具有斯格明子诱导涌现磁场的Weyl半金属中的半经典磁输运

《APS Open ScienceNEW》：Semiclassical magnetotransport in Weyl semimetals with skyrmion-induced emergent magnetic fields

　　

我们研究了在时间反演对称性破缺、未倾斜外尔半金属中，动量空间贝里曲率与涡旋诱导的倏隐磁场 B_e、以及同时存在时的磁输运性质。采用包含贝里曲率修正和谷间散射的半经典玻尔兹曼方法，我们分析了这一混合拓扑体制下的纵向磁电导率和平面霍尔电导率。在不存在 B_e 的情况下，增加谷间散射会驱动纵向磁电导率的强烈符号反转。有限的 B_e 引入了抛物线型磁场依赖关系的额外偏移，在不改变曲率的前提下产生了一个弱符号反转区。这些效应的共存自然地产生了强和弱符号反转区，证明了谷间散射和实空间拓扑控制了响应中不同的几何特征。倏隐场进一步在纵向和平面霍尔电导率的角度依赖性中引入不对称性。我们证明，当 B_e 的方向改变时，平面霍尔响应可完全由 B_e 产生，提供了实空间拓扑的输运特征。我们的结果表明，涡旋诱导的倏隐场作为一个独立的拓扑调谐参数，揭示了外尔系统中实空间与动量空间贝里曲率相互作用的可测量后果。

I. 引言

在格子材料中实现的拓扑半金属为不同形式的拓扑共存和相互影响电子输运提供了一个天然平台[1–4]。在外尔半金属（WSM）中，动量空间拓扑来源于孤立的能带交叉点（外尔节点），它们作为贝里曲率的磁单极子，具有手征性[5,6]。相关的贝里曲率深刻改变了半经典输运，产生反常速度贡献和相空间修正，构成了反常霍尔效应和手征反常等现象的基础[7–12]。这些效应现已在外尔系统中得到充分确立[13–18]。

然而，格子材料提供了一个额外的要素：非平凡的实空间自旋结构。由于几何挫败、强自旋-轨道耦合和磁有序倾向，格子系统可以承载复杂的磁构型，包括非共面自旋态和涡旋结构[19–21]。当电子自旋绝热地跟随这样缓慢变化的磁化纹理时，它们获得了一个实空间贝里相位，表现为倏隐磁场 B_e，其中为磁场方向的单位向量。B_e 作用于载流子类似于外加磁场[16]。这一机制是手性磁体中拓扑霍尔效应的原因，在非共面磁序系统中被广泛讨论[16,22–24]。

在同时承载外尔节点和非平凡磁纹理的格子外尔材料中，电子因此经历了两种不同的拓扑场：动量空间贝里曲率和实空间倏隐磁场[1–4]。在半经典玻尔兹曼框架中，运动方程仅依赖于总磁场。因此，控制电子动力学的修正相空间因子变为[7,25]。该表达式明确包含交叉项，编码了实空间和动量空间拓扑之间的相互作用。重要的是，外尔节点的固有贝里曲率保持不变；而是倏隐场改变了外尔准粒子传播的有效磁环境。因此，这类系统的磁输运带有混合实-动量拓扑响应的特征。特别是，纵向磁电导率（LMC）和平面霍尔电导率（PHC）获得了由控制的修正，使得磁纹理效应能够直接影响反常驱动的输运。格子外尔材料因此提供了一个实验上相关的设置，可以通过标准磁输运测量来探测这种实-动量拓扑混合。

本工作的核心概念进展是识别出一种从实空间和动量空间拓扑相互作用中产生的混合拓扑磁输运机制。虽然先前的研究聚焦于应变诱导的轴场，这些轴场由构造被引入为依赖于手征性的规范场[10,18,26–29]，但在本文中，输运响应的手征依赖性是通过实空间倏隐场与外尔费米子固有贝里曲率之间的耦合动态产生的。

