时变入渗下非饱和流与溶质运移的有界坐标 DeepONet 基准测试

《Journal of Hydrology》：Benchmarking a bounded-coordinate DeepONet for unsaturated flow and solute transport under time-varying infiltration

　　

• 多随机种子基准将入渗表示为函数值输入。
• 有界变换在峰值时刻偏移条件下有选择性地改善了浓度误差。
• 补充应力测试界定了已验证的适用性包络范围。
• 实测HYDRUS吞吐量表明，计算收益取决于并发程度。

1. 引言

非饱和带是地表与地下水位之间孔隙仅部分被水填充的区域，它控制着最终补给含水层的水量与水质（Vereecken等, 2016; Scanlon等, 2002）。灌溉调度、管理式含水层补给（MAR）作业以及污染物归宿评估都依赖于对水和溶解物质在此带内运动的准确预测（Dillon等, 2019; Ascott等, 2017）。这些问题的实际规模相当可观：到2019年，全球MAR能力已达到约10 km3 yr?1（约为全球地下水开采量的1%），并以约每年5%的速度增长，但仍未能跟上日益增加的开采需求（Dillon等, 2019）。在气候影响方面，近期的全球补给预测依赖于多模型集合，该集合结合了八个全球水文模型、四个通用环流模型以及多条排放路径，每次分析产生约 个模型配置，揭示了巨大的模型间不确定性，突显了更高效的正向模拟需求（Reinecke等, 2021）。非点源污染带来了同样繁重的计算负担：来自农业土地的分散性硝酸盐和农药淋溶是地下水水质恶化的主要驱动因素之一（Ascott等, 2017），而从集水区到区域尺度的风险评估通常依赖非饱和带模拟的蒙特卡洛集合，将强迫力和参数不确定性传播为地下水位处的突破曲线不确定性。无论是MAR运行、气候变化预测还是分散性污染物风险，瓶颈都是相同的：正向模拟器必须在具有水文现实性的强迫条件下被调用数千至数十万次。

控制物理过程由Richards方程（Richards, 1931）描述，用于变饱和水流，并耦合对流–弥散方程（ADE）描述溶质输运。由于水力导率和容量在接近饱和与干燥状态之间可以变化数个数量级，两个方程都具有很强的非线性。因此，在数值求解过程中保持质量守恒仍然是一个长期存在的挑战（Celia等, 1990）。标准求解器如HYDRUS-1D（?imunek等, 2008）能够稳健地处理单个情景，但一旦目标转向不确定性量化、参数反演或多情景筛选，其计算成本就变得难以承受。总成本随正向调用次数线性增长，但相关实际耗时取决于求解器收敛性、可用CPU并发量和I/O争用。因此，计算收益必须从端到端成本和实测集合吞吐量来评估，而非仅凭单次运行计时。

传统的代理策略，最突出的是高斯过程模拟器和多项式混沌展开，长期以来被用于缓解地下水建模中的正向模拟成本（Razavi等, 2012; Asher等, 2015; Xiu和Karniadakis, 2002）。正如Razavi等（2012）在其水资源综述中所强调的，这些方法围绕小量标量输出来设计，一旦关注量变为完整的时空场，其扩展性就差。对于非饱和流和溶质输运而言，这恰恰是所需要的：压力水头和溶质浓度共同决定锋面位置、突破时间和出口浓度历史，而这些都无法从少量降维标量中恢复。深度学习模拟器通过将被视为高维图像来缩小了这一差距。Mo等（2019）使用卷积编码器–解码器量化了通过非均质介质的多相流不确定性，Yu等（2020）构建了类似的地下水污染物输运模拟器。这些研究证明了深度网络可以在蒙特卡洛循环中取代昂贵的求解器。然而，它们的网格锁定架构继承了僵硬的输入格式，通常将上边界强迫表示为恒定通量或粗糙的分段常数序列，而非真正的函数值输入。另一项局限性涉及强迫本身的表示方式。在真实非饱和流应用中，入渗边界本质上随时间变化：尾载型对流性风暴、前载型灌溉脉冲和均匀小雨在共享相同日总量的情况下，仍可能产生显著不同的湿润锋位置和突破时间，因为弥散和非线性会放大峰值强度和峰值时刻对深层到达的影响。因此，将折叠为单个标量平均值会丢弃控制管理关注量的信息：即溶质何时以何种浓度到达地下水位。然而，迄今为止大多数代理基准都在简化的恒通量假设下进行训练和评估。近期向未知初始条件、耦合水–溶质动力学和边界不确定性方向的推进（Haruzi和Moreno, 2023; Gong和Zha, 2025）突显了标准基准与应用需求之间仍存在多大差距。

较新的深度学习方法，包括物理信息网络和神经算子，试图弥合这些差距，但每个家族对本文所考虑的问题仍留有特定不足。物理信息神经网络（PINNs）（Raissi等, 2019）已被推进至非饱和流和输运的整个谱系：Bandai和Ghezzehei（2022）使用域分解PINN求解具有不连续水力导率的Richardson–Richards方程，并从稀疏含水量测量中推断土壤水力参数；Haruzi和Moreno（2023）将类似框架扩展到耦合水–溶质动力学，通过同化大地电磁观测作为软约束；Gong和Zha（2025）强调了非均质土壤中反演建模的参数–状态耦合。对于正向问题，He等（2020）展示了基于PINN的地下输运多物理场数据同化，Li等（2025）将PINN与HYDRUS-1D耦合以加速Richards方程入渗。经典逐案例PINN将单个边界值问题编码于损失函数中，当参数或强迫水文过程改变时通常需要进行重新优化（Bandai和Ghezzehei, 2022; Cuomo等, 2022）。当需要评估许多相关的正向问题时，这促使了算子学习形式的出现，而物理信息算子变体则可以跨条件族分摊训练成本。神经算子（Chen和Chen, 1995; Lu等, 2021; Li等, 2021; Kovachki等, 2023）通过学习无穷维函数空间之间的映射来避免重新训练。Taccari等（2024）为具有抽水井的二维承压含水层流开发了一种DeepONet模拟器，在水力导率场变化的条件下确立了算子学习作为地下水建模中成本效益工具的地位；然而，该设置受线性的Darcy流和标量边界参数控制，未触及具有函数值强迫的强非线性Richards域。Wen等（2022）证明了傅里叶神经算子对多相地下流的有效性。将其迁移到本文的非周期性深度–时间网格和快速推进的湿润锋时，需要显式的边界处理和基于验证的调优，而非直接复用小的默认配置。近期研究现已将DeepONet直接应用于非饱和入渗和非饱和带流。Lan等（2025）学习了不确定坡度下的降雨–入渗响应算子；Ye等（2025）将观测与Richards方程信息结合用于可变边界条件；Kamil等（2025）开发了用于入渗的物理信息算子；Jiang等（2026）使用微调的DeepONet结合现场孔隙压力数据进行贝叶斯反演。输运专用变体，包括Porous-DeepONet（Huang等, 2024）和STONet（Haghighat等, 2025），以及多输入扩展（Jin等, 2022）和条件偏移适应（Goswami等, 2022），进一步表明算子学习本身已不再新颖。本文所解决的更窄的未解决问题是：在函数值入渗和受控强迫偏移条件下，有界坐标变换变体在耦合非饱和流和保守溶质输运中如何表现。

