医院病床数量对高阶网络中疾病传播的影响

《Physica A: Statistical Mechanics and its Applications》：Effect of the number of hospital beds on disease spreading in higher-order networks

　　

**摘要**

针对高阶网络中的传播动力学已开展了大量研究。然而，现有大多数模型主要关注传播率的变化性，通常将恢复率视为常数。为了研究非线性恢复率对疫情传播的影响，我们在高阶疫情模型中引入了床位容量。首先，我们构建了一个易感-感染-恢复（SIR）模型，其中恢复率根据感染规模和床位容量动态响应，从而系统地研究床位容量对疾病传播的影响。随后计算了基本再生数。当R?<1时，疫情不会导致大规模暴发。当R?>1时，疫情进入爆发式增长阶段。此外，通过将恒定恢复率模型与非线性恢复率模型进行比较，所提出的模型准确地捕捉了感染水平与医疗资源之间的动态反馈关系。虽然增加床位容量能有效抑制感染峰值，但相关收益受到显著的边际递减规律影响。理论推导和数值证据提供了对高阶网络和床位容量如何共同影响疫情结果的全面理解。

**引言**

复杂网络理论为理解传染病传播机制提供了强大的理论框架[1], [2], [3]。大量基于经典传播模型（如易感-感染-易感（SIS）模型和易感-感染-恢复（SIR）模型）的研究，已深入考察了网络结构特征、传播阈值以及各种免疫策略对疫情动力学的影响[4], [5], [6], [7], [8], [9], [10]。这些研究通常将人际接触抽象为网络中的节点和边，并假设个体之间的相互作用仅以成对方式发生[11], [12]。然而，在现实世界中，疾病传播往往发生在群体环境中，如家庭、工作场所和大型人群等[13]。这些高阶相互作用涉及三人或更多人的同时接触，无法用经典网络的边来充分描述。

随着单纯复形和超图等数学工具的引入，研究人员开始系统地探索高阶相互作用对传播动力学的影响[14], [15], [16], [17]。与经典网络不同，高阶网络允许超边或单纯形连接任意数量的节点，能够同时描述多个人之间的群体接触事件。因此，该框架更贴近现实社会的接触模式[18], [19]。因此，关于高阶网络中传染病动力学的研究应运而生，并迅速成为网络科学与流行病学交叉领域的前沿焦点。

近年来，高阶网络中的传播动力学已被广泛研究，所得发现不断丰富我们对复杂系统中高阶相互作用机制的理解。Iacopini等人[18]首次提出了单纯复形上的高阶社会传染模型，揭示了群体相互作用可在系统中诱发不连续相变。Cisneros-Velarde等人[20]在单纯复形上建立了多组SIS模型，并推导了无病平衡和地方性平衡共存的条件。Chowdhary等人[21]研究了时变单纯网络上的SIS传播，发现疾病是否达到稳态取决于网络的时变特性。Nie等人[22]引入网络时变性，探索了高阶网络中两种竞争疾病的扩散动力学。Li等人[23]研究了超网络中疾病与信息的协同演化，揭示了高阶相互作用可丰富相变景观。Wang等人[24]将高阶网络的概念从个体层面扩展到群体层面，发现群体层面的高阶效应可使系统的相变从连续转变为不连续。显然，高阶相互作用显著影响疾病传播过程。

然而，大多数现有高阶传播模型依赖于一个简化假设：个体的恢复率μ为常数[18], [25]。这忽略了现实疫情控制中的关键约束，如有限的医疗资源[26], [27], [28], [29], [30]（如医院床位、医护人员和药物）以及个体特征的异质性[31], [32], [33]（如年龄、基础疾病和免疫差异）。特别是在暴发阶段，有限的医疗资源往往导致大量患者无法及时接受治疗，导致实际恢复率随着感染人数的增加而动态下降[34], [35]。在高阶相互作用背景下，关于这一关键反馈机制的研究仍处于起步阶段。

