欧拉-泊松系统中离子动力学的奇点结构

《Physica D: Nonlinear Phenomena》：Structure of singularities for the Euler-Poisson system of ion dynamics

　　

摘要

我们研究了等温Euler-Poisson系统奇异性形成的问题，该系统源于等离子体物理。与之前的研究不同，之前的研究仅提供有限的信息，如爆破解的充分条件和沿特征曲线的爆破时间率，我们给出了从光滑初值得到奇异性形成的构造性证明。更具体地，通过利用Burgers方程在自相似变量中的稳定爆破轮廓，我们在自相似时间中建立了全局稳定性估计，从而得到了爆破解在奇点附近渐近行为。我们的分析表明，Euler-Poisson系统的光滑解可以发展出尖峰型奇异性；它在有限时间内呈现$C^1$爆破，但在爆破时刻属于$C^{1/3}$，前提是光滑初值在某种加权$C^4$拓扑中足够接近爆破轮廓。我们还为等熵情形给出了类似的结果，并讨论了分析中的显著差异。

引言

我们考虑等温Euler-Poisson系统的无量纲形式：
$$\rho_t+(\rho u)_x=0,\quad \rho(u_t+u\,u_x)+K\,\rho_x=-\rho\,\phi_x,\quad -\phi_{xx}=\rho-e^\phi,$$
其中$\rho>0$，$u$和$\phi$是$(x,t)\in\mathbb{R}\times[-\varepsilon,\infty)$的未知函数，分别表示离子密度、离子流体速度和电势，$K>0$为常数。所考虑的Euler-Poisson方程支配了给定Boltzmann电子背景下离子的动力学，包括压力项。Euler-Poisson方程有多种变体，但这一方程在等离子体中离子动力学的研究中最为常见和重要，参见[1]。关于(1.1)从双组分Euler-Poisson系统的严格推导，参见[2]。

由于电力非局部效应，Euler-Poisson系统(1.1)展现出丰富的动力学，它已被广泛研究，旨在数学上论证各种等离子体现象。这些包括等离子体鞘层形成[3]、[4]，准中性极限问题[5]，以及等离子体孤立波[6]、[7]。特别是在[7]中，研究了(1.1)孤立波的渐近行为与稳定性。事实上，光滑解的全局存在性是研究非线性稳定性的第一步。然而，关于全局存在性，迄今为止尚无令人满意的理论。对于(1.1)，尚无已知的光滑解全局存在结果，也仅知有限的有限时间爆破结果。

在先前的研究中，[8]的作者证明了当Riemann函数的梯度初始较大时，(1.1)的光滑解在有限时间内会离开$C^1$类。由于证明基于反证法，仅获得关于爆破解的有限信息，如导致$C^1$爆破的某些充分条件和时间爆破率。另一方面，在[8]中，作者发现密度和速度的导数爆破，但它们的$L^\infty$范数在奇点之前保持有界。事实上，[8]中的数值实验表明，(1.1)可能在有限时间内表现出尖峰型奇异性，然后发展为激波型奇异性。对于无压Euler-Poisson系统，作者在[9]中证明了在爆破时刻，密度函数在爆破点$x^*$附近变得无界，渐近轮廓为$(x-x^*)^{-2/3}$。

本文的主要目标是研究(1.1)在爆破时刻的精确奇异结构，当爆破发生时。为此，我们研究爆破轮廓在奇点附近的渐近行为。借用[10]、[11]中用于证明多维Euler方程奇异形成的思想，我们利用自相似变量中Burgers方程的爆破轮廓。为了控制电势$\phi$的导数，我们采用[8]中的思想，利用Euler-Poisson系统(1.1)的守恒（Hamilton）能量。我们在某些拓扑中建立稳定性估计，以表明爆破解在奇点附近的行为类似于Burgers方程的解。更精确地，我们的结果表明，Euler-Poisson系统的光滑解在有限时间内呈现$C^1$爆破，但在爆破时刻属于$C^{1/3}$，前提是光滑初值在某种加权$C^4$拓扑中足够接近爆破轮廓。这特别意味着我们构造的解形成尖峰型奇异性，而非跳跃间断。关于我们所构造的解在爆破时刻之后是否确实演化为激波波的问题仍然开放，且是一个富有挑战性的问题。

