思考快与慢：经典选民模型中直接模仿与累积式模仿的比较

《Physica A: Statistical Mechanics and its Applications》：Thinking fast and slow: Direct vs accumulation-based imitation in the classical Voter Model

　　

**摘要**

模仿是社会动物行为库中的重要组成部分，它能够促进信息的快速传递并降低风险，从而帮助物种适应环境并生存。虽然"选民模型"（Voter Model, VM）是社会科学物理中用于探索模仿现象的主要参考模型，但经典版本的该模型集中在直接模仿上，即个体在观察到邻居的选项后，立即复制其持有者的选项。然而，本文中我们引入了基于累积的模仿这一可能性，即需要长时间且持续的观察邻居的选择，才能触发模仿行为。我们通过解析和数值方法证明了，由每种机制（直接模仿与基于累积的模仿）导致的达成共识的路径存在显著差异：在经典VM中，共识是通过共享某一选项的个体数量波动而达成的；而在基于累积的模仿情形中，初始阶段是缓慢的（此时两种选项在群体中拥有相近的支持度），随后一旦出现占主导地位的选项，就会出现快速自我强化的增长。因此，基于累积的机制与直接机制会根据它们整合外部信息的速度不同，以不同的方式相互影响。我们发现，存在某些情境下两种机制可以"协同作用"以加速共识状态的达成，也存在其他情境下基于累积的信息变得有害——因为它太慢而无法对选项动态产生任何影响，导致系统出现冻结态。

**引言**

模仿效应在塑造跨物种生物的行为方面发挥着关键作用，使生物能够避免反复进行个体探索所付出的代价。这一现象——操作性地定义为复制他人行为，即使不存在社会促进或刺激增强——在试错成本高昂或危险的场景中尤其重要[1]，[2]。

微生物之间的趋化相互作用——例如群体感应中的情况——可以被视为模仿的一种原始形式，在此过程中，细菌根据自身基因表达的调整来匹配群体状态[3]，[4]。更一般地，模仿涵盖了一个从简单传染效应（如打哈欠或鸟群移动）到复杂且仍部分未知的复制机制的行为与认知现象的连续体[5]，[6]，[7]。实证研究表明，动物通过观察同类直接采用觅食技巧、躲避捕食者的行为以及社交手势，从而加速适应性特征在种群中的传播[8]，[9]。在灵长类动物中，使用"照我做"范式的受控实验展示了高保真度的运动模仿[10]，[11]；许多鸟类提供了令人信服的鸣叫模仿证据[2]，[7]；海豚则展现出即时的鸣叫和运动模仿[5]，[12]，这只是举出的一些例子。

模仿通常与前瞻——即对结果的预期——相联系。动物在模仿时往往带有对未来收益的预期，例如提高筑巢成功率或更安全地扩散[11]，[13]。在某些情境中，个体有选择地只复制那些预计能在未来情境中产生优势的行为[14]，[15]。因此，个体对观察到的行为进行评估，不仅是为了即时效果，也是为了其长期益处，将面向未来的决策纳入学习过程[16]，[17]。例如，在海鸟元种群中，由社会复制驱动的扩散决策可导致种群崩溃[18]。人类和其他动物的研究也表明，前瞻性可以经过多次迭代塑造行为特征和习惯，即使不存在精确的模仿也是如此[19]。因此，预期的结果能够塑造决策规则并触发转变，例如在种群分布中的转变，在生态相关尺度上发挥作用[18]，[20]。

因此，为了预测模仿的潜在效应，区分直接模仿与基于累积的模仿机制是很方便的。直接模仿发生在个体观察到他人行为后立即复制其行为的场合。该机制在需要即时行为解决方案的场景中极具优势，如躲避捕食者或使用工具。相比之下，基于累积的模仿涉及在较长时期内逐步整合信息，包括在可能很长的（例如季节性）周期内反复暴露。这在长期投资能带来适应性优势的環境中尤为有用，例如合作狩猎或建造耐用的庇护所[21]，[22]。它也在社会信息丰富的系统中蓬勃发展，个体可以反复获取并选择性整合成功的行为[14]，[23]。

明确分析直接模仿与基于累积的模仿之间这种二元性的理论工作和模型仍然相对稀少。在社会系统的物理学中，模仿的参考模型是选民模型（VM）和/或其含噪版本[24]，也称为Kirman模型[25]。这些模型基于直接模仿的循环规则。在每个时间步，从群体中随机选择一个个体，其（投票）选项通过复制其一个邻居所持选项进行更新。因此，VM促进群体向共同共享的选项转变，使得共识（即所有个体共享同一选项）成为系统唯一的稳定状态。

经典VM中最基本的问题涉及共识时间 $T$ 的统计特性，即 $N$ 个个体组成的群体需要多长时间才能达成共识。对于较简单的模型版本，可以解析地确定，例如，对于一维、二维和三维情况，分别满足 $\langle T \rangle \sim N^2$，$\langle T \rangle \sim N \log N$ 和 $\langle T \rangle \sim N$（参见近期综述[26]）。此外，对可选选项数量 $K$ 的依赖性相对较弱，因此当 $K \gg 1$ 时，发现 $\langle T \rangle \sim K^0$[27]。

