在磁机械作用下，软磁活性薄膜-基底系统产生的褶皱现象

《Journal of the Mechanics and Physics of Solids》：Magneto-mechanically induced wrinkling of soft magneto-active film-substrate systems

　　• 为褶皱的形成推导出了精确和近似的分岔公式。• 确定了临界拉伸、磁场和褶皱波长。• 确定了褶皱发生的阈值刚度比和预拉伸。• 理论预测通过褶皱实验得到了验证。• 颗粒体积分数调节了磁机械耦合和褶皱不稳定性。• 磁场控制的褶皱可以实现可调的光学反射。

引言
软磁活性（SMA）材料，如磁活性弹性体，代表了一类非常有前景的智能材料，能够对磁场刺激做出反应（Ginder等人，2002年；Kim等人，2018年；Mukherjee和Danas，2022年；Rigbi和Jilkén，1983年）。这些SMA材料在简单的、远程的、可逆的磁场驱动下可以发生显著的变形（Bastola和Hossain，2020年；Li等人，2025年）。由于这些优异的磁机械耦合特性，SMA材料在学术界和工业界引起了极大的兴趣，预计它们在许多领域有广泛的应用前景，包括远程执行器和传感器（Kim等人，2018年；Tian等人，2011年）、软体机器人和生物医学设备（Makarova等人，2016年；Tang和Ren，2024年；Yang等人，2023年）、可调谐谐振器和减震器（Hoang等人，2010年；Jia等人，2024年）以及可调谐波器件（Alam等人，2025年；Jiang等人，2026年；Wu等人，2024年；Yu等人，2018年）。因此，学术界持续关注于建立全面的非线性磁（粘）弹性理论，以描述SMA材料的耦合磁机械响应（Danas等人，2012年；Destrade和Ogden，2011年；Dorfmann和Ogden，2004年；Dorfmann和Ogden，2014年；Maugin，1988年；Mukherjee和Danas，2022年；Saxena等人，2013年；Tiersten，1964年）。最近，Rambausek等人（2022年）开发了一种针对磁流变弹性体的通用有限应变有限元计算框架，能够捕捉在复杂磁机械载荷下硬磁性和软磁性颗粒系统的耦合磁机械和粘弹性响应。

薄膜-基底系统的褶皱是力学中的一个经典课题，其应用范围从人类皮肤中的褶皱生成到材料模板、组装及相关领域（Alawiye等人，2019年；Audoly和Boudaoud，2008年；Genzer和Groenewold，2006年；Qiu等人，2025年；Wang等人，2023年）。对于纯弹性薄膜-基底系统，早期的研究通常检查了关于基础状态的线性化稳定性（Cai和Fu，2000年；Shield等人，1994年），随后进行了更深入的研究，包括褶皱、后屈曲、半解析方法和有限元模拟（Alawiye等人，2020年；Alawiye等人，2019年；Cai和Fu，1999年；Cao和Hutchinson，2011年；Cao和Hutchinson，2012年；Fu和Ciarletta，2015年；Hutchinson，2013年；Liu和Liu，2026年）。麦克斯韦方程与非线性连续介质力学之间的耦合为分析SMA结构（包括薄膜-基底系统）的不稳定性带来了重大挑战。然而，显著且可逆的磁机械耦合也使得磁场诱导的褶皱成为一种有效的表面形态编程和相关功能应用的策略。例如，Kirgizov等人（2025年）展示了外部磁场可以触发SMA薄膜上微尺度褶皱凸起的形成，从而实现可逆的表面纹理重建以及有效调节表面粗糙度和疏水性，如图1(a)所示。Oh等人（2025年）通过嵌入硬磁性颗粒阵列的SMA薄膜的磁场诱导褶皱来控制多模态信息的交互，如图1(b)所示。先前的研究还展示了使用纯磁活性弹性体实现的可重构光学表面和衍射光栅。这些方法主要依赖于磁性颗粒的微观结构重组来改变表面粗糙度（Glavan等人，2019年），或者利用磁性形状记忆效应将物理印章暂时压印到弹性体中（Lov?in等人，2021年）。

