基于宽范围实验数据库的物理可解释符号回归用于临界热流密度预测

《International Journal of Heat and Mass Transfer》：Physics-interpretable symbolic regression for critical heat flux prediction using a wide-range experimental database

　　

# 摘要

临界热流密度预测是核反应堆安全和热工水力学设计中的核心问题。传统经验关联式通常仅在狭窄范围内有效，而大多数机器学习模型——尽管功能强大——仍然是缺乏物理可解释性的"黑箱"模型，这使得工程师在实践中对其信任度有限。为寻找折中方案，本研究采用PySR算法进行符号回归，构建了一个可解释的临界热流密度预测框架。该方法不是拟合黑箱模型，而是自动搜索显式数学表达式，将关键热工水力学参数与临界热流密度联系起来，生成既紧凑又具有物理意义的公式。基于超过20,000个实验数据点的数据库，所得模型表现出强劲的性能。最优候选模型的平均绝对百分比误差为11.56%，接近查找表方法（9.68%），且明显优于大多数传统经验关联式。我们还通过向输入添加噪声来测试模型的鲁棒性，结果发现表达式保持稳定。进一步的参数敏感性分析表明，最优模型的表达式与先前研究中已知的物理机制一致，增强了其可解释性和可信度。总体而言，符号回归在纯经验关联式和不可解释的机器学习之间提供了一种实用的折中方案——为热工水力学应用提供准确、透明且可靠的临界热流密度预测。

# 1. 引言

临界热流密度是热工水力学系统中的关键参数，在许多工业应用的安全性和效率中发挥着至关重要的作用，特别是在核反应堆冷却系统中。当热流密度达到临界热流密度极限时，传热机制会发生突变，导致传热能力急剧恶化，壁温迅速升高。由于两相流的固有不安定性以及多个物性参数之间复杂的相互作用，临界热流密度的准确预测长期以来一直是一个具有挑战性的问题。

传统上，临界热流密度预测依赖于经验关联式和实验数据库。一种广泛使用的方法是由Groeneveld等人[1]开发的查找表，该表包含超过30,000个垂直8毫米水冷管的实验数据点。尽管查找表在校准范围内提供了相对可靠的预测，但它本质上是对实验数据的统计汇总，缺乏明确的物理可解释性。此外，大量研究试图基于实验观察或物理机制构建临界热流密度预测模型。例如，Chun等人[2]研究了轴向热流分布对临界热流密度的影响，而Shijie等人[3]研究了窄通道中的非对称加热效应。其他研究则关注表面改性、入口条件或气泡动力学以提高预测精度[4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11]。虽然这些方法有助于理解临界热流密度现象，但其适用性往往局限于特定实验条件，且外推能力仍然有限。

随着人工智能的快速开发，数据驱动的方法越来越多地被应用于临界热流密度预测。机器学习模型，如人工神经网络、卷积神经网络、随机森林和Transformer架构，在捕捉输入参数与临界热流密度值之间复杂非线性关系方面展现出强大的能力[12], [13], [14], [15], [16], [17], [18], [19], [20], [21]。除了临界热流密度的特定应用外，机器学习还被越来越多地应用于更广泛的流体动力学和传热现象领域的关联式和模型开发。Zhu等人[22]全面回顾了近年来机器学习在多相流动力学、传热传质和反应过程中的应用，包括闭合模型开发、流动制度识别、输运场重建、关键参数预测、反应动力学建模和过程优化。作为一项代表性研究，Zhu等人[23]将常规建模与人工智能模型相结合，同时描述气-粒子流动中滤后拖曳力、传热和反应速率，展示了机器学习在构建强耦合输运过程高效预测关联式方面的潜力。在临界热流密度预测领域，Su等人[12]采用人工神经网络在不同运行条件下预测临界热流密度，预测误差在±10%以内。类似地，Kumar等人[13]报告了训练集和测试集的平均绝对百分比误差分别为4.01%和6.04%。更先进的架构，包括深度神经网络和Transformer模型，也在临界热流密度预测任务中展示了令人前景的性能[20], [21], [22], [23], [24]。例如，Zhou等人[20]在研究中比较了人工神经网络、卷积神经网络和Transformer三种模型在预测临界热流密度方面的准确性，发现五输入Transformer模型的预测精度最高，其平均绝对百分比误差为7.22%，超过了传统查找表方法。同样，Wang等人[21]在研究中比较了Transformer、随机森林和岭回归等人工智能方法，发现Transformer在均方根百分比误差和归一化均方根误差等指标上表现优异，分别为9.85%和6.63%。此外，该研究强调了输入参数对模型性能的显著影响。尽管这些模型具有高度的预测准确性，但其中大多数模型作为黑箱系统运作，使得物理变量与预测输出之间的关系难以解释。这种可解释性的缺乏限制了其在工程设计和安全分析中的实际应用。

为了解决机器学习中的可解释性问题，符号回归最近作为可解释人工智能领域的一个有前景的工具崭露头角[25], [26], [27]。与传统回归技术需要预定义函数形式不同，符号回归自动搜索数学表达式空间，以识别变量之间的显式解析关系。已提出多种符号回归框架，包括gplearn、AI-Feynman和PySR。这些方法已成功应用于各种工程任务。例如，Lv等人[28]使用gplearn生成水合物诱导时间的经验方程，而Díaz等人[29]应用PySR高精度预测岩土膨胀压力。类似地，Sorour等人[30]展示了PySR在识别纤维增强聚合物系统中机械关系方面的有效性。这些研究凸显了符号回归在产生可解释数学模型的同时保持强预测性能的潜力。

尽管取得了这些进展，符号回归在临界热流密度预测中的应用仍然极为有限。现有的临界热流密度预测研究主要依赖于适用性有限的经验关联式或缺乏物理可解释性的黑箱人工智能模型。因此，仍然需要一种建模方法，能够同时实现高预测准确性、强泛化能力和清晰的物理可解释性。

为填补这一研究空白，本研究提出了一种基于PySR算法的符号回归可解释临界热流密度预测框架。因此，本研究使用宽范围圆管数据库对PySR进行临界热流密度预测评估。该工作聚焦于结构化特征选择、预测准确性、范围外推、输入噪声敏感性、边界条件性能和所得表达式的物理一致性。该模型旨在应用于研究中域范围内的垂直均匀加热水冷圆管，并非替代反应堆规模的机理或多物理场模型。

本文其余部分的结构如图1所示。第1节提供总体介绍；第2节调查基于本研究数据库的经验公式方法的预测准确性和适用性，同时提供PySR的参数参考；第3节应用PySR构建临界热流密度预测模型，考察模型的准确性和物理行为，并与查找表、经验公式及其他人工智能方法进行对比；第4节涉及通过外推实验、重复随机验证等方法验证建模方法；第5节聚焦于基于PySR构建无量纲模型；最后一节给出结论与展望。


# 2. 经验公式分析

## 2.1 临界热流密度数据库

为了提高模型的准确性和适用范围，本实验在数据收集方面付出了巨大努力，以确保结果的广泛性和代表性。

本研究从一个由经合组织核能署于2024年发布的数据库中收集了超过20,000个数据点[31]。该数据库由美国核管理委员会监管，包含来自59个不同来源的24,579个垂直均匀加热水冷管临界热流密度数据点，涵盖压力、质量流量、入口温度、入口过冷度以及临界热流密度等边界条件，以及管径和加热长度。该数据量远超其他先前的研究。

此外，本研究还在数据范围方面进行了广泛扩展，不限于单一实验条件。数据库中参数的范围如表1所示。例如，本研究涵盖的压力范围很宽，从100 kPa到20,000 kPa，覆盖了从低压到高压的各种工况，确保模型能够适应不同压力条件的复杂性。类似地，本研究选择的入口温度参数范围也很宽，温度从最低的5.89°C到最高的361.94°C，几乎涵盖了从低温到高温的所有工况类型。这种广泛性为模型准确性的验证提供了更多验证点，使模型更加广泛适用。

**表1 数据库参数排列**

| 输入参数 | 最小值 | 最大值 |
|---------|--------|--------|
| 管径(m) | 0.002 | 0.016 |
| 加热长度(m) | 0.05 | 20 |
| 入口温度(℃) | 5.89 | 361.94 |
| 入口过冷度(kJ/kg) | -121 | 11644 |
| 压力(kPa) | 100 | 20000 |
| 质量流量(kg/m2·s) | 8.2 | 7964 |
| 潜热(kJ/kg) | 584.28 | 2257.51 |
| 水焓(kJ/kg) | 417.43 | 1827.10 |
| 蒸汽焓(kJ/kg) | 2411.38 | 2803.25 |
| 临界热流密度（kW/m2） | 50 | 16339.3 |

## 2.2 现有临界热流密度关联式的统计分析

为了调查传统临界热流密度预测研究中通常考虑的主要物理机制，本研究共收集了15个经验公式，包括W2和W3等经典公式，这些公式来源于研究[32], [33], [34]。具体形式如表2所示。

