混合范数鞅哈代空间中的真实插值方法

《Journal of Mathematical Analysis and Applications》：Real interpolation for mixed norm martingale Hardy spaces

　　摘要
在本文中，我们研究了混合范数鞅哈代空间的实值插值问题。我们的主要工具依赖于混合范数鞅哈代-洛伦茨空间??→??,??的原子分解，结合了混合范数勒贝格空间的实值插值定理。

引言
作为经典勒贝格空间的推广，混合范数勒贝格空间最初由Benedek和Panzone在1961年引入。他们研究了概率空间(Ω??,???,???)的乘积空间（Ω,?,?），其中Ω= ∏????=1Ω??，?和?分别由∏????=1???和∏????=1???生成。对于一个指数向量→?? := (??1,…,????)∈(0,∞]??，混合范数勒贝格空间??→???(Ω)包含所有满足以下条件的可测函数f：(准-)范数‖??‖??→???(Ω)：=?{ { {?{ { {?∫Ω1??? ? ??∫Ω??|???(??1,…,????)|?????????????? ? ???????1??????????1?{ { {?{ { {?1??1<∞。当某个?? ∈{1,2,…,??}时，若????= ∞，则需要进行标准修改。此外，他们还建立了??→???(Ω)的对偶定理和H?lder不等式。Lizorkin [23] 和Chen与Sun [7] 分别研究了混合范数勒贝格空间上卷积算子和分数积分的有界性。在加权混合范数设置中，Kurtz [22] 分析了哈代-利特尔伍德极大函数，并进一步证明了包括双希尔伯特变换在内的奇异积分算子的有界性结果。关于混合范数勒贝格空间的更多文献，我们建议读者参考[1]、[2]、[6]、[8]、[10]、[15]、[17]、[18]、[26]、[27]、[30]、[36]。

受到Benedek和Panzone关于混合范数勒贝格空间基础工作的启发，混合范数函数空间的研究迅速发展。此后提出了许多相关空间并进行了研究，包括混合范数抛物线函数空间[34]、混合范数巴拿赫函数空间[5]、混合范数洛伦茨空间[11]、混合范数洛伦茨-马辛凯维奇空间[28]、[29]、混合范数莫雷空间[32]、各向异性混合范数哈代空间[9]等。与调和分析中的哈代空间理论的发展并行，Garsia [12] 在1973年首次研究了经典鞅哈代空间，并由众多作者进一步发展；例如，参见[24]、[31]、[42]。最近，Szarvas和Weisz在[37]中开始了混合范数鞅哈代空间的研究，后来他们在[38]中建立了相关的原子分解、Doob极大不等式和Burkholder–Davis–Gundy不等式。在后续的工作[43]中，Weisz利用精细的原子分解将????????→???(→??)表征为混合范数鞅哈代空间的对偶空间，并证明了相应的John–Nirenberg不等式。另外，Zhang等人[45]为弱混合范数鞅哈代空间构造了原子分解，并利用这些分解结果推导出了保证作用在这些空间上的σ-次线性算子有界性的充分条件。鞅哈代空间的实值插值是一种在鞅分析中非常有用的工具，最初由Weisz提出；例如，参见[41，定理5.11]。利用原子分解的论证，他证明了对于所有0< ?? ≤∞和0< ??< 1，(??????,????∞)??,??=??????/(1???),??。Jiao等人[21]后来将这种插值恒等式推广到了变指数框架。近年来，鞅函数空间的插值问题引起了大量的研究兴趣。Long等人[25]研究了鞅哈代-奥尔利茨空间的实值插值，而Hou等人[16]获得了连接非交换鞅BMO空间和鞅哈代-奥尔利茨空间的复数插值公式。此外，Hao等人[13]将[21]的主要结论扩展到了变鞅哈代-洛伦茨-卡拉马塔空间。关于弱型鞅哈代空间的更多插值陈述，我们建议读者参考[19]、[20]、[25]、[35]。