虽然倏隐磁场以类似于外加磁场的形式进入半经典运动方程，但其物理起源从根本上是不同的。特别是，由底层实空间磁纹理相关的标量自旋手征性产生，因此直接与涡旋密度和手征性相关。因此，来自的输运响应预计将与涡旋结构的产生、湮灭或手征反转相关联，不同于普通外加磁场诱导的响应。此外，在我们的框架中，虽然对于两个外尔节点都是相同的，但由于，其向贝里曲率的投影对于相反手征性自动获得相反的符号[25]。因此，所产生的输运修正模仿了轴场型磁输运，而无需调用任何显式的手征规范场。这表明轴型纵向和平面霍尔响应可以纯粹从动量空间磁单极子和实空间涡旋拓扑的共存中产生。我们的结果因此建立了两种不同拓扑结构之间的直接桥梁：动量空间中的外尔磁单极子和实空间中的涡旋缠绕数。磁输运响应可被解释为与这两个拓扑电荷乘积成比例的混合拓扑耦合，为磁纹理拓扑驱动的反常型输运现象提供了一个统一的描述。

在本工作中，实空间和动量空间拓扑之间的相互作用在半经典输运区进行研究，其中磁纹理的主要效应通过倏隐磁场加以捕获。我们注意到，加性或乘性输运贡献的出现并不一定意味着两种拓扑结构之间缺乏相互作用。事实上，最近将实空间和动量空间坐标等权对待的相空间贝里曲率公式表明，主要的输运响应可以保持有效可分离的，而真正的混合相空间曲率修正仅在高阶出现[17,23,30]。因此，本工作聚焦于实空间磁拓扑与动量空间贝里曲率在外尔半金属中共存的主要半经典输运后果。

本工作采用的半经典玻尔兹曼框架建立在先前为拓扑系统中磁场驱动输运开发的输运形式体系之上[25,26,31–42]。在本工作中，我们的重点是研究在外加和纹理诱导的由拓扑非平凡磁纹理产生的倏隐磁场同时存在时，外尔半金属的磁输运。具体而言，我们分析了与实空间磁拓扑相关的倏隐电动力学如何在超越弛豫时间近似（RTA）框架内修正贝里曲率和手征反常驱动的输运响应。

本文其余部分安排如下。第二节介绍了时间反演对称性破缺 WSM 的最小模型，第三节概述了包含贝里曲率修正和由实空间拓扑产生的倏隐磁场的半经典玻尔兹曼形式体系。第四节对不同符号反转区进行分类，并详细给出了混合实空间和动量空间拓扑存在下 LMC 和 PHC 的结果。最后，第五节总结了我们的主要发现并讨论了其物理意义。

II. 混合实-动量空间拓扑的低能模型

为了研究来自动量空间和实空间拓扑相互作用的输运，我们从描述一对外尔节点附近准粒子的最小低能哈密顿量开始。在没有磁纹理的情况下，有效哈密顿量为[6,43–45]：

(1)

其中表示外尔节点的手征性（拓扑荷），是费米速度，表示在赝自旋空间作用的泡利矩阵。波矢量从外尔节点测量。为清晰和隔离基本的混合拓扑贡献，我们将分析限制在单一对的外尔锥上，注意到额外的对仅定量地修改总响应[25,35]。方程(1)的对角化给出线性色散：

(2)

轨道磁矩（OMM），源自布洛赫波包的自转，在半经典动力学中起重要作用。它由下式给出[15]：

(3)

其中是WSM中的布洛赫波包。OMM与总磁场的耦合按以下方式修改能带色散。因此，在费米能量处的等能线为[25,33,46]：

(4)

其中。通过分别使用作为布洛赫本征矢量的极角和方位角（如下），几何因子由下式给出：

(5)

其中磁场方向假设为在平面内，相对于轴测量，即和。外尔节点的非平凡拓扑编码在其布洛赫本征矢量中：

(6)

(7)

它们在动量空间产生奇异的贝里曲率：

(8)

作为位于外尔节点的贝里流磁单极子[7,15]。此动量空间贝里曲率构成了反常输运响应（如反常霍尔效应和手征反常诱导磁输运）的基础[25,32–36,39,46–63]。

当WSM承载缓慢变化的磁纹理，如涡旋晶格时，穿越该纹理的电子获得额外的实空间贝里相位。在磁纹理在远大于电子波长的尺度上变化的绝热区，纹理的效应可通过倏隐磁场[16,64]加以捕获，该磁场直接与涡旋密度成正比。与外加磁场不同，纯来源于实空间拓扑，即使在无外加场的情况下也存在。在外尔能带拓扑与涡旋结构共存的系统中，如在磁性格子材料和相关手性磁体中实现的[1–4]，载流子因此经历两种独立的贝里曲率来源：(1) 与外尔节点相关的动量空间贝里曲率，以及 (2) 编码在中的实空间贝里曲率。在半经典描述中，两种场通过修正的相空间因子进入运动方程：