**表2 经验公式表**

| 名称 | 公式 | 适用范围 |
|------|------|---------|
| Lowdermilk | $q_{CHF}=46.2\,G^{0.85}D^{0.8}\left(\frac{L}{D}\right)^{0.85}$；$q_{CHF}=23.75\,G^{0.5}D^{0.2}\left(\frac{L}{D}\right)^{0.15}$ | x > 0；D: 0.13–0.478 cm；L/D: 25–25 |
| Macbeth | $q_{CHF}=\frac{0.1\,G\,(h_{fg}+\Delta h_{in})}{4.2\,D}$；$q_{CHF}=\frac{0.1\,G^{0.48}}{4\left(\frac{L}{D}\right)}$；$q_{CHF}=5.953\,D^{1.19}G^{1.37}+0.00984\,DG^{\Delta h_{in}}$；$q_{CHF}=\frac{0.1394\,D^{1.4}G^{1.04}}{0.3937\,L}$ | x > 0；L: 15–315 cm；D: 0.3–1 cm；P: 0.1–13.8 MPa |
| Labuntsov | $q_{CHF}=145.4\,\theta(P)\left[1+2.5\,v^2\theta(P)\right]^{1/4}\left[1+15.1\,\frac{c_p\,\Delta T_{in}}{h_{fg}}P^{1/2}\right]$；$\theta(P)=0.99531\,P^{1/3}\left(1-\frac{P}{P_c}\right)^{4/3}$；$\Delta T_{in}=T_{sat}-T_{in}$ | P: 0.1–20.0 MPa；$\Delta T_{in}$: 0–240℃；v: 0.7–45 m/s |
| Thorgerson | $q_{CHF}=\frac{0.05\,\rho\,c_p\,v\,(T_w-T_{in})}{7.413\,Re^{0.545}}$；$T_w=T_{sat}+\frac{0.133(47.7-0.127\,T_{sat})}{14\,q_{CHF}}$ | P: 1.7–13.8 MPa；v: 3.05–18.3 m/s |
| Bernath | $q_{CHF}=h_e\,(T_w-T_{in})$；$h_e=6.7\left(\frac{D_{water}}{D_{water}+D_{heat}}\right)+0.0065\,\frac{v}{D_{water}^{0.1}}$；$T_w=571\ln\left(14.5P\right)-\frac{54P}{P+1.0345-\frac{v}{122}}$ | v: 1.22–12.5 m/s；P: 0.159–20.69 MPa；D: 0.363–1.68 cm |
| Knoebel | $q_{CHF}=0.485\left(1+0.169\,v\right)\left(1+0.124\,\Delta T_{in}\right)$ | D: 5.1–9.5 mm；P: 0.22–0.66 MPa；v: 3.9–18.3 m/s |
| Mirshak | $q_{CHF}=1.51\left(1+0.12\,v\right)\left(1+9.14\times10^{-3}\,\Delta T_{in}\right)\left(1+1.9\,P\right)$ | v: 1.5–13.7 m/s；D: 0.53–1.17 cm |
| Tong-Celata | $Bo=C\,Re^{0.5}$；$C=(0.27+5.93\times10^{-2}\,P)$；$Re=\rho\,v\,D$；$Bo=\frac{q_{CHF}}{h_{fg}\,\rho_f\,v}$ | D: 2.0–20.0 mm；L: 100–200 mm；P: 0.1–20.0 MPa |
| Hall | $q_{CHF}=\frac{G\,h_{fg}\,C_1\,We^{C_2}\,D\,(\rho_f/\rho_g)^{C_3}\left[1-C_4\left(\rho_f/\rho_g\right)^{C_5}\,x\right]}{1+4C_1C_4\,We^{C_2}\,D\,(\rho_f/\rho_g)^{C_3}+C_5\,L/D}$；$C_1=0.0722,\,C_2=-0.312,\,C_3=-0.644,\,C_4=0.900,\,C_5=0.724$ | D: 0.25–15 mm；L/D: 2–200；P: 0.1–20 MPa |
| Becker | $q_{CHF}=G\frac{(450+\Delta h_{in})}{40\,L/D+156}\,G^{0.45}\left[1.02-\left(\frac{P}{P_C}-0.54\right)^2\right]$ | P: 12–20 MPa；L: 2000–5000 mm |
| Griffel | $q_{CHF}=(8+\Delta T_{in})^{0.27}\,(0.0553\,G+0.384\times10^6)$ | P: 0.4–13.8 MPa；D: 5.6–37.465 mm；L: 609.6–1955.5 mm |
| Tong-75 | $q_{CHF}=0.23\,\rho_f\,h_{fg}\,v\left[1+0.00216\left(\frac{P}{P_C}\right)^{1/8}\,Re^{0.5}\,Ja\right]$ | P: 7–14 MPa；D: 3–10 mm；L/D: 5–100 |
| Mod-Tong | $q_{CHF}=\frac{h_{fg}\,C\,G^{0.4}\,v^{0.6}}{D^{0.6}}$；$C_{Tong}=1-\frac{52.3+80\,x_{ou}-50\,x^2}{60.5+(10P)^{1.4}}$；$C_{Tong}=1.76-7.433\,x_{ou}+12.222\,x^2$ | P: 0.1–20 MPa；D: 2–20 mm；G: 1300–40000 kg/(m2·s) |
| W2 | $q_{CHF}=3.155\times(0.23\times10^6+69.32\,G)\times(3+0.018\,\Delta T_{out})\times(0.435+1.23\,e^{-0.0095\,L/D})\times\begin{cases}1.7-1.4\,e\left[-0.532\left(\frac{h_f-h_{in}}{h_{fg}}\right)^{3/4}\left(\frac{\rho_g}{\rho_f}\right)^{1/3}\right]\end{cases}$ | P: 5.7–20 MPa；G: 300–11000 kg/(m2·s) |
| W3 | $q_{CHF}=[(2.022-0.0004302\,P)+(0.1722-0.0000984\,P)\,e^{\frac{18.177-0.004129\,P}{x}}]\times[(0.1484-1.596\,x+0.1729\,x\|x\|)\,G^{10^6}+1.037]\times(1.157-0.869\,x)\times(0.2664+0.8357\,e^{-3.151\,D})\times[0.8258+0.000784\,(h_f-h_{in})]$ | P: 6.9–15.86 MPa；G: 1356–4780 kg/(m2·s)；D: 5–17.8 mm；L: 254–3657.6 mm |

本研究并未仅关注每个关联式的详细数学形式，而是着重于现有模型中出现的控制参数的统计特征。主要参数的频率分析总结于表3中。

**表3 现有临界热流密度关联式中参数的出现频率**

| 参数 | 频率 |
|------|------|
| G | 9 |
| L/D | 5 |
| P | 7 |
| h_fg | 7 |
| Δh_in | 4 |
| D | 4 |

如表所示，G、L/D、P、h_fg和Δh_in在现有关联式中出现最为频繁。这表明这些参数在临界热流密度行为中起着主导作用，因此应被视为后续符号回归建模的重要候选变量。

从数学结构的角度来看，大多数经验临界热流密度关联式依赖于手动设计的函数形式，包括幂律关系、指数项、无量纲表达式和半经验机理公式。例如，Becker和W3关联式包含指数结构，而Hall和Tong型关联式主要采用非线性耦合参数形式。

尽管这些公式在一定程度上捕捉了重要的物理趋势，但其数学结构通常是基于有限的实验观察和特定运行条件预先设定的。因此，当应用于具有宽参数分布的大规模异质数据库时，其灵活性和适应性仍然有限。

## 2.3 现有关联式的适应性调整与验证

由于大多数传统临界热流密度关联式最初是使用特定单位系统和受限运行范围开发的，它们并不总能直接应用于本研究的宽范围数据库。因此，在评估之前进行了两类适应性调整：单位一致性处理与全局量级标定。

首先，将所有变量转换为原始出版物中指定的单位。以无量纲形式出现的参数（如L/D）保持无量纲，而有量纲变量则使用相互一致的单位表示。在此过程中，原始关联式中的变量依赖关系、指数或函数结构均未做任何改动。

其次，若干关联式在应用于训练数据库时出现了系统性高估或低估。对于这些关联式，引入了一个无量纲乘数标定系数：

$$q_{adapted,i} = C_i \cdot q_{original,i}$$

其中$q_{original,i}$为原始关联式的预测值，$C_i$为全局系数，由L/D或常数构成。通过调整该系数，保留在训练集上产生最低整体预测误差的值。由于$C_i$是无量纲的，该过程保持了量纲一致性。具体修改如表4所示。

**表4 经验公式的适应性调整**

| 名称 | 修改（$C_i \cdot q_{original,i}$） |
|------|--------------------------------------|
| Labuntsov | $q_{CHF}(4\,L/D)$ |
| Thorgerson | $q_{CHF}\times(4\,L/D)^{0.4}$ |
| Bernath | $q_{CHF}(4\,L/D)^{1.25}$ |
| Knoebel | $q_{CHF}\times300$ |
| Mirshak | $q_{CHF}\times25$ |
| Tong-Celata | $q_{CHF}(1/2\,L/D)$ |
| Hall | $q_{CHF}^{1/10}$ |
| Becker | $q_{CHF}\times16$ |
| Griffel | $q_{CHF}^{6.8\,L/D}$ |
| Tong-75 | $q_{CHF}(4\,L/D)$ |
| Mod-Tong | $2.2\,q_{CHF}(4\,L/D)^{0.717}$ |
| W2 | $q_{CHF}^{1/2200}$ |
| W3 | $q_{CHF}(L/D)^{0.25}$ |

## 2.4 现有关联式的验证结果

为确保一致的对比，所有经验关联式均使用与PySR模型相同的留出测试集进行评估。该子集包含来自经合组织/核能署临界热流密度数据库的4916个实验数据点，未参与符号回归模型的训练。查找表预测也使用相同的数据点进行"'评估。适应性调整后的经验关联式使用数据库进行评估，代表性预测结果如图2所示。

