代表上臂和下臂的传输情况。点代表OQRs的传输。这些点被连接起来，以明确观察到超出弹道极限的缩放现象仅来源于那些具有特定性质的环，或者等效地，来源于具有共同特征值1的系统。所有的计算都是针对特定的系统和参数进行的。如前所述，对于某些系统，量子环在某个能量下具有简并特征能量。因此，所有具有该特征的环在那个能量下都共享共同的简并能级。我们发现，对于键传输、圆形传输和结点传输量，它们的定性特征是相同的。特别是在裸环的简并能量附近，键传输和圆形传输系数表现出几乎相同的定性和定量行为。在某个特定的能量下，传输是弹道的，因为传输与某些参数无关，如图6(a)、6(e)和6(i)所示。对于某些其他系统，由于在那个能量下的反共振效应，传输变得微不足道；因此，图6(a)和6(e)中的峰值来源于这些系统。对于这些系统，该参数不是特征能量，因此传输变为弹道的。

在图6(b)、6(f)和6(j)中，我们研究了某个参数下的传输情况。能量偏移对应于一个特定的能量尺度，这个尺度在介观传输实验中是容易实现的[38–40]。在这里，我们观察到，在某个系统大小范围内（对于特定的参数，有不同的范围），传输随参数的增加而增加，之后又减少。在小参数值处出现的峰值来源于具有特定性质的OQRs，这一点通过点连接的曲线表明了。由此产生的超出弹道极限的缩放遵循一个关于参数的幂级数依赖形式（16），其中某些系数随着参数的增加而变小。对于某些参数值，系统表现出扩散传输。由于我们选择的能量位于某个简并能级附近，两个臂的键传输具有相同的符号和几乎相同的幅度，这在我们之前的图2(b)中已经讨论过。对于其他参数值，与具有特定性质的OQRs的传输相比，这些传输变得非常小。对于某些参数值[图6(c)和6(g)]，我们观察到扩散传输。对于更大的参数值（即更小的系统大小），我们在图6(d)、6(h)和6(l)中观察到弹道传输，其中传输主要由环的大小所主导。图6中显示的结果对于任何孤立环的简并特征能量都是有效的，其中非对称的环到电极的配置会在那个能量下产生反共振。为了说明这一点，我们考虑了一个具有特定性质的环，并在图7中绘制了对称和最不对称的环到电极配置下的传输概率作为能量的函数。对于某个参数值，孤立环具有四个双重简并的特征能量，分别位于某些能量处，这些能量由垂直线标出。对于对称的环到电极配置，在这些简并能量处没有观察到反共振，如图7(a)及其插图所示。相比之下，对于最不对称的配置，在孤立环的这些简并能量处出现了明显的反共振，这一点由图7(b)中的蓝色圆圈突出显示。因此，在这些简并能量附近观察到了异常的（超出弹道极限的）传输行为。

图7. 对于一个十节点环，传输概率作为能量的函数，分别为(a)对称和(b)最不对称的环到电极配置。垂直线标记了裸环的特征能量。插图显示了特征能量附近的传输谱放大视图。对于对称配置，没有观察到反共振；而对于最不对称的配置，在反共振处出现了传输最小值。图(b)中的四个反共振点由蓝色圆圈标出。计算是针对特定的参数和系统大小进行的。

还存在其他具有特定性质的不对称配置，它们也表现出类似的异常缩放现象。选择特定的参数对于在不对称连接的环中发现超出弹道极限的传输非常重要。让我们首先理解参数的作用，以解释系统的异常尺寸缩放现象。我们从图6(b)中选择了两个参数值，其中一个参数随系统大小的增加而增加，另一个则随系统大小的增加而减少。例如，我们分别选择了某个参数和270，因为这些环的大小是6的整数倍。我们在图8(a)中绘制了这些参数值附近的传输谱。具有某些参数的OQRs在某个能量处具有简并性，但由于环到电极的非对称连接而发生分裂。我们只关注参数的右侧，因为我们在图6的计算中选择了参数为正的值。我们定义了一个量，使得在参数的右侧，对于特定的参数值，我们得到了该量的最大值。换句话说，这个量是由于非对称的环到电极配置导致某个简并能级从孤立环的简并能量处分裂出来的。从图8(a)中我们可以看出，当参数接近某个值时，所有对应于不同参数的共振峰几乎具有相同的幅度[如图8(b)所示]。因此，我们可以得出结论，只要我们选择的参数小于某个值，它就会随着参数的增加而增加（正如我们对某个参数的观察所示）。但是当参数超过某个值时，它会随着参数的增加而减少（对于另一个参数也是如此）。以类似的方式，我们可以解释其他参数值的传输行为。

