广义洛施密特振幅与乌尔曼保真度：耗散 SSH 链中动力学量子相变的诊断

《Physica A: Statistical Mechanics and its Applications》：Generalized Loschmidt amplitudes and Uhlmann fidelity: Diagnostics of dynamical quantum phase transitions in a dissipative SSH chain

　　

摘要

开放量子系统中混合态的动力学量子相变（DQPTs）仍然是一个微妙的问题，因为洛施密特（Loschmidt）形式体系的不同推广并不必然提供等效的判据。在本工作中，我们研究了一个耗散型 Su–Schrieffer–Heeger（SSH）费米子链中的该问题，该模型可以通过二次 Lindblad 动力学精确求解。利用单粒子协方差矩阵，我们分析了非平衡演化并比较了两种代表性诊断量：广义洛施密特重叠振幅（GLOA）和乌尔曼保真度。与以往通常只关注单一混合态 DQPT 构造或空间均匀耗散的研究不同，我们将这两种诊断量置于同一精确可解的协方差符号框架中，并解析地确定了它们何时给出等效或不等效的动力学临界性特征。对于空间均匀的平衡增益与损耗，归一化模态动力学简化为一个阻尼布洛赫旋转。当初始与时间演化后的布洛赫矢量方向成为对跖点时，GLOA 变为零，导致相应的速率函数出现非解析性。由此得到的临界动量和临界时间与闭合拓扑 SSH 猝变的临界点一致，并且在有限温度和有限耗散下仍然定义良好。相反，对于混合态，乌尔曼保真度始终保持严格为正，因此其速率函数保持解析，不产生相应的动力学临界性信号。我们进一步推导了一个 4 × 4 的协方差空间演化方程，建立了对储库效应的一般几何分类。空间均匀的增益—损耗不平衡改变每个模态的占据数和纯度，但不改变其布洛赫矢量方向，而子格选择性耗散则会弯曲归一化布洛赫轨迹。对于显式非负的 Lindblad 跳跃速率，这种方向弯曲会在对应的闭合哈密顿量猝变没有临界动量时产生对跖交叉和 GLOA 非解析性。这为 DQPTs 提供了一种耗散诱导机制，该机制在闭合参考系统中不存在。因此，这一比较揭示了复振幅型和度量型诊断之间的结构性区别：GLOA 保留了振幅零点、非解析速率函数和几何相位信息，而乌尔曼保真度以及基于希尔伯特—施密特的量在满秩混合态中始终保持光滑。在本工作所考虑的归一化协方差符号框架内，我们的结果将储库诱导的布洛赫方向动力学确定为控制混合态 DQPT 特征的关键机制，并澄清了这些诊断量的各自适用域。

引言

动力学量子相变（DQPTs）作为孤立量子多体系统中平衡相变的非平衡类比，引起了广泛关注 [1]、[2]、[3]、[4]。它们最初通过突变量子猝变后洛施密特回归速率的非解析性来表征。对于一个纯初态 |??0? 在猝变后哈密顿量 ???? 下幺正演化，洛施密特振幅 ??(??)=???0?∣?????????????∣???0? 起着类似于在复时间处求值的边界配分函数的作用。在热力学极限下，??(??) 的 Fisher 零点可能穿过实时间轴，从而在速率函数中引发尖峰型奇异性。该机制已经在可积自旋链、自由费米子模型和二能带系统中被广泛研究 [5]、[6]、[7]、[8]、[9]，在这些系统中，DQPTs 通常可归因于使初始和猝变后布洛赫矢量满足正交条件的临界动量。在此类系统中，动力学奇异性也与非平衡拓扑结构密切相关，包括从洛施密特相位的几何部分定义的动态拓扑序参量和动态拓扑不变量 [10]、[11]、[12]、[13]。

