通过非加性熵分析脑电图来评估大脑的临界状态

《APS Open ScienceNEW》：Brain criticality through nonadditive entropic analysis of electroencephalograms

　　基于非加性熵（适用于复杂系统）的原理，我们研究了典型儿童和注意力缺陷多动障碍（ADHD）儿童的脑电图（EEG）振幅。相应的概率分布是??-高斯分布，即???(??)∝????????2，其中??≡[1+(???1)??????2]1/(1???)，这里的(??,??)分别代表表征复杂性的熵指数和倒数的宽度。我们发现，对于典型儿童和ADHD患者，??值随??值呈单调变化，这强烈表明脑电图振幅统计具有类似尺度的组织结构，与近乎临界或多尺度的大脑动力学相兼容。此外，我们还验证了ADHD患者的复杂性高于典型儿童。与此一致的是，基于这些发现的生物标志物可能有助于实现客观的精神病学诊断。

I. 引言
近年来，许多科学研究加深了对精神障碍神经生物学相关因素的理解。然而，目前还没有特定的标志物能够支持客观诊断，目前的诊断仍然基于临床和统计描述标准[1]。由于大脑的复杂性[2]，关于精神障碍的神经生物学的知识不足，阻碍了精准精神病学的建立，这本质上反映了从高度有序到高度无序的临界状态之间的转变[3–5]。特别是注意力缺陷多动障碍（ADHD），其潜在机制尚未完全理解，因此客观诊断仍然难以实现[6,7]。
研究大脑功能的复杂性及其临界性是一个临床关注的问题[2,5]；因此，复杂性度量方法被视为准确诊断精神障碍的可能途径。大量证据表明，病理状态和适应不良过程（如衰老和精神障碍）与大脑等关键系统动态复杂性的变化有关[2,8–13]。
一种有前景的方法是对神经生理信号（如脑电图EEG）进行统计分析，这些信号在多个时间和空间尺度上编码了丰富的信息[14]。除了传统的频谱和分析域分析之外，最近的研究集中在识别能够区分典型与非典型大脑动态的通用统计特征[13]。
先前的研究表明，自发头皮EEG呈现出非高斯性和状态依赖的振幅波动[15]，而定量EEG测量可能显示出厚尾的分布[16]。在振荡振幅包络的长程时间相关性和电生理功率谱中的非周期性成分中也观察到了类似多尺度的组织结构[17]，这些应该与窄带振荡峰区分开来[18]。这些发现激发了使用超越高斯模型的统计描述。然而，仅凭重尾分布和尺度关系不足以建立大脑的临界性。尽管神经元雪崩研究提供了与临界动力学相一致的证据[19,20]，但理论工作也表明，幂律和明显的尺度关系也可能源于非临界动力学[21]或缓慢变化的外部驱动[22]。因此，我们将观察到的??-高斯分布和尺度 collapsing解释为类似于临界或多尺度大脑动力学的特征，而不是临界状态的确定证据。
通过EEG事件间隔的统计分布（描述其时间规律性），我们研究了成人和儿童（包括典型儿童和ADHD儿童）在不同功能状态下的神经复杂性，使用了非广延统计力学中的??-指数函数[23–25]，这些函数基于非加性熵，推广了标准的玻尔兹曼-吉布斯理论（作为特定实例）。特别是，已经证明了??-统计在区分典型儿童和ADHD儿童方面的敏感性[24]。
在这项工作中，我们调查了来自典型个体和ADHD诊断个体的EEG信号片段的统计特性。我们的方法基于这样一个假设：反映在EEG信号中的大脑动力学可能表现出标准统计框架无法充分捕捉的非高斯特征。为了解决这个问题，我们在非广延统计力学的背景下分析了EEG片段的概率分布。特别地，我们考虑了??-高斯分布，其中??是一个归一化常数，??是熵指数，??是一个与宽度平方成反比的正参数；当??为正时???(??)∝????????2，否则为0[26]。在此，我们还提醒一下，具有特定??值的??-高斯分布是实数自由度情况下学生??-分布[27]的解析扩展。同样，具有特定??值的??-高斯分布也是??-分布的解析扩展。
当前框架为高斯分布提供了一个自然的推广，并已成功应用于表现出长程相关性、记忆效应和异常波动的系统[28–32]。虽然像拉伸指数或对数正态混合这样的替代公式表现出指数或亚指数渐近衰减，但我们的实证数据明确显示了一种形式为???(??)∝??^(-????2)的尺度不变、幂律尾部衰减。这一结构特征证明了??-高斯框架的合理性，并支持了记录到的尺度 collapsing现象。