为提高清晰度，正文中仅展示了具有代表性的相关性结果，其余验证图见补充材料。下载：下载高分辨率图像（679KB）下载：下载全尺寸图像 图2. 代表性经验关联式与LUT预测的比较。从验证结果可以看出，大多数经验关联式在宽工况范围内表现出显著的预测性能下降。某些关联式在高热流区严重低估CHF，而另一些则无法捕捉实验数据的非线性变化趋势。在所测试的方法中，Becker关联式与实验数据的吻合度相对较好。与大多数其他经验模型相比，其预测趋势更接近完美吻合线。这一观察表明，G、L/D、P和Δhin等参数在CHF预测中起着重要作用，应在后续的符号回归建模中予以强调。相比之下，W3和Mirshak等传统关联式表现出较差的拟合性能。例如，W3关联式在高CHF区域出现严重的预测崩溃，而Mirshak关联式在整个预测范围内产生较大离散度。这些结果表明，许多传统经验关联式在应用于其原始实验域之外时缺乏足够的适应性。总体而言，当使用大尺度异质数据库和宽工作范围进行评估时，传统经验关联式的预测性能大幅恶化。2.5 经验公式的误差分析为了更好地评估经验公式预测值与真实值的偏离程度，并比较公式法与查找表（LUT）方法之间的精度差异，我们引入了六个参数进行评述。平均相对误差（Mean P/M）：计算预测值与真实值之比之和的平均值，可在一定程度上反映模型的预测能力。（1）Mean P/M = 1/N ∑(y_pred,i / y_true,i) 相对误差标准差（Std P/M）：预测值与真实值之比的计算标准差，反映预测值与真实值之间相对误差的离散程度。（2）σ = √[1/(N-1) ∑(y_pred,i / y_true,i - μ)2] （3）u = 1/n ∑y_i 均方根百分比误差（RMSPE）：计算实际值与预测值之间的百分比误差，然后对误差取平方再求平均，最后开方。（4）RMSPE = √[1/n ∑((y_i - ?_i)/y_i)2] 平均绝对百分比误差（MAPE）：计算预测值与真实值之间的绝对百分比误差，然后求平均。（5）MAPE = 100% × 1/n ∑|(y_i - ?_i)/y_i| 归一化均方根误差（NRMSE）：计算模型预测值与真实值之差的平方和，然后取平均再开方，即均方根误差（RMSE），最后将RMSE除以模型真实值的平均值。（6）NRMSE = √[1/n ∑(y_i - ?_i)2] / u 决定系数（Q2）：计算预测值与真实值之差的平方和，除以真实值与真实值平均值之差的平方和。（7）Q2 = ∑(y_i - ?_i)2 / ∑(y_i - u)2 误差平均值（ME）：将不同经验公式的同类项误差求和后再取平均值，用以衡量经验公式的总体精度。总体偏差（OD）：RMSPE、MAPE、NRMSE和Q2的平均值。（8）OD = (RMSPE + MAPE + NRMSE + Q2) / (4 × 100%) 如表5所示，传统经验关联式应用于本研究的宽范围数据库时，预测误差大幅增加。尽管Becker和Tong-Celata关联式的误差相对较低，但其MAPE值仍显著高于LUT方法。表5. 经验公式误差表。名称 Mean P/M Std. P/M RMSPE MAPE NRMSE Q2 Lowdermilk 179.60% 93.86% 123.06% 84.81% 105.36% 143.26% Macbeth 399.39% 258.98% 395.85% 299.70% 244.30% 770.17% Labuntsov 36.21% 61.58% 88.66% 73.70% 79.12% 80.79% Thorgerson 42.86% 40.21% 69.87% 64.21% 83.91% 90.86% Bernath 141.66% 149.22% 154.92% 94.00% 154.19% 306.80% Knoebel 214.58% 210.11% 239.31% 138.31% 105.64% 144.02% Mirshak 185.36% 228.48% 243.90% 137.91% 114.41% 168.92% Tong-Celata 88.41% 46.83% 48.24% 37.63% 67.12% 41.86% Hall 36.99% 28.60% 69.20% 65.81% 81.84% 84.06% Becker 107.62% 49.47% 50.05% 39.80% 48.03% 29.77% Griffel 119.29% 149.57% 150.80% 62.56% 65.09% 54.67% Tong 7554.22% 37.79% 59.36% 52.70% 71.45% 65.88% Mod-Tong 53.42% 87.55% 99.17% 59.44% 81.39% 85.48% W2 137.46% 109.72% 115.94% 68.30% 71.35% 65.69% W3 228.56% 314.80% 340.04% 179.13% 124.50% 200.02% ME 24.45% 149.89% 97.20% 99.85% 155.48% LUT 98.04% 12.58% 12.73% 9.68% 17.31% 3.87% 对于许多传统关联式，预测误差超过50%，某些模型甚至表现出超过100%的MAPE值，表明在其标定工况之外出现严重预测失效。这些观察表明，大多数经验关联式的预测外推能力有限，对大规模异质数据集的适应性较差。因此，在背景条件下经验关联式表现出有限的宽范围精度，而第1节中讨论的AI模型未提供明确的解析关系，因此考察PySR[35]作为推导紧凑的数据驱动CHF表达式的方法。模型的构建和评估将在第3.3节中呈现。3.3 基于PySR的可解释CHF预测模型 3.1 PySR简介 PySR（Python符号回归）[36]是一种基于符号回归的机器学习方法，广泛用于从数据中推导数学表达式。其源于遗传编程（GP），通过选择、变异和重组来演化表达式，无需预设数据分布。这使其特别适合识别复杂的非线性关系。在核反应堆安全分析中，准确预测临界热流密度（CHF）至关重要。选择PySR是因为其在可解释性、非线性建模和复杂度控制方面相比传统方法具有优势：I. 可解释性：作为白箱模型，PySR使用基本运算符（如+、-、×、÷、^）生成明确的、可求解的表达式，可以清晰地追溯变量对CHF的影响——例如，通过交叉项识别动量-热耦合等物理机制。II. 自适应发现非线性关系：与线性回归不同，PySR自主探索特征空间，检测非线性（如二次、指数、对数项），无需预定义结构，提高了预测的全面性。III. 可控的模型复杂度：为防止过拟合，PySR使用Pareto优化平衡精度与简洁性，施加如最大树深度等约束，并采用交叉验证确保泛化能力。研究工作流程如图3所示。下载：下载高分辨率图像（46KB）下载：下载全尺寸图像 图3. PySR的工作流程框架。3.2 数据划分与超参数设置 在符号回归训练之前，将CHF数据库随机划分为训练集和测试集，以评估拟合能力和泛化性能。在本研究中，80%的数据点用于模型训练，其余20%保留用于测试。随机划分过程使用固定随机种子以确保结果的可重复性。符号回归训练使用PySR框架实现。主要超参数设置如表6所示。基准值基于[37]、[38]。表6. PySR框架的超参数设置。超参数 基准值 种群大小 600 锦标赛选择大小 50 迭代次数 500 最大表达式深度 6 二元运算符 +、-、×、÷、^ 一元运算符 Exp, log 批量大小 1000 处理器数量 8 并行模式 串行 确定性模式 真 指数约束 (-1,1) 其中，种群大小、迭代次数和表达式深度更为重要。因此，进行了详细的超参数敏感性分析以量化它们的影响，所有实验的输入参数集为L/D、G、hfg和Δhin。这些超参数并非相互独立，因此结果仅是在给定范围内的近似最优值。3.2.1 种群大小的影响 种群大小决定了每个演化代数中维护的候选表达式数量。相对较小的种群可能限制表达式多样性并导致过早收敛，而过大的种群可能大幅增加计算成本而无法带来相应的预测精度提升。因此，考察了300、450、600、750和900的种群大小。在此分析过程中，迭代次数、最大表达式深度、运算符集和其他PySR设置保持基准值不变。每种配置使用相同的训练-验证划分进行评估以确保一致的比较。结果如表7所示（分数由PySR给出，由损失和复杂度决定）。表7. 种群大小敏感性分析。种群 MAPE 训练时间（秒） 分数 300 17.65% 5473.30 0.004031 450 16.51% 11481.29 0.005016 600 16.05% 8519.47 0.018067 750 18.92% 27698.92 0.004896 900 15.97% 20498.83 0.010451 如表7所示，预测精度并未随种群大小增加而单调提升。尽管种群大小为900时获得了最低的15.97% MAPE，但相比600的改善微乎其微，而训练时间大幅增加。此外，种群大小为600时获得了最高的PySR分数。因此，综合考虑预测精度、计算成本以及复杂度与精度之间的平衡，选择了600的种群大小。3.2.2 表达式深度的影响 表达式深度控制所生成公式的结构复杂度。如果设置过小，表达式将过于简单，使PySR无法充分捕捉CHF的复杂物理机制。如果设置过大，表达式将变得过于复杂，严重降低模型的可解释性。因此，在本研究中，测试了从4到8的深度范围，同时其他超参数保持不变。结果如表8所示。表8. 表达式深度敏感性分析。深度 MAPE 训练时间（秒） 分数 4 29.02% 12505.13 0.273259 5 17.28% 18623.28 0.215012 6 16.05% 8479.41 0.218778 7 18.82% 12976.57 0.009881 8 18.87% 16800.44 0.492787 从表中可以观察到，在当前超参数配置下，随着深度连续增加，MAPE先降后升，在深度=6时达到最小值16.05%。训练时间与深度之间不存在明显相关性。尽管深度=6时的分数不是最高的，但该指标仅能作为不同训练周期之间的参考，无法直接比较。因此，综合考虑预测精度和训练时间，选择了表达式深度为6。3.2.3 迭代次数的影响 迭代次数决定了演化搜索预算，影响收敛和计算成本。在其余参数固定的情况下，考察了200、350、500、650和800次迭代。结果汇总于表9。表9. 迭代次数敏感性分析。迭代次数 MAPE 训练时间（秒） 分数 200 16.05% 3631.06 0.001528 350 16.16% 5961.18 0.017495 500 16.05% 8526.69 0.018066 650 15.97% 11231.06 0.030794 800 15.54% 14070.35 0.010975 可以观察到，当迭代次数在200到800之间时，MAPE呈现微小波动。同时，训练时间随迭代次数增加而上升。初步分析表明，200次迭代将是正确的。然而，本超参数实验中的输入参数数量仅为四个，而后续研究中的参数组合将包含五个甚至六个输入变量。因此，在本研究中将迭代次数设为500。此配置为后续实验预留了足够的余量，同时也节省了计算资源。3.3 特征参数设置 输入变量根据四个标准选择：与CHF的物理相关性、在已建立的CHF关联式中的使用频率、在工程应用中的可用性以及生成紧凑符号表达式的适用性。所选变量涵盖CHF过程的四个主要方面：冷却剂质量输运、通道几何、入口热力学状态和压力依赖的饱和性质。冷却剂质量输运包括G，该参数包含在所有特征集中，因为它直接表征冷却剂输运和壁面液膜补充，是传统CHF关联式中使用最频繁的参数之一。通道几何以两种替代形式表示。第一种形式使用L/D，这在经验CHF关联式中常被采用。第二种形式分别使用L和D，允许符号回归算法保留仅使用L/D时可能丢失的绝对几何尺度信息。入口热力学条件使用入口温度Tin、Δhin或两者组合来表示。尽管Tin是可直接测量的参数，但Δhin更明确地量化了入口流体达到饱和所需的能量。考察了它们的替代和组合包含方式，以确定基于焓的表示是否能改善CHF预测。压力效应可以直接或通过压力依赖的饱和性质间接表示，包括hf、hg、hfg、ρf和ρg。这些参数并不相互独立，因此将它们组织在不同的特征集中。在此基础上，构建了十一个热工水力特征组。每个特征组与两种替代几何表示L/D和(L,D)组合，共形成22个候选特征集。表10展示了基于几何划分的十一个不同特征组，其定义基于物理消融实验规律和热工水力特性。例如，在同一特征组内可以比较L/D和(L,D)的效果；在不同特征组之间可以评估状态组合对CHF预测精度的影响。入口条件Tin和Δhin的效果可以在公式7和公式10之间进行比较。表11展示了更详细的参数组合。表10. 基于几何划分的特征组。特征组 (L/D)格式 (L,D)格式 状态组合 A 公式1 公式2 hfg+Δhin B 公式6 公式3 hf+hg+Tin C 公式5 公式4 hf+hg+Δhin D 公式7 公式8 P+Δhin E 公式10 公式9 P+Tin F 公式12 公式11 hfg+Δhin+Tin G 公式13 公式14 hfg+Tin H 公式15 公式16 Δhin+Tin I 公式17 公式18 P+Δhin+Tin J 公式19 公式20 hfg+Δhin+ρf+ρg K 公式22 公式21 P+hf+hg 表11. 特征参数组合。名称 x0 x1 x2 x3 x4 x5 x6 公式1 L/D G hfg Δhin / / / 公式2 L D G hfg Δhin / / 公式3 L D G Tin hf hg / 公式4 L D G Δhin hf hg / 公式5 L/D G Δhin hf hg / / 公式6 L/D G hf hg Tin / / 公式7 L/D G P Δhin / / / 公式8 L D G P Δhin / / 公式9 L D G P Tin / / 公式10 L/D G P Tin / / / 公式11 L D G hfg Δhin Tin / 公式12 L/D G hfg Δhin Tin / 公式13 L/D G hfg Tin / / / 公式14 L D G hfg Tin / / 公式15 L/D G Δhin Tin / / / 公式16 L D G Δhin Tin / / 公式17 L/D G P Δhin Tin / / 公式18 L D G P Δhin Tin / 公式19 L/D G hfg Δhin ρf ρg / 公式20 L D G hfg Δhin ρf ρg 公式21 L D G P hf hg 公式22 L/D G P hf hg 3.4 模型训练 3.4.1 表达式选择原理 当使用表11中的参数作为输入变量X，以CHF作为输出变量Y时，将其输入PySR进行训练。PySR生成具有不同结构的表达式，这些表达式按其复杂度从低到高排序并分配相应的分数。该分数由PySR根据预测误差和模型复杂度计算得出，是内置的评估指标。