DQPTs 的理论发展与实验进展同步进行。DQPTs 的特征已在离子阱系统、多体量子模拟器、超冷原子、超导量子比特和光子量子行走中被观测或模拟 [14]、[15]、[16]、[17]、[18]、[19]。同时，DQPTs 也被推广到驱动、Floquet、含噪和斜坡猝变设置中 [20]、[21]、[22]、[23]、[24]、[25]、[26]。这些研究表明，DQPTs 并不局限于闭合平衡系统中的突变猝变，也可以在更一般的非平衡方案中出现。

超越闭合动力学，可控量子平台促使人们研究混合态和开放量子系统中的 DQPTs [25]、[26]、[27]、[28]。在现实环境中，有限温度、退相干以及粒子增益或损耗往往是不可避免的。因此，系统状态通常由密度矩阵而非纯态波函数来描述，其时间演化可能由马尔可夫 Lindblad 主方程控制 [29]。然而，将 DQPT 诊断扩展到混合态和开放系统设置并非直截了当，已提出几种互补的表述 [27]、[28]、[30]。两种特别自然的诊断量是运动学广义洛施密特重叠振幅（GLOA）和乌尔曼保真度。GLOA 通过纳入密度矩阵的运动学几何相位，在最大程度上保留了洛施密特振幅的振幅型结构，已被提出作为开放系统中混合态 DQPTs 的探针 [27]。相比之下，乌尔曼保真度提供了两个混合态之间可区分性的正度量，其几何解释根植于密度算符的乌尔曼平行传输构造 [31]。虽然这两种诊断量在纯态幺正极限中重合或密切关联，但一旦有限温度或耗散使状态变为混合态，它们通常捕捉到不同的特征。这自然促使我们仔细比较它们在诊断开放量子系统中 DQPT 类行为时的物理含义和适用域。

为了在精确可解的设置中解决这一问题，我们考虑了一维 Su-Schrieffer-Heeger（SSH）链与马尔可夫粒子增益和粒子损耗储库的耦合。SSH 模型是一个典范的二能带拓扑系统，其猝变动力学为研究拓扑与 DQPTs 之间的关系提供了一个最小平台 [32]、[33]。SSH 和其他一维费米子系统中相关的猝变方案，包括磁通猝变和相位猝变，也揭示了丰富的 DQPT 行为 [34]、[35]、[36]、[37]、[38]。同时，增益和损耗的存在使我们能够研究耗散和储库不平衡如何修改混合态动力学奇异性。由于哈密顿量是二次的，且所有 Lindblad 跳跃算符都是费米子算符的线性的，因此动力学保持高斯性。完整的 Lindblad 演化可以通过第三量量子化 [39]、[40] 精确求解，或者等价地，通过单粒子协方差矩阵的封闭运动方程来求解 [41]。

我们还考虑了平衡情况之外的储库不平衡。通过将问题表述为 4 × 4 的 Liouvillian 布洛赫方程，我们区分了仅改变纯度半径的不平衡和改变布洛赫方向本身的不平衡。这一区分进一步澄清了储库的物理作用：并非所有耗散对混合态 DQPTs 都具有相同的影响。后者为 GLOA-DQPTs 提供了一种纯粹耗散性的途径，即使在对应对应的闭合哈密顿量猝变不表现出临界动量的参数范围内也是如此。因此，子格选择性储库效应可以通过弯曲归一化布洛赫轨迹来创建设定动力学临界性，而不仅仅是阻尼一个预先存在的闭合系统 DQPT。在附录 B 中，我们进一步考察了希尔伯特—施密特距离及相应的希尔伯特—施密特重叠作为额外的混合态诊断量。分析表明，类似于普通乌尔曼保真度，基于希尔伯特—施密特的量对于满秩混合协方差符号始终保持光滑。它们可能反映混合态可区分性的光滑变化，但不保留导致开放混合态动力学中 DQPT 非解析性的复振幅零点。这些发现确定 GLOA 为在本协方差符号框架中更直接保留复振幅零点机制的诊断量，同时澄清乌尔曼保真度应被理解为混合态可区分性的度量，而非动力学量子临界性的普适指示量。

