幂律流体电渗芯-环流的解析解

《Frontiers in Lab on a Chip Technologies》：Analytical solutions for electroosmotic core–annular flow of power-law fluids

　　

摘要翻译：
理解非牛顿流体在微通道和纳米通道中的电渗流（electroosmotic flow），对于常呈现黏弹性（viscoelastic）、剪切变稀（shear-thinning）或剪切增稠（shear-thickening）行为的化学与生物样品的动电操控至关重要。研究人员针对圆柱形微通道中幂律流体（power-law fluids）的广义电渗芯-环流（core–annular flow）建立了一个理论模型。在各自适当的假设下，分别推导了近似解析解和简化解析解，并通过与精确解进行基准比较加以验证。基于薄双电层（electric double layer, EDL）假设的简化解析解被进一步用于表征环隙流体厚度和流动行为指数对电渗速度及流量的参数影响。所提出的解析解可用于预测壁面诱导的聚合物耗尽或吸附效应（polymer depletion or adsorption effect）对幂律流体电渗速度的影响，也有助于研究非牛顿流体中的电渗泵送（electroosmotic pumping）和动电能量转换（electrokinetic energy conversion）。

论文解读文章：

**一、研究背景与问题**

微纳流控器件在生物医学、化学和环境领域应用广泛，如疾病诊断、药物递送和颗粒分选，精确的流体控制至关重要。电渗流由于具有近活塞状速度剖面，能显著降低流体阻力和样品分散，因此成为微纳通道中有效的流体输运方式。已有研究大多针对牛顿流体，而实际应用中常涉及血液、胶体悬浮液和聚合物溶液等复杂流体，这些流体表现出黏弹性、剪切变稀或剪切增稠等非牛顿流变特性。虽然已有大量理论研究考察了单一非牛顿流体的电渗流，但单流体模型在预测实验测得的黏弹性或剪切变稀流体电渗速度时存在不足。实验表明，聚合物分子与通道壁之间的相互作用会在壁面附近形成聚合物耗尽层或吸附层，改变局部流变特性。由于电体力主要集中在近壁的双电层（electric double layer, EDL）内，即使该改性层很薄，也可能与电渗驱动力区域重叠，显著影响主体流体速度。为解释实验与理论之间的差异，研究者提出了聚合物耗尽层（polymer depletion layer, PDL）概念，并发展了双层模型。然而，针对圆柱形微通道内非牛顿流体电渗流的研究仍然有限。因此，本研究在前期针对平行板微通道工作的基础上，建立了圆柱微通道内幂律流体广义电渗芯-环流的理论模型，旨在获得解析解，用以预测壁面诱导的聚合物耗尽或吸附效应以及电渗泵送和能量转换行为。

**二、研究内容与结论**

研究人员建立了圆柱微通道中幂律流体电渗芯-环流模型，其中核心流体和环隙流体均可用任意幂律参数描述，涵盖剪切变稀、牛顿和剪切增稠行为。通过在Debye–Hückel近似下求解线性化Poisson–Boltzmann方程得到EDL电势分布，并结合Cauchy动量方程求解电渗速度场。在界面处施加速度和剪切应力连续性条件，获得了速度剖面的精确积分表达式。为获得便于应用的解析解，研究人员采用修正贝塞尔函数的分段近似，推导了适用于微通道（κ(R?δ)≥1且κR>1）、纳米通道（κ(R?δ)<1且κR≤1）以及介观/亚微米通道（κ(R?δ)<1且κR>1）三种情形的近似解析解。进一步在薄EDL假设（κR?1）下，利用局部平直EDL近似简化了速度积分表达式，得到了电渗速度剖面、中心线电渗速度U_EO以及核心和环隙流体体积流量的简洁解析公式。这些解在微流控典型条件下与精确解吻合良好。研究揭示了环隙流体厚度和流变指数对电渗流动的影响规律：当环隙为牛顿流体时，其粘度低于剪切变稀或剪切增稠核心流体，从而起到润滑层作用，增大κδ或n_I均使U_EO和归一化核心流量增加；但绝对U_EO和Q_I随n_I增大而减小，因为核心流体粘度增加。对于更一般的剪切增稠核心与幂律环隙流动，当n_III（即U_PL,II>U_PL,I）时，环隙流体同样增强核心电渗流，而n_II>n_I时环隙流体则起阻碍作用。核心流量Q_I随κδ呈非单调变化，存在最优κδ值，该最优值在牛顿环隙情形下约为3.2，对于一般幂律环隙则在2.0左右，且随n_II有微弱非单调变化。这些结果清楚地表明，环隙流体相对于核心流体的广义Smoluchowski速度U_PL（式12）决定了其作为润滑层还是阻力层。该论文发表在《Frontiers in Lab on a Chip Technologies》。