通过多目标优化，PySR识别出在复杂度和误差之间实现最佳平衡的模型，形成帕累托前沿（Pareto Frontier）。一般而言，复杂度越低、误差越小的模型得分越高。因此，选择得分最高的表达式作为该特征-参数组合的代表模型。

3.4.2. 训练结果

基于上述原则，本研究将参数组合和CHF输入PySR进行训练，所得模型表达式如下，其中x?、x?等对应表12中的参数。

**表12. 基于PySR的表达式（保留三位小数）**

| 名称 | 表达式 |
|------|--------|
| 公式1 | CHF_pred = ((?1)·0.367 + 1.08×103/x? + 3.07×103)(x? + x?)(?x? ? 1.76×103)/(x? + 93.5) |
| 公式2 | CHF_pred = x?^0.5252 · (?(?0.422)x? + x?)/(x?^10.7 · x? + 8.22) |
| 公式3 | CHF_pred = ?(2.40/x?^0.9561 + 2.40·x? ? 721.)·log(0.030·x?/x?) + log(x?/x?)^3.90 |
| 公式4 | CHF_pred = (x? + x? ? 2.16×103)/(0.366·(0.538 + x?/x?)·(x?·e^(x?·(?88.5)) + 0.313)) |
| 公式5 | CHF_pred = (x? ? x? ? x?·(?0.918)^0.451·x?^x? + 0.238 + x? + 27.7/x?^0.7791) |
| 公式6 | CHF_pred = x? ? 389 ? x?/(x? ? 21.7/x? ? ?386) |
| 公式7 | CHF_pred = x?^0.4571 · (x?·(?0.026) + x? + 661.)/(x?^0.4540 ? x?) |
| 公式8 | CHF_pred = (x? + 568.)·(?5.99×10??·x? + (x?·x?)^0.428/x?^0.4930) |
| 公式9 | CHF_pred = 5.90×103 + x?·(?13.3)/(x? + e^(x?·(?56.1)))·(x^(?0.124) + 635.·x?) |
| 公式10 | CHF_pred = (425. ? x?)·log(x?)·log(1.04 + x?/x?·log(x?)) |
| 公式11 | CHF_pred = x?^0.7363 + x?^3.62/(x?·x?)^0.338 ? (x? + 8.32·x?) |
| 公式12 | CHF_pred = (x? + 2·x?)·log(0.875 + x?^0.7661/x?) |
| 公式13 | CHF_pred = (404. ? x?/x?)/x? + x?·1.51×10?? ? ?334. |
| 公式14 | CHF_pred = 1.22×10? ? x?·27.4/(x?·1/x?·1/x?·21.4 + 0.965) |
| 公式15 | CHF_pred = (459. ? x?)/(x?·x? + 0.056)^1.14 |
| 公式16 | CHF_pred = x?·x?/(566 ? x?·50.1 + 2.42×10?)/x? + 2.13 + 36.2·x?·x?/x? |
| 公式17 | CHF_pred = (x^(?0.414)0 ? 0.0362)·(x?^0.4351·(x? ? ?871.) ? x?) |
| 公式18 | CHF_pred = e^(?x?^0.5100 + x? ? 297. + 10.1)/5.77·x?·x? |
| 公式19 | CHF_pred = x?^0.7221·(x? + x? + x?)/(x? + x?^0.5531) |
| 公式20 | CHF_pred = (x? + x?·(x? + x?)^(1.87×103))/(0.237·(x?·x?^0.561·x? + x? + 1.26)) |
| 公式21 | CHF_pred = x?^0.1592·x? ? 4.85×103/(x? ? ?0.421) |
| 公式22 | CHF_pred = 516.·(x?·x?)^0.579 |

3.5. 结果分析

根据表12中的表达式，本研究计算了它们预测的CHF值。以预测CHF为纵轴、实验CHF为横轴绘制了图形，如图4所示。

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**图4. 基于PySR的CHF预测模型**

为了定量评估预测性能，本研究采用了多项统计指标，包括平均P/M（Mean P/M）、标准差P/M（Std P/M）、均方根百分误差（RMSPE）、平均绝对百分误差（MAPE）、归一化均方根误差（NRMSE）、Q2以及整体偏差（OD）。误差结果如表13所示。

