具有死亡率依赖性的定额生存年金终止设计

《Insurance: Mathematics and Economics》：Flat Tontine Termination Design with Mortality Dependence

　　# 摘要本文针对传统互助年金模型中主要假定死亡率相互独立及连续时间框架所存在的局限性进行了研究。通过引入由单因子高斯 copula 函数控制的离散时间风险模型——该方法借鉴自信用风险监管领域——我们分析了死亡率相关性对分配动态及资金池终止机制的影响。研究结果基于 ERISA 4044 男性年金受领者死亡率表进行校准，表明正死亡率相关性将预期分配金额的分布向较早年龄推移。这种推移增加了因同时死亡而导致的终止事件在精算上的重要性，而这一现象在连续时间建模中常被掩盖。至关重要的是，我们发现忽视死亡率相关性和合同的离散时间特性，会导致在终止事件发生期间系统性低估分配金额，而这些金额可能占该产品总精算价值的重要部分。此外，我们使用常数相对风险厌恶（CRRA）效用框架评估了三种不同的终止机制——共享分配、唯一幸存者分配和保险人回收——研究发现，共享分配规则在参与者效用与机构稳定性之间提供了更优的平衡。本研究为在相关长寿风险下进行互助年金产品的公平定价和战略设计提供了必要的分析工具。# 引言互助年金是一种历史上曾广泛使用、目前在退休规划领域正在复兴的金融工具，其运作基于死亡率风险分担框架。在这一结构中，长寿风险从个体转移至集体；存活的成员继承已故参与者的精算利益。这种再分配机制天然有利于长寿个体，为应对预期寿命延长带来的财务挑战提供了稳健的对冲手段。传统的互助年金定价精算模型——最为著名的是 Milevsky 和 Salisbury（2015）的开创性工作——通常采用连续时间框架，并假定参与者之间的死亡率相互独立。虽然在大群体中，独立假定通常可由大数定律加以证明，但在许多实际情境下，其适用性可能大打折扣。具体而言，许多互助年金以封闭型资金池形式运作，例如基于社区的或自愿组成的团体，其死亡率易受系统性因素和未观测异质性的影响。此外，外部冲击（如大流行病、区域性灾害或共同的社会经济压力因素）可能引发显著的死亡率相关性，使得基于独立的估算结果不够精确。在互助年金安排中，分配金额与特定资金池成员的存活状况密不可分，忽视死亡率相关性会导致在终止事件发生时系统性低估分配金额。这些偏差在高龄阶段以及死亡率相关性较高的情形下尤为显著，此时集中死亡事件会显著改变分配的时间分布和规模。此类建模缺陷可能导致定价偏差，并危及安排的长期偿付能力和财务管理。因此，将死亡率相关性纳入精算框架，对于确保现代互助年金产品的准确性、公平性和可持续性至关重要。此外，标准的连续时间框架无法捕捉互助年金合同的离散特性——死亡评估和利益分配通常在固定间隔（如每年一次）进行。这一建模缺口在分析终止事件（由特定期间内所有剩余成员死亡所触发）时被进一步加剧，因为这些事件往往由相关因素驱动，而独立模型无法充分捕捉。本文通过引入融入死亡率相关性的离散时间风险模型来解决上述不足，以分析互助年金的分配和终止机制。通过捕捉离散评估期间内相关死亡率和集中死亡事件的细微特征，我们的模型提供了以下方面的框架：- **提高定价准确性**：反映集中死亡事件和系统性长寿风险所带来的风险，这些风险是传统模型未曾捕捉的。- **互助年金终止设计替代方案**：开发和分析特定的产品机制，以有效管理资金池的解散。- **终止分配与效用分析**：量化不同终止规则在风险厌恶框架下如何影响保证分配金额和参与者福利。通过这一方法，我们将互助年金建模的理论前沿拓展到了超越独立假定和连续时间假设的范围。我们的研究结果提供了在存在潜在死亡率相关性情况下分配动态的更真实理解，为精算师、保险人和决策者通过互助年金产品管理长寿风险提供了重要洞见。# 章节摘要## 文献综述互助年金是旨在通过群体内投资者分担死亡率风险来缓解长寿风险的金融工具。随着寿命较短的参与者相继去世，其剩余资金重新分配给幸存者，使长寿者获得更高的分配金额。日益丰富的文献，包括 Forman 和 Sabin（2014）以及 Milevsky 和 Salisbury（2015）等开创性工作，表明互助年金作为传统退休产品的可行替代方案……## 包含相关死亡率的互助年金模型假设一个互助年金资金池初始有 *N* 名成员，为单一队列，此后不再有成员加入或退出资金池。设 *n_t* 表示第 *t* 年末的存活成员人数，*t* = 1, …, *T*，初始条件为 *n*₀ = *N*。我们定义 *D_t* 为第 *t* 期每位成员保证获得的分配金额。与 Milevsky 和 Salisbury（2015）所定义的"扁平互助年金"结构一致，我们假设 *D_t* 为常数：$$D_t = D$$其中 *D* > 0。因此，发行方……## 数值结果在本节中，我们对离散时间互助年金模型进行数值分析，以量化死亡率相关性对分配动态的影响。我们的分析利用来自 ERISA 4044 死亡率表（Corporation, 2024）的美国男性年金受领者死亡率数据，模拟现实的老龄化轨迹。虽然传统连续时间模型通常假定同时死亡的概率为零这一理想化假设，但我们的框架明确考虑了这一风险……## 互助年金产品终止设计我们的模型的一项重要贡献在于量化终止分配金额（*b_i,t* 和 *$\bar{b}_{i,t}$*）及其对死亡率相关性的敏感性。在实践中，规定这些分配的具体机制必须在互助年金的产品规范中明确定义。本节从两个关键维度评估三种不同的终止框架——共享分配（SP）、唯一幸存者分配（SS）和保险人回收（IR）。首先，我们考察保证分配金额 *D* 是否保持……## 结论本文考察了死亡率相关性对互助年金产品设计的重大影响，特别针对传统模型假定参与者之间死亡率独立的局限性进行了研究。通过引入由单因子高斯 copula 函数控制的离散时间风险模型，我们提供了一个稳健的框架，能够捕捉系统性长寿风险和集中死亡事件的细微特征。从连续时间独立假定转向相关离散时间……## 关于写作过程中生成式 AI 和 AI 辅助技术的声明在撰写本手稿过程中，我们使用了 Jenni、Gemini 和 Perplexity 辅助语法和词汇润色。在使用这些工具后，我们对内容进行了细致的审阅和编辑。我们对已发表文章的最终内容承担全部责任。## CRediT 作者贡献声明**Busayasachee Puang-ngern**：论文撰写——审阅与编辑、论文撰写——原稿、正式分析、数据整理。**Narapong Srivisal**：论文撰写——审阅与编辑、正式分析、概念构思。**Kantapong Visantavarakul**：论文撰写——审阅与编辑、论文撰写——原稿、正式分析。**Seksan Kiatsupaibul**：论文撰写——审阅与编辑、论文撰写——原稿、项目管理、正式分析、概念构思。## 利益冲突声明作者声明不存在已知的可能影响本文所述工作的竞争性经济利益或个人关系。