第二个差距涉及在不同于训练条件的强迫条件下的性能。管理场景通常呈现代理模型从未校准过的事件：异常强烈的风暴、尾载型灌溉释放，或MAR补给窗口其峰值从运行期前半段偏移到后半段。前导条件和事件内时相与总输入量一起调节水文响应（Staudinger等, 2025），且深度学习水文模型已知在如此分布偏移下会显著退化（Acu?a Espinoza等, 2025; Frame等, 2022）。最接近的方法学先例是坐标变换DeepONet家族，包括Shift-DeepONet（Hadorn, 2022）及其R自适应变体（Zhu等, 2024）。一个轻量变换网络预测样本相关的仿射坐标参数，使主干基可以对齐移动特征。该家族主要在具有尖锐或不连续解的偏微方程上经过验证，如Burgers和波动传播问题。然而，在水文应用中仍有三个方面未解决：（i）该方法尚未在耦合溶质输运的强非线性Richards方程上测试；（ii）变换本身不受约束，因此在稀少或有偏的训练数据下，仿射参数可自由取极端值；（iii）在显式分布外强迫下，变换网络必须外推坐标映射时的行为尚未表征。我们的基准实验（第5.1节）显示了一个更为有限制的模式：在IID和峰值振幅条件下，有界与无界变换几乎持平，而在有界条件在测试的峰值时刻偏移下则有益。

因此，我们将RegShift-DeepONet评估为坐标变换架构的有界变体，而非新的算子家族。其变换网络预测通过门和尺度与界定的样本相关仿射参数（第3节）。这些值定义了一条保守的坐标护栏；敏感性分析表明，它们并非普适最优值。基准将表示为48小时上的六点分段线性函数，并使用对等预算和三个随机种子在IID、高峰值和晚峰值测试下比较五种架构。额外的审计考察了QC选择、更强的单轴偏移、强迫–土壤联合偏移、真实降雨时间结构、质量平衡诊断以及实测HYDRUS集合吞吐量。该设计建立了对有界坐标适应在何种条件下最有用以及如何将HYDRUS确认整合到测试包络之外的可重复评估。

本文余下部分组织如下：第2节陈述控制方程并定义函数值入渗强迫。第3节阐述DeepONet主干和RegShift有界坐标变换，以及两阶段训练协议。第4节描述数据生成、基准情景和复制协议。第5节报告主要结果和区间分析；第6节在物理机制和应用背景的照射下进行解读；第7节总结。

2. 问题表述

2.1. 控制方程与本构关系

我们考虑一维垂直水流和溶质输运通过一根长度为 cm的均质土壤柱，模拟周期为 h（底层多孔介质物理参见Bear, 1972）。此处 表示土壤表面以下的深度（向下为正），地表处为，柱底处为；该约定在所有图形和区间分析中一致使用。Richards方程（Richards, 1931）的压力水头形式为：

(1)

其中 是压力水头[cm]， 是比湿容量， 是体积含水量， 是非饱和水力导率[cm h?1]， 项表示重力分量（向下为正）。

溶质输运由对流–弥散方程控制：

(2)

其中 是溶质浓度， 是Darcy通量（沿深度增加方向为正）， 是孔隙水速度， 是水力弥散系数，其中纵向弥散度为 ，分子扩散为 。

土壤水力函数遵循van Genuchten–Mualem模型（van Genuchten, 1980; Mualem, 1976）：

(3)

其中 和 分别是残余含水量和饱和含水量，[cm?1]和 是形状参数（），[cm h?1]是饱和导水率， 是有效饱和度。

上边界（）接受规定的入渗通量 和入口浓度 。下边界（）对流施加自由排水（单位梯度）条件，对输运施加零浓度梯度条件；当地下水位远于柱底以下且无毛细反馈时，此条件是合适的。初始条件在柱内均匀分布： cm（中等干燥状态）和 。

**范围与假设**

该表述假设刚性、不可形变、等温多孔基质和反应惰性（保守）示踪剂；因此忽略吸附、放射性或生物衰变、根系吸水以及 和 中的滞后。大孔隙驱动的优先流、双连续介质非平衡效应、与气相的多相耦合和横向流路径均超出本一维单连续介质描述的范畴。这些简化——迄今为止构成大多数非饱和带代理基准的基础——被采用以使时间变化入渗与 非线性之间的相互作用能够在最简单且物理上有意义的设置中被隔离。

综合以上(1)、(2)、(3)式及上述边界和初始数据，对于每一个可接受的输入 ，定义了唯一的时空场对 和 。

本文所解决的代理建模问题是在给定训练分布下，学习具有可训练参数的参数算子(4)，以近似该解映射，并能优雅地外推至该分布之外的强迫场景。输入由有限维的土壤和入流标量与函数值的流量过程线组合而成。这种混合结构为第3.2.2节中开发的架构选择提供了动机。