图8. (a) 对于图6中相同参数值，参数在某个值附近的传输谱。能量窗口由阴影区域表示。(b) 对于图6中相同参数值，不同OQRs在某个参数附近的传输谱。

上述分析还解释了如何控制超出弹道极限范围的程度。如果选择较小的参数值，那么在较大的系统尺寸下，超出弹道极限的条件仍然有效。因此，在过渡到扩散状态之前，超出弹道极限的缩放现象可以在更宽的范围内持续存在。为了证明这一点，在图9中，我们绘制了净圆形传输系数和结点传输概率作为系统尺寸的函数，保持所有参数与图6中使用的相同，除了将参数从某个值减小到另一个值[38–40]。我们发现，直到考虑的最大系统尺寸，这两个量都继续表现出超出弹道极限的缩放，并且预计对于更大的系统尺寸也会持续存在。这些结果清楚地表明，超出弹道极限的现象并不局限于狭窄的系统尺寸范围；相反，其范围可以通过选择与共振分裂相关的参数来系统地控制。

图9. 系统尺寸对(a)净圆形传输系数和(b)结点传输概率的依赖性，对于最不对称的环到电极配置。所有其他参数都与图6中使用的相同。将参数从某个值减小到另一个值，可以将超出弹道极限的范围扩展到显著更大的系统尺寸，并且这种范围可以持续到考虑的最大系统尺寸。

从迄今为止讨论的结果来看，为了实现超出弹道极限的缩放行为，我们需要将费米能量设置在某个值，其中某个值对应于孤立环的简并能量，而另一个值小于某个特定值。由于非对称的环到电极配置导致的双重简并特征能量的传输共振分裂非常小（大约几个meV或更少），并且随着系统尺寸的增加而减小，如图10(a)及其插图所示。

图10. (a) 随环尺寸变化的传输系数的变化。黑色点和红色曲线的含义与图6中提到的相同。在插图中，黑色点表示相同数据的对数图。插图中的红线表示以某个参数为切点的拟合。这里，我们选择了某些参数和值。(b) 在简并能量附近，不同环到电极耦合强度下的共振峰。

现在我们专注于使参数足够合理，以便进行实验观察。获得更大分裂的一种可能方法是控制环到电极的耦合。在图10(b)中，我们绘制了在一个简并能量（例如，对于某个参数）附近，不同环到电极耦合强度下的传输系数变化。正如我们在这里看到的，随着耦合强度的增加，传输系数会增加。因此，我们可以为较大的耦合强度选择一个较高的参数值。但是随着耦合强度的增加，峰值高度会减小。结果，对于固定的参数值和较大的耦合强度，相应的超出弹道行为变成了小尺度现象。所以，我们可以选择一个适中的参数值，以便对于合理的耦合强度实现超出弹道极限的缩放关系。从我们的研究中，我们发现，如果由于非对称的环到电极配置导致与双重简并特征能量相关的传输共振分裂，那么峰值高度和传输系数与电极的位置无关。这也表明了我们研究的稳健性。

以类似的方式，我们可以为不同的参数值固定参数。F. 无序、温度、退相和子带的影响

为了更深入地了解量子环中异常传输的稳健性，研究无序的作用是必不可少的。在现实系统中，由于杂质或结构缺陷引起的现场能量波动是不可避免的，并且可以显著影响传输的性质。在这里，我们研究了Aubry-André模型[11,41–44]中的相关无序，其中通过选择环的现场能量来包含环中的杂质，这些能量表示为某个值，其中某个值是杂质强度，另一个值是一个无理数。我们用某个值表示有序环。

为了研究无序的影响，也可以考虑随机站点能量而不是“相关”无序。然而，在那种情况下，我们需要对大量不同的无序配置进行平均。为了避免这种情况，我们在当前的讨论中忽略了站点能量的随机分布，并期望在无相关和相关情况下得到相同的物理结果。我们在图11中展示了无序对传输概率的系统尺寸变化的影响。我们只关注最不对称的环到电极配置。图11(a)显示了有序环的结果。在这里，我们将能量设置为某个值。由于对于有序环，某个值是一个简并能级，我们发现接近简并度时存在超出弹道极限的传输（直到某个值，如图11(a)所示）。图11(b)、11(c)和11(d)分别表示具有不同无序强度的有序环。我们发现，即使存在小的无序（例如某个值或某个值），超出弹道的行为仍然保持不变。