作为在此情境中纳入基于累积效应的途径，本文提出将经典选民模型扩展至选项不仅基于直接模仿，也可以基于一系列内部或个人标准的情形。我们认为这些标准根据其他个体所持选项进行更新。我们模型的简化版本已在[28]中提出，但在此我们将显著扩展其中的思想和结果。

在我们的模型中引入个人标准在表面上与隐匿选民模型（Concealed Voter Model, CVM）[29]有相似之处。在CVM中，代理人同时维持一种公共意见——等同于每个代理人在系统中向其他个体声明的选项——和一种私人信念或偏好。而我们的模型中，每个代理人拥有一组独立的标准，标准中的主导选项反映个体的内部偏好。如我们将看到，这些标准的存在会使个体陷入某种观点的时间非常长，并可能表现出老化效应，阻止系统达成共识。因此，尽管基于类似的思想，与CVM相比[29]，[30]，[31]，我们的模型产生了更丰富的动力学，代价是解析处理能力更为有限。

因此，本文关注由直接模仿和基于累积的模仿的联合效应所产生的非平凡动力学。我们将看到，两种机制有时可以协同作用以加速达成共识，但基于累积的机制也可能阻碍共识，具体取决于用于更新标准的信息类型。因此，我们将确定三个不同的制度（称为"促进态"、"部分协同态"和"阻碍态"），并提供数值和解析证据来解释它们。

文章结构如下。在第2节中，我们将介绍带有直接模仿和基于累积的模仿的选民模型的一般模型/算法，并引入用于确定上述三个制度的主要可观测量。随后，在第3节"解析近似"和第4节"数值结果"中，我们将分别提供解析和数值结果来区分这些制度，并理解模型的一般动力学。我们的分析得出的主要结论和思想最终将在第5节中总结。

**第2节 片段**

**一般背景**

我们考虑一个由 $N$ 个代理组成的系统，这些代理需要在两种不同选项（记为A和B）之间反复做出选择，其中在给定时间选择选项A（B）的代理数量记为 $n_A(t)$（$n_B(t)$），满足 $n_A + n_B = N$。

此外，每个代理拥有一组 $N_C$ 个"内部标准"用于评估可用选项。这些标准应被理解为个体用于构建内部偏好的评分系统。这些标准反映了个体对……（原文截断）

**第3节 片段**

**由直接模仿驱动的系统**

如上所述，对于经典VM（对应 $p=1$ 的情形），共识是通过磁化空间中的涨落来促进的，这些涨落在 $m=0$ 时最大，并在 $|m| \to 1$ 时消失。对于给定初始条件 $m(t=0)=m_0$ 的情形，共识时间已知满足[26]：

$$\frac{\langle T \rangle(m_0)}{N} = \ln 2 - 1 + \frac{1+m_0}{2} \ln(1+m_0) - \frac{1-m_0}{2} \ln(1-m_0)$$

部分共识时间 $T_f$ 可以用类似的方法获得（详见附录B），得出：

$$\langle T_f \rangle(m_0) = \langle T \rangle(m_0) - \langle T \rangle(1-2f)$$

**第4节 片段**

**数值结果**

除了前面一节讨论的那些极端情况——其中模型要么(i)接近经典VM极限，要么(ii)由冻结动力学主导——我们的模型不允许解析处理。实际上，我们无法检测到任何允许我们在任意 $p$、$q$ 值制度下表征模型动力学的近似或标度性质。因此，在以下部分中，我们专注于对模型的数值分析以刻画……（原文截断）

**第5节 结论**

本工作论证了社会群体中达成共识的过程是一种动态现象，通常超越了行为的简单即时复制，整合了平衡直接模仿与有意的内部信息累积的认知结构。我们的研究表明，纳入通过持续观察他人决策来更新的个人标准，显著影响传统VM所描述的共识动力学。

**CRediT作者贡献声明**

Daniela Molas：撰写—审阅与编辑、撰写—原稿、可视化、验证、软件、资源、方法论、调查研究、资金获取、形式分析、数据管理、概念构思。

Daniel Campos：撰写—审阅与编辑、撰写—原稿、可视化、验证、指导、软件、资源、项目管理、方法论、调查研究、资金获取、形式分析、数据管理、概念构思。

**利益冲突声明**

作者声明他们没有已知的可能影响本文报告工作的相互竞争的财务利益或个人关系。

**致谢**

作者感谢西班牙政府在PID2021-122893NB-C22资助项目下的财政支持，以及BECAL——"Carlos Antonio López"奖学金项目的资助。他们还感谢J. Lewenstein、D. Oro和R. Toral富有成效的讨论以及为撰写本稿件所提供的参考文献。

Daniela Molas | Daniel Campos
统计物理研究组，物理系，理学院，巴塞罗那自治大学，08193，贝尔阿特拉（巴塞罗那），西班牙