**函数值入渗强迫**

自然降雨、灌溉脉冲和管理式含水层补给事件本质上是时变的。将上边界通量表示为单一标量平均值会丢失关于峰值强度、持续时间和事件内峰值时机的信息。这些特征对湿锋传播和溶质突破有实质影响。因此我们将建模为由六个均匀分布于的控制点值定义的分段线性函数，每个值独立地从 cm h?1 中采样。选择8小时间隔的六个点，是介于解析亚日结构和保持分支输入维度可管理性之间的折中方案。生成的家族涵盖单峰、多峰、前置峰和后置峰的流量过程线形态。逐点界限意味着理论上48小时的累计输入范围为48–2400毫米（4.8–240厘米）。由于六个控制点是独立采样的，这是一个覆盖导向的合成强迫家族，而非经过校准的降雨生成器，其上限尾部不应被解释为田间站点的典型事件。在对48小时网格（小时）进行线性插值后，分支输入向量包含六个土壤水力参数、48个逐时通量值、入口浓度以及初始压力头和浓度，总维度为；代表性的流量过程线和下文使用的两个分布外分割如图1所示。

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**图1. 问题设置。** (a) 代表性的函数值入渗强迫；灰色带显示第10–90百分位训练包络，虚线标记训练中位数，三条彩色曲线分别是来自各场景（IID、OOD峰值、OOD峰值时间）的测试样本。(b,c) 两个OOD场景分割变量的直方图（分别为峰值幅度和峰值时间索引）；虚线标记定义尾部测试集的第90百分位截止线。(d) 基准测试和应用工作流。

在这些范围内，所得到的传输过程以对流为主导：代表性的孔隙水速度约为–厘米/小时，采样的弥散度跨度为厘米（表2），因此柱尺度佩克莱数约为5到100。因此，解会形成尖锐的前进浓度锋，其位置强烈依赖于累积强迫历史，这为第3节中引入的锋面跟踪（坐标变换）设计提供了动机。相应的对流穿越时间为，其中为时间平均通量。在整个采样池范围内，其值为–小时，与小时模拟范围相当。因此，大多数场景会在模拟窗口内将锋面推进到柱体内部，但不会在处达到完全突破。柱体和柱中部的锋面位置对入渗量在时间上的分布最为敏感。

**3. 方法论**

**3.1 DeepONet骨干网络**

DeepONet（Lu等，2021）将学习的算子分解为，其中分支网络将离散化输入函数映射到系数，主干网络将查询坐标映射到基函数。分支是一个具有四个宽度为512的隐藏层的残差MLP；主干以随机傅里叶特征嵌入（频率，尺度）开始（Tancik等，2020），后接一个具有四个宽度为256的隐藏层的残差MLP。两个网络都使用GELU激活函数、残差连接（He等，2016）和层归一化。在基维度为的情况下，主干产生一组共享基函数，而分支输出系数并被拆分为两个带有附加偏置的块和，从而产生和。这种"分支拆分+共享主干"布局使和共享共同的时空基，同时保留特定于场的系数。这一选择是一种软归纳偏置，其动机在于对流-弥散方程通过和依赖于Richards流解；它并不是对流-输运耦合的显式强制，该架构仍可能违反控制平衡。

**3.2 坐标变换扩展与RegShift界限**

在不同水力参数和时变强迫下，湿锋和浓度锋在样本间占据不同的时空位置。单一的主干基函数组必须覆盖所有这些位置，这可能限制表达能力。Shift-DeepONet（Hadorn，2022）通过让一个轻量级变换网络从分支输入中预测样本相关的仿射参数，并在变换后的坐标处评估主干来解决这个问题。然而，当测试输入位于训练分布之外时，变换网络可能将和外推到极端值，导致主干在远离其训练坐标区域的区域进行评估。我们提出RegShift，通过门控来限制仿射参数：

(5)

其中和是变换网络的原始输出（一个具有两层64个单元隐藏层的MLP），和是设定最大偏差的超参数。因此，在主干使用的归一化坐标系中（深度在1米柱体上重新缩放到，时间在48小时窗口上重新缩放到），尺度被限制在，位移被限制在。在物理单位中，这对应于深度/时间坐标最多重新缩放，深度位移最多厘米或时间位移最多小时。位移限制接近浓度锋位移训练集中位数半展布（归一化坐标下为0.193），而尺度限制比相应的上部尾部速度比变化更窄。因此我们将视为保守的护栏，而非经过校准的物理界限。敏感性分析还发现，在所有三个评估场景中没有单个界限对是最佳的（补充材料S5）。变换权重采用Xavier初始化，输出偏置设为零，因此在初始化时，网络从恒等映射开始；任何坐标适应都是从数据中学习的。这编码了一个弱物理先验：锋面可能会响应不同强迫而移动，但并非任意移动。完整架构如图2所示。

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**图2. RegShift-DeepONet架构。** 变换网络从分支输入中预测有界的仿射参数；主干在变换后的坐标处评估其基函数。红色虚线箭头指示RegShift特有的路径。（关于图例中颜色引用的解释，请参阅本文的在线版本。）

**3.3 训练策略**

三种DeepONet变体分两个阶段训练。FNN和FNO保留其文献中记载的单阶段数据拟合实现；它们的实际停止记录和墙钟时间与两阶段模型一起在补充表S1中报告。

**第一阶段：数据拟合**

纯数据驱动的拟合。损失为，使用Adam（Kingma和Ba，2015）和ReduceLROnPlateau调度进行优化。对等比较使用初始学习率为，适用于FNN、标准DeepONet、Shift-DeepONet和RegShift；FNO通过包含学习率、模式、宽度和填充的IID验证搜索单独选择。单阶段基线在此数据拟合阶段后停止。

**第二阶段：质量正则化微调**

最佳第一阶段检查点被热启动，并通过延迟质量平衡正则化进行微调。第二阶段目标函数为

其中和分别是预测累计储量变化与水和溶质累计边界通量目标之间不匹配度的相对均方误差惩罚项。延迟调度为

其中表示第二阶段的总epoch数。这种积分形式的质量项被用作辅助正则化器，而非硬物理约束。一个epoch表示对训练子集的一次完整遍历。DeepONet的两个阶段都采用早停法，当验证损失在规定耐心期内没有改善时终止优化。在对等比较中，FNN和三种DeepONet变体的每个阶段使用5000个epoch的上限和2000的耐心值（表3）；使用测量的停止时间和墙钟时间，而不仅仅是上限，来审核优化暴露情况。我们额外保留了原始低预算的标准DeepONet运行作为预算敏感性分析；增加其预算在三个场景中仅将中位浓度相对误差改善5.7–7.5%。所有主要比较均使用三个独立随机种子重复进行。