Euler方程的激波形成已有广泛研究，特别是一维情形，其中利用了特征线方法。利用Riemann不变量，Lax [12]证明了对于一般的$2\times 2$真双曲系统可能存在有限时间奇异性，John [13]证明了对于$n\times n$真双曲系统，Liu [14]后来进一步推广了该结果。关于一维双曲系统的更广泛文献参见[15]。我们也参考[16]、[17]关于二维非定常Prandtl系统以及带横向粘度的Burgers方程的奇异性形成。也值得提及的是，[18]、[19]研究了带非局部扰动的Burgers方程的爆破轮廓。

我们首先引入Riemann函数$w$和$z$：
$$w:=u+\sqrt{K}\,\log\rho,\quad z:=u-\sqrt{K}\,\log\rho,$$
分别对应于(1.1)双曲部分的波速$\lambda_+$和$\lambda_-$：
$$\lambda_+:=\frac{w+z}{2}+\sqrt{K},\quad \lambda_-:=\frac{w+z}{2}-\sqrt{K}.$$
原始未知函数$\rho$和$u$通过以下关系恢复：
$$u=\frac{1}{2}(w+z),\quad \rho=\exp\left(\frac{w-z}{2\sqrt{K}}\right).$$

通过令$\tilde{t}=t/2$，并用$\tilde{t}$代替$t$，我们看到(1.1)等价于
$$w_t+(w+z+2\sqrt{K})\,w_x=-2\,\phi_x,\quad z_t+(z+w-2\sqrt{K})\,z_x=-2\,\phi_x,\quad (x,t)\in\mathbb{R}\times[-\varepsilon,\infty),$$
$$-\phi_{xx}=\exp\left(\frac{w-z}{2\sqrt{K}}\right)-e^\phi.$$

为了研究(1.4)爆破轮廓的精确正则性，我们考虑Burgers方程：
$$\partial_t\tilde{w}+\tilde{w}\,\partial_x\tilde{w}=0.$$
引入自相似变量
$$y(x,t)=\frac{x}{(-t)^{3/2}},\quad s(t)=-\log(-t),$$
以及新的未知函数$\mathcal{W}(y,s)$，定义为
$$\tilde{w}(x,t)=e^{-s/2}\,\mathcal{W}(y,s),$$
从(1.5)可得$\mathcal{W}$满足
$$\left(\partial_s-\frac{1}{2}\right)\mathcal{W}+\left(\frac{3}{2}y+\mathcal{W}\right)\mathcal{W}_y=0.$$
已知，参见[20]、[21]，(1.6)存在稳定的1稳态解$\overline{W}$，即$\overline{W}$满足
$$-\frac{1}{2}\,\overline{W}(y)+\frac{3}{2}\,y\,\overline{W}'(y)+\overline{W}(y)\,\overline{W}'(y)=0.$$
将(1.7)乘以$\overline{W}^{-4}$并对$y$积分，我们得到
$$y+\overline{W}+c\,\overline{W}^3=0,$$
其中$c>0$为积分常数。事实上，$\overline{W}$是(1.8)的光滑解当且仅当它是(1.7)的光滑解。我们注意到$\{\overline{W}_c: c>0\}$构成了(1.7)光滑解的单参数族。对(1.8)关于$y$逐次求导并在$y=0$处求值，我们发现$\overline{W}'_c(0)=-1$，$\overline{W}''_c(0)=0$，$\overline{W}'''_c(0)=6c>0$，$\overline{W}^{(4)}_c(0)=0$，等等。此外，$\overline{W}_c$在$|y|$大时的渐近行为可以求得。由于从(1.8)可知$\overline{W}_c(y)\to\mp\infty$当$y\to\pm\infty$，我们看到$y^{-1/3}\,\overline{W}_c(y)\to\mp c^{-1/3}$当$y\to\pm\infty$。