**三、主要关键技术方法**

本研究为纯理论建模，无实验样本队列。主要方法包括：（1）在Debye–Hückel近似下求解线性化Poisson–Boltzmann方程以获得EDL电势；（2）对幂律流体分别建立核心区和环隙区的Cauchy动量方程，并在界面施加速度与剪切应力连续性条件及壁面无滑移条件，得到电渗速度精确解；（3）采用修正Bessel函数的分段近似（式10）推导适用于不同通道尺度的近似解析解；（4）在薄EDL假设下将EDL视为局部平直，简化速度积分式，得到中心线速度U_EO和体积流量的封闭解析解；（5）针对n_I=1/2、n_II=1的特例，利用广义超几何函数构造精确解，对近似解析解和简化解析解进行基准验证。

**四、研究结果**

**4.1 近似与简化解析解的验证**

针对剪切变稀核心（n_I=1/2）与牛顿环隙（n_II=1）流动，将精确解（式20a,b）与近似解析解（式11a–c和式14a,b）比较。结果表明，在κR≥5的微通道条件下，近似解与精确解吻合良好；κR=2时近似解高估U_EO约7.6%，源于Bessel函数分段近似在κr接近1时误差增大。在纳米通道条件下（κR=0.3和0.5），近似解与精确解几乎不可区分；κR=0.8时低估U_EO约6.8%。对于薄EDL简化解（式17a,b），在κR=10时对核心区主体电渗速度高估约3.4%，归因于薄EDL近似未完全捕捉曲率效应；在κR=50时相对误差不超过0.6%，满足典型电动力学微通道应用需求。

**4.2 环隙流体厚度的影响**

对剪切变稀核心（n_I=0.75）与牛顿环隙，κδ从0增大到κR时，核心流体速度快速增加，因为低粘度牛顿环隙在EDL内起润滑作用，降低有效粘度。环隙速度剖面与纯牛顿流体一致，不受δ和核心流变影响。当κδ≥5时，整体速度剖面趋近纯牛顿流体。对于剪切增稠核心（n_I=1.25），增大κδ同样增强核心速度，且增速更快：归一化U_EO从δ=0时的1增至δ=R时的81.2（剪切变稀情形仅从1增至20.5），原因是剪切增稠流体在电渗流中粘度升高，与牛顿环隙的粘度差更大。但剪切增稠核心的绝对U_EO仅为剪切变稀核心的四分之一左右。

**4.3 核心流体流变的影响**

在幂律核心与牛顿环隙流动中，固定m_I=50 mPa·s^1/2，将n_I从0.6（剪切变稀）变化到1.4（剪切增稠）。在相同κδ下，归一化U_EO随n_I增大而增大，因为更粘稠的核心流体与牛顿环隙之间的粘度差更大，润滑效应增强。例如κδ=5时，n_I=1.4的U_EO/U_EO,δ=0=97.6，远大于n_I=0.6时的7.81。然而，绝对U_EO随n_I增大而减小。核心流量Q_I随κδ呈非单调变化，最优κδ约为3.2，且不随n_I改变；此时n_I=1.4的归一化Q_I为87.4，n_I=0.6时为6.77，二者比值与U_EO比值相近，进一步说明润滑效应随粘度差增大而增强。

**4.4 环隙流体流变的影响**

对于剪切增稠核心（n_I=1.2）与幂律环隙，固定m_I=m_II=50 mPa·sⁿ，将n_II从0.6变到1.6。当n_III时（相当于聚合物耗尽），增大κδ使U_EO/U_EO,δ=0>1，且n_II越小增强越强；当n_II>n_I时（相当于聚合物吸附），增大κδ使U_EO降低；n_II=n_I时U_EO不变，对应纯剪切增稠电渗流。对于Q_I，仅在n_III时随κδ先增后减，最优κδ随n_II微弱非单调变化，约在2.01～2.17之间；n_II≥n_I时Q_I持续下降。总体而言，环隙流体对核心电渗流的增强取决于其广义Smoluchowski速度U_PL是否大于核心流体的U_PL。

**五、讨论与结论**

研究中推导的解析解清晰揭示了核心与环隙流体流变特性对电渗流的影响，以幂律流体的广义Smoluchowski速度U_PL为判据。环隙流体根据其U_PL相对于核心的大小，分别充当润滑层或阻力层。这些解析解有助于理解壁面诱导的聚合物耗尽或吸附对剪切变稀或剪切增稠流体电渗速度和流量的影响，并可用于包含两层或更多幂律流体的动电微流控器件的设计与优化。解析解为数值模拟提供了显式参数依赖关系、极限和最优条件的快速评估以及有效的基准。研究同时指出模型的局限性：为获得解析性而采用了理想化假设，数值方法在复杂几何、非线性静电、瞬态流动等条件下更具灵活性；幂律模型无法描述低和高剪切速率下的牛顿粘度平台、弹性效应、应力松弛、记忆效应等复杂流体的重要流变现象。未来工作将扩展至更精确的本构方程以预测黏弹性流体的电渗流。