(9)

关键的新要素是混合标量积，除非实空间和动量空间拓扑同时存在，否则该项为零。该项修改了态密度和输运系数，产生了普通的金属和仅承载一种拓扑的系统中不存在的额外 LMC 和 PHC 贡献。因此，方程(1)的有效低能模型，加上倏隐场，提供了描述混合实-动量空间拓扑输运所需的最小理论框架。

我们假设涡旋结构的尺度远小于系统尺寸，因此载流子经历一个平均均匀的。这导致了一个动量依赖但位置无关的相空间因子。涡旋结构产生的倏隐磁场大小由通过决定，其中是通量量子。对于在手性磁体中观察到的典型涡旋尺寸，相应的倏隐磁场处于范围内。因此，我们在计算中使用的参数范围完全落在实验上现实的数值范围内[65]。

III. 涡旋中电子输运的麦克斯韦-玻尔兹曼输运形式体系

使用准经典玻尔兹曼输运理论，我们研究了弱电磁场极限下WSM中的输运。由于准经典玻尔兹曼理论在化学势远离节点使得时成立，我们假设（不失一般性）位于导带中。非平衡分布函数的唯象玻尔兹曼方程可表示为[31,51,66–69]：

(10)

其中碰撞项包含了杂质散射。在外加磁场、实空间倏隐磁场和电场存在下，半经典运动方程变为[7,14,15,31,70]：

(11)

其中是使用计算的能带速度。本研究主要聚焦于源自手征反常的输运贡献，而常规洛伦兹力贡献被忽略。更具体地说，洛伦兹力贡献通过项进入玻尔兹曼方程，产生与回旋参数成正比的修正[71–74]：

(12)

其中表示相关的输运弛豫时间。在弱场金属区，这些贡献产生分布函数的高阶角度畸变，相对于反常诱导的仍是次级的。因此，本工作考虑的磁输运中主要的场依赖贡献源自手征反常项。类似的近似在先前关于半经典区反常驱动磁输运的研究中被广泛采用[25,31,47,48,55,59,69,74–81]。

碰撞积分包括节点内和节点间散射[31,35,71,72,82]：

(13)

散射率利用费米黄金法则计算[71,72,82,83]：

(14)

其中是杂质浓度，是系统体积，是散射势的轮廓。假设非磁性点状杂质具有动量无关且手征依赖的振幅，即，我们可以将矩阵元的平方表示为。

在此，值得强调的是，在我们的形式体系中，局域内散射和局域间散射通道的相对强度可以通过参数来调节，该参数定义为

(15)

对于此处考虑的弱场区域，我们可以将非平衡分布函数展开为，其中费米分布函数为，一阶场致偏差为[53,61,84–86]。这里，是一个待确定的未知函数。固定后，沿方向的分量将是相关的，可以写为，其中代表未知函数（试探形式）的分量[53,61,84,85]。为简化起见，我们将丢弃中的无关指标。

保留关于的线性项，玻尔兹曼方程变为[31,33,71,72,85,87]

(16)

此处，我们将能带散射率定义为

(17)

利用式(17)，我们可以将式(16)写为

(18)

此处，且在和费米能处取值。在低温极限下，对于恒定的费米能面，式(17)和式(18)的右端简化为关于和的积分，

(19)

其中。利用试探形式，式(19)可以写成以下形式：

(20)

当上述方程被明确写出时，表现为七个独立的联立方程，需要求解八个变量。粒子数守恒提供了额外的约束条件：

(21)

对于八个未知变量，式(20)和(21)与式(19)联立求解。由于方程结构的复杂性，关于和的所有二维积分均通过数值方法完成，同时求解联立方程。

一旦分布函数被确定，电流密度可以评估为

(22)

广义速度可以写为，其中和分别对应有无电场时的速度。其显式表达式为

(23)

现在，由式(22)，广义电流响应为

(24)

