基于栅格化约束平面波展开的分裂环谐振器设计

《INTERNATIONAL JOURNAL OF MECHANICAL SCIENCES》：Split-Ring Resonator Design via Rasterized Constrained Plane Wave Expansion

　　

## 摘要

基于环形谐振器（SRR）的声子晶体能够实现亚波长尺度的声学控制。然而，传统的平面波展开法（PWE）需要针对具体几何结构推导傅里叶系数，而栅格化平面波展开法（RPWE）由于全局傅里叶基必须分辨墙体厚度，在细壁结构中收敛缓慢。本研究针对细壁状态下不规则有限厚度SRR，提出了一种新的栅格化约束平面波展开法（RCPWE）。该方法将不规则边界进行栅格化处理，将声学域分解为耦合的子域，并在开槽界面处施加声压和质点速度连续条件。通过基于奇异值分解的零空间投影，将约束广义特征值问题进行降阶处理。通过声学域分离和声硬边界来表示有限厚度墙体，而非在全局傅里叶材料场中将细壁作为窄区域处理，RCPWE避免了对墙体厚度的直接傅里叶分辨。该方法被扩展应用于单个、嵌套和平移SRR结构，并通过有限元法（FEM）验证。在所测试的细壁案例中，RCPWE所需倒易基矢数量显著少于RPWE，运行时间最多缩短两个数量级。在相同精度下，RCPWE比本文基准算例中的FEM快约3.3倍。随后，RCPWE作为正向求解器被用于条件生成对抗网络（CGAN）逆向设计演示中，提供能带结构标签和生成后的能带结构验证。代表性单目标和双目标设计经FEM仿真和波导测量验证。一项全尺寸双房间测试表明，一种通风声学窗户在1000 Hz附近插入损耗增加，同时保留了通风通道。这些结果确立了RCPWE作为不规则细壁SRR的精确高效的核心物理求解器的地位，展示了其连接理论设计与实际工程应用的能力。

## 引言

声子晶体（PnC）是通过布拉格散射和局部共振控制声波和弹性波传播的周期性工程结构[[1], [2], [3], [4], [5], [6]]。在各种结构构型中，环形谐振器（SRR）是一个尤为重要的类别，最初提出于电磁领域，随后被应用于声学领域，因其能够诱导显著的亚波长共振[[7], [8], [9], [10]]。与需要大晶格常数的传统声学晶体不同，SRR通过利用局域共振模式，在紧凑的单元结构中实现强烈的波衰减[[11], [12], [13]]。

凭借这些特性，SRR已被广泛应用于多种声学功能器件中。Bennetts等人[14]通过彩虹捕获效应在C形谐振器的二维渐变阵列中实现了低频声能放大，使声能采集和噪声抑制的空间能量集中成为可能。Lee等人[15]利用辐射耦合谐振器产生了类似Fano共振的效应，开发了一种紧凑的亚波长定向声学传感器，实现了高分辨率的全角度声源定位。Chen等人[16]通过在声子晶体中耦合SRR，实现了可调的声学高阶拓扑绝缘体，使角态的灵活控制成为先进声操控的手段。Xia等人[17]设计了由六边形排列的多开环谐振器组成的非对称声学超材料，通过单极子-偶极子共振耦合实现了亚波长声屏蔽、隐身和超隧道效应。

基于SRR的声学结构在波操控和工程噪声控制方面均得到研究。渐变和耦合谐振器阵列已实现低频能量集中、定向传感、可调拓扑态和亚波长声屏蔽[[14], [15], [16], [17]]。得益于紧凑的局域共振，基于SRR的元件还适用于管道和机械外壳的频率选择性衰减[18,19]、通风声学窗户[20]和周期性声屏障。组合具有不同特征频率的谐振器可以进一步拓宽低频衰减范围，同时保持气流通过[21]。这些应用直接取决于声学带隙的位置和宽度。因此，精确高效的能带结构计算对于物理分析和面向应用的设计都至关重要。