**表13. 基于PySR的表达式误差表**

| 名称 | Mean P/M | Std P/M | RMSPE | MAPE | NRMSE | Q2 | (OD) |
|------|----------|---------|-------|------|-------|----|------|
| 总体推导 | 公式1 | 106.31% | 22.94% | 23.79% | 16.05% | 20.02% | 5.12% | 16.25% |
| | 公式2 | 109.69% | 25.67% | 27.44% | 19.12% | 20.79% | 5.51% | 18.22% |
| | 公式3 | 105.57% | 28.13% | 28.67% | 19.37% | 24.07% | 7.39% | 19.88% |
| | 公式4 | 100.69% | 18.53% | 18.54% | 13.00% | 18.20% | 4.23% | 13.49% |
| | 公式5 | 102.36% | 14.71% | 14.90% | 11.56% | 17.70% | 4.00% | 12.04% |
| | 公式6 | 111.40% | 36.48% | 38.22% | 21.16% | 19.64% | 4.92% | 20.98% |
| | 公式7 | 108.13% | 21.34% | 22.83% | 16.21% | 18.97% | 4.59% | 15.65% |
| | 公式8 | 101.00% | 40.62% | 40.63% | 22.27% | 19.77% | 4.99% | 21.91% |
| | 公式9 | 101.17% | 22.61% | 22.63% | 16.63% | 21.07% | 5.66% | 16.50% |
| | 公式10 | 100.73% | 17.67% | 17.69% | 12.97% | 19.04% | 4.63% | 13.58% |
| | 公式11 | 95.43% | 43.81% | 44.04% | 20.83% | 19.83% | 5.02% | 22.43% |
| | 公式12 | 99.96% | 23.69% | 23.69% | 16.45% | 20.06% | 5.14% | 16.33% |
| | 公式13 | 110.34% | 32.41% | 34.01% | 19.72% | 20.22% | 5.21% | 19.79% |
| | 公式14 | 98.62% | 18.12% | 18.17% | 12.56% | 22.06% | 6.21% | 14.75% |
| | 公式15 | 94.49% | 20.96% | 21.67% | 15.67% | 22.88% | 6.68% | 16.72% |
| | 公式16 | 101.25% | 15.02% | 15.07% | 11.99% | 17.67% | 3.98% | 12.18% |
| | 公式17 | 103.33% | 34.20% | 34.35% | 19.27% | 19.53% | 4.86% | 19.50% |
| | 公式18 | 100.71% | 34.09% | 34.09% | 23.82% | 26.41% | 8.90% | 23.30% |
| | 公式19 | 104.30% | 18.50% | 18.99% | 14.13% | 19.14% | 4.67% | 14.23% |
| | 公式20 | 102.52% | 16.15% | 16.34% | 11.68% | 15.90% | 3.22% | 11.79% |
| | 公式21 | 110.93% | 52.18% | 53.31% | 31.80% | 39.66% | 20.06% | 36.21% |
| | 公式22 | 122.93% | 55.39% | 59.94% | 41.81% | 44.11% | 24.82% | 42.67% |
| **ME** | 27.87% | 28.59% | 18.55% | 22.13% | 6.81% | 19.02% | |
| 经验公式 | 124.45% | 149.89% | 97.20% | 99.85% | 155.48% | 125.61% | |
| LUT | 98.04% | 12.58% | 12.73% | 9.68% | 17.31% | 3.87% | 10.90% |

3.5.1. 与经验关联式的比较

首先，将图4与图2中经验关联式的验证图进行对比，可以清楚地观察到，使用PySR构建的模型显示出显著改善的预测能力。预测数据点更加集中在理想线周围，并更好地捕捉了CHF数据的整体变化趋势。

总体而言，所提出的模型展现出强大的预测精度。RMSPE、MAPE、NRMSE和Q2的平均值分别为28.59%、18.55%、22.13%和6.81%。相比之下，经验关联式的相应误差分别为149.89%、97.20%、99.85%和155.48%。

与经验关联式相比，所提出的模型在预测精度方面取得了显著改善，误差分别降低了121.30%、78.65%、77.72%和148.67%。值得注意的是，NRMSE降低了近78%，而Q2指标表现出最显著的改善，提高了约149%。

这些结果表明，与传统的经验关联式相比，符号回归模型提供了对CHF更加准确和可靠的预测。

3.5.2. 与LUT的比较

为了评估PySR生成模型的预测性能，本研究采用22个候选模型的平均误差（ME）作为代表性指标，并与传统的LUT方法进行比较。结果表明，两种方法之间存在一定差异，但差异相对较小。例如，LUT的MAPE为9.68%，而22个PySR模型中的ME达到18.55%。然而，PySR模型提供了明确的物理表达式，允许对底层系统行为进行进一步分析，这在LUT中是无法实现的，表明两种方法在实践中具有大致可比的水平。

考虑到MAPE和RMSPE最能反映模型的预测精度，从结果中可以观察到，公式5在所有22个候选模型中对这两项指标均表现出最低值。因此，本研究选择公式5作为PySR生成的最优模型。其MAPE和RMSPE分别为11.56%和14.90%，仅比LUT高出2.17%和1.88%。OD指标也仅相差1.14%，表明两种方法之间的预测精度差距基本在2%以内。更重要的是，公式5具有定义明确的物理表达式，相较于LUT，其物理可解释性得到了增强。

为了进行更直观的对比，准备了预测性能的图形表示，包括经验关联式、PySR、LUT和基于AI的预测，如图5和图6所示。需要注意的是，图5和图6中包含的AI结果来自基于同一OECD/NEA CHF数据库的研究，与本研究和Wang等人[21]的研究相同。

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**图5. 所有方法的MAPE比较**

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**图6. 不同方法最优模型的误差比较**

图5展示了四种方法的所有模型，以MAPE作为代表性指标，从而说明方法间的整体精度差异。相比之下，图6突出了每种方法中表现最佳的模型，允许在各项误差指标之间进行直接比较。

从图中可以清楚地观察到，无论在整体层面还是对最优模型而言，PySR的预测精度都显著超过了经验关联式，并且几乎与LUT相当，略低于基于AI的预测。综合考虑物理可解释性和预测精度，PySR生成模型的优势是明显的。

3.6. PySR最佳模型物理可解释性分析

基于第3.4节的分析，公式5被初步确定为PySR推导出的最优模型。在本节中，进一步考察了该模型的物理特性。根据表11和表12，公式5的数学形式可写为：

**(9) CHF_pred = (Δh_in ? h_f + 0.918·h_g ? 0.451·Δh_in/h_g + 0.238 + L/D + 27.7/G^0.779)**

该表达式的可解释性体现在可以直接追踪主要热工水力参数的单独和耦合效应。然而，需要强调的是，该表达式是一个数据驱动的关联式，而非完整的基于第一性原理的机理模型。因此，其物理可解释性需要通过其数学结构及其与已知CHF行为的一致性来评估。

Δh_in同时出现在分子和分母中。Δh_in的增加使分子增大，并通过负项?0.451Δh_in/h_g减小分母，导致在当前运行范围内预测CHF整体增大。从物理意义上讲，更大的入口过冷度意味着冷却剂需要更多能量才能接近饱和并产生足够的汽化量，从而延迟CHF的发生。该趋势与Zhao等人[39]报告的CHF对入口过冷度的近似正相关依赖一致。

h_f和h_g将压力的影响引入表达式中。由于这些物性随压力系统性地变化，它们的出现使模型能够表示饱和状态的影响，而无需将压力作为孤立变量引入。h_f、h_g与Δh_in的组合反映了入口热工状态与相变能量尺度之间的耦合。

L/D + 27.7/G^0.779项显式描述了质量流速与通道几何参数的耦合效应。随着G的增加，该项减小，分母减小，从而增大预测的CHF。更高的质量流速增强了近加热壁面的对流输运和液体补充，从而延迟液膜耗尽或干涸。该行为与先前的实验观测[39]一致。

相比之下，L/D的增加使分母增大，从而减小预测的CHF。更大的加热长度与直径比通常对应于更长的加热长度和更大的蒸汽积聚量，这会促进通道出口前的液膜耗尽。在固定加热长度的情况下，管径的增加会减小L/D，从而增大预测的CHF，这与Okamoto等人[40]报告的直径效应一致。

总体而言，公式5提供了逐项透明度，允许直接考察主要变量及其交互作用的影响。其物理可解释性不仅基于其显式形式，还基于预测的参数依赖关系是否与实验观测和已建立的热工水力行为一致。这些趋势将在第4.4节的参数敏感性分析中进一步评估。

4. 模型验证

本节评估了对数据划分、参数范围外推、输入扰动、参数变化和边界运行条件的敏感性。

4.1. 重复随机验证

为了评估公式5对应参数组合的稳定性和基于PySR建模方法的可靠性，进行了重复随机验证[41]，[42]。具体而言，使用不同的随机种子将数据集随机划分为训练子集和测试子集，并多次重新训练和评估模型。这些重复试验中获得的相应预测误差总结于表14中。

**表14. 重复随机验证结果**

| 随机种子 | MAPE | RMSPE | RMSE (kW·m?2) | Bias |
|---------|------|-------|--------------|------|
| 1 | 16.59% | 23.10% | 364.64 | 0.82 |
| 2 | 20.79% | 21.29% | 358.34 | 8.34 |
| 3 | 15.06% | 32.67% | 343.24 | 6.92 |
| 4 | 23.18% | 27.48% | 322.84 | 7.61 |
| 5 | 24.04% | 23.19% | 368.99 | 7.14 |
| 6 | 13.97% | 21.29% | 315.32 | 4.60 |
| 7 | 16.02% | 20.04% | 368.21 | 5.24 |
| 8 | 24.04% | 48.33% | 373.36 | 9.23 |
| 9 | 16.63% | 22.00% | 377.46 | 3.91 |
| 10 | 25.06% | 54.88% | 391.19 | 3.55 |
| 11 | 19.16% | 26.80% | 379.82 | 3.24 |
| 12 | 16.82% | 25.65% | 363.99 | 7.46 |
| 13 | 19.59% | 30.71% | 404.63 | 4.13 |
| 14 | 13.71% | 17.71% | 298.82 | 8.58 |
| 15 | 17.15% | 28.29% | 322.83 | 9.61 |
| 16 | 17.21% | 28.90% | 332.97 | 9.25 |
| 17 | 13.61% | 18.54% | 284.33 | 1.83 |
| 18 | 13.55% | 18.30% | 367.01 | 8.76 |
| 19 | 16.57% | 21.74% | 360.31 | 4.59 |
| 20 | 15.79% | 27.02% | 334.22 | 6.70 |
| **均值±标准差** | 16.98%±3.20% | 26.87%±9.52% | 351.63±31.27 | 2.77%±2.85% |