在接下来的章节中，我们将评估LMC、和PHC、，分别定义为和。除非另有说明，我们使用以下参数值：费米速度。

IV. 结果与讨论

在呈现详细的数值结果之前，我们首先阐明在当前的混合拓扑设置下，LMC不同类型符号反转的分类。WSM中LMC的符号在先前工作中已被广泛研究[31,33,75]。在未倾斜的WSM中，手性反常通常在弱谷间散射下产生正的LMC；然而，当谷间散射足够强时，LMC会发生符号反转。该机制源于反常驱动的电荷泵浦与弛豫过程之间的竞争。在本文中，问题中引入了一个额外的要素来丰富电子动力学：涌现磁场，它代表由涡旋纹理产生的粗粒化实空间贝里曲率。虽然以与外磁场相同的方式通过进入半经典运动方程，但其作用根本不同。编码了实空间拓扑，并通过修正的相空间因子与Weyl节点的贝里曲率耦合。

为了系统地表征这些行为，我们采用磁电导张量的通用二次拟合形式[26]

(25)

该形式提供了一个统一的框架来描述（1）常规的关于的二次磁电导，（2）偏移抛物线行为，以及（3）曲率的完全反转，如图1所示。在此参数化中，我们定义以下三种区域。弱符号反转的特征为（1），（2），和（3）。在这种情况下，抛物线的顶点偏离原点，且对于小的正值或负值磁场表现为相反符号。重要的是，整体曲率保持为正。在本文的语境下，这种行为可能源于由有限值引起的额外实空间拓扑贡献，它有效地改变了反常驱动的增强与散射引起的抑制之间的平衡。强符号反转则对应于，其中，表示抛物线曲率的完全反转。该区域通常由强的谷间散射驱动，后者压倒了反常贡献并反转了整体磁场响应。最后，当曲率反转和有限偏移同时发生时，系统表现出强-弱符号反转区域。在此考虑的混合拓扑场景中，该区域自然地从动量空间贝里曲率（Weyl单极子）与实空间拓扑（涡旋诱导的涌现场）之间的协同相互作用中产生。现在我们能够讨论在实空间和动量空间拓扑存在下的磁电导。

图1. WSM中磁电导的特征区域示意图，其中同时存在外磁场和涌现场。该图突出了弱符号反转（偏移抛物线）、强符号反转（曲率反转），以及与常规的关于的二次响应对比的共存强-弱符号反转区域。在本文的混合拓扑设置中，这些区域源于谷间散射与实空间贝里曲率贡献之间的相互作用，后者编码在[26,46,88]中。

A. 实空间和动量空间拓扑存在下的LMC

我们首先回顾在不存在实空间拓扑（）情况下LMC的已确立行为。图2(a)显示了角度下的归一化LMC，定义为

(26)

增加谷间散射强度驱动LMC在临界值处发生符号反转。对于，反常诱导的正LMC占主导；而对于，强的谷间弛豫压倒了手性泵浦机制并反转了磁电导的曲率[25,26,31,33–36,46,88,89]。

图2. 在具有由实空间拓扑产生的涌现磁场的最小时间反演对称性破缺未倾斜WSM模型中，归一化LMC。和外磁场B的角度设为。在所有面板中，沿着红色箭头从0.20变化到1.50。(a) 且变化。在约0.80处，发生反常驱动的LMC符号变化[34]。(b) 且变化。对于（弱符号反转）行为出现。（）（强-弱符号反转）行为出现。(c) 且变化。符号变化发生在。(d) 且变化。

我们现在通过有限涌现磁场且来表示的实空间拓扑来引入它，这代表由涡旋纹理产生的粗粒化贝里曲率。相应的LMC如图2(b)所示。即使极微小的值也能定性地丰富LMC的磁场依赖性：抛物线的顶点偏离原点，而对于固定的其整体曲率保持不变。根据前面的分类，这种行为对应于弱符号反转。偏移来源于通过修正的相空间因子产生的线性项。物理上，涌现场修改了Weyl准粒子经历的有效磁场环境，而没有改变内在的反常机制。

