多圆盘在非光滑边界点处的边界刚性

《Journal of Mathematical Analysis and Applications》：The boundary rigidity at non-smooth boundary points of polydisks

　　

摘要
在本文中，我们证明了多圆盘上具有非光滑边界不动点的全纯自映射的两个边界刚性结果。

引言
在 [1] 中，Burns 和 Krantz 证明了以下基本刚性结果（关于此重要主题的近期综述见 [11]）。
定理 1.1 [1, 定理 4.5] 设 Ω 是 C^n 中边界光滑、强拟凸且边界为 C^6 的域。设 f 是 Ω 的全纯自映射，p∈?Ω。若当 z→p 时 f(z)=z+o(|z?p|^3)，则 f(z)≡z。
[1] 中给出的一个例子表明，上述 Burns-Krantz 刚性中的 o(3) 条件是最优的。在 [5] 中，Huang 给出了 Burns-Krantz 刚性的局部化版本。此外，他证明了具有内部不动点的全纯自映射的以下边界刚性。
定理 1.2 [5, 推论 2.7] 设 Ω 是边界光滑的强凸域，p∈?Ω。设 f 是 Ω 的全纯自映射，且存在 q∈Ω 使得 f(q)=q。若当 z→p 时 f(z)=z+o(|z?p|^2)，则 f(z)≡z。
在 [5, 注 2.9] 中猜想，上述类似的结果对于强拟凸域也应该成立。该猜想的一个特殊情况在 [4] 中被证明，随后在 [2] 中被推广。一般情况最近由第二作者在 [9] 中得到证实。
记 Δ 为 C 中的单位圆盘，Δ^n 为 C^n 中的单位多圆盘，n≥2。在 [3] 中，Forn?ss 和第二作者证明了 Δ^n 上的 Burns-Krantz 刚性如下。
定理 1.3 [3, 定理 3] 设 f 是 Δ^n 的全纯自映射，p∈?Δ^n 是光滑点。若当 z→p 时 f(z)=z+o(|z?p|^3)，则 f(z)≡z。
[3] 中也给出了 Δ^n 上具有内部不动点的全纯自映射的 Huang 型刚性。然而，内部不动点集的条件并非最优。最近，Wang, Liu 和 Tang 在 [14] 中获得了 Δ^n 上的最优 Huang 型刚性如下。
定理 1.4 [14, 定理 5.2] 设 f 是 Δ^n 的全纯自映射，p∈?Δ^n 是光滑点。若存在 q∈Δ^n 使得 f(q)=q，且当 z→p 时 f(z)=z+o(|z?p|^2)，则 f(z)≡z。
定理 1.3（分别为 1.4）在 [8]（分别为 [12]）中被推广到有界对称域。
虽然上述所有结果都涉及光滑边界点，但也有一些近期关于非光滑边界点上 Burns-Krantz 型刚性的研究（参见例如 [7], [10], [13], [15]）。特别是，[7] 中给出了以下两个结果。
定理 1.5 [7, 定理 1.4] 设 f 是 Δ^n 的全纯自映射，p∈(?Δ)^n。若当 z→p 时 f(z)=z+o(|z?p|^3)，则 f(z)≡z。
定理 1.6 [7, 定理 1.5] 设 f 是 Δ^n 的全纯自映射，p∈(?Δ)^n。若存在 q∈Δ^n 使得 f(q)=q，且当 z→p 时 f(z)=z+o(|z?p|^2)，则 f(z)≡z。
本文的主要目的是将上述两个结果推广到 Δ^n 的所有非光滑边界点，如下所示。
定理 1.7 设 f 是 Δ^n 的全纯自映射，p∈?Δ^n 是非光滑点。若当 z→p 时 f(z)=z+o(|z?p|^3)，则 f(z)≡z。
定理 1.8 设 f 是 Δ^n 的全纯自映射，p∈?Δ^n 是非光滑点。若存在 q∈Δ^n 使得 f(q)=q，且当 z→p 时 f(z)=z+o(|z?p|^2)，则 f(z)≡z。
注 1.9 定理 1.7 最近也由 Zwonek 在 [15] 中使用不同的方法得到，该方法似乎无法得出定理 1.8，而后者是一般非光滑边界点上的首个 Huang 型刚性结果。我们的方法可以并且将被用于获得更一般有界域的非光滑边界点上的 Burns-Krantz 型和 Huang 型刚性结果。
我们在第 2 节证明定理 1.7，在第 3 节证明定理 1.8。

章节片段
定理 1.7 的证明
如果 p∈(?Δ)^n，即 Δ^n 的 Shilov 边界，那么定理 1.7 即为定理 1.5。因此，我们假设 p?(?Δ)^n。由于 Δ^n 是齐性域，不妨假设 p=(1,?,1,0,?,0)，其中 1 的个数为 2≤r≤n?1。记 f=(f1,?,fn)。
记 π′:Δ^n→Δ^r 为到前 r 个坐标的正交投影，即 π′(z)=(z1,?,zr)=:z′。设 φ:Δ^r→Δ^n 为 φ(z1,?,zr)=(z1,?,zr,0,?,0)。那么，g:=π′°f°φ 是 Δ^r 的全纯自映射，其具有边界不动点 p′:=π′(p)=(1,?,1)。

定理 1.8 的证明
如果 p∈(?Δ)^n，那么定理 1.8 即为定理 1.6。因此，我们假设 p?(?Δ)^n。不妨假设 q=(0,?,0) 且 p=(1,?,1,0,?,0)，其中 1 的个数为 2≤r≤n?1。
通过与上一节类似的论证，我们同样有 (2.1) 和 (2.2)。对于 (2.1)，我们需要应用定理 1.6 而不是定理 1.5。对于 (2.2)，我们需要应用定理 1.4 而不是定理 1.3。然后，我们同样可以得出结论，f 逐点固定 ι(Δ)。
剩余的论证几乎相同。

李凤白 | 荣丰