如表中所示，在不同随机种子和数据划分下的预测误差变化相对较小。二十次试验中MAPE的标准差仅为3.20%，表明模型在不同随机数据划分下的预测性能保持稳定。该结果表明，所推导的关联式不对特定的数据集划分敏感，且模型不太可能出现严重的过拟合。

总体而言，验证表明，公式5的特征组合与基于PySR的建模方法展现出良好的稳定性和鲁棒性。这些结果表明，所提出的符号回归模型即使在数据集划分变化时也能保持可靠的预测能力。需要注意的是，当前的重复验证是基于逐点随机划分的。因此，来自同一实验来源的样本可能同时出现在训练和测试子集中。结果主要证明了在宽范围数据库内不同随机划分下的稳定性，而非完全来源独立的泛化能力。

4.2. 外推实验

为了评估所提出建模方法的外推能力，根据质量流速G和几何参数L/D对数据集进行划分，进行了外推测试。在这些测试中，训练数据被有意限制在有限的参数范围内，而该范围之外的剩余数据则作为测试样本，以评估模型在训练域之外的预测性能。

首先，对于质量流速条件，选择G < 4000的样本作为训练数据集，其余样本作为测试数据集，以评估模型在高G区域的性能。其次，对于几何参数条件，以L/D > 为界进行划分。

**表15. 外推实验**

| 实验 | 训练样本数 | 测试样本数 | MAPE |
|------|-----------|-----------|------|
| G2 | 1706（低G） | 2873（高G） | 13.19% |
| L/D | 15170（低L/D） | 9409（高L/D） | 21.14% |

如表中所示，两次外推测试获得的MAPE值分别为13.19%和21.14%。尽管测试样本位于训练数据的参数范围之外，模型仍保持了合理的预测精度。该结果表明，所提出的建模方法在高G和高L/D区域均表现出令人满意的外推能力。高L/D情况下观察到的略大误差可能归因于几何参数对CHF行为影响的复杂性。

总体而言，PySR推导出的表达式不仅在训练域内实现了良好的预测性能，还展示了合理的外推能力，表明符号回归模型捕捉了控制参数之间有意义的物理关系。这进一步证明了基于PySR的建模框架的泛化能力。

4.3. 输入噪声不确定性分析

为了评估公式5对输入不确定性的敏感性，对其五个输入变量（L/D、G、Δh_in、h_f和h_g）引入了均匀分布的乘法扰动。对于给定的噪声水平δ，每个输入值按照以下公式进行扰动：

**(10) x_noise_i,j = x_i,j·(1 + ε_i,j), ε_i,j ~ U(?δ, δ)**

其中x_i,j为第i个测试样本中第j个输入变量的原始值，ε_i,j为独立生成的随机扰动。考虑了三种扰动水平：δ = 3%、5%和10%。使用固定随机种子42以确保可重复性。结果如表16所示。

**表16. 含噪声数据的误差**

| 噪声 | Mean P/M | Std P/M | RMSPE | MAPE | NRMSE | Q2 |
|------|----------|---------|-------|------|-------|-----|
| 0 | 102.36% | 14.71% | 14.90% | 11.56% | 17.70% | 4.00% |
| ±3% | 102.44% | 15.27% | 15.47% | 11.95% | 18.24% | 4.24% |
| ±5% | 102.51% | 16.25% | 16.44% | 12.67% | 19.10% | 4.65% |
| ±10% | 102.74% | 20.23% | 20.41% | 15.77% | 22.66% | 6.55% |

从表中可以观察到，添加±3%噪声后MAPE为11.95%，与未添加噪声的模型相比仅增加了0.4%。即使引入±10%噪声，MAPE增加至15.77%，但仍显著优于经验公式的预测精度。从表中可以得出以下结论：

① PySR模型不仅生成了准确的表达式，还保留了输入参数之间的物理关系。

② 公式5中的特征组合与CHF具有强相关性。尽管添加了噪声，模型仍保持了较高的预测精度。

③ 本研究提出的建模方法展现出强大的鲁棒性和抗不确定性能力。

4.4. 参数敏感性分析

4.4.1. 单参数敏感性分析

为了进一步证明公式5的物理可解释性如何体现，本研究进行了参数敏感性分析，以验证从其数学结构中识别出的关系是否与已建立的CHF行为一致。

该分析不仅关注各参数效应的方向，还关注模型预测的非线性趋势是否与实验观测值、查找表（LUT）预测、经验关联式以及先前报告的结论一致。为此，研究对输入特征进行了切片分析，即在保持其他参数固定于其中位数的条件下，考察各参数对CHF预测的影响。具体分析的实施细节如下：① 变化L/D、质量流速（G）和Δhin等参数，而其他参数固定在其对应的中位数上。② 识别并标记与固定参数±10%波动相对应的实验数据，在图中标出。③ 将结果与经验公式、LUT以及符号回归模型（公式1、公式5等）进行对比。④ 由于hf和hg依赖于压力（P），这两个参数无法独立变化。因此，以P作为参数来表示hf和hg的变化，而其他参数保持不变。

图7展示了CHF随质量流速（G）的变化情况。结果表明，CHF与G之间存在明显的正相关关系[43]。使用PySR生成的模型以及LUT预测均能一致地捕捉到这一趋势。相比之下，Becker关联式通常会高估CHF，而公式5和LUT与实验数据的吻合度最高。这一观察结果与Zhao等人[39]报告的研究成果一致，他们证明CHF与质量流速之间存在近似线性关系。从物理角度来看，质量流速的增加增强了加热壁面附近液膜的补充，从而延缓了干涸。因此，需要更高的热流才能使系统达到临界热流条件。

 图7. CHF随G的变化情况。

图8展示了CHF随入口过冷度的变化情况。在Δhin < 0的区域，CHF随Δhin的增加逐渐增大。在此范围内，公式5的预测与LUT的预测高度一致，而其他模型倾向于低估CHF。当Δhin > 0时，CHF随Δhin呈现近似线性增长，所有模型均较好地捕捉了该趋势。Zhao等人[39]也报告了类似的观察结果，他们同样发现CHF与Δhin之间存在近似线性关系。从物理角度来看，随着入口焓亏增量的增加，流体达到相同汽相质量分数所需的热能更多，从而导致CHF升高。

 图8. CHF随Δhin的变化情况。

图9展示了CHF对长径比（L/D）的依赖关系。总体而言，CHF随L/D的增加呈非线性下降趋势。当L/D < 300时，CHF随L/D增加显著下降；然而，当L/D > 300时，CHF继续下降但速率明显减缓。Chen等人[44]报告称，在某一范围内CHF随L/D增加而降低，而当L/D超过约200时，L/D的影响变得不再显著。本研究的趋势总体与这些发现一致。此外，在LUT和Becker关联式的预测中也能观察到类似的下降趋势。

 图9. CHF随L/D的变化情况。

图10展示了CHF随压力（P）的变化情况。在这种情况下，公式5和LUT的预测在低压区域存在一些差异。当P < 3 MPa时，LUT预测CHF随压力增加而增大，而当P > 3 MPa时，CHF随压力增加而下降。相比之下，公式5的预测表明在整个压力范围内CHF随压力增加逐渐降低。LUT预测的趋势与Sakashita等人[45]报告的结论一致。公式5在低压区域的差异可能归因于该范围内可用实验数据点数量有限，仅占整个数据库的约17%。尽管如此，公式5预测的CHF值与LUT的预测值仍较为接近，表明所提出的建模方法和基于PySR的模型仍能提供可靠的CHF预测[46]。

 图10. CHF随压力的变化情况。

单参数切片重现了G和Δhin的正向效应以及L/D的下降效应。压力响应在3 MPa以下不够理想，公式5未能重现LUT所指示的局部趋势。该局限性在第4.5节中进行了量化和讨论。总体而言，分析支持了几大主要参数趋势的物理一致性，同时确定了紧凑表达式不够适用的压力范围。

### 4.4.2 耦合参数响应分析

为进一步考察多个参数的综合影响，同时变化两对代表性参数（G–Δhin和G–L/D），其余变量固定在中位数上。所得CHF响应等高线图如图11所示。

 图11. 公式5预测的耦合参数响应。

图11(a)展示了质量流速和入口过冷度的综合效应。预测的CHF随G和Δhin的增加持续增大。在质量流速较低时，Δhin增加会产生适中的CHF增幅，而当G增加时，这种效应变得更加明显。这表明入口热状态的影响部分取决于冷却剂输运水平。从物理角度来看，更大的入口焓亏增加了冷却剂趋近饱和状态所需的能量，而更高的质量流速增强了传热强化和加热壁面附近的液膜补充。二者的同时增加因此延缓了蒸汽积聚和干涸，导致更高的CHF。

图11(b)展示了质量流速和长径比的综合效应。CHF随G增加而增大，随L/D增加而减小。等高线还表明，增加质量流速对CHF的增强作用在L/D较小时更为显著，而随着L/D增大该效应减弱。较大的L/D意味着加热长度相对于管径更长，这促进了累积蒸汽生成和液膜耗竭。虽然增加质量流速改善了液膜补充，但在大L/D条件下，这种有益效应部分被削弱。这一趋势与公式5中的耦合项(L/D+27.7)/G^0.779一致。