重要的是，对于固定的值，增加仍然会导致抛物线的反转，即过渡到强符号反转，如图2(b)所示。因此，谷间散射控制LMC的曲率，而涌现场控制其极值的偏移。这两种效应的共存自然产生了强-弱符号反转区域。为了获得进一步的见解，我们在图3中绘制了两个固定值（一个低于和一个高于）下不同值时的归一化LMC。对于[图3(a)]，增加逐渐移动抛物线，产生弱符号反转而不改变其正曲率。相反，对于[图3(b)]，曲率已经反转；增加的引入了额外的偏移，导致组合的强-弱符号反转区域。这些结果表明，实空间拓扑和谷间散射影响LMC曲线的不同几何特征。

图3. 未倾斜时间反演对称性破缺WSM最小模型的归一化LMC作为外磁场的函数，其中。 (a)弱符号反转区域（约0.80）和(b)强-弱符号反转区域（）。从黑色曲线到绿色曲线的进展（由红色箭头指示）对应于将涌现磁场从0增加到0.25 T，其中。

我们接下来分析作为本身的函数的LMC，分别在不存在和存在外磁场的情况下，如图2(c)和2(d)所示。在外磁场不存在的情况下，作为函数的LMC表现出强符号反转，反映了涌现场在控制曲率方面的主导作用。当外磁场存在时，和之间的相互作用根据的值产生弱或强-弱符号反转。这证实了充当独立的拓扑调谐参数，而不仅仅是对外磁场的重正化。

重要的是要强调，虽然通过线性组合进入半经典运动方程，并且在两个Weyl节点处具有相同的符号，但其输运效应不是简单的场重正化。关键点是耦合到动量空间贝里曲率，后者对于相反的手性为相反。因此，混合项生成了依赖于手性的相空间因子和广义速度的修正，从而以一种真正拓扑的方式修改了反常驱动的LMC。这种混合的实空间和动量空间耦合构成了本文的核心结果。

最后，我们在存在时研究了归一化LMC的角度依赖性，在处，如图4(a)所示。我们观察到涌现场在角度响应中引入了显著的不对称性。这种不对称性源于在两个Weyl节点处具有相同的符号，因此破坏了磁输运响应的有效反演对称性。由此产生的角度依赖性提供了混合的实空间和动量空间拓扑在实验上可访问的特征标志。为了加深对LMC中的理解，我们将其作为在图中不同值时的函数绘制了，在处。角度各向异性在此图中清晰可见。虽然对所有值的角度依赖性保持完整，但幅度随增加的而增大，且正部分的增长比负部分更快。如前所述，由于对两个节点具有相同的符号，费米面沿方向发生畸变，这导致了各向异性响应并在处显示最大LMC。

图4. 未倾斜WSM最小模型的归一化LMC和PHC作为角度和的函数。 (a)在处的归一化LMC。(b)在处的PHC。(c)在处的给定下的归一化LMC。(d)在处的给定下的PHC。在面板(a)和(b)中，从黑色到绿色线，从0变化到0.25 T，其中。在面板(c)和(d)中，。

B. 实空间和动量空间拓扑存在下的PHC

讨论了LMC之后，我们现在转向PHC。PHC表现出特征性的角度依赖性，正比于，其中是施加磁场从轴测量的角度[47]。在图4(b)中，我们绘制了不同值时的这种角度依赖性。在存在的情况下，角度剖面关于变得不对称。虽然对于的功能依赖关系相似，但幅度减小了。这种不对称性源于沿方向的固定取向。

为了隔离实空间拓扑的作用，我们首先评估不存在时的PHC。图5(a)显示了几个谷间散射强度值时的平面霍尔电导率。在这种情况下，响应纯粹由动量空间拓扑控制。增加抑制了PHC的幅度；然而，与LMC不同，没有观察到符号反转。当开启时[图5(b)]，PHC抛物线的极小值发生偏移，但表现出弱符号反转。固定的和变化的导致了一种定性上不同的行为，如图6(a)所示。在这种情况下，实空间拓扑的存在驱动系统进入弱符号反转区域。在图6(b)中，我们绘制了作为函数的PHC，对应不同的外磁场值。对于，PHC似乎消失，表明沿方向定向的涌现场本身并不产生与外磁场同样大的平面霍尔响应。在所研究的参数范围内，增加外磁场增强了PHC的幅度。

