通过Yosida分裂法对静止Smagorinsky模型进行迭代求解

《Journal of Mathematical Analysis and Applications》：Iterative scheme for the stationary Smagorinsky model via Yosida splitting

　　摘要

本研究提出了一种用于离散静止Smagorinsky方程的迭代方案，该方案基于混合有限元和grad-div稳定化技术。迭代将Yosida分裂技术整合到增量Picard迭代中，以实现解耦和线性化。此外，还建立了所提出方案的迭代误差估计。一系列数值实验进一步证明了该方案的有效性。

引言

Smagorinsky模型[5]、[26]是大涡模拟模型[4]中的一个重要系统，因为它在湍流现象的数值模拟中非常有效。其广泛应用使其被应用于各个领域，包括气体动力学[26]和地球物理流体流动[29]等。这里，我们关注的是稳态Smagorinsky模型，该模型由以下控制方程描述：
?νΔu???((Csδ)2|?u|?u)+(u??)u+?p=F， 在Ω内，??u=0，在Ω内，u=0，在?Ω上。采用一个有界、规则的域Ω?Rd（d=2或3）和具有Lipschitz连续边界的?Ω作为计算域。速度向量用u表示，压力用p表示，激励项用F表示。CS表示Smagorinsky常数，δ是大涡模拟中使用的空间滤波器的半径，ν>0表示粘度系数。通过引入特征速度U和特征长度L，雷诺数由Re=ULν给出。

如今，湍流流动的数值模拟是计算流体动力学中最关键和最具挑战性的研究领域之一，因为它在工程和环境领域有广泛的应用。与经典的Navier-Stokes方程相比，Smagorinsky模型中加入了一个人工粘性项???((CSδ)2|?u|?u)。这个项有助于以与消除了的小尺度结构相当的速度在大尺度结构中耗散能量。此外，越来越多的近期研究专注于通过应用有限元方法对这一模型进行理论分析和数值探索。在[5]、[6]中，Borggaard等人提出了一种两级有限元离散化方法。Huang等人[15]将两级牛顿迭代与最低等阶稳定化有限元方法结合使用。在[17]中设计了一级和二级Arrow–Hurwicz型迭代算法，这些算法在减少参数约束的同时提高了计算精度。Zhang和Huang[33]引入了一种Anderson加速技术，应用于Picard/Newton迭代框架，并结合了grad-div稳定化来求解Smagorinsky模型。这种方法增强了处理高雷诺数问题的能力。此外，还开发了许多与Smagorinsky模型相关的其他数值方法，包括两级惩罚有限元方法[30]、两级稳定化方法[1]、迭代方法[27]、并行有限元方法[35]和不相容有限元方法[25]等。

众所周知，由稳态Navier-Stokes方程产生的线性系统表现出鞍点现象。尽管牛顿和Picard迭代通常只需要很少的步骤即可收敛，但每次迭代产生的线性系统可能是非对称的鞍点问题，因此难以高效求解。当对流引起的惯性效应不受粘度支配时，这种困难更加明显，因为得到的速度分量包含大量非对称部分。另一方面，替代的非线性迭代方案，如具有小惩罚参数的迭代惩罚方法和Arrow–Hurwicz方法，可能会产生更简单的线性子问题，但它们通常需要更多的非线性迭代才能收敛。我们注意到增量Picard Yosida迭代方法[22]是解决这个问题的有效方法。通过使用增量压力公式和Yosida型代数分裂，该方法将方程中的速度和压力解耦，从而降低了问题的求解难度。特别是，压力校正问题被转化为具有对称正定Schur补数的线性系统，显著降低了线性求解器的成本。近年来，增量Picard–Yosida方法的应用得到了进一步的发展。Victoria等人将其与连续数据同化结合，用于求解稳态Navier–Stokes方程[9]。Li和Huang将其与模块化grad-div稳定化结合，以提高大雷诺数Navier–Stokes方程的计算效率[18]。Liu等人进一步将其与Anderson加速结合，以减少非线性迭代次数并提高收敛速度[19]。

对于系统(1.1)-(1.3)，Picard迭代定义如下：从初始近似u0开始，对于每个迭代索引k=1,2,…，寻求uk和pk满足
(uk?1??)uk?νΔuk???((Csδ)2|?uk?1|?uk)+?pk?γ?(??uk)=F，??uk=0。参数γ≥0在(1.4)中作为grad-div稳定化参数。除了在有限元方法中改善质量守恒和提高解决方案的整体精度外，grad-div稳定化还提供了另一个重要优势：它提高了用于求解相应鞍点系统的迭代方法的收敛性[10]。因此，引入了项?γ?(??u)来惩罚散度误差并减少压力误差对速度的影响[16]。