总体而言，等高线图表明公式5不仅反映了输入参数的单独效应，还体现了它们对CHF的综合影响。特别是，入口热状态和通道几何的影响随质量流速而变化。需要指出的是，这些等高线代表的是显式符号表达式的受控响应切片，旨在说明公式5中包含的交互作用结构。

### 4.5 边界条件误差分析

CHF随压力变化的结果表明，在低压条件下，公式5的预测与LUT存在差异，这说明公式5在边界条件下可能失效。因此，进行了一系列误差分析以量化公式5在低压、高质量流速和大长径比条件下的预测精度。

#### 4.5.1 边界工况定义

按照本研究采用的压力分类方法，低压区域定义为：

$$P < 3\,\text{MPa}$$

高质量流速和大长径比则使用完整数据库的95%分位值进行定义，所得阈值为：

$$G > 5003\,\text{kg}\cdot\text{m}^{-2}\cdot\text{s}^{-1}$$

$$L/D > 751.88$$

测试集包含4916个数据点。对每个工况区域，计算了样本数量、MAPE、RMSPE、平均预测偏差以及预测值在实验CHF值±20%范围内的比例。平均预测偏差定义为：

$$(11)\quad \text{Bias} = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}\left(\frac{q_{\text{pred},i} - q_{\text{exp},i}}{q_{\text{exp},i}}\right)\times 100\%$$

正偏差表示系统性高估，负偏差表示系统性低估。结果如表17所示。

**表17. 公式5在边界条件下的预测结果。**

| 工况条件 | N | MAPE | RMSPE | Bias | ±20%以内 |
|---------|---|------|-------|------|---------|
| 总体测试集 | 4916 | 11.56% | 14.90% | +2.36% | 84.26% |
| 低压（P < 3 MPa） | 871 | 13.62% | 18.09% | +2.98% | 77.73% |
| 正常压力（P ≥ 3 MPa） | 4045 | 11.11% | 14.11% | +2.23% | 85.66% |
| 质量流速（G ≥ 5003.00） | 251 | 13.65% | 17.12% | ?3.16% | 73.31% |
| 质量流速（G < 5003.00） | 4665 | 11.44% | 14.77% | +2.66% | 84.84% |
| L/D ≥ 751.88 | 28 | 9.37% | 12.22% | ?1.74% | 90.75% |
| L/D < 751.88 | 4635 | 11.69% | 15.04% | +2.61% | 83.86% |

#### 4.5.2 边界条件下的整体表现

首先可以观察到，在低压区域精度有所下降。对于P < 3 MPa，MAPE升至13.62%，而P ≥ 3 MPa时为11.11%。RMSPE从14.11%升至18.09%，而±20%以内的预测比例从85.66%降至77.73%。然而，+2.98%的相对较小的平均偏差并不一定意味着均匀无偏，因为不同的低压区间可能会出现相反的偏差方向。这一问题在第4.5.3节中进一步讨论。

在高流量区域，MAPE和RMSPE分别为13.65%和17.12%。平均偏差从G < 5003.00区域的+2.66%变为高流量下的?3.16%，表明存在轻微的低估倾向。此外，±20%以内的预测比例从84.84%降至73.31%。因此，尽管公式5在极高流量下仍保持中等预测精度，但其误差有所增加，偏差方向从轻微高估转变为轻微低估。

相比之下，在现有测试数据库中，大长径比条件下并未观察到精度降低。对于L/D ≥ 751.88，MAPE和RMSPE分别为9.37%和12.22%，90.75%的预测值在实验值的±20%以内。这些值优于其余L/D范围的预测结果。现有结果表明，在可用数据库范围内，大长径比不是公式5预测恶化的主要来源。

总体而言，边界局限性的主要限制与低压和高流量有关，而非大长径比。

#### 4.5.3 低压区域的详细误差分析

为查明P < 3 MPa时误差增加的原因，将低压数据进一步划分为五个区间。相应结果汇总于表18中。

**表18. 不同低压区域的详细预测性能。**

| 压力范围 | N | MAPE | RMSPE | Bias | P90 APE | ±20%以内 |
|---------|---|------|-------|------|---------|---------|
| P < 0.2 MPa | 136 | 21.16% | 26.81% | +19.49% | 41.57% | 56.62% |
| 0.2 ≤ P < 0.5 MPa | 109 | 19.58% | 24.73% | +18.42% | 42.14% | 55.05% |
| 0.5 ≤ P < 1.0 MPa | 103 | 12.47% | 17.01% | +8.97% | 26.22% | 80.58% |
| 1.0 ≤ P < 2.0 MPa | 259 | 9.77% | 12.88% | ?1.64% | 20.75% | 88.42% |
| 2.0 ≤ P < 3.0 MPa | 264 | 11.52% | 13.47% | ?9.69% | 21.12% | 86.36% |

详细结果表明，主要的预测恶化集中在约0.5 MPa以下。对于P < 0.2 MPa和0.2 ≤ P < 0.5 MPa，MAPE值分别为21.16%和19.58%。相应的平均偏差为+19.49%和+18.42%，表明存在系统性高估。这两个区间中仅有56.62%和55.05%的预测值在实验值的±20%以内。此外，这两个区域的90分位绝对百分比误差均超过41%。因此，这代表了一种系统性偏差模式。

当压力增加到0.5–1.0 MPa时，MAPE降至12.47%，RMSPE降至17.01%，平均偏差降至+8.97%。±20%以内的预测比例也增至80.58%。这表明在约0.5 MPa以上模型性能有所恢复，尽管仍存在中等程度的高估倾向。

公式5在1–2 MPa之间表现出最佳的低压性能，MAPE为9.77%，RMSPE为12.88%，平均偏差为?1.64%。在此区域，88.42%的预测值在实验值的±20%以内，表明模型基本无偏。

在2–3 MPa之间，MAPE保持在11.52%的中等水平，但平均偏差降至?9.69%，表明存在系统性低估倾向。因此，公式5的趋势从极低压下的大量高估逐渐变化为中等压力下接近无偏的预测，然后在压力接近3 MPa时转变为低估。

图12所示的逐点误差分布进一步支持了这一观察结果。大的正相对误差主要集中在0.5 MPa以下，而误差离散度随压力增加而显著降低。图中的簇状垂直分布还表明数据库中包含了若干离散的压力实验水平。因此，部分观察到的离散性可能与不同实验系列之间的差异以及质量流速、入口过冷度和通道几何的耦合效应有关。

 图12. 数据集（0-3 MPa范围内）的逐点误差分布。

低压偏差与第4.4节的讨论一致。差异主要源于公式5中表示和优化压力效应的方式。压力并非作为显式独立变量引入，而是通过hf和hg间接嵌入。在研究的压力范围内，这些热力学性质随压力平滑变化，它们在紧凑符号表达式中的组合导致了本质上单调的压力响应。

因此，公式5缺乏足够灵活的与压力相关的项，无法再现查找表（LUT）所指示的局部转折行为，即在低压下CHF先增大，随后在高压下减小。此外，PySR最小化整个数据库的总预测误差。由于中高压数据主导了全局优化，所选择的表达式更倾向于代表整体压力趋势，而非3 MPa以下的局部行为。所施加的复杂度约束进一步倾向于选择紧凑的单调关系，而非包含压力转折点的更复杂表达式。误差分析也支持了这一解释：公式5在0.5 MPa以下系统性高估CHF，在1至2 MPa之间几乎无偏差，而在2至3 MPa之间低估CHF。因此，与LUT的不一致并非仅由随机散布造成，而是反映了低压局部依赖性的表示不足。

此外，敏感性分析在固定质量流速G、入口过冷度Δh_in和长径比L/D于代表值的情况下改变压力。这种固定条件切片未能保留实验数据库中存在的耦合参数分布。相比之下，LUT基于多个运行变量的局部解析插值，因此能够保留单一全局符号表达式可能平滑掉的压力依赖变化。

4.5.4. 适用性、局限性与潜在修正策略

基于前述分析，公式5提供了一个紧凑的CHF关联式，对于本数据库参数范围内竖直均匀加热的水冷圆管，具有令人满意的整体精度。该模型在可用测试集中未表现出在大长径比条件下精度下降的情况。在极高质量流速下观察到中等程度的退化，模型显示出轻微的低估倾向和增大的误差分散。

在低压区域需要特别注意。在未进行特定重新校准的情况下，不建议在0.5 MPa以下直接应用公式5，因为观察到平均绝对百分比误差（MAPE）约为20%，且存在约18–19%的系统性高估。在0.5 MPa以上，模型性能显著提升。然而，在将此公式应用于该压力范围时，仍应考虑偏差从1 MPa以下的高估转变为2至3 MPa之间的低估。

一种可能的改进方法是引入归一化压力（如P/Pc）作为符号回归输入集。这将允许PySR直接搜索压力及其潜在的单调性结构，而非通过h_f和h_g来表示压力。对压力进行分层采样或对低压训练数据增加权重，也可能减少中高压样本在全局优化目标中的主导地位。

另一种方法是构造连续的压力依赖残差修正，其形式为：

(12) q″_CHF,corr = C_P(P) · q″_CHF,F5

其中修正函数C_P(P)仅使用低压训练数据进行拟合：

(13) C_P(P) = f(P, q″_CHF,exp / q″_CHF,F5)

为防止信息泄露，修正函数必须仅使用训练数据开发，随后使用未改变的留出测试集进行评估。不直接从当前测试集推导修正系数。

最后，本研究中使用的全部数据均来源于竖直均匀加热的圆管。因此，所提出的公式不应在未进行额外几何特定验证的情况下直接应用于矩形通道、环形通道或棒束几何形状。当前的边界条件分析定义了公式5在可用圆管数据库内的适用运行域，但并未确立对其他通道构型的普遍适用性。

