种群动力学延迟微分方程的全局吸引性与周期性

《Journal of Mathematical Analysis and Applications》：Global attractivity and periodicity in a delay differential equation of population dynamics

　　

• 基于区间映射不动点的全局吸引性讨论时滞微分方程（DDE）平衡点的全局渐近稳定性。
• 本质非线性标量时滞微分方程慢振荡周期解的存在性。
• 对 Mackey-Glass 方程和 Nicholson 型方程的新数值观察。

引言

形如 ??′(??) = ??(??(???τ))??(???τ) ? λ(??(??))??(??) 的时滞微分方程（DDE）在文献[25]中被提出，作为描述蝇类种群动态的数学模型。其中，出生率密度函数 ??(·) 在正半轴 ?? := {??∈? | ??≥0} 上为正且递减，死亡率密度函数 λ(·) 在 ?? 上为正且非递减，τ > 0 是由成熟期引起的时间延迟。在上述假设下，DDE (1) 存在唯一的正平衡点 ??(??) ≡ ??* > 0，该平衡点由非线性方程 ??(??) = λ(??)，?? > 0 的解给出，附加假设为 ??(0) > λ(0) 和 ??(∞) < λ(∞)。我们假设 ?? 和 λ 两个函数在 ?? 上均连续可微。

方程 (1) 包含种群动力学和生理学中多个著名的 DDE 模型。特别地，当 ?? 和 λ 取为

??(??) = ???exp{?α??}，??? > 0，α > 0，
λ(??) = λ?（常数）> 0

时，得到著名的 Nicholson 大蝇模型[10]，其形式为

??′(??) = ?λ???(??) + ?????(???τ)exp{?α??(???τ)}。

在另一种情形下，当 ??(??) = ???/(1+???)，??? > 0，?? > 1，且 λ(??) = λ?（常数）> 0 时，得到著名的 Mackey-Glass 生理学模型[23]，其形式为

??′(??) = ?λ???(??) + ?????(???τ)/(1+??(???τ)?)。

虽然我们简要回顾并反思了时滞微分方程 (2) 和 (3) 的一些已知性质，但本文的主要目标是在函数 λ(??) 不是常数的情况下，推导 DDE (1) 新的全局稳定性结果和周期解的存在性。

本文的结构如下。在第2节中，我们引入基本假设并回顾 DDE (1) 的基本事实和某些初等性质。第3节以底层区间映射为框架，建立了 DDE (1) 的全局渐近稳定性判据。该映射由函数 λ(??) 和 ??(??) 显式构造而成，且不依赖于延迟 τ。第4节建立了 DDE (1) 慢振荡周期解存在的充分条件。在对函数 ?? 和 λ 的适当假设下（保证模型具有负反馈性质），当正平衡点处的线性化 DDE 不稳定时，周期解总是存在的。第5节讨论了 Nicholson 方程 (2) 和 Mackey-Glass 方程 (3) 的推广形式，其中各方程中的线性衰减项可替换为任意非线性单调函数。我们还重新审视了经典 DDE 模型 (2) 和 (3)，并为两者建立了一些新结果。第5节中的某些结果和条件只能通过数值方法验证。我们在第5节中呈现了大量数值结果数据及相关图表。在最后一节第6节中，我们讨论了关于周期解的结果与其他人一些密切相关已知结果的联系，并陈述了本文主要周期性结果的一个小推广。

章节摘要

基础知识

在全文中，我们假设函数 ?? 和 λ 均在 ?? 上有定义且连续可微。此外，??(??) 在 ?? 上递减，λ(??) 在 ?? 上非递减（递增），且满足 ??(0) > λ(0) 和 lim?→∞ ??(??) < lim?→∞ λ(??)。如上所述，DDE (1) 存在唯一的正平衡点 ??(??) ≡ ??* > 0。另一个平衡点是常数（平凡）解 ??(??) ≡ 0。

令 ??([?τ, 0], ??) = : ?? 表示从区间 [?τ, 0] 到 ?? 的连续函数集合，其范数为 ‖φ‖ = sup{|φ(??)|, ??∈[?τ, 0]}

全局渐近稳定性

由于函数 λ(??) 在 ?? 上递增，函数 Λ(??) := ??λ(??) 也递增，且 Λ(0) = 0，Λ(∞) = ∞。因此，逆函数 Λ?1(??) 对所有 ?? ∈ ?? 都存在，它是递增的且 Λ?1(0) = 0，Λ?1(∞) = ∞。

在 ?? 上引入函数 Φ(·)，定义为 Φ(??) = Λ?1(????(??)) = Λ?1(??(??))，其中 ??(??) := ????(??)，以此作为简写。可以很容易看出，一维映射 Φ: ?? → ?? 恰好有两个不动点 ??? = 0 和 ??? = ??*，且满足不等式

Φ(??) > ??，??? ∈ (0, ??*)，
以及 Φ(??) < ??，??? ∈ (??*, ∞)。

周期解的存在性

在本节中，我们建立了 DDE (1) 慢振荡周期解存在的充分条件。在存在性结果的陈述和证明中，一个重要的概念是关于正平衡点的（非局部）负反馈条件。当 λ(??) = λ???，λ? ≥ 0 为线性函数时，这是众所周知的；将该概念直接推广到 λ(??) 为非常函数的情况是显而易见的，但需要给出明确的定义。

示例与数值验证

时滞微分方程 (7) 包含许多著名的模型，特别是在生物学应用中，如 Mackey-Glass DDE 和 Nicholson DDE。当一般的非线性函数 Λ(??) 在 ?? 上严格单调递增且满足 Λ(0) = 0，Λ(∞) = ∞，而函数 ??(??) 在 ?? 上为单峰函数时，我们称此类模型为 Mackey-Glass-Nicholson 型。在本节中，我们希望展示本文结果对一些此类模型的适用性，特别强调……

具有单调延迟非线性的方程

具有相同 Λ 但单调递减非线性 ??(??) 的形如 (7) 的时滞微分方程出现在若干重要应用中。在众多相关文献中，我们在此引用 Wazewska 和 Lasota[27] 关于血细胞生产模型的著名工作以及第一个 Mackey-Glass 生理学模型[23]（由方程 (21) 给出）。在这两个模型中，函数 Λ 都是线性的，Λ(??) = λ???，而函数 ?? 在文献[27]中为指数函数 ??(??) = ???exp{?α??}，在另一个模型中则为倒数幂函数……

致谢

本研究的大部分工作是在 A. Ivanov 于2025年5月至6月担任大阪府立大学研究生院访问教授期间完成的。他对数学系和大学表示衷心感谢，感谢其提供的全面支持、满足各项需求以及营造的最有利于科研和教学的环境。H. Matsunaga 部分由 JSPS 学术振兴会科学研究资助（C类）资助，项目编号 JP24K06801。

Anatoli F. Ivanov | Hideaki Matsunaga