**3.4 比较模型**

我们将RegShift与四种替代方案进行比较（表1）：

1. **FNN**：坐标查询全连接网络，接收参数、强迫值和查询点的拼接作为单一输入向量，输出。四层宽度为512的隐藏层。

2. **标准DeepONet**：标准DeepONet骨干网络（第3.1节），采用相同两阶段协议训练，但无坐标变换。

3. **Shift-DeepONet**：相同架构，但采用无约束仿射变换（无界限）。

4. **FNO**：傅里叶神经算子（Li等，2021）。IID验证搜索选择四个谱层、宽度32、32个空间模式、16个时间模式和8个网格单元填充。

**表1. 比较模型总结。** 所有模型使用相同的数据分割和评估代码。三种DeepONet变体共享相同的两阶段训练协议；FNN和FNO保留其文献中记载的单阶段实现。Shift-DeepONet和RegShift-DeepONet条目额外包含0.1 M参数用于轻量级变换子网络（两层64个单元）。

| 模型 | 输入格式 | 关键区别 | 约参数 |
|------|---------|---------|--------|
| FNN | 向量 | 逐点；无算子结构 | 1.1 M |
| 标准DeepONet | 分支+主干 | 标准算子；无坐标变换 | 2.8 M |
| Shift-DeepONet | 同上+变换网络 | 无约束仿射变换 | 2.9 M |
| **RegShift（本文）** | 同上+有界变换 | 有界仿射变换 | 2.9 M |
| FNO | 网格 | 谱卷积；填充8 | 4.20 M |

**表2. 土壤和输运参数采样范围。**

| 参数 | 符号 | 范围 | 分布 | 物理意义 |
|------|------|------|------|---------|
| 残余含水量 | | 0.034–0.098 | 均匀分布 | 紧密结合水 |
| 饱和含水量 | | 0.36–0.51 | 均匀分布 | 总孔隙率 |
| VG形状参数 | | 0.005–0.145 cm?1 | 对数均匀分布 | 逆入气压 |
| VG指数 | | 1.09–2.68 | 均匀分布 | 孔径分布 |
| 饱和导水率 | | 0.25–29.7 cm h?1 | 对数均匀分布 | 最大流速 |
| 纵向弥散度 | | 1–20 cm | 均匀分布 | 溶质混合长度 |
| 顶部通量（每控制点） | | 0.1–5.0 cm h?1 | 均匀分布 | 入渗强度 |
| 入口浓度 | | 0.1–1.0 | 均匀分布 | 施加溶质浓度 |

**表3. 主要训练超参数（正文总结；完整细节见补充材料S2）。**

| 超参数 | 值 |
|--------|-----|
| 优化器 | Adam（, ） |
| 初始学习率 | （FNN和三种DeepONet变体）；FNO作为第二阶段学习率用于三种DeepONet变体；不适用于单阶段FNN/FNO |
| LR调度器 | ReduceLROnPlateau（因子0.5） |
| LR耐心值 | 800（对等比较） |
| 批大小 | 32 |
| 最大epoch数 | 5000每阶段（三种DeepONet变体和FNN）；2000（选择的FNO） |
| 早停耐心值 | 2000（三种DeepONet变体和FNN）；800（选择的FNO） |
| 质量平衡权重调度 | DeepONet第二阶段前40% epoch为0，之后为0.05 |
| RegShift界限 | , |

**3.5 评估指标**

我们使用四个互补指标，涵盖场级精度、过程级保真度和物理一致性。

**场级精度**

对于每个测试样本，相对场误差为，分别报告。主要统计量是测试样本的中位数；表格报告该中位数在三个种子下的均值和样本标准差。对于按场景分解的比较，还额外在指定的深度和时间区间内聚合浓度平均绝对误差（MAE）。

**浓度锋位置**

在每个输出时间点，浓度锋为满足的最深网格节点；锋面误差为预测与参考之间绝对深度差的时间平均值（单位：厘米）。这将锋面位置误差与浓度幅值误差区分开来。

**出口突破**

柱体出口的浓度时间序列，直接转化为溶质到达自由排水边界。突破时间提供了标量摘要，定义为超过阈值的时间；在48小时窗口内未超过阈值的情况被视为非突破，并从突破时间摘要中排除。

**水质量平衡**

终端水质量平衡误差（MBEw）定义为累计流入量与储存水变化量加累计流出量之间的百分比偏差。该指标作为物理合理性诊断的辅助指标：HYDRUS训练数据本身通过1%质量控制阈值，而代理模型的MBE在近似预测场上运行，预期会更大。

**4. 实验设计**

实验方案旨在回答三个耦合问题。首先，在匹配的训练/测试条件下，将函数值入渗边界显式嵌入到算子学习架构中，是否比逐点和谱基线模型产生可测量的增益（分布内，IID问题）？其次，当测试强迫在峰值强度或事件内峰值时机方面偏离训练包络时，这些增益是否持续，坐标变换机制是优雅退化还是灾难性失败（分布外，OOD问题）？第三，观察到的排名有多少归因于架构而非种子级优化方差（重复性问题）？为以受控方式解决这些问题，我们使用单一参数采样方案（第4.1节）生成公共HYDRUS-1D模拟池，将该池划分为共享训练和验证分布但在测试集抽取方式上不同的三个场景（第4.2节），并在统一三种子重复协议下使用公共数据和评估代码评估每个模型（第4.3节）。

**4.1 数据生成与质量控制**

**参数采样**

独立采样的变量为、，van Genuchten形状参数和，饱和导水率，纵向弥散度，的六个控制点，以及入口浓度。

我们采用拉丁超立方采样（McKay等，1979）在表2的边缘范围内进行采样。水力边界参考了Carsel和Parrish（1988）按USDA质地分类编制的参数范围，但该方法并未保留各分类间的参数相关性，也不构成对十二种联合质地分布的采样。在的对数尺度上采样，以覆盖其宽泛的边缘范围。六个入渗控制点也在 1 cm h?1 范围内独立采样；所得平滑分段线性函数为合成覆盖函数，并非经统计校准的天然降雨或灌溉事件。

前向模拟

每组参数均在HYDRUS-1D上进行积分，使用均匀空间网格（ cm，从土壤表面到 cm共101个节点），并以1 h的时间分辨率（49个时间步，含t=0）写入磁盘。上边界采用采样的 ；下边界为自由排水；初始条件为均匀压力水头 cm，背景浓度为零。IID和OOD（峰值）数据集各包含1024次模拟，OOD（峰值时间）数据集包含1152次模拟，后者预算更大以确保在第4.2节所述尾部选择后仍有足够数量的物理上较晚的峰值案例。