在实施有关(1.4)-(1.5)的有限元离散化后，可以将其表述为以下鞍点问题：
(AkB?B0)(u?kp?k)=(F?0)。这里，矩阵B?表示在压力有限元空间上定义的梯度算子，而B在速度有限元空间中作为散度算子。对应的速度和压力有限元函数分别为向量u?k和p?k，速度相关分量由矩阵Ak定义，向量F?来自函数F。在传统方法中，鞍点矩阵的分解是一个标准过程，主要是由于直接求解器在处理这类方程时效率低下，这些方程通常只适用于非常小尺度的问题。这些分解方法的一个显著困难是需要求解涉及Schur补数矩阵S的线性系统，定义为S:=BAk?1B?。将LU分解应用于从(1.4)和(1.5)步骤中得到的线性系统(1.6)，可以明确表示Schur补数矩阵：
(Ak0B?BAk?1B?)(IAk?1B?0I)(u?kp?k)=(F?0)。

增量Picard Yosida方法[22]基于增量Picard迭代，代表了一种渐进的改进方法。其关键特征是将增量压力更新策略与不精确的LU分解结合使用。这种改进使得Schur补数矩阵具有对称正定属性。为了进一步推进该方法，在(1.7)的第一个矩阵中将Ak近似为A?。迭代过程可以用矩阵形式表示为：
(Ak0B?BA??1B?)(IAk?1B?0I)(u?kδ?kp)=(F??B?p?k?10)。这里，矩阵A?对应于Ak的对称正定部分，而δ?kp表示压力更新中的增量。值得注意的是，A?是通过排除Ak中存在的非线性项构建的，使其相对于迭代索引k保持不变。通过将Yosida分裂与增量压力方案结合来重构Schur补数矩阵，增量Picard Yosida迭代[22]实现了显著的计算效率，并有效解决了经典Picard迭代的主要限制，包括求解线性系统的困难和解决方案精度不足的问题。

本文的主要目标是提出用于静止Smagorinsky模型的增量Picard Yosida迭代，并建立相应的迭代误差估计。它可以放在Rebholz等人[22]的框架内。然而，这项工作与[22]不同，因为模型不同。本文的组织结构如下：第2节展示了函数空间和一些符号，同时回顾了几个基本结果。第3节介绍了为静止Smagorinsky模型开发的增量Picard Yosida迭代，并提供了其误差估计的证明。第4节提供了一系列数值实验，证明了所提出迭代方法的有效性。最后一节总结了研究并讨论了未来研究的可能方向。

初步

根据[11]中规定的符号，对于整数l≥1和s≥0，我们指定了与标准勒贝格空间Ll(Ω)d和Sobolev空间Ws,l(Ω)d相关的范数‖?‖0,l和‖?‖s,l。H0s(Ω)d是在范数‖?‖s下C0∞(Ω)d的闭包。空间H?1(Ω)d是H01(Ω)d的对偶空间，赋予相应的范数‖?‖?1。具体来说，(?,?)和‖?‖0分别表示L2(Ω)或L2(Ω)d中的内积和范数。

接下来，我们定义了必要的函数空间

基于grad-div稳定化，我们给出了稳态Smagorinsky模型(1.1)-(1.3)的有限元离散化：
找到(uh,ph)∈(Xh,Mh)，使得对于所有(vh,qh)∈(Xh,Mh)，有γ(??uh,?vh)+ν(?uh,?vh)+(CSδ)2(|?uh|?uh,?vh)+b(uh,uh,vh)?(??vh,ph)=(F,vh)，(??uh,qh)=0。使用这种有限元对，我们得到了(3.1)-(3.2)的稳定性和误差估计，几乎与[5]、[30]中的论证相同。定理3.1

在定理2.1的假设下，由(3.1)-(3.2)定义的(uh,ph)满足‖?uh‖0≤Ψ(‖F‖?1)，‖?uh‖0

数值实验

本节提出了对所提算法的一些数值测试。采用最低阶Taylor-Hood有限元来近似速度和压力场，如果迭代过程超过100次迭代，则结果标记为“D?”。此外，符号it#表示满足停止标准所需的非线性迭代次数，停止标准定义为EST(uhk)=1.0e-6。

结论

本文应用增量Picard Yosida迭代来求解静止Smagorinsky模型。通过结合grad-div稳定化、Yosida型代数分裂和增量压力公式，所提出的方法解耦了速度和压力变量，降低了求解鞍点系统的难度。在某些假设下证明了算法的收敛性，数值结果表明该方法改善了对散度的控制。