由于空间-振幅标度不变性，我们在后续中令$c=1$，不失一般性。于是我们有
$$y^{-1/3}\,\overline{W}(y)\to-1\quad\text{和}\quad |y^{2/3}\,\overline{W}'(y)|\to\frac{1}{3}\quad\text{当}\;|y|\to\infty,$$
以及
$$\overline{W}'(0)=-1,\quad \overline{W}''(0)=0,\quad \overline{W}'''(0)=6,\quad \overline{W}^{(4)}(0)=0.$$

尽管可以通过求解(1.7)得到$\overline{W}$的显式形式，但由于其形式复杂，在我们的分析中并无用处。我们更倾向于使用从(1.8)本身可得的$\overline{W}$的定量性质。我们在A.2节推导$\overline{W}$的性质。

我们首先描述导致$\partial_x w$有限时间爆破而$\partial_x z$保持有界的初始条件。为简洁起见，我们令初始时刻$t=-\varepsilon$，其中$\varepsilon>0$为充分小的待定参数，并考虑(1.4)的初值问题，初值为
$$(w_0,z_0)(x)=(w,z)(-\varepsilon,x)\in H^5(\mathbb{R})\subset C^4(\mathbb{R}).$$

我们将重点关注$-\partial_x w_0$充分大使得$\partial_x w_0$在$x=0$处取得非退化的全局最小值的情形。更具体地，我们假设
$$\partial_x w_0(0)=-\varepsilon^{-1},\quad \partial_x^2 w_0(0)=0,\quad \partial_x^3 w_0(0)=6\varepsilon^{-4}.$$

我们还假设$w_0(x)$和$z_0(x)$的导数满足
$$\|\partial_x w_0\|_{L^\infty}\leq\varepsilon^{-1},\quad \|\partial_x^2 w_0\|_{L^\infty}\leq\varepsilon^{-5/2},\quad \|\partial_x^3 w_0\|_{L^\infty}\leq 7\varepsilon^{-4},$$
$$\|\partial_x^4 w_0\|_{L^\infty}\leq 40\varepsilon^{-11/2},\quad \|z_0\|_{C^4}\leq\frac{1}{4}.$$

此外，我们假设
$$\|w_0-z_0\|_{L^\infty}\leq\sqrt{K}.$$

我们注意到条件(1.12)可以放宽，详见A.1节。

为了描述精确的爆破正则性，我们进一步对$\partial_x w_0$在$x=0$和$x=\infty$附近的渐近行为施加条件如下：
$$\left|\varepsilon\,(\partial_x w_0)(x)-\overline{W}'\left(\frac{x}{\varepsilon^{3/2}}\right)\right|\leq\min\left\{\frac{(x/\varepsilon^{3/2})^2}{40\left(1+(x/\varepsilon^{3/2})^2\right)},\;\frac{2}{225\left(8+(x/\varepsilon^{3/2})^{2/3}\right)}\right\}$$
以及
$$\limsup_{|x|\to\infty}\left(x^{2/3}\,|\partial_x w_0(x)|\right)\leq\frac{1}{2}$$
对所有$x\in\mathbb{R}$成立，其中$\overline{W}$是Burgers方程(1.8)（$c=1$）的稳定自相似爆破轮廓。最后，我们假设
$$\sup_{x\in\mathbb{R}}(1+x^{2/3})\,|\rho_0(x)-1|=\sup_{x\in\mathbb{R}}(1+x^{2/3})\left|\exp\left(\frac{w_0(x)-z_0(x)}{2\sqrt{K}}\right)-1\right|\leq\frac{1}{28}.$$

为了完整性，我们在引理A.5中提供了满足(1.11)-(1.17)的初值构造。我们注意到(1.15)-(1.17)是局部化条件，确保奇异性沿调制曲线发展，其中$w$保持其最陡梯度。在我们利用输运型方程极值原理的分析中，解的空间局部化对于获得全局稳定性估计是必不可少的。我们还注意到这些条件允许$(w_0,z_0)$在$|x|\to\infty$时足够快地衰减至$(0,0)$，且与(1.11)相容。