与独立的SMA薄膜相比，SMA薄膜-基底系统提供了更好的设计灵活性。通过调整薄膜和基底的几何和机械性能，可以有效地控制褶皱的特征和演变行为，从而扩展了它们在智能表面和自适应功能设备中的潜力。对于SMA薄膜-基底系统，Psarra等人（2017年；Psarra等人，2019年）通过单轴预压缩实验研究了非线性SMA薄膜/基底的稳定性和分岔后的行为，证明分岔后的响应可以用来主动调节粘接在软非磁性（即被动）基底上的SMA薄膜的褶皱诱导表面粗糙度。这些研究为SMA薄膜-基底系统在单轴压缩载荷下的磁机械不稳定性和分岔后行为提供了重要的实验数据和分析。在本工作中，我们不关注完整的分岔后分析或实际设备的定量优化，而是明确推导并通过实验验证平面应变载荷下磁场诱导褶皱的起始条件。

从理论角度来看，早期的研究调查了梁和板结构的磁弹性屈曲，并后来不断完善了基础模型，以更好地协调理论预测与实验观察（Gerbal等人，2015年；Miya等人，1978年；Moon和Pao，1968年；Wallerstein和Peach，1972年）。在非线性磁弹性框架内，一些研究人员探索了各向同性、有限变形SMA半空间的表面不稳定性（Otténio等人，2007年；Shahsavari和Saxena，2025年），受平面应变载荷的矩形SMA块的屈曲模式（Kankanala和Triantafyllidis，2008年），受平面应变和单轴载荷的SMA板材的褶皱（Wu和Destrade，2021年），以及各向异性SMA多层结构的宏观不稳定性（Rudykh和Bertoldi，2013年）。对于SMA薄膜-基底系统，Danas和Triantafyllidis（2014年）提出了一种基于通用有限应变二维（2D）连续介质建模的解析解，表明对于足够柔软的基底，在横向磁场作用下存在有限波长的屈曲模式。Rambausek和Danas（2021年）研究了在横向磁场和平面双轴预压缩共同作用下单层和多层SMA薄膜-基底系统的褶皱行为，而Shahsavari等人（2026年）分析了在有限变形和外部磁场作用下的分层磁弹性半空间的表面不稳定性起始条件。尽管已经开发了磁弹性层/基底分岔的解析有限应变处理方法，但直接揭示它们对机械和磁参数依赖性的近似分岔方程和紧凑的封闭形式渐近起始公式仍然有限。

这篇简短的文献综述的结论是，尚未从理论和实验上详细分析在大机械磁平面应变载荷下粘接在软超弹性基底上的磁弹性薄膜的潜在不稳定性和图案形成（见图2）。本工作结合了SMA材料（一种智能材料）和薄膜-基底系统的优势，研究了在平面应变载荷和均匀横向磁感应场作用下粘接在超弹性基底上的软磁弹性薄膜的稳定性（见图2(b2)）。在这里，我们采用了Otténio等人（2007年）和Dorfmann和Ogden（2014年）开发的非线性磁弹性理论及相关线性化理论，推导出SMA薄膜-基底系统褶皱的控制方程和分岔方程。为了克服传统基于位移方法的复杂性，我们采用了Stroh公式和表面阻抗方法（Fu，2005年；Su等人，2020年；Su等人，2018年；Wu和Destrade，2021年；Wu等人，2026年）来获得褶皱模式分岔方程的显式表达式（见图2(c)）。我们考虑了两种SMA薄膜的磁弹性模型（理想模型和Langevin模型）以及一种机械载荷模式（平面应变载荷）（见图2(b2)）。我们还推导出了不需要矩阵求逆的近似分岔方程，这提高了计算结果的数值稳定性。最后，我们进行了实验验证（见图2(d)），结果显示该理论可以准确预测平面应变和单轴载荷条件下的实验结果。我们的结果表明，只要材料参数选择得当，就可以通过磁机械载荷主动调节软薄膜-基底系统中褶皱的形成。特别是，我们找到了褶皱出现时的临界拉伸和临界磁感应场的显式公式，以及相应的临界褶皱波长。我们考察了两种载荷路径场景。在第一种场景中，施加的磁感应场固定为无牵引平衡值，然后施加平面机械载荷。在第二种场景中，预拉伸λ固定在一个给定的收缩或伸展水平，然后增加磁感应场。