带隙是周期性系统中传播模式被禁止的频率区间[[22], [23], [24]]。准确预测带隙的位置和宽度对于理论研究和器件设计都至关重要[[25], [26], [27]]。为此，人们已开发了多种数值方法。有限元法（FEM）[[28], [29], [30]]通过将结构离散化为单元，提供了高度的几何灵活性，适用于多物理场问题。Jia等人[31]将FEM仿真应用于拓扑优化声子晶体设计，在特定材料和对称性约束下实现了声学带隙的拓宽。传递矩阵法（TMM）是另一种广泛使用的工具[[32], [33], [34], [35]]，特别适用于一维或层状结构，通过传递矩阵将波场在界面处关联起来。Bu等人[36]利用TMM评估了周期性旋转声学黑窝管道的色散特性，实现了旋转系统中基于带隙的振动抑制。其他方法，如基于小波的方法[[37], [38], [39], [40]]、Dirichlet-to-Neumann映射[40,41]和有限差分时间域方法[[42], [43], [44]]，也已被应用于声子晶体的带隙计算。

在可用的数值方案中，平面波展开法（PWE）因其计算效率和精度之间的良好平衡，成为声子晶体带隙计算中最广泛使用的方法之一[[45], [46], [47], [48], [49]]。平面波展开提供了一种高效的特征值公式，其中布洛赫定理和傅里叶展开将控制波动方程转化为特征值问题，用于计算周期性介质中的色散关系[50]。例如，Shen等人[51]采用PWE方法分析了复杂的二维声子晶体，实现了对带隙位置和范围的精确估计。然而，PWE方法在处理复杂边界时显示出明显的局限性。对于任意形状的包含体，推导傅里叶系数（或形状函数）在数学上非常繁琐，且解析表达式的复杂度和相应的计算成本随几何不规则性急剧增加[51]。因此，大多数现有研究采用相对规则的包含体几何形状[52]，如圆形或方形[53,54]，用于建模。这一局限性促使了针对任意包含体形状的方法的开发。Shen等人[55]引入了一种栅格化平面波展开法（RPWE），通过从栅格化几何中数值地组装傅里叶系数，为二维声子晶体中任意形状散射体的能带结构计算提供了新途径。尽管有所改进，但对于复杂的细壁环形谐振器，收敛仍然缓慢，需要大量倒易基矢才能获得准确结果。因此，计算成本大幅增加，限制了该方法在此类构型中的实际适用性。为解决这些局限性，本研究提出了一种栅格化约束平面波展开法（RCPWE）。所提出的RCPWE方法将不规则有限厚度边界的栅格化表示与声学子域的界面约束耦合相结合。因此，该方法在保留几何灵活性的同时，避免了对细实壁进行全局傅里叶基直接分辨的需求。

这种几何灵活且高效的能带结构求解器不仅对分析指定结构有价值，对于需要在大型参数空间中反复评估的设计工作流也至关重要。这一需求在声子晶体设计中尤为重要，因为每个候选结构的能带结构和目标函数值都必须迭代计算。由于结构响应对几何和材料参数呈非线性依赖，遗传算法（GA）和粒子群优化（PSO）已被广泛用于声子晶体设计[[56], [57], [58], [59], [60], [61]]。这些基于种群的方法可以容纳非线性目标、离散设计变量和几何约束。Wen等人[62]将改进的自适应GA与FEM集成，以扩大二维声子晶体的低频相对带隙，并通过色散和透射损耗分析验证了优化结构。Chu等人[63]将机器学习与局部构型无网格方法结合，并采用混合PSO-强化学习策略进行按需声子晶体参数设计。这些研究表明，传统优化提供了面向目标结构的成熟且灵活的设计路线。然而，其实用效率强烈依赖于用于计算每个候选结构能带结构和目标函数值的正向求解器。

数据驱动的逆向设计提供了一种互补的路线，通过学习结构描述符与目标物理响应之间的统计关系[[64], [65], [66]]。生成对抗网络（GANs）通过对抗训练学习复杂的数据分布[67]，而条件生成对抗网络（CGANs）引入预设条件来控制生成输出[68]。在声学和声子晶体设计中，Lee等人[69]为具有指定缺陷模式频率的双缺陷声子晶体开发了一种代理辅助的CGAN。Yan等人[70]生成了具有指定宽频吸收谱的多微穿孔板。在声学应用之外，条件对抗学习在多个物理工程领域均取得了广泛成功。在复合材料中，CGAN被用于热应力预测[71]、非线性响应映射[72]和结构铺层设计[73]。在压电系统中，条件模型可实现电极图案合成[74,75]和属性条件逆向设计[76]。在结构与非线性动力学领域，CGAN可捕获瞬态响应[77]、重构动态场[78]以及合成高应变率冲击行为[79]。在完成离线数据生成和网络训练后，条件生成器可在不同目标条件下被查询，并为同一条件产生多个几何上不同的候选方案[[80], [81], [82]]。基于优化的设计和基于CGAN的逆向设计提供互补能力。前者在显式目标下搜索解，后者学习条件依赖的设计分布并支持一对多生成。RCPWE同时支持这两条路线，为优化提供反复的能带结构评估，为CGAN提供基于物理的标签和验证。