本文的中心目标是利用原子分解来发展混合范数鞅哈代空间的实值插值理论，这将Weisz的经典结果推广到更广泛的设置。我们的主要插值陈述如下：
定理1.1
设→??= (??1,??2,…,????)∈(0,∞)??且0< ?? ≤∞。假设0< ??< 1满足1→??=1???→??。那么(??→??,??∞)??,??=??→??,??，其中X代表????、P或Q。
结合定理1.1和重排定理（见引理2.6），我们立即得出以下推论，并省略其证明。
推论1.2
设→??,→??0,→??1 ∈(0,∞)??满足→??0= ???→??1，其中??> 0是一个常数。设0< ??0,??1 ≤∞且0< ??< 1。假设0< ?? ≤∞且→??0 ≠→??1。那么(??→??0,??0,??→??1,??1)??,??=??→??,??,1→??=1???→??0+??→??1，其中X代表????、P或Q。此外，(??→??,??0,??→??,??1)??,??=??→??,??,1??=1?????0+????1。

在本文中，?、?+和?分别表示整数集、非负整数集和正整数集。我们用c表示一个绝对正常数，其值可能在不同行中变化。符号?? ???表示存在一个常数c（或依赖于参数K的????），使得?? ??????。等价关系?? ≈??意味着?? ??? ???。给定??,?? ∈?且??< ??，我们写作→?? := (??1,??2,…,????)∈(??,??)，当且仅当每个坐标都满足???? ∈(??,??)。对于任何→??,→?? ∈(0,∞]??和标量?? ∈?，缩放关系→??= ???→??被解释为对于所有1 ≤?? ≤??，有????= ???????。定义??? := min?{??1,…,????}。对于每个→?? ∈(0,∞]??，其共轭指数向量定义为(→??)′ := (??′1,…,??′??)，其中每个坐标满足1????+ 1??′??= 1，对于??= 1,…,??。

混合范数勒贝格空间和混合范数洛伦茨空间
设(Ω,?,?)是由概率空间(Ω??,???,???)组成的乘积概率空间，对于1 ≤?? ≤??。具体来说，Ω= ∏????=1Ω??，而?和?分别由∏????=1???和∏????=1???生成。设→?? := (??1,…,????)∈(0,∞]??表示一个指数向量。混合范数勒贝格空间??→???(Ω)（简称??→??）包含所有满足以下条件的可测函数f：‖??‖??→??:=?{ { {?{ { {?∫Ω1??? ? ??∫Ω??|???(??1,…,????)|????????????? ? ???????1??????????1?{ { {?{ { {?1??1<∞，当某个索引i的????= ∞时需要进行标准修改。如果→??= (??,…,??)或??= 1，则??→??。

??→??的原子分解
在经典鞅理论中，原子分解最初由Herz [14]作为关键工具引入，并由Weisz [40]、[41]进一步发展。通过相应的原子分解，可以建立许多对偶性陈述、有界性估计和插值定理。在本节中，我们定义了三种适应混合范数勒贝格空间的原子鞅哈代-洛伦茨空间。此外，我们还研究了五种混合范数鞅哈代-洛伦茨空间的原子特征。

混合勒贝格空间和鞅洛伦茨-哈代空间的实值插值
在本节中，我们给出了定理1.1的证明。在验证我们的主要陈述之前，我们首先为混合范数鞅勒贝格空间推导出一个插值恒等式。
命题4.1
设→??= (??1,??2,…,????)∈(0,∞)??，0< ?? ≤∞，且0< ??< 1。假设1→??=1???→??。那么(??→??,??∞)??,??=??→??,??，具有等价的准范数。

在证明命题4.1之前，我们确定了几个辅助符号。对于任何可测函数f，定义??(??)=∥??{??∈Ω:|???(??)|≥??}∥→??，???>0。让????(??)表示h的广义逆，对于所有??> 0定义为????(??)=CRedi。

作者贡献声明
所有作者撰写了主要的手稿文本，并对手稿进行了审阅。

伦理批准
不适用。

Hongli Tian | Run Zhang | Xuming Zhang