图5. 未倾斜时间反演对称性破缺WSM最小模型中PHC作为外磁场的函数。 (a)涌现磁场。(b)。角度和。在面板(a)和(b)中，从上面的线到下面的线从0.20变化到1.5。

图6. 未倾斜时间反演对称性破缺WSM最小模型的PHC。 (a)PHC作为外磁场的函数。

沿红色箭头方向，涌现磁场 *b* 从 0.75 T 变化到 0.25 T。(b) *E* 随 *b* 变化的面内霍尔系数。沿红色箭头方向，*b* 从 0 变化到 1 T。两种情况下均取 *B* = 0，且 [参数]。

为了获得更深入的认识，我们考虑在仅有 *b* 存在时、并让其在 xy 平面内改变方向的情况下面的内霍尔系数，如图 4(d) 所示，该图表明 PHC 的数值虽然很小，但仍有限。它也证实了仅靠 *b* 即可产生有限的 PHC。可以清楚地看到，[*b*·*E* = 0] 对所有所取的有限 *b* 值都保持不变。这在此前从未被探索过！

**五、结论**

本工作超越了 RTA WSM 输运理论，进入了一种新体制：其中由实空间磁结构所激发的涌现电磁学效应与动量空间拓扑输运效应共存。我们研究了时间反演对称性破缺、非倾斜 WSM 中，在动量空间 Berry 曲率与通过涌现磁场 *b* 编码的实空间拓扑效应同时存在时的磁输运性质。在半经典 Boltzmann 框架内，我们系统地分析了这种混合拓扑体系中的纵向磁电导（LMC）和面内霍尔电导（PHC）。在不存在实空间拓扑效应的情况下，我们再现了已知行为：当区间散射增强超过某一临界值时，LMC 会发生强烈的符号反转，这反映了反常驱动的电荷泵浦与弛豫之间的竞争。当引入有限的 *b* 后，磁电导的抛物线型曲线获得了额外的偏移，对应于一个弱符号反转体制。其中，区间散射控制响应的曲率，而涌现磁场控制其极值的偏移。两者的共同作用自然地产生了强、弱符号反转体制，从而证明了实空间拓扑和动量空间拓扑会影响磁电导的不同几何特征。

我们进一步表明，该涌现场会在纵向磁电导和面内霍尔电导的角向依赖性中引发明显的不对称性。对于面内霍尔响应，*b* 会修正其幅值并可能驱动弱符号反转行为，同时保留特征性的 [*b*·*E*] 依赖性。值得注意的是，当仅改变 *b* 的方向时，可以产生有限的 PHC，这确认了仅靠实空间拓扑即可产生可测量的横向响应。我们的结果表明，*b* 并非仅仅通过 [*b*_eff = *B* + *b*] 对外磁场进行重整化。相反，通过其与动量空间 Berry 曲率的耦合，*b* 作为一个独立的拓扑调节参数发挥作用。Weyl 磁单极子与斯格米子诱导的涌现场之间的相互作用，为混合实-动量空间拓扑提供了直接的输运特征。

我们的结果描述了实空间磁拓扑与动量空间 Berry 曲率共存所产生的主要半经典输运后果，而高阶的混合相空间曲率效应则仍是未来工作一个有趣的方向 [17,23,30]。我们的结果还表明，与斯格米子手征性及磁结构演化相关联的输运特征，可能为在实验上区分涌现场驱动的响应与传统磁场效应提供一条途径。

我们的结果预示了可通过角度依赖磁输运测量探测到的明确实验特征，这适用于带有非平庸自旋结构的磁性 Weyl 半金属。通过在输运平面内旋转外磁场，人们可以同时测量 LMC 和 PHC 随场强和方向变化的函数关系。动量空间 Berry 曲率与实空间拓扑所产生涌现磁场之间的相互作用，预计会产生两个不同的特征：(1) 磁电导抛物线从 [*B* = 0] 处出现的有限偏移；以及 (2) 磁输运响应围绕 [*b*·*B* = 0] 的角向不对称性。由于涌现场直接与磁结构的密度相关，这些输运特征应会随斯格米子密度而变化，而后者可通过洛伦兹透射电子显微镜或磁力显微镜等磁成像技术独立表征。观察到这些特征将为 Weyl 体系中混合实-动量空间拓扑的存在提供直接实验证据。