数据划分与质量控制

每个数据集首先划分为质量控制前的训练集（768）、验证集（128）和测试子集（IID为128；OOD为96），使得训练集和验证集的分布在所有场景下保持一致，仅测试集的抽样有所不同。随后对每个子集独立施加两项质量控制筛选：（i）移除在HYDRUS-1D默认迭代预算内未收敛的模拟；（ii）移除终端水量平衡误差超过1%的模拟。选择1%阈值是为了与HYDRUS平衡汇总的报告精度匹配，既排除数值上不可靠的案例，又不过度削减数据集的物理多样性。经质量控制后，IID场景保留约850个可用样本；OOD场景的样本损耗与之相当（第4.2节）。质量控制审计表明，用于定义两个OOD分割的驱动变量在过滤后仍然保持分离：被移除与被保留的峰值/峰值时间分布无显著差异，OOD测试中位数仍超出训练集最大值。然而，过滤对土壤参数并非分布中性的：被移除的模拟在 、 和 上显著更低（每个变量的置换检验 p < 0.001）。因此我们同时报告保留的驱动差距和土壤参数的选择效应，而非将质量控制描述为无偏的。

4.2 基准场景

共评估三个场景，均共享相同的质量控制前训练集和验证集抽样，仅在如何从数据集中选取测试子集上有所不同。两个OOD场景作为尾部分割构建，而非通过从改变后的分布中重新采样，从而所报告的退化反映的是相对于训练包络的真实外推，而非采样器的改变。

IID（分布内）。测试子集从数据集中均匀随机抽取，使得训练集、验证集和测试集在参数和入渗水文过程上共享同一联合分布。该场景隔离域内近似能力，作为两个OOD场景的评判基线；它直接回答当训练/测试不匹配最小时，算子学习架构能否恢复点态基线行为的问题。

OOD（峰值）。测试子集由峰值入渗率 处于数据集上第10百分位的样本组成，即由最剧烈事件驱动的样本。由于训练仅看到剩余的90%峰值强度，该场景要求代理模型外推到超过拟合期间所见幅度的入渗量级。此类条件可能出现在极端降雨或风暴驱动的补给、洪泛型灌溉以及接近设计容量运行的高通量MAR（管理性地下回灌）盆地。该场景测试代理模型对幅度外推的响应，同时保持驱动的时间形态基本在分布内。

OOD（峰值时间）。测试子集由峰值时间索引 处于最晚10百分位的样本组成，即在48小时窗口内峰值到达较晚的事件。由于浓度锋会整合完整的驱动历史，较晚到达的峰值会将平流-弥散锋特征推至比训练分布更深处和更晚时间；该分割最直接地针对时间坐标适应机制。从水文学角度看，它模拟了事件内时序偏移，如后载型降雨事件、峰值落在管理窗口后半段的MAR脉冲，或延迟释放的灌溉。该场景专门设计用于量化坐标变换机制如何通过湿润锋和浓度锋定位的变化来适应驱动的时间重组。

4.3 重复验证方案

为将架构效应与种子级优化方差区分开来，每个场景下的每个模型均在三个随机种子下独立训练，并在相同的质量控制后测试子集上评估；所报告的指标为三个种子的均值 ± 样本标准差。FNN、标准DeepONet、Shift-DeepONet和RegShift使用相同的Adam优化器、学习率策略、5000个epoch的上限和2000个epoch的早停耐心值。FNO配置在IID验证数据上通过36格搜索选定一次，随后冻结用于三场景三种子评估；包含填充是因为无填充实现产生了强烈的边界伪影。质量平衡正则化在前40%的Stage-2 epoch中关闭，随后以权重 激活，使早期训练专注于场级重建，之后才由守恒项开始塑造解。完整的架构和优化细节，包括层宽度、激活函数和训练计划，见补充材料S2。

5. 结果

5.1 函数值驱动下的基准性能

表4和图3汇总了函数值驱动下的基准结果。在同等预算下，Shift-DeepONet在IID和OOD（峰值）场景中 和 的中位数误差最低，而RegShift仅在OOD（峰值时间）场景中 误差最低。相对于匹配的无约束模型，边界约束改变了 误差：IID中为 ，OOD（峰值）中为 ，OOD（峰值时间）中为 ，其中负值表示改善。前两个场景中边界约束与无约束的差值小于观察到的三种子变异性；所测试的时间偏移显示的是选择性稳定增益而非普遍优势。经调优并加填充的FNO比原始无填充实现准确得多，但其浓度误差在三个场景中仍比高预算的标准DeepONet高出63–74%。

表4. 主要基准结果。每个单元格为三个种子的均值 ± 样本标准差，基于测试样本的中位数相对 误差。每列最佳值加粗。

| 模型 | IID | OOD（峰值） | OOD（峰值时间） |
|------|-----|------------|---------------|
| FNN | .222±.015 | .102±.001 | .211±.006 |
| 标准DeepONet | .214±.022 | .073±.017 | .232±.005 |
| Shift-DeepONet | .167±.025 | .061±.011 | .178±.040 |
| RegShift | .190±.007 | .062±.002 | .215±.025 |
| FNO | .297±.011 | .118±.013 | .297±.025 |

| 模型 | IID | OOD（峰值） | OOD（峰值时间） |
|------|-----|------------|---------------|
| FNN | .108±.010 | .226±.007 | .107±.005 |
| 标准DeepONet | .209±.003 | .070±.003 | .003 |
| Shift-DeepONet | .183±.034 | .075±.016 | — |
| RegShift | .195±.015 | .069±.010 | — |
| FNO | .295±.014 | .121±.008 | — |

图3. 五种模型在三个场景（IID、OOD峰值、OOD峰值时间）下的主要基准比较。柱状图显示三种子均值，误差线显示种子间样本标准差。图示值须与表4联合解读：Shift-DeepONet在IID和OOD（峰值）中领先，而RegShift仅在OOD（峰值时间）中具有最低的浓度误差。

