非线性量子场中的经典孤子

《Physica D: Nonlinear Phenomena》：Classical solitons from nonlinear quantum fields

　　

## 摘要

我们重新审视了经典孤子如何从非线性量子场中涌现这一长期悬而未决的问题。我们表明，量子场中经典性的建立可以从n粒子系统的薛定谔方程的基态解——即具有δ函数相互作用势的多体波函数——来理解。在大n极限下，由这种n粒子波函数所决定的光子密度分布收敛于经典孤子所固有的特征双曲正割场强分布。作为这种非线性场动力学中经典性建立的能量读出，原始量子场的n粒子束缚态能量在n→∞极限下重现了经典孤子的束缚能。这些发现表明了一种具有物理意义的极限跃迁，它将量子场的束缚态与其经典对应物联系起来，从而揭示了经典孤子动力学背后的量子场微观机制，并揭示了孤子中光子波函数的多粒子、束缚态结构——这是在线性区量子波动力学中未被观测到的。

## 引言

孤子现象在光学、原子物理、固态物理和核物理，以及地球科学、生物学、超快激光科学和光子技术中发挥着深远的作用[[1], [2], [3], [4], [5], [6], [7]]。在非线性波理论中，孤子作为一类突出的解出现，其中非线性效应被调整为平衡导致波形展宽的作用力，如光学中时间孤子和空间孤子中的色散和衍射[4,[8], [9], [10], [11]]。特别重要的是可解析积分方程的孤子解，如一维非线性薛定谔方程(NSE)和Korteweg–de Vries (KdV)方程。通过著名的逆散射方法[[12], [13], [14], [15], [16], [17]]可以获得的这类解，为分析各种物理、化学和生物化学系统中的非线性波现象提供了强有力的工具。值得注意的是，NSE不仅在经典形式下可积，其量子场版本同样可积。作为非线性量子场论的里程碑，量子场NSE的可积性已被证明[[18], [19], [20], [21], [22], [23], [24], [25], [26], [27], [28]]，使用了Bethe态假设方法[29] [[23], [24], [25], [26],28]以及逆散射方法的量子推广[[30], [31], [32], [33]]。这些方法为分析各种量子体系奠定了基础，涵盖自旋链[18,19]、格子模型[[20], [21], [22]]、具有δ函数相互作用的多体玻色子系统[[23], [24], [25], [26], [27]]以及(1+1)维Dirac场中自相互作用的有质量Thirring模型[34] [28]。将量子场NSE方法扩展到光学领域，已证明可以洞察光学孤子的量子性质以及光学场波形非线性动力学背后的量子化结构[[35], [36], [37], [38], [39], [40]]。

通过Bethe假设[[23], [24], [25], [26],28]或量子逆散射[[30], [31], [32], [33]]可获得的量子场孤子解，与经典孤子理论中已知的特征孤子波形截然不同。寻找一种将量子场非线性薛定谔方程的Bethe态解与经典场孤子特征波形连接起来的普适极限跃迁，长期以来一直是量子科学和非线性波物理中最强烈的驱动力之一[[39], [40], [41], [42], [43], [44], [45]]。然而，这种连接面临数学上的困难，因为它通过量子NSE哈密顿量的非本征态波包来实现，导致内部矛盾，如量子色散的出现[45]，这与孤子的存在不相容。具体而言，早期的全面研究（例如，见参考文献44、45的综述）已表明，由Bethe态|n,P,t〉组成的空间局域化波包|ψs〉=∑n an∫g n(P)|n,P,t〉dP——其中an服从泊松分布，gn(P)服从高斯分布——计算出的量子化NSE场的期望值确实表现出特征双曲正割分布。然而，与经典孤子不同，这类波包会受到时间展宽的影响[39,45]。这一结果与经典孤子造成了令人不安的脱节，而经典孤子的标志性特征——整个经典孤子概念的核心——是它能够由于色散和非线性之间的精确平衡而在整个演化过程中保持波形不变。