在全文中，$C^\beta(\Omega)$表示指数为$\beta$的H?lder空间，配备相应的H?lder范数，定义为
$$[w]_{C^\beta(\Omega)}:=\sup_{x,y\in\Omega,\,x\neq y}\frac{|w(x)-w(y)|}{|x-y|^\beta},$$
$H^k(\Omega)$表示基于$L^2$的$k$阶标准Sobolev空间。为简化记号，我们令
$$P_-:=\inf_{x\in\mathbb{R}}(w_0(x)-z_0(x)),\quad P_+:=\sup_{x\in\mathbb{R}}(w_0(x)-z_0(x)).$$

现在，我们陈述主要定理。

**定理1.1** 存在常数$\varepsilon_0=\varepsilon_0(\|(\rho_0-1,u_0)\|_{L^2},\inf_{x\in\mathbb{R}}\rho_0,\sup_{x\in\mathbb{R}}\rho_0)>0$，使得对于每个$\varepsilon\in(0,\varepsilon_0)$，若初值$(\rho_0-1,u_0)\in H^5(\mathbb{R})$满足(1.11)-(1.17)，则(1.1)存在唯一光滑解$(\rho,u)\in C^4([-\varepsilon,T^*)\times\mathbb{R})$，其中最大存在时间$T^*>-\varepsilon$有限，且$T^*=O(\varepsilon)$。此外，存在爆破位置$x^*\in\mathbb{R}$，使得对于包含$x^*$的任何有界开子集$\Omega\subset\mathbb{R}$，有
(i) $\displaystyle\sup_{t1/3$；

(iii) 对$\beta>1/3$，时间爆破率为2
$$[\rho(\cdot,t)]_{C^\beta(\Omega)},\;[u(\cdot,t)]_{C^\beta(\Omega)}\sim(T^*-t)^{-\frac{3\beta-1}{2}}$$
对所有充分接近$T^*$的$t$成立；

(iv) $\displaystyle\inf_{x\in\mathbb{R},\,t< />0$成立。

定理1.1的证明在第二节末给出。

我们注意到定理1.1特别表明，光滑初值可以发展出尖峰型奇异性；光滑解在有限时间内呈现$C^1$爆破，但在爆破时刻仍属于$C^{1/3}$。在[8]中，当奇异性发生时，已知密度和速度有界，但其导数爆破。由于其有限的常微分方程方法，无法获得更详细的信息。然而，我们的结果给出了关于奇异性的更详细的几何信息，表明奇异性具有$C^{1/3}$正则性。此外，断言(ii)表明$\rho$和$u$的梯度同时爆破，这是[8]中所用方法无法得出的。时间爆破率也在断言(iii)中给出。

对于等熵Euler-Poisson系统(5.1)（压力定律$P_\gamma(\rho)=\rho^{\gamma/\gamma}$，$\gamma>1$），也可以建立类似的爆破结果。在类似定理1.1的适当假设下，我们获得与定理1.1相同的结果，即(5.1)存在唯一光滑解$(\rho,u)\in C^4([-\varepsilon,T^*)\times\mathbb{R})$，其最大存在时间$T^*$有限且$T^*=O(\varepsilon)$，且解的$C^{1/3}$范数有界。更详细的陈述见第五节中的定理5.1。证明与定理1.1的证明非常类似，除了由于Riemann函数形式不同而产生的一些技术点之外。我们在第五节中简要概述了证明，强调了显著差异。

**注1** 在本文考虑的情形中，Poisson耦合在奇异性形成机制的领头阶不起作用。确实，由Poisson方程产生的项保持为微扰项，可通过我们分析中建立的估计来控制。因此，我们定理中的领头阶奇异性结构由Euler-Poisson系统的双曲部分主导。从这个角度看，Boltzmann关系的具体形式主要通过控制Poisson耦合所需的估计进入论证。然而，我们强调，我们的主要定理不应被解释为断言Euler-Poisson系统中的每个奇异性都是Burgers型的；参见例如[22]中的奇异行波和数值观察。