本文其余部分组织如下。在第 2 节中，我们介绍了具有马尔可夫粒子增益和损耗的耗散 SSH 模型，并用单粒子协方差矩阵表述了相应的高斯 Lindblad 动力学。在第 3 节中，我们引入了全文使用的两种混合态诊断量：GLOA 和乌尔曼保真度。我们还澄清了为什么这两种诊断量虽然在纯态极限中密切关联，但对混合态通常表现出不同行为。在第 4 节中，我们分析了平衡增益—损耗情况，此时耗散动力学简化为阻尼布洛赫旋转，GLOA 临界几何保持不变。在第 5 节中，我们研究不平衡储库。我们首先讨论均匀不平衡，然后表明子格依赖性不平衡可以弯曲归一化布洛赫轨迹，即使在对应的闭合猝变没有临界动量时也能诱导 GLOA-DQPTs。最后，我们在第 6 节中总结结果并讨论其意义。

片段

耗散 SSH 模型与高斯 Lindblad 动力学

我们考虑一条一维 SSH 链，每个晶胞中有两个费米子模态，分别记为 ???? 和 ????。其中 ?? 标记晶胞，???? 和 ???? 分别是两个子格 ?? 和 ?? 上的费米子湮灭算符。系统初始制备在退火前哈密顿量 ???? 的热平衡态，然后在 ??>0 时按照退火后哈密顿量 ???? 演化。指标 ??=??,?? 分别用于表示退火前和退火后哈密顿量。

混合态诊断量：GLOA 与乌尔曼保真度

在本节中，我们介绍文中其余部分使用的两种混合态诊断量。第一个是 GLOA，它是由模态分辨单粒子符号的瞬时本征值和本征矢量构造的复振幅。第二个是乌尔曼保真度，它是两个混合态之间的正可区分性度量。这两种量在纯态极限中都简化为正交性诊断，但对混合态通常不等效。

平衡增益—损耗动力学

对于手性 SSH 链，我们设定 ????=????=0。取 ????=????=1，布洛赫矢量变为 ????(??)=(????+cos???,sin???,0)。正交条件则给出 cos?????=?1+?????????????+????。只有当右侧介于 ?1 和 1 之间时，才存在实临界动量。对于 ????+????≠0，该条件等价于 (??2???1)?(??2???1)≤0。因此，除在隙关闭点之外，猝变必须跨越 SSH 拓扑相边界 |??|=1 [6]、[32]。对于平衡猝变参数 ????=0.2，????=2.0，????=????=1，

不平衡储库与耗散诱导的 GLOA-DQPTs

我们现在转向不平衡储库。与上述平衡情况不同，不平衡储库不必在归一化布洛赫空间（与 ?????(??) 相关）中仅起到纯径向阻尼通道的角色。不平衡的效应取决于它是均匀的还是子格依赖的。均匀不平衡改变总占据数和归一化布洛赫矢量的长度，但它仍然在子格空间中正比于单位算符地作用。因此，布洛赫矢量的方向不会

总结与结论

我们构造并分析了一个受马尔可夫粒子增益和损耗作用的耗散 SSH 费米子链。微观模型由二次 SSH 哈密顿量和线性 Lindblad 跳跃算符组成。因此，高斯性得以保持，多体动力学可以在单粒子协方差矩阵层面精确求解。对于平移不变、数守恒的哈密顿量以及与粒子增益和粒子损耗储库的耦合，动力学在

CRediT 作者贡献声明

何光旭：撰写—原稿、可视化、软件、方法学、调查、形式分析、概念化。刘征：撰写—审阅与编辑、验证、概念化。

利益冲突声明

本稿件此前未曾发表，也未在其他地方接受审稿。所有作者都为本稿件的重要智力内容做出了贡献，并阅读并批准了最终稿件。作者声明不存在利益冲突。

致谢

感谢 Nie Wen-Hui 博士的有益讨论。本研究由广东轻工职业技术大学物理与光电工程学院启动基金（项目编号：2026SDKYA018）资助。

何光旭 | 刘征

广东轻工职业技术大学物理与光电工程学院，中国广州 510665