本文提出了一种针对不规则细壁SRR的高效能带结构计算的栅格化约束平面波展开法（RCPWE），并进一步展示了其在基于CGAN的逆向设计中的应用。通过对复杂包含体边界进行栅格化处理，并在开槽界面处施加声压和质点速度连续条件，所得的约束广义特征值问题通过基于奇异值分解的零空间投影进行降阶处理。该公式改进了细壁几何的收敛性，在相同精度条件下实现了比RPWE和FEM更短的运行时间。利用这一计算效率，RCPWE被用于生成用于CGAN训练的带物理标签的能带结构数据。经过训练的CGAN将预设的带隙条件映射为可制造的不规则SRR构型，随后生成的候选方案再次使用RCPWE进行评估，以验证目标带隙是否得到满足。代表性设计通过FEM仿真和声学实验进行了独立验证。在这些设计层面的验证之外，还制造并实验测试了一种纳入所设计SRR的通风声子窗户。这些结果证明，RCPWE可作为核心物理求解器，并能有效地与CGAN集成，实现不规则细壁SRR的可靠逆向设计和实际工程应用。

本文其余部分组织如下：第2节首先简要概述现有的RPWE方法，然后引入所提出的RCPWE公式，用于不规则细壁SRR的高效能带结构计算。在代表性构型上进行验证，并与RPWE和FEM进行计算效率比较。第3节将RCPWE方法整合到CGAN框架中，用于不规则SRR结构的逆向设计，详细说明训练过程和网络架构。第4节通过FEM仿真和波导实验验证所选CGAN生成的设计，并进一步展示其在通风声学窗户中的应用，通过全尺寸双房间透射测试进行评估。第5节总结研究并讨论潜在的未来研究方向。

## 栅格化约束平面波展开法

基于SRR结构的带隙特性是其声学性能的主要决定因素，决定了抑制波传播的频率范围。在第2.1节中，简要概述通过离散化不规则包含体边界来计算不规则细壁SRR能带结构的现有RPWE方法。在第2.2节中，RCPWE通过将晶格分为两个单元格并在开槽处施加连续性条件进一步发展。

## 逆向设计

在高维设计问题中，自编码器和变分自编码器（VAEs）[89]常被用于通过将结构描述符压缩到低维潜在空间来降低维度。这种非线性降维提高了可训练性，但丢弃了部分控制几何与波传播耦合的精细尺度信息。条件变分自编码器（CVAEs）[90,91]引入外部条件以实现可控生成，同时实验验证

## 实验验证

本节通过两种验证构型评估逆向设计的SRR的声学衰减性能。第4.1节比较了FEM预测与代表性嵌套SRR设计的波导测量结果。第4.2节进一步展示了一种面向应用的通风声学窗户，并评估了其房间尺度的插入损耗。

## 结论

本研究针对细壁状态下不规则有限厚度SRR的能带结构计算，提出了一种新的栅格化约束平面波展开法（RCPWE）。主要方法学贡献是一种统一的公式，结合了栅格化边界表示、灵活的声学域分解、开槽界面连续性约束和基于奇异值分解的零空间投影。

与RPWE不同，后者表示完整墙体的一部分……

关于生成式人工智能和AI辅助技术在写作过程中的声明
在本研究的准备过程中，作者使用了ChatGPT以改进语言表达。在使用该工具/服务后，作者已根据需要审查并编辑了内容，并对出版物的内容承担全部责任。

CRediT作者贡献声明
Xingran Li：撰写——原始草稿、验证、软件、方法论、概念化。
Yapeng Li：撰写——审阅与编辑、可视化、监督、方法论。
Yung Boon Chong：撰写——审阅与编辑、验证、调查。
Kian Meng Lim：撰写——审阅与编辑、监督、项目管理、资金获取。
Heow Pueh Lee：撰写——审阅与编辑、监督、项目管理、资金获取。

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