图11. 在具有不同无序强度的现场电位调制的存在下，传输系数随环尺寸的变化。这里，我们考虑了最不对称的环到电极配置，并选择了接近双重简并特征能量的能量。

到目前为止，所有的结果都是在零温度下获得的，其中传输完全由量子相干性控制。然而，在现实情况下，有限温度会导致电子态的热膨胀，并改变载流子的能量分布。因此，考虑温度效应可以提供一个更现实的情况。在线性响应区域，即当两个电极之间的电压和温度差异足够小时，传输概率可以按照[45–47]中的公式进行评估。结果在图12中显示，清楚地证明了在有限温度下异常超出弹道极限的缩放现象的持续性。在非零温度下，费米能量可以设置在一个简并特征能量处，而热膨胀则解释了来自有限能量窗口的贡献。热膨胀抑制了反共振。因此，在这种情况下，参数的选择不再相关。进一步观察到，超出弹道极限的特征长度随着温度的升高而系统地减小，如图12所示。

图12. 随着站点数量的变化，传输系数的变化，如图顶部所示的不同有限温度。计算是针对最不对称的环到电极配置进行的，同时保持所有参数与图6中的相同。将参数从某个值减小到另一个值，可以将超出弹道极限的范围扩展到显著更大的系统尺寸，并且在考虑的最大系统尺寸附近仍然持续。E. 和 对于超出弹道极限现象的作用

根据迄今为止讨论的结果，为了实现超出弹道极限的缩放行为，我们需要将费米能量设置在一个特定值，其中某个值对应于孤立环的简并能量，而另一个值小于某个特定值。由于非对称的环到电极配置导致的双重简并特征能量的传输共振分裂非常小（几个meV或更少），并且随着系统尺寸的增加而减小，如图10(a)及其插图所示。

图10. (a) 随环尺寸变化的传输系数的变化。黑色点和红色曲线的含义与图6中提到的相同。在插图中，黑色点表示相同数据的对数图。插图中的红线表示以某个参数为切点的拟合。这里，我们选择了某些参数和值。(b) 在简并能量附近，不同环到电极耦合强度下的共振峰。

现在我们专注于使参数足够合理，以便进行实验观察。获得更大分裂的一种可能方法是通过控制环到电极的耦合。在图10(b)中，我们绘制了在一个简并能量（例如，对于某个参数）附近，不同环到电极耦合强度下的传输系数变化。正如我们在这里看到的，随着耦合强度的增加，传输系数会增加。因此，我们可以为较大的耦合强度选择一个较高的参数值。但是随着耦合强度的增加，峰值高度会减小。结果，对于固定的参数值和较大的耦合强度，相应的超出弹道行为变成了小尺度现象。所以，我们可以选择一个适中的参数值，以便对于合理的耦合强度实现超出弹道极限的缩放关系。从我们的研究中，我们发现，如果由于非对称的环到电极配置导致与双重简并特征能量相关的传输共振分裂，那么峰值高度和传输系数与电极的位置无关。因此，估计的参数值不依赖于具体的环到电极连接方式。这也表明了我们研究的稳健性。

以类似的方式，我们可以为不同的参数值固定参数。F. 无序、温度、退相和子带的影响

为了更深入地了解量子环中异常传输的稳健性，研究无序的作用是必不可少的。在现实系统中，由于杂质或结构缺陷导致的现场能量波动是无法避免的，并且可以显著影响传输的性质。在这里，我们研究了Aubry-André模型[11,41–44]中的相关无序，其中通过选择环的现场能量来包含环中的杂质，这些能量表示为某个值，其中某个值是杂质强度，另一个值是一个无理数。我们设置了一个值来表示有序环。