5. 无量纲模型

5.1. 无量纲化处理

为了进一步提高模型的可解释性，本研究还对输入数据进行了无量纲化处理，以构建无量纲模型。该模型将结合CHF和各种热工水力学参数，然后引入相关无量纲数形成方程，使方程两侧的维度和数值相等。

为实现上述目标，本研究首先确定了以下无量纲结构：

(14) q_CHF/C = f(X_0, X_1, X_2…)

方程左侧为无量纲。基于CHF的维度，本研究决定用h_fg·G、Δh_in·G、h_f·G、h_g·G替代C。

右侧的X_0、X_1等代表与每个CHF相关的热工水力学无量纲参数。基于现有数据和相关知识，我们确定了以下无量纲常数：Re、L/D、h_f/h_g、P/P_c、ρ_f/ρ_g。

5.2. 模型构建

基于5.1节的量纲分析，本研究将方程左侧作为y、右侧作为X输入PySR模型，然后构建了以下参数组合，如表19所示。

表19. 无量纲模型的参数组合。

| 名称 | y | X_0 | X_1 | X_2 | X_3 | X_4 |
|------|---|-----|-----|-----|-----|-----|
| 公式23 | q_CHF / (h_fg·G) | L/D | Re | P/P_c | h_f/h_g | ρ_f/ρ_g |
| 公式24 | q_CHF / (Δh_in·G) | L/D | Re | P/P_c | h_f/h_g | ρ_f/ρ_g |
| 公式25 | q_CHF / (h_f·G) | L/D | Re | P/P_c | h_f/h_g | ρ_f/ρ_g |
| 公式26 | q_CHF / (h_g·G) | L/D | Re | P/P_c | h_f/h_g | ρ_f/ρ_g |
| 公式27 | q_CHF / (h_f·G) | L/D | Re | h_f/h_g | / | / |

5.3. 模型训练

5.3.1. 训练结果

根据表19，我们将每个参数组合输入模型进行训练，所得模型如表20所示（保留四位小数）。模型架构选择原则与第三章相同。

表20. 无量纲模型的表达式。

| 名称 | 表达式 |
|------|--------|
| 公式23 | y_pred = X^(-0.35401) · X_3 · exp(0.4004 · X_0^(0.33580)) |
| 公式24 | y_pred = 0.001029 / (0.07636 / (X_2 - X_0) · X_3) |
| 公式25 | y_pred = 10.4415 / (X_0^(0.0198) + (X_4/X_0) · X_0^(0.54241) + 0.1559·X_1) |
| 公式26 | y_pred = -32.0652 - 49.0227·X_0·ln(X_3) - X_1·ln(X_0) |
| 公式27 | y_pred = (X_1/X_0 + 24.9134)^(-0.4866·X_0^(6.4899·X_2)) |

5.3.2. 误差分析

根据表20中的模型表达式，我们输入数据进行验证并计算误差。结果如下：

表21和图13显示了无量纲候选模型之间的显著性能差异。公式24未能再现CHF量级，MAPE和RMSPE值接近100%，因此被排除。在剩余候选者中，公式23获得了最低的MAPE（21.22%）和RMSPE（32.76%），其次是公式27。因此，公式23被选为最佳无量纲候选者，尽管其精度仍低于有量纲的公式5。

表21. 无量纲公式的误差表。

| 名称 | 平均P/M | 标准P/M | RMSPE | MAPE | NRMSE | Q2 |
|------|---------|---------|-------|------|-------|----|
| 公式23 | 104.81% | 32.41% | 32.76% | 21.22% | 29.50% | 12.08% |
| 公式24 | -0.46% | 2.62% | 100.49% | 100.46% | / | / |
| 公式25 | 118.88% | 41.15% | 45.27% | 31.21% | 28.71% | 7.62% |
| 公式26 | 134.95% | 51.88% | 62.55% | 44.70% | 37.78% | 5.29% |
| 公式27 | 115.52% | 35.44% | 38.69% | 26.09% | 27.17% | 10.24% |

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图13. 基于PySR的CHF无量纲预测模型。

因此，综合考虑所有评估指标，公式23被认为是本研究中最为准确和可靠的模型。实验决定在无量纲模型中选择q_CHF/(h_fg·G)作为y。根据表19和表20，公式23的表达式为：

(15) q_CHF/(h_fg·G) = y_pred = Re^(-0.35) · (h_f/h_g) · exp(0.40·(L/D)^0.33)

从表达式可以看出，CHF与质量流速呈正相关，而长径比L/D呈负相关。这些趋势与4.4节参数敏感性分析得出的结论一致。

5.3.3. 与有量纲模型的比较及优化策略

尽管公式23在无量纲候选者中表现最佳，但其MAPE为21.22%，高于有量纲公式5获得的11.56%。这种精度降低可能归因于几个因素。首先，当前无量纲构建使用相对有限的无量纲组，主要包括Re、L/D、P/P_c和h_f/h_g。将原始热力学变量压缩为无量纲比值可以提高维度一致性，但可能会移除Δh_in、h_f、h_g、L和D中包含的部分有用信息，而这些信息对于描述非均质CHF数据库是有用的。这一原因可以通过有量纲模型得到证实。在第三章所有特征集中，公式5包含h_f和h_g的表现优于包含h_fg的情况。这可能是因为h_f和h_g包含比h_fg更多的信息。其次，CHF的归一化改变了预测误差的分布和相对权重。第三，无量纲组的数量受限限制了PySR可用的表达式空间，可能阻止模型充分表示几何、相变和入口热条件的耦合效应。

未来工作中，若干策略可以改进无量纲模型。可以引入额外的物理相关无量纲组，如雅可比数、韦伯数、密度比、与过冷度相关的无量纲参数。还应考察CHF目标变量的替代无量纲形式，以减少归一化引起的误差失真。此外，可以采用物理引导的算子约束和多目标模型选择来平衡预测精度与维度一致性。因此，公式23应被视为初步的无量纲关联式，而非替代精度更高的有量纲公式5。

总体而言，公式23展示了使用符号回归构建维度一致的CHF关联式的可行性。尽管其精度低于公式5，但它保留了若干物理上合理的参数趋势，并为进一步优化工符无量纲符号模型提供了基础。

6. 结论

本研究开发了一个基于符号回归的数据驱动建模框架，利用实验数据库预测CHF。系统评估了所开发模型的预测性能、鲁棒性和物理一致性。本研究的主要结论可总结如下：

1) 通过将不同的特征组合输入PySR进行训练，本研究推导出了一系列表达式。其中，公式5（特征组合为L/D、G、Δh_in、h_f、h_g）在模型复杂度和预测精度之间取得了有利的平衡，在测试数据集上展现出强大的预测性能。

2) 对提出的符号回归模型、传统经验关联式和查找表（LUT）进行了比较分析。结果表明，所提出的模型在大多数现有关联式上提供了改进的预测精度。虽然许多经验关联式在某些参数区域表现出显著偏差，但PySR推导的模型在更广泛的运行范围内保持相对稳定的预测能力。

3) 对公式5进行了随机验证和外推实验，随机验证的平均MAPE为16.98%，表现出良好的稳定性和鲁棒性。基于PySR的建模框架的外推实现了良好的预测性能。这些结果表明了PySR和公式5特征组合的良好稳定性和鲁棒性。

4) 在输入参数中引入了幅度为±3%、±5%和±10%的均匀噪声，以模拟测量不确定性。结果表明，在这些扰动下模型误差的增加是有限的。即使在±10%噪声条件下，MAPE仍约为15.77%，仍显著优于传统经验关联式。这表明了所提出建模方法的强鲁棒性。

5) 参数敏感性分析表明，所开发的模型成功捕捉了CHF与控制参数之间的物理关系。例如，CHF与质量流速G呈强正相关，与入口过冷度呈近似线性关系。这些发现与之前的研究一致，证实了模型和PySR的物理可靠性和可解释性。

6) 也考察了无量纲建模方法。通过比较多个候选公式，无量纲模型公式23被选为预测目标。所得关联式提供了令人满意的预测精度，同时保留了CHF与关键参数之间的基础物理关系。

然而，本研究也承认存在一些局限性，例如在趋势分析中固定实验数据参数时未严格约束于中位值，以及额外参数组合的探索有限。尽管如此，PySR在CHF预测中的优势是明显的。其关键优势包括：可解释的白箱模型、生成复杂度可控的表达式，以及即使对于参数跨度大的数据库也展现出优秀的预测能力。所达到的精度与查找表相当，并显著超越经验关联式。

未来的研究将侧重于扩展数据库的多样性和规模，并研究PySR在更广泛加热构型下的性能。这将进一步证明PySR在CHF预测中的显著优势。除方法改进外，该模型在工程应用方面也具有巨大潜力，如提高核反应堆的热工水力安全裕度、指导先进换热器设计，以及支持高功率密度系统（包括下一代电子产品和储能设备）的优化冷却策略。

CRediT作者贡献声明

姚伟怡：方法论、调查。李岩川：软件、调查。郑武锋：原文撰写、可视化、验证、项目管理、调查。横山辽：监督、概念化。王凯：监督、资金获取、正式分析、概念化。陈子坤：软件、调查。陈坤杰：资源、调查。冈本宏二：验证、监督。三宫秀一郎：验证、监督。

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中山大学 中法核工程与技术学院，中国珠海519082