分析分岔结果揭示了一个阈值剪切模量比和预拉伸（分别表示为rcr0和λcr0），在该阈值以下，SMA薄膜-基底系统在纯机械压缩下会形成褶皱，而不需要施加磁感应场。不出所料，这对应于非耦合超弹性系统的屈曲分岔标准。然而，在这些阈值以上，薄膜保持平坦状态，直到足够的磁场触发不稳定性，无论是在收缩还是伸展状态。这种行为提供了一个实用的设计指南：通过选择刚好高于rcr0和λcr0的基底与薄膜的剪切模量比和预拉伸，可以确保系统在机械载荷下保持平滑状态，然后通过施加小的磁感应场按需形成褶皱（注意，如果系统在伸展状态下预先拉伸，则需要较高的磁感应场才能形成褶皱）。比较理想模型和Langevin模型，我们还发现，在强磁感应场下饱和磁化很重要，而在弱磁场下则没有显著影响，理想模型就足够了。

使用磁场主动调节表面不稳定性是软材料研究中的一个有前途的策略。这种方法与开发可变形软体机器人部件、灵活可拉伸电子设备、智能表面工程和受生物启发的接口相关领域的关键努力一致，在这些领域中，按需重构是必不可少的要求。我们的结果不仅阐明了磁诱导褶皱的机制，还说明了如何利用磁感应场主动调节表面图案，从而扩大了功能性软材料的设计范围。

本文的其余部分组织如下。第2节中，我们为SMA薄膜/弹性基底系统制定了线性化稳定性问题，首先描述了有限均匀变形，然后将增量控制方程转化为Stroh形式，并将其与表面阻抗方法结合，以推导出精确的、近似的和渐近的分岔条件。第3节介绍了实验设置和测量，并将理论预测与实验结果进行了比较。它还报告了对不同载荷路径、剪切模量比、材料模型和颗粒体积分数的临界拉伸、临界磁感应场和相应临界褶皱波数的详细参数研究。第4节总结了主要结果，并提出了一个概念验证实验，强调了磁机械褶皱对磁可调光学表面及相关应用的影响。

实验
对于我们的实验，我们设计了类似于Psarra等人（2017年）报告的设置。目的是利用所提出的理论来验证他们在单轴压缩下的褶皱结果，将研究扩展到平面应变压缩情况，并进一步评估我们理论框架的预测能力。因此，我们的实验薄膜-基底系统由一个边长为40毫米的弹性立方体组成，该立方体由各向同性的磁敏感弹性体构成。

结论
我们提出了一个全面的理论分析，研究了在横向磁感应场和平面机械载荷共同作用下粘接在半无限超弹性基底上的SMA薄膜的褶皱不稳定性，使用了两种类型的neo-Hookean磁弹性材料模型（理想模型和Langevin模型）。通过利用Stroh公式和表面阻抗方法的优势，我们成功推导出了精确和近似的分岔方程。

作者贡献声明
Linghao Kong：撰写——原始草稿、方法论、形式分析、概念化。
Wei Jiang：撰写——审阅与编辑、可视化、软件。
Congshan Liu：撰写——审阅与编辑、可视化、资金获取。
Weiqiu Chen：撰写——审阅与编辑、监督、资金获取、概念化。
Michel Destrade：撰写——审阅与编辑、撰写——原始草稿、验证、监督、形式分析、概念化。吴斌：写作、审稿与编辑；利益冲突声明
作者声明他们没有已知的财务利益冲突或个人关系，这些因素可能会影响本文所报道的研究工作。
作者名单：孔令豪（Kong Linghao），江伟（Jiang Wei），刘从山（Liu Congshan），陈伟秋（Chen Weiqiu），米歇尔·德斯特拉德（Michel Destrade），吴斌（Bin Wu）