为了研究无序的影响，人们也可以考虑随机站点能量而不是“相关”无序。然而，在那种情况下，我们需要对大量不同的无序配置进行平均。为了避免这种情况，我们在当前的讨论中忽略了站点能量的随机分布，并期望在无相关和相关的情况下得到相同的物理结果。我们在图11中展示了无序对传输概率的系统尺寸变化的影响。我们只关注最不对称的环到电极配置。图11(a)显示了有序环的结果。在这里，我们将能量设置为某个值。由于对于具有某个值的环，某个值是一个简并能级，我们发现接近简并度时存在超出弹道极限的传输（直到某个值，如图11(a)所示）。图11(b)、11(c)和11(d)分别代表了具有不同无序强度的有序环。我们发现，在小的无序存在下（例如某个值或某个值），超出弹道的行为仍然保持不变。

图11. 在具有不同无序强度的现场电位调制的情况下，传输系数随环尺寸的变化。这里，我们考虑了最不对称的环到电极配置，并选择了接近双重简并特征能量的能量。

到目前为止，所有的结果都是在零温度下获得的，在这种情况下，传输完全由量子相干性控制。然而，在现实情况下，有限温度会导致电子态的热膨胀，并改变载流子的能量分布。因此，考虑温度效应可以提供一个更实际的情况。在线性响应区域，即当两个电极之间的电压和温度差异足够小时，传输概率可以按照[45–47]中的公式进行评估。结果在图12中显示，清楚地证明了在有限温度下异常超出弹道极限的缩放现象的持续性。在非零温度下，费米能量可以设置在一个简并特征能量处，而热膨胀解释了来自有限能量窗口的贡献。热膨胀抑制了反共振。因此，在这种情况下，参数的选择不再相关。进一步观察到，超出弹道极限的特征长度随着温度的升高而系统地减小，如图12所示。

图12. 随着站点数量的变化，传输系数的变化，如图顶部所示的不同有限温度。计算是针对最不对称的环到电极配置进行的，同时保持所有参数与图6中的相同。在现实系统中，与环境之间的相互作用不可避免地会导致退相干，从而抑制了干涉等相位相干效应。为了研究退相干对缩放行为的影响，我们采用了Büttiker探针方法，该方法通过引入虚拟电压探针来模拟非弹性散射过程。这一框架使我们能够系统地分析相位相干性的逐渐丧失如何改变量子环的传输特性。在Büttiker探针方法中，除了源和漏相连的格点外，每个晶格点上都附着有虚拟电压探针。这些探针与系统的耦合强度是均匀的，这个强度可以作为退相干参数。我们没有从零电流条件自洽地确定探针的电化学势，而是假设环上的电压降是线性的。具体来说，对于源和漏之间施加的有限偏压，我们设置相应的电化学势，并假设虚拟探针的电化学势在这两个值之间线性变化。根据参考文献[28]中描述的方法，我们计算了存在退相干情况下的传输特性。图13展示了存在退相干时传输随系统大小的缩放情况。显然，即使在有限的退相干强度下，也仍然存在超弹道传输现象。与有限温度的情况类似，退相干会破坏简并能量处的反共振，从而在这些点再次出现异常的缩放行为。

图13. 退相干对传输特性随系统大小变化的影响。每个面板都显示了零退相干情况（黑色曲线）与相应的非零退相干情况的叠加，以便于理解。计算是在最不对称的环到电极配置下进行的，其中环的某些参数已经给出，而能量保持不变。与传统情况不同，这里的传输特性随着外部扰动的增加而增加。这种反直觉的行为之前已有讨论[28]。由于这方面的详细探究超出了本工作的范围，将在未来的研究中进行探讨。

在本工作中，我们考虑了一个严格一维的量子环，其中电子运动被限制在单一路径上，因此不会产生子带结构。为了评估维度的影响，我们考察了一个相应的二维正方晶格环，由于其子带的存在，它自然支持多个传播通道。在零位能下，跳跃强度为某个值，每边有奇数个原子点时，在某个能量附近会发现一个共同的本征能。我们分析了在这个能量处及其附近，不同漏电极位置时结传输的尺寸依赖行为。二维情况下的结果展示了具有弹道传输特征的常规振荡变化，没有任何异常缩放的迹象。这种比较表明，这里报告的超弹道行为是一维量子环的固有特性，仅当在系统大小的整数倍简并本征能量处出现反共振时才会出现。这样的条件在这里的二维环中并不成立。