5.2 过程级增益：锋面几何与穿透行为

表5报告了同等预算模型下的浓度锋位置误差和出口穿透时间MAE。Shift-DeepONet在IID和OOD（峰值）中锋面误差最小，RegShift在OOD（峰值时间）中锋面误差最小。点态FNN的场误差和锋面误差较大，但在三个场景中的两个中阈值穿越MAE最小；Shift-DeepONet的IID阈值误差最小。这一表面上的反转并不矛盾：即使内部浓度场存在偏差，单个出口阈值仍可能以大约正确的时间被穿越，因此穿透MAE不能替代场级评估。

表5. 浓度锋位置误差 [cm] 和出口穿透时间MAE [h]（三种子均值 ± 样本标准差）。每列最佳值加粗。

| 模型 | IID | OOD（峰值） | OOD（峰值时间） |
|------|-----|------------|---------------|
| | 锋面[cm] MAE[h] | 锋面[cm] MAE[h] | 锋面[cm] MAE[h] |
| FNN | 6.50±0.16 | 3.06±0.12 | 7.74±0.59 |
| FNN | | 2.49±0.35 | 6.87±0.11 |
| 标准DeepONet | 5.38±0.82 | 5.79±1.03 | 6.38±0.88 |
| 标准DeepONet | | 5.17±1.23 | 4.65±0.23 |
| 标准DeepONet | | | 5.57±0.93 |
| Shift-DeepONet | 3.74±0.79 | 2.73±0.34 | 4.55±0.96 |
| Shift-DeepONet | | 3.76±2.04 | 4.67±1.33 |
| Shift-DeepONet | | | 4.14±1.19 |
| RegShift | 4.29±0.11 | 4.38±0.92 | 4.74±0.63 |
| RegShift | | 5.26±2.09 | 4.34±0.56 |
| RegShift | | | 4.89±1.70 |

汇总指标无法展示误差在入渗事件中如何演变。因此图4使用修正的有界运行恢复了水文过程—锋面—出口视角。为避免按模型表面优势选择案例，每个展示案例通过预设的联合中心性规则选定。对每个测试样本，分别对RegShift、Shift-DeepONet和FNN的三种子取浓度相对 的平均值；然后计算三个场景内的百分位排名，显示最接近三个中位数的联合案例。轨迹为描述性而非汇总指标来源。它们表明出口序列可能看起来相对接近HYDRUS，而阈值定义的锋面仍对种子和早期场误差敏感，从而强化了表5中依赖指标的解读。

图4. 三个评估场景中联合代表案例的修正过程轨迹。面板显示施加的入渗水文过程（上）、由最深满足 的节点定义的浓度锋深度（中）以及100 cm处的出口浓度（下）。HYDRUS为公共参考；RegShift和FNN线为三种子均值，阴影带表示三个种子特定预测的范围。出口虚线标记 。案例38、8和24（从1开始编号）按文中所述联合中心性规则选定，未使用某一模型相对于另一模型的优势符号或幅度。

图5重新绘制了来自与表5相同的修正后E0汇总的有界模型出口阈值穿越MAE。仅有在48 h内具有有限HYDRUS参考穿越的案例进入每种子均值；对穿透进行条件化因此改变了比较群体。

图5. 三个评估场景中修正后有界RegShift模型的穿透时间MAE。柱状图显示三种子均值，误差线显示种子间样本标准差；图示值由与表5相同的冻结汇总生成。

由于场级和阈值指标可能对模型给出不同排序，过程级解读依赖于多种子汇总而非选定的可视化案例。图6为联合代表的IID案例增加了场级插图。所展示的预测使用固定的seed-42检查点；案例本身通过上述三模型三种子规则选定。差值图显示了RegShift比FNN更接近HYDRUS参考的位置和反向情况。浓度优势在此案例中空间分布广泛但不均匀，压力水头比较中存在局部反转；两张图均不用于估计汇总模型排序。

图6. 联合代表IID测试案例38（数组索引37）的场级插图。行显示压力水头 和浓度 ；列显示HYDRUS、修正后有界RegShift（seed 42）、同等预算FNN（seed 42）以及点态差值 。最后一列正值表示RegShift更接近HYDRUS的位置，负值表示相反。案例从三模型三种子误差百分位中选定，而非从RegShift与FNN的优势中选定，仅作为可解释的场级示例呈现。

5.3 坐标边界的实证区制诊断

图7将修正后有界RegShift与其同等预算无边界Shift-DeepONet对照在相同测试样本上进行比较。对每个种子和区制，所绘增益为 ，因此正值有利于边界约束。IID和高峰值均值除早期高峰值阶段外一般为非正，与这些场景中缺乏汇总优势一致。在晚峰值偏移下，60–100 cm区域的平均增益为 ，16–32 h为 ，32–48 h为 ，而早期阶段保持负值。标准差跨越零，因此该分解定位了晚峰值汇总优势的可能来源，但未确立普遍机制。深度-时间图同样显示围绕移动浓度锋和较深晚期区域共存局部增益和损失。

图7. 坐标边界的实证区制分解。面板(a)–(c)分别报告修正RegShift相对于同等预算无边界Shift-DeepONet在深度、时间和场景内峰值通量四分位上的浓度MAE配对百分比降低。符号显示三种子均值，须显示种子间样本标准差；正值有利于RegShift。面板(d)显示晚峰值在所有深度-时间单元格的三种子均值 ，正值表示有界模型的局部优势。其对称颜色界限设定为绝对单元值的第99百分位，更极端的单元饱和。

这是一项观测性的误差分解，而非对该变换机制的因果性证明。（关于本图注中颜色引用的解读，请读者参阅本文的网络版本。）

5.4 支持性证据：结构与训练消融实验

5.4.1 输入复杂度与算子优势
标量输入与函数输入两种设置的比较有助于厘清算子结构何时相较于逐点预测具有优势。表 6 表明，在标量输入下，Standard DeepONet 与 Grid-FNN（一种用于标量输入基准测试的网格锁定全连接基线模型）表现相似（-、-）；二者差距可忽略不计。在函数值输入及修订后的对等预算下，Standard DeepONet 的误差达到 - 和 -，而 FNN 基线模型为 /（见表 4）。压力头差异仍然适中，而浓度结果更倾向于分支–主干表示。由于标量输入与函数输入实验采用了不同的基准配置，该比较属于描述性分析，而非仅针对输入维度进行的受控因果消融。