在本研究中，我们重新审视了经典孤子动力学如何从量子场演化中涌现这一长期存在的问题。本文对量子场NSE的分析表明，量子场中经典性的建立可以从n粒子系统的薛定谔方程的基态解——即具有δ函数相互作用势的多体波函数——来理解。在大n极限下，由这种n粒子波函数所决定的光子密度分布被证明收敛于经典孤子所固有的特征双曲正割场强分布。作为这种非线性场动力学中经典性建立的能量读出，原始量子场的n粒子束缚态能量在n→∞极限下重现了经典孤子的束缚能。

## 各节摘要

### 经典场与量子场的非线性演化

为建立分析框架，我们考虑用玻色子产生和湮灭算符ψ?(x,t)和ψ(x,t)描述的量子场，其满足对易关系[ψ^(x1,t),ψ^?(x2,t)]=δ(x1?x2)，[ψ^(x1,t),ψ^(x2,t)]=[ψ^?(x1,t),ψ^?(x2,t)]=0，其演化由哈密顿量H^通过标准演化方程i?tψ^=[H^,ψ^]支配。取哈密顿量为H^=∫dx[?xψ^??xψ^?κψ^?ψ^?ψ^ψ^]，由方程(1)–(3)得到量子场NSE：i?tψ^+?x2ψ^+2κψ^?ψ^ψ^=0。在薛定谔绘景中，量子场NSE……

### 经典场与量子非线性场的束缚态解

具有吸引非线性(κ>0)的经典场和量子场NSE均已知存在精确的束缚态解[[1], [2], [3], [4], [5], [6], [7],[18], [19], [20], [21], [22], [23], [24], [25], [26], [27], [28]]。经典NSE[方程(9)]的束缚态解，通常被称为孤子，为建模各种极其广泛的物理现象提供了框架，包括水波、光学场、自旋链系统、格子位错、孤立波……

### 非线性场的多体束缚态

为了深入了解经典孤子动力学如何从量子场演化中涌现，我们在Bethe假设启发的n粒子态矢形式[参见方程(13)]中寻找方程(7)的解：|ψn〉=∫dx1...dxn?N(x1,...,xn)ψ?(x1)...ψ?(xn)|0〉，其中?N(x1,...,xN)是尚待确定的依赖于位置的振幅，|0〉是相应Fock空间中的真空态，满足ψ(x)|0〉=0，〈0|ψ?(x)=0，〈0|0〉=1。当NSE哈密顿量H^ [方程(4)]作用于这样的态矢时，得到H^|ψN〉=∫dx∫d……

### 经典孤子的涌现

我们现在看到，在大n极限下，由作为n粒子δ函数相互作用势系统的薛定谔方程基态解的n粒子波函数?n(x1,…,xn) [方程(30)]所决定的粒子密度分布ρn(x) [方程(34)]，收敛于双曲正割场强分布。这一结果为理解经典孤子波形如何与量子场联系并最终从中涌现提供了重要洞察。作为对这一……的表述……

### 量子孤子与经典孤子：来自平均场分析的洞察

为了更深入地理解上述分析中建立的量子孤子与经典孤子之间关系的物理内涵，我们采用多粒子哈密顿量(27)基态本征函数的自洽Hartree近似解。该解通过对哈密顿量H^的期望值〈φH|H^|φH〉进行最小化，以试探波函数φH=n1/2∏j=1nφ(xj)获得。试探波函数(43)是n个相同的、位置平移的……的乘积。

## 结论

本文对量子场和经典场非线性薛定谔方程的分析表明，量子场中经典性的建立可以从n粒子系统的薛定谔方程的基态解——即具有δ函数相互作用势的多体波函数——来理解。在大n极限下，由这种n粒子波函数所决定的光子密度分布被证明收敛于特征双曲正割场……

## CRediT作者贡献声明

A.M. Zheltikov：概念化、形式分析、资金获取、调查研究、方法论、撰写——初稿、撰写——审阅与编辑。