退相干 ZX 演算

《Journal of Logical and Algebraic Methods in Programming》：The decohered ZX-calculus

　　

摘要
众所周知，丢弃 ZX 演算对于混合态量子力学是完备且通用的，允许完整描绘量子过程和经典过程。然而，如果 ZX 演算的量子方面已被深入探索，那么在经典方面所做的工作却很少。在本文中，我们研究了一个通过退相干 ZX 演算的常规生成元而获得的丢弃 ZX 演算片段。我们证明了这个演算对于 ??2? 上的仿射支撑概率分布是通用且完备的。为此，我们展示了一种标准形，混合了图形线性代数程序和图式傅里叶变换的想法。我们的结果既阐明了如何在丢弃 ZX 演算中处理混合经典 - 量子过程，也为描绘更一般的随机变量和概率过程铺平了道路。

引言
ZX 演算在 [1] 中被引入，作为量子力学矩阵形式的一种方便的替代方案，采取了激进的立场，将所有概念重新表述为弦图。弦图是源自范畴论的形式组合对象，它们既是直观的表示，又是通过局部重写规则进行推理的工具 [2]。此后，ZX 演算已向各个方向发展，在量子编译 [3] 或模拟 [4] 中找到了用例。也为 qudits [5] 或混合态 [6] 开发了 ZX 演算的变体。在后者情况下，所谓的丢弃 ZX 演算对于维度为 2n 的希尔伯特空间之间的完全正映射是通用且完备的。完全正映射是表示纯量子过程概率混合的正确数学设定。到目前为止，尚未对对应于经典概率过程的丢弃 ZX 演算片段给予特别关注。本工作的目标是填补这一空白，通过研究丢弃 ZX 演算的结构和生成元在退相干设置下的行为，即当系统失去所有量子特征时。在非量子情况下使用 ZX 演算似乎很不寻常，然而，我们希望证明 ZX 演算的基本方法，即依赖两个交互作用的蜘蛛生成元，在概率设置下仍然相关。这导致了对概率分布的紧凑表示，以及非平凡的重写规则，暗示了在图式概率推理方面的进一步工作。

本文的第一项贡献是引入了一种退相干映射的概念，在量子过程中编码经典计算。我们证明这些退相干映射与具有正实系数的矩阵之间存在双射关系。我们的第二项贡献是设计了一个退相干版本的 ZX 演算，这是通过对丢弃 ZX 演算的生成元进行退相干获得的。我们为这个演算提供了可靠的重写规则，并证明它对于具有仿射支撑的正实系数矩阵是通用且完备的。这个通用性和完备性结果是本文的主要成就，依赖于受先前关于图式傅里叶变换 [7] 和可扩展记号 [8] 的工作启发的新标准形。

论文组织如下。第 2 节回顾了混合态量子力学的必要概念，特别是密度矩阵和完全正映射。它还引入了我们演算旨在描绘的退相干映射。第 3 节介绍了 [6] 中丢弃 ZX 演算的生成元和方程。然后，第 4 节正式引入了退相干 ZX 演算，详细讨论了其规则和生成元。最后，在第 5 节中，我们展示了关于退相干 ZX 演算结构的主要结果，引入了我们的标准形，并证明了对于具有仿射支撑的正实系数矩阵的通用性和完备性。

章节摘录
混合态量子力学
在本节中，我们回顾密度矩阵和完全正映射 [9] 的基础知识。我们还引入了退相干映射的概念。

丢弃 ZX 演算
丢弃 ZX 演算以我们在此呈现的形式在 [6] 中引入并被证明是完备的。我们仅更改了归一化，简化了三角公式，并使标量显式化，以适应更现代的表达方式。

退相干 ZX 演算
在本节中，我们将定义一个退相干 ZX 演算，能够描绘受限制的退相干映射族。为了避免退相干和丢弃 ZX 之间的混淆，我们将对退相干版本使用灰色导线，传达这些导线本质上是经典的理念。

通用性和完备性
既然退相干 ZX 演算已完全定义，我们可以关注其通用性和完备性。正如我们将看到的，退相干 ZX 演算无法表达所有退相干映射，然而，它仍然对其中一个有趣的子集是通用的。图 4 中给出的规则集是完备的。证明这一事实将需要引入几个概念。特别是，矩阵支撑的概念将非常重要。

定义 13 (支撑) 矩阵 ??∈?2??×2???(?+) 的支撑是 supp?(??)

研究方向
就目前而言，退相干 ZX 演算必须被理解为理解丢弃 ZX 演算结构的另一步骤。图 4 中呈现的规则集仍然不满意，用一条更有效的规则替换规则 L 将很有趣，类似于欧拉规则在 ZX 演算完备性中所起的作用 [12]。此外，对仿射支撑映射的限制，即使从理论角度来看完全可以理解，但在 CRediT 作者贡献声明中是一个重要的限制。

CRediT 作者贡献声明
Titouan Carette：写作 – 审阅与编辑，写作 – 原始草稿，监督，项目管理，方法，调查，概念化。
Daniela Cojocaru：写作 – 审阅与编辑，写作 – 原始草稿，监督，项目管理，方法，调查，概念化。
Renaud Vilmart：写作 – 审阅与编辑，写作 – 原始草稿，监督，项目管理，方法，调查，概念化。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的竞争性经济利益或个人关系，这些利益或关系可能看起来影响了本文报告的工作。

Titouan Carette|Daniela Cojocaru|Renaud Vilmart