事实上，研究已开始关注恢复率的动态变化如何调节疫情传播。Shan和Zhu[36]在SIR模型中引入了依赖医院床位的非线性恢复率，揭示了医疗资源变化引发的反向分岔等复杂动力学行为。B?ttcher等人[30]将资源约束纳入SIS模型，发现超过临界治疗成本会触发不连续相变和爆发式疫情传播。Schlickeiser和Kr?ger[37]建立了时变恢复率SIR模型并证明了其适定性。Guo等人[38]证明了恢复率的异质性显著影响完全图上的系统统计波动特性。总体而言，这些研究从不同角度超越了恒定恢复率假设，为理解动态恢复率在疫情动力学中的作用奠定了重要基础。

为了更深入地探索这一方面，我们将医院床位资源约束机制引入高阶网络流行病学疾病动力学模型[36]。将医疗资源抽象为可用医院床位容量b，并构建了依赖于当前感染密度和可用医院床位容量的恢复率函数μ(I,b)。研究发现基本再生数R?是决定疫情传播的关键参数。研究还发现，当感染密度接近或超过床位容量时，恢复率μ(I,b)下降，反映了现实中医疗系统超负荷运转的状况。因此，本文所采用的非线性恢复率模型能够实时响应医疗系统工作负荷的变化，更准确地刻画疫情演化过程中的非线性动力学特征，展现出更接近现实的传播行为，从而为公共卫生决策提供理论参考。

本文组织结构如下：第2节给出模型描述。第3节通过理论计算，得出基本再生数、峰值阈值以及峰值与医院床位容量之间的相关性。第4节展示了在单纯复形上的仿真结果。第5节总结了主要结论。

**章节摘要**

**单纯复形**

单纯复形是代数拓扑中用于描述高维空间的数学工具[39]。它通过组合称为单纯形的基本几何单元来构建复杂拓扑空间。k-单纯形是由k+1个顶点构成的k维几何实体。例如，0-单纯形是一个点（顶点）；1-单纯形是由两个顶点形成的线段；2-单纯形是由三个顶点及其两两连接的三条边构成的三角形；3-单纯形是由四个顶点...

**基本再生数**

由于I=0，恢复率μ(I,b)近似其最大值μ?。I=0附近的感染密度演化可由线性化方程 dI/dt=(β?k??μ?)I 近似。由此线性近似，我们推导出基本再生数，记为R?。其表达式为 R?=β?k?/μ?。若R?>1，则导致疫情暴发。相反，若R?<1，感染无法自我维持，疫情无法暴发。从公式(10)中可以观察到的一个关键点是暴发阈值依赖于...

**数值模拟**

在数值模拟中，我们采用第2节中定义的网络生成规则来构建具有可调参数的高阶网络结构。网络规模为N=1000，初始状态下随机选取两个节点作为感染节点。一阶平均度?k?=20，二阶平均度?kΔ?=5。成对传播率β=0.1，高阶传播率βΔ=0.05，恢复率μ动态关联...

**结论**

将归一化床位容量纳入高阶网络流行病学模型，为理解现实条件下疾病疫情动力学提供了一种关键方法。基于在单纯复形上定义的高阶疫情模型，本文构建了一个恢复率μ随感染密度和归一化床位容量动态变化的SIR疫情模型。该研究系统地考察了归一化...

**CRediT作者贡献声明**

刘玉琪：写作——审阅与编辑，写作——初稿撰写，可视化，验证，形式化分析。宋海涛：写作——审阅与编辑，监督，概念化。贾中伟：监督，方法论。金震：方法论，概念化。

**利益冲突声明**

作者声明不存在已知的竞争性经济利益或个人关系，这些利益或关系可能影响本文所述工作的客观性。

**致谢**

我们感谢编辑和四位匿名审稿人提出的宝贵意见和建议，这些意见和建议极大地改进了我们的工作。本研究得到国家自然科学基金（12671600, 12231012）和山西省奖学金委员会（2023-014）的支持。

刘玉琪 | 宋海涛 | 贾中伟 | 金震
山西大学复杂系统研究中心，山西太原 030006，中国