II. 模型与方法
我们分析了之前研究中记录的19名典型儿童和19名ADHD男孩（11–13岁）在注意力网络测试期间相同EEG信号的复杂性[24,33]。原始EEG信号在0.5到100.0 Hz之间进行了带通滤波，并使用60、120和180 Hz的陷波滤波器校正了电源线干扰。每个通道沿时间进行了零均值处理，并使用??-分数阈值对极端振幅值进行了剪辑。经过这些预处理后，信号被分割成静止的时间窗口，每个窗口内的振幅波动被标准化，用于后续的统计分析。图1展示了一些任意选择的信号片段。振幅波动与高斯噪声非常不同，显示出围绕其平均值的大峰值。在当前信号中，这些大振幅事件是间歇性发生的。重尾??-高斯统计可能源于内在机制，如间歇性和多尺度组织（这些与长程时间或空间相关性有关），以及信号参数的非静止缓慢调制。间歇性与??-高斯分布之间的联系已在临界边缘的耦合混沌系统中得到证实[34]，并在非常不同的物理环境中（如星际介质中的磁场波动[35]）的实验数据中观察到。另一方面，局部参数（如方差）的非静止缓慢调制自然可以用超统计框架描述[36]，这也导致了??-高斯分布的出现[37]。虽然直接拟合??-高斯分布可以表征振幅统计，而不是明确测量时空相关函数，但??-高斯分布和间歇性的联合观察支持了从多尺度、强相关动力学角度进行的物理解释。一个最近的非线性动力学示例展示了如何在国际边界处间歇性重复的机制产生长尾??-高斯不变密度[38]。这些峰值在具有潜在强非局部相关性的系统中非常常见；因此，通过??-统计进行理论分析在先验上是合理的。

III. 结果
在图2中，我们任意展示了一些在?? vs ??尺度上的概率分布，这些分布明显表现出线性行为。这种表示是有意选择的，因为??^(-1/??)；因此，由于??^(-1/??) = 1/??，我们得到了恰好为1的梯度。
图2. Pz、O1和Fz通道的?? vs ??曲线，其中??是用于标准化信号的标准差。通道和受试者的选择是任意的，仅用于说明。无量纲变量??用于更好的可视化。
为了研究模型参数之间的经验依赖性，我们通过合并两组的数据，独立地为每个通道确定了尺度指数??。具体来说，我们在一定区间内优化??，以最大化线性关系R2（R2 = 1-??(??^(-1/??)、??(??)的系数，通过网格搜索方法。优化指数的数值不确定性是从其最大值周围的曲率估计的。
这种优化的组统计结果总结在表I中。ADHD组的平均值略高于典型组，伴随着更大的标准差和更高的相对偏差。通过从联合优化框架中得到的特定于通道的指数，也观察到了类似的模式。
表I. 在不同??值下的均值和标准差，其中n_p表示患者数量，n_c表示通道数量。平均值是针对所有通道和受试者汇总的，用于描述性目的。
为了确保观察到的非高斯特征不是预处理流程的伪影，我们通过改变振幅剪辑阈值（5.0和6.0）进行了敏感性分析。放宽阈值会导致由于包含极端尾部波动而使估计的熵指数略有增加，典型个体的组平均值最多变化0.05（典型组：0.02；ADHD组：0.03）。在每个阈值下，组均值的严格排序和整体人群分散结构都得到了保持，表明组级动态对于??-分数截断的具体选择具有高度鲁棒性。
在图3中，我们观察到??作为??的仿射函数变化，即?? = a?? + b，其中系数a和b在不同通道之间略有不同。这种??与??之间的系统关系表明，EEG振幅分布的形状和尺度是耦合的，而不是独立的。参数??控制了大振幅波动的相对权重，而??则设定了分布的特征尺度。在标准的高斯或无关过程中，形状和尺度是解耦的。在这里，每个实证的受试者-通道实现都与位于类似状态方程的尺度流形上的唯一拟合对相关联。在参考文献[39]中报告了类似的情况，其中每个观测选择了唯一的??对，单调关系被解释为临界性的证据。鉴于??-高斯分布渐近衰减为???(??)∝??^(-????2)，其中??是一个常数，幂律指数可以表示为?? = a?? * exp(-b????2)。注意，在??→0的极限情况下，这个表达式简化为?? = 0。从图3的实证结果来看，渐近指数位于1.9到2.5之间（平均值为1.81）。
图3. 所有患者的F3、F4、C3、C4、P3、P4、O1、O2和F7通道的?? vs ??图。每个子图显示了典型个体（蓝色）和ADHD个体（红色）的单独通道的拟合结果。对于其余通道也获得了类似的结果。
尽管典型和ADHD个体的??值在不同通道之间存在差异，但所有通道的?? vs ??图显示出了明显的崩溃（见图4）。从物理上讲，这种形状-尺度耦合可以通过两种互补机制来理解：在多尺度动力学下，高强度波动（小??）引发了跨尺度神经同步，产生间歇性的爆发，系统性地使分布呈现出重尾（更高的??）；或者，在非静止缓慢调制下，背景神经兴奋或局部网络增强的缓慢时间漂移调节了局部方差，产生了超统计混合，其中尺度波动直接决定了整体尾部几何形状。因此，典型和ADHD组之间观察到的共同曲线最好描述为一种共同的实证尺度关系，而不是证明它们属于同一普适类的证据。
图4. 所有17个通道和38名患者的?? vs ??图。
这提出了两种可能的解释：（1）ADHD和典型个体属于同一普适类，因此没有显著差异；或者（2）被诊断为ADHD的19名患者中有一些实际上是假阳性。解释（1）在图3和图4中进行了描述，其中临界点沿着相同的直线出现，对于多动症（ADHD）和典型结果都是如此。这一结果表明它们具有相同的指数，因此属于同一普适性类别。解释（2）在图4中可以更清楚地看到，在所有通道中，很难区分ADHD和典型的点。如果解释（1）是错误的，我们预期会观察到一个集群或至少患者之间的一些区别，但在这种情况下并没有发生这种情况。需要澄清的是，如果解释（1）是正确的，那么解释（2）也可能成立。然而，如果解释（2）是正确的，那么对诊断的缺乏了解并不足以对解释（1）做出任何明确的结论。