现在我们研究电流是否随系统大小表现出异常缩放。为了计算电流，我们需要在能量窗口上积分键传输系数。由于峰值和低谷的高度不相等，我们可以将费米能级精确设置在简并能级上，并在小的能量窗口内进行积分以研究缩放关系。施加的电压应满足特定条件。在图14中，我们分别用红色、绿色和蓝色表示电流与系统大小的关系，对于不同的耦合强度。为了更好地展示，电流分别乘以了1、6和15的因子。电流是针对特定的系统大小计算的。我们设置了对应于简并能级的费米能级。这里也观察到了电流随系统大小的异常增长。对于更高的环到电极耦合强度，电流在反共振附近的超弹道增长持续到更大的系统大小，表明存在扩展的超弹道区域。

图14. 不同环到电极耦合强度下电流随系统大小的变化。为了便于理解，电流分别按1、6和15的因子进行了缩放。电流是以微安为单位计算的，对于特定的偏压值，费米能级也进行了设定。

IV. 与实验的联系

为了实验测量圆电流——这在理论上具有重要意义——可以根据其产生的磁场考虑几种方法。已经注意到，圆电流可以诱导出强的局部磁场。例如，Tagami和Tsukada证明，在一个形状为T形的吡啉分子导线中，分子环内的电流在特定偏压下可以诱导出大约某个值的局部磁场[17]。通过分析放置在环上或附近的磁离子的 spectral 响应，可以检测到相应的圆电流——类似于在芳香分子的核磁共振谱中观察到的磁屏蔽和去屏蔽现象[48]。另一种可能的方法是测量环中诱导的磁矩对外部磁场的响应，然后利用这种响应来确定圆电流[20]。此外，本工作中考虑的能量偏移在实验上是现实的。特别是，已经进行了微电子伏特（meV）量级的介观传输实验[38–40]。由于本工作中考虑的能量偏移显著大于实验上展示的微电子伏特能量范围，因此它们完全在实验可实现的范围内。因此，本工作中探索的参数范围应该在介观量子环设备中容易实现。

V. 总结性评论

我们首次研究了OQR（Open Quantum Ring）中键传输系数、净圆电流系数和整体结传输概率的系统大小缩放特性。与线性链不同，QR（Quantum Ring）具有双重简并的本征能量，其中一些本征能量对于系统大小满足特定整数倍关系的环家族是共有的。在这些本征能量附近，传输共振显示出相同高度的最大值，而它们的宽度随着环大小的增加而减小。因此，在这些本征能量附近，OQR出现了异常（超弹道）缩放现象，其特征是传输随系统大小的增加而增加。下面我们总结我们的主要发现：

(1) 尽管键传输系数和净圆电流系数在数量上有差异，但它们随系统大小的缩放行为几乎相同。同样，尽管环内的传输系数和整体结传输概率在数量上有差异，但它们对环大小的依赖性相似。与线性导体类似，在整个导电能量窗口内都观察到了弹道传输，除了在孤立量子环的本征能量附近。

(2) 在对称的环到电极配置中，非简并的带 edges 本征能量附近观察到了超弹道传输，因为具有偶数个格点的量子环共享相同的带 edges 本征能量。在更大的系统尺寸下，传输过渡到扩散区域。超弹道区域的程度可以通过环到电极的耦合强度有效调节。

(3) 在带内，孤立量子环的所有本征能量（除了带 edges 状态）都是双重简并的。对于不对称的环到电极配置，与每个双重简并本征能量相关的传输共振分裂成两个共振峰，中间由一个反共振分隔。在不对称的环到电极配置下，这些双重简并本征能量附近也观察到了超弹道传输。

(4) 我们研究了通常抑制相干传输的各种物理因素的影响。值得注意的是，即使在 moderate 无序、有限温度和通过Büttiker探针形式引入的退相干情况下，超弹道缩放仍然保持稳定——尽管特征缩放长度随着温度或退相干强度的增加而逐渐减小。相比之下，当系统扩展到支持子带形成的二维晶格时，传输只显示出常规的弹道波动。这些结果证实了观察到的超弹道行为是一维量子环相干传输的固有特性。

在结论之前，我们强调，本工作中发现的异常（超弹道）缩放源于孤立量子环的双重简并本征能量之间的相互作用，这些本征能量源于其周期性边界条件，以及由不对称的环到电极耦合在相应开放系统中产生的反共振。这种机制是开放量子环所特有的，在具有线性导体的开放量子结中没有对应现象。我们希望本工作能激发进一步理论和实验研究，探讨在更一般条件下的开放量子环中的量子传输和系统大小缩放，包括施加的磁场、自旋-轨道相互作用、无序、多体效应和更强的退相干机制。