更广泛地，我们的分析表明，Burgers型奇异性形成机制可能在其他Burgers或Euler型系统中持续存在，前提是附加项在相关的自相似区域中保持为微扰项。但在其他方程中，这些项可能进入领头阶爆破动力学，从而产生与Burgers方程不同的自相似标度和奇异性结构；参见[23]、[24]。

**文章结构**：第二节中，我们建立自相似时间中的全局稳定性估计并证明定理1.1。第三节和第四节分别用于关闭命题2.1和命题2.2的自举假设。第五节中，我们讨论等熵情形的爆破结果，并给出证明概要。附录A中，我们呈现各种预备知识和分析中使用的一些标准事实。

它们的证明可在[9]及其补充材料中找到。

各章节摘要

**自相似变量下的稳定性估计**
本节我们建立自相似时间下的整体稳定性估计，并证明定理 1.1。首先，我们将(1.1)改写为结合动态调制的自相似变量形式。

**自举闭合 I**
本节我们首先建立一些初步估计，并证明命题 2.1。

**自举闭合 II**
本节我们证明命题 2.2。我们首先声明假设(2.20b)蕴含
‖(y^{2/3}+8)‖_{L^∞} ≤ Ce^{?2s}
对某个正常数 C 成立。不等式(4.1)将在引理 4.2–4.3 中用于证明关于 y^{2/3}+8 的估计。

为证明该断言，我们考虑变量替换 $\tilde{y} = e^{-3s/2}y$。则由(2.7c)可得
$-\tilde{\Phi}\tilde{y}^2 = \tilde{f}(\tilde{y}, s) + 1 - e^{\tilde{\Phi}}$，
其中 $\tilde{\Phi}(\tilde{y}, s) = \Phi(y, s)$，$\tilde{f}(\tilde{y}, s) = e^{e^{-s/2}W} + \kappa - \frac{Z^2}{2\sqrt{K-1}}$。借助(2.20b)，我们还得到
$|(1+\tilde{y}^{2/3})\tilde{f}(\tilde{y}, s)| \leq \|e^{-s}y^{2/3}\|_{L^∞_y(\mathbb{R})} \leq \tilde{C}_f := \frac{1}{14}$。

**等熵欧拉-泊松系统的爆破**
本节我们给出与定理 1.1 类似的爆破结果，针对等熵欧拉-泊松系统：
$$\rho_t + (\rho u)_x = 0,$$
$$\rho(u_t + uu_x) + P_\gamma(\rho)_x = -\phi_x,$$
$$-\phi_{xx} = \rho - e^\phi,$$
其中 ρ > 0，u 和 φ 分别表示离子密度、离子流体速度和电势，压强 $P_\gamma(\rho)$ 定义为 $P_\gamma(\rho) := \rho^\gamma/\gamma$，γ > 1。

我们引入与(5.1)相关的黎曼函数：
$$w = u + \frac{1}{\alpha}\rho^\alpha, \quad z = u - \frac{1}{\alpha}\rho^\alpha,$$
对应于特征值
$$\lambda_+ = u + \rho^\alpha = 1 + \frac{\alpha}{2}w + \frac{1-\alpha}{2}z,$$
$$\lambda_- = u - \rho^\alpha = 1 - \frac{\alpha}{2}w + \frac{1+\alpha}{2}z,$$
其中 α := (γ?1)/2。

**未引用参考文献**

[26]

**CRediT 作者贡献声明**

Junsik Bae：论文撰写——审阅与编辑，论文撰写——初稿，形式化分析，概念化。
Yunjoo Kim：论文撰写——审阅与编辑，论文撰写——初稿，调查研究，形式化分析，概念化。
Bongsuk Kwon：论文撰写——审阅与编辑，论文撰写——初稿，形式化分析，概念化。

**利益冲突声明**

作者声明不存在任何已知的竞争性经济利益或个人关系可能影响本论文的研究报告。

Junsik Bae | Yunjoo Kim | Bongsuk Kwon