表 6. 输入复杂度消融：标量 vs. 函数值（IID，3 种子均值）。函数输入的 Standard DeepONet 数值对应表 4 中的 Standard DeepONet 行。

| | 标量输入 | | 函数输入 | |
|---|---|---|---|---|
| 模型 | | | | |
| Standard DeepONet | 0.173 | 0.097 | 0.214 | 0.073 |
| Grid-FNN/FNN | 0.176 | 0.105 | 0.222 | 0.102 |

5.4.2 其他适用性检验
两项补充分析探讨了更窄范围的结构与训练选择。稀疏查询与跨分辨率实验表明，Standard DeepONet 对查询预算减半或时间网格密度减半相对不敏感，而逐坐标 FNN 在同样扰动下性能下降。质量守恒正则化扫描表明，将惩罚系数提高超过 0.05 并不会提升场精度，反而可能轻微降低精度，这支持将其作为辅助正则化器而非守恒保证来使用。

图 8 汇总了修订版用于界定范围的各项适用性审计。合成训练池自相关性很高，而九个实测 48 小时事件则为间歇性事件；因此所有受测代理模型在实测降雨时间形状测试中均出现性能下降，尽管修订后的有界模型在三款单种子评估模型中的浓度误差最小。在更强的单轴及联合驱动力–土壤测试中，修订后的有界模型同样表现出显著误差增长，且结果取决于源训练场景。这些探索性审计未与种子重复的主基准合并；它们指出了何时需要过程模型进行确认的条件。

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图 8. 冻结版审计得到的适用性包络诊断图。(a) 合成训练驱动力与九个实测降雨事件的自相关性（均值±样本标准差）。(b) 实测降雨时间形状压力测试的单种子浓度误差（强度已重新缩放至训练包络内）。(c) 在三种源场景上训练的修订后有限界模型的第二阶段单种子浓度误差，并在极端峰值、极端峰值时间和联合驱动力–偏移下评估。面板 (b) 和 (c) 为界定范围的探索性测试，不属于三种子主基准的一部分。

5.5 可靠性诊断与确认触发机制

图 9 综合了两项用于规范代理模型解读与使用的审计。求解器加质量控制总淘汰率在场景–划分组合间介于 10.2% 至 21.9% 之间，且保留–剔除审计表明过滤对若干水力参数并非中性。在 66 个归档的运行级结果中，终端水量 MBE 与浓度误差相关（Spearman , 置换检验 ），但关系过于分散，MBE 不足以作为准确性的认证。在预设的 10% 水量-MBE 触发阈值下，对高浓度误差（-）的召回率为 94.1%，精确率为 36.4%，66.7% 的运行被标记。因此，该触发机制用于请求 HYDRUS 审查，而非将未标记结果视为正确。

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图 9. 可靠性诊断图。(a) 按场景和划分统计的求解器加质量控制总淘汰率。(b) 66 个归档结果中运行级终端水量质量平衡误差（MBE）与平均浓度相对 的关联；虚线标示 10% 审查触发阈值。(c) 5%、10% 和 15% 水量-MBE 阈值下精确率、召回率和标记率的权衡，高误差定义为平均浓度相对 。MBE 是保守的审查触发器，而非精度认证。

5.6 计算效率

我们测量的是 HYDRUS 的端到端吞吐量，而非将单核时间乘以 外推。对每个进程数，同样的 192 个 IID 输入在两轮平衡重复中进行了尝试；计时包括输入生成、求解器执行、输出解析、失败调用及清理。在所有进程数下，成功数为 364/384，因此并发未引入额外失败。表 7 报告了实测吞吐量与效率，图 10 展示了相应的饱和情况及与并发相关的盈亏平衡点。

表 7. 实测 HYDRUS-1D 多进程吞吐量（两轮；均值±样本标准差）。挂钟时间对应每轮 192 次尝试模拟。加速比和效率以尝试吞吐量和单进程测量为基准。

| 进程数 | 挂钟时间 [s] | 吞吐量 [s?1] | 加速比 | 效率 [%] |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 1.00 | 100.0 | — | — |
| 2 | 1.98 | 98.8 | — | — |
| 4 | 3.47 | 86.7 | — | — |
| 8 | 3.68 | 46.0 | — | — |
| 16 | 3.85 | 24.0 | — | — |

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图 10. 实测计算扩展性与工作负载相关的盈亏平衡。(a) 各进程数下两轮平衡重复的尝试 HYDRUS 吞吐量（含失败调用）。(b) 相对单进程的实测加速比与理想线性缩放对比。(c) 由 4564 秒固定成本台账和各实测 HYDRUS 吞吐量计算的 GPU 批处理-1 盈亏平衡点；叠加线为实测并行效率。吞吐量在四个进程以上趋于饱和，因此计算优势取决于工作负载和求解器并发情况。

GPU 推理在批大小 1 时每场耗时 0.942 ms，批大小 128 时耗时 0.577 ms；单线程 CPU 推理耗时 94.85 ms。4564 秒固定成本台账结合了归档的完整 IID 数据生成清单（1030 秒）和修订后的有界 seed-42 第一阶段/第二阶段训练运行（3534 秒）；这是可审计的挂钟时间记账，而非同硬件单次运行比较。使用该台账和实测尝试吞吐量，GPU 盈亏平衡点相对于单 HYDRUS 进程约为 5.5k 次评估，相对于四进程为 19.1k 次，相对于十六进程为 21.2k 次。因此，10,000 次评估仅相对于单进程基准可回收固定成本，而非相对于实测的四至十六进程基准。GPU 推理的比较为跨硬件性质，且四个进程以上的饱和排除了线性扩展的主张。

6. 讨论

6.1 有界坐标变换何时有效
修订后的三种子比较确定了坐标变换加界的场景特定优势（表 4）。相对于其他方面完全相同但无界的 Shift-DeepONet，有界变体在 IID 驱动下将中位浓度误差改变了 ，在放大峰值偏移下改变了 ，在峰值时间偏移测试下改变了 。因此，该边界最好被理解为一种低成本护栏，它在测试的时间外推中起到稳定作用，同时在另外两个主要机制下产生的差异小于观测到的三种子变异性。一种合理机制是：无约束的仿射变换可能在事件时间变化时将查询移至训练期间所表示的坐标区域之外，而 门限限制了该越界。本实验诊断了经验模式，但未将该机制确立为普遍定理或经水文学标定的物理约束。