表II展示了每个通道的值以及从优化景观中获得的数值不确定性（）。注意，通道F3、O1、O2和Fz具有最高的值。尽管F3、O1和Fz的值相似，但通道O2的指数与其他通道明显不同，可以将其与P3和T6的指数进行比较。最高的值与C4通道相关联。

在图5中，我们展示了典型个体和ADHD个体的通道指数。图6比较了受试者级别的通道平均值，每位参与者贡献一个单一的值。19名典型参与者的受试者级别的平均值为1.38，而19名ADHD参与者的平均值为1.9。因此，ADHD参与者倾向于显示出更大的值，在负高斯（-Gaussian）框架内，这对应于更重尾和更多样化的EEG幅度波动。就熵指数而言，它表征了非广延统计力学中的复杂性，这反映了更高的神经复杂性。然而，这种趋势在ADHD群体中并不均匀，因为两个分布有相当大的重叠；群体平均值的差异受到具有最大值的子集参与者的强烈影响。

图5显示了所有38名受试者的通道指数与通道指数的关系。通道的顺序如下：F3、F4、C3、C4、P3、P4、O1、O2、F7、F8、T3、T4、T5、T6、Fz、Cz、Pz（总共17个通道）。

图6显示了（通道平均值）与患者指数的关系，按升序排列。第一个ADHD患者和第一个典型患者的指数是一致的。

对于典型组，没有观察到强烈的异常。对于ADHD组，有四名患者的通道指数明显高于典型患者观察到的值。这些结果清楚地表明，ADHD行为与比正常情况更高的复杂性相关。

在这项工作中，我们在非广延统计力学框架内分析了来自典型个体和被诊断为ADHD的个体的EEG信号段的统计特性。我们的结果表明，EEG波动的分布可以很好地用负高斯分布来描述。结合信号中观察到的间歇性大幅度事件，这些重尾统计特性与多尺度组织和长程相关性[36]一致，间歇性可以作为合理的生成机制[34,38]。尽管非平稳慢速调制提供了另一种产生重尾的方法[36,37]，但当前分析主要集中在幅度波动动力学上，与直接的时空相关性测量是互补的。

一个核心发现是，这些参数并不是独立的，而是对两组都表现出类幂律关系。这种缩放行为表明存在一个潜在的组织原则，与大脑活动中临界点动态的出现相容[3,4]。值得注意的是，尽管典型和ADHD受试者遵循类似的功能趋势，但相应的参数范围有所不同，指向不同的动态特征。在各种复杂系统中已经遇到参数对值的单调依赖性[39–41]，这与英国铁路延迟分布的对应关系相反（见参考文献[42]中的图5）。

这些结果支持这样的观点：广义统计方法为从EEG信号估计神经复杂性提供了一种有前途的方法[2,23–25]。更广泛地说，像其他使用不同方法的研究一样，我们的发现也指出了神经复杂性作为建立心理障碍的定量和物理上有根据的标志物的途径。特别是，图中标记为16-19号的八个人的值明显高于他们的配对值（见图6），这表明被分类为典型或ADHD的群体存在异质性，反映了所涉及受试者在不同的生物学和认知维度上的变异性。直接在群体层面的观察是，ADHD参与者倾向于表现出比典型参与者更大的值，在当前模型中对应于更重尾的幅度波动。这种行为可能反映了间歇性、动态异质性或多尺度组织的差异；然而，两组之间的显著重叠以及一小部分高值子群体的影响要求我们进行谨慎的、探索性的解释。

未来的工作可以通过探索来自不同人类状况的不同大脑状态的更大规模大脑活动数据集来扩展这种方法，通过复杂性度量（负高斯统计）澄清几种心理障碍和神经差异，也许可以 reaches 统计标志物。