6.2 算子学习何时具有优势
在本基准中，算子架构在三项条件同时成立时最显优势。第一，边界条件必须是真正的函数值的，而不能压缩为少数几个标量，因为在标量输入下，更简单的 Grid-FNN 已具有竞争力（表 6）。第二，应用场景必须涉及分布偏移或预期驱动力模式超出校准范围。第三，目标量应取决于累积驱动力历史而非瞬时快照，正如深层溶质浓度集成完整入渗事件的情况。当这些条件不满足时，例如标量输入 IID 评估，更简单的基线模型表现相当。因此，算子学习的价值是情境依赖的，而非普适的。这一框架与近期工作方向一致：更复杂的非饱和流学习变体日益涉及非均质土壤、未知初始状态和不确定的边界时间（Haruzi and Moreno, 2023; Gong and Zha, 2025），算子学习研究也已开始明确处理多输入函数和条件偏移（Jin et al., 2022; Goswami et al., 2022）。

与 Taccari et al. (2024) 为饱和地下水流开发的 DeepONet 代理模型相比，本基准考虑了与溶质运移耦合的非线性非饱和流，使用了函数值上边界，并明确分离了多种分布偏移。它还补充了近期关于非饱和入渗与反演分析的算子学习研究（Lan et al., 2025; Ye et al., 2025; Kamil et al., 2025; Jiang et al., 2026），表明架构排名取决于驱动力和土壤参数偏移的方向，而不仅取决于测试集是否被标记为 OOD。

6.3 更广泛域偏移下的适用性
额外的压力测试将适用性评估扩展至头条 IID 误差之外。实测降雨时间形状与联合驱动力–土壤探针被有意作为单种子探索性压力测试报告，独立于三种子主基准。二者在训练域之外均产生显著的性能下降，表明选择性晚峰优势不应推广至任意驱动力形状或耦合驱动力–土壤偏移。其完整方案、可评估样本数和数值结果见补充材料 S6。这些界定范围的测试不是野外验证；它们将本代理模型定位为已记录的合成基准域内的筛选模型。

质量守恒筛选规则也应当保守使用。在 10% 阈值下，它可检测 94.1% 的高场误差案例，但精确率仅为 36.4%；因此它是用于 HYDRUS 审查的高召回触发器，而非未标记预测准确的认证。在另一次高强度 MAR 筛选中，仅代理模型排名未通过过程模型确认；完整的负面可行性结果见补充材料 S6。该结果确定了受测运行模式的可行性边界，并说明了确认的必要性。

因此，在已记录的合成域内，代理模型可优先排序候选项，随后由 HYDRUS 对保留案例进行确认。HYDRUS 仍是参数反演、运营 MAR 设计和野外决策的确认标准，直至有新的校准和验证数据可用。

6.4 局限性
本研究验证的是数值代理模型与 HYDRUS-1D 的对比，而非与野外观测的对比。域为固定深度 1 米的一维均质土柱，具有固定初始压力头和浓度以及自由排水下边界。平衡态 Richards–ADE 公式假设溶质运移为保守性运移；吸附、衰变、根系吸水、非均质性、优先流、滞后效应、非平衡运移和观测误差均未纳入。水力参数在 USDA 信息支持的边缘范围上独立采样，因此未保留类别特定的相关性。合成驱动力生成器以覆盖率为导向，而非随机降雨模型，且后仿真质量控制过滤器保留了驱动力偏移，但选择性地改变了 、 和 的分布。仅测试了有限的一组 OOD 轴，且两次外部压力测试超出了已记录的性能包络。最后，共享主干和质量守恒项均为软归纳偏差；二者均不提供硬守恒或物理适用性。

7. 结论

我们针对 HYDRUS-1D 模拟的函数值入渗条件下耦合非饱和流与保守溶质运移，对具有有界坐标的 DeepONet 与 Standard DeepONet、其他方面相同但无界的 Shift-DeepONet、逐点 FNN 和调优的 FNO 进行了基准测试。所有头条比较均使用三个种子和一种修正实现，其中坐标边界处于激活状态。

主要结论如下：

1. 性能取决于度量指标。有界模型在 IID、放大峰值和峰值时间偏移测试下的浓度中位相对 值分别为 、 和 ，而 FNN 尽管场精度较差，却可能产生更小的阈值穿越时间误差。

2. 坐标边界具有选择性优势。相对于匹配的无界 Shift-DeepONet，其在 IID 和放大峰值驱动力下的差异小于观测到的三种子变异性，而在测试的时间偏移下其浓度误差降低 。补充压力测试界定了该优势的普适性。

3. 适用性受分布偏移方向和质量控制支配。训练域外的探索性测试和已记录的质量控制筛选确定了何时需要过程模型确认。

4. 计算优势取决于工作负载。实测 HYDRUS 吞吐量随进程数增加而趋于饱和，盈亏平衡点取决于固定训练/数据成本、推理硬件、批处理、求解器淘汰率和评估次数。因此，代理模型支持与过程模型并行的可审计筛选工作流。

在上述边界内，函数值基准和有界变换为时间外推测试提供了可复现的基础。未来的工作必须确立向相关土壤类别、非均质剖面、反应性运移、观测边界条件、不确定性校准推理、野外测量和决策系统集成的迁移能力，之后才能提出操作性水文学主张。

CRediT 作者贡献声明
Zhitong Ma：撰写 – 审阅与编辑、撰写 – 初稿、可视化、验证、软件、调查、资金获取。
Xueyang Sun：撰写 – 审阅与编辑、正式分析、概念化。
Wenke Wang：监督、资源、项目管理。
Jing Li：软件、方法论。

马舒瑶：调查、形式分析。数据和代码可用性：模拟配置、分割和质量控制摘要、冻结汇总表格、图表生成脚本以及 HYDRUS 并发基准测试代码和结果已随附于补充代码存档中提供。HYDRUS 原始数据字段和训练检查点将作为永久存档发布的大文件组件包含在内。[公共仓库 URL 和存档 DOI 将在重新提交前插入。]资金：本工作得到了国家自然科学基金（批准号：42502257）、陕西省自然科学基础研究计划（批准号：2025JC-YBQN-434）以及中央高校基本科研业务费（长安大学，批准号：300102295507）的资助。马志通 | 孙学阳 | 王文科 | 李晶 | 马舒瑶