树木直径增量建模中替代方法的比较评估

《Canadian Journal of Forest Research》：A comparative assessment of alternative approaches to tree diameter increment modelling

　　

树木直径增量数据通常具有偏斜性和异方差性。增量也可能小到在野外记录为零值。已有多种建模方法可处理这些问题。研究人员比较了四种胸径（diameter at breast height, DBH）增量建模方法：(i) 对经位移后的DBH增量取对数变换后进行传统线性回归；(ii) 对同一响应变量应用截断标准Tobit模型；以及两个广义线性模型（generalized linear model, GLM），分别基于(iii) Gamma分布和(iv) 逆高斯分布。研究人员将每种方法的简单模型拟合至加拿大魁北克省永久样地中测量的黑云杉（*Picea mariana* (Mill.) BSP）DBH增量数据。比较依据为预测值每十分位的偏差和广义Pearson χ²统计量。截断标准Tobit模型显示出最小的偏差，其次是Gamma GLM和传统线性回归。逆高斯GLM的拟合效果最差。尽管响应变量的对数变换在文献中受到批评，但将其与截断标准Tobit模型相结合可产生统计上稳健的模型。研究人员得出结论，这种新方法应被视为一种有效工具，而不应仅仅因为响应变量经过对数变换而被否定。

## 四种树木胸径增量建模方法的比较研究

### 一、研究背景与问题

树木胸径（diameter at breast height, DBH，距地面1.3 m处直径）增量是衡量林业生产力的关键指标，常被用于量化和预测气候变化对森林的影响。然而，DBH增量数据在统计上呈现两大特征：一是分布呈右偏态，二是方差随预测值增大而增大（即异方差性）。此外，受抑制木的年生长量往往极小，在野外调查中常被记录为零值。这些特征导致常规线性或非线性回归在拟合此类数据时，极易违反正态性和方差齐性假设，从而削弱统计推断的有效性，增大II类错误（即未拒绝实际上为假的零假设）的风险。

长期以来，最常见的应对策略是对响应变量进行对数变换，以校正偏斜和异方差，再对变换后变量执行普通最小二乘（ordinary least squares, OLS）线性回归。但该方法存在一个根本缺陷：零值的对数无定义。实际应用中，研究人员通常先对增量加上正常数再取对数（如ln(Y+1)），而Y≥0这一自然约束会使变换后残差分布在预测值较小时出现截断形态。传统OLS未能考虑该截断，可能导致模型设定偏误。近年来，有学者提出采用截断标准Tobit模型，通过极大似然法显式刻画残差误差分布在零点的左截断，初步研究显示其优于忽略截断的OLS回归。另一方面，广义线性模型（generalized linear model, GLM）允许假设Gamma或逆高斯等非正态分布，可对原始尺度数据进行直接建模，成为对数变换的重要替代方案。然而，上述方法在统一数据集上的系统比较仍属空白。

### 二、数据来源与关键方法

研究人员利用加拿大魁北克省永久样地（permanent sample plot, PSP）网络的调查数据，该网络包含超过12,000个400 m²的随机分布样地，自20世纪70年代建立以来每隔5–15年复测一次。研究选取了5,641个独立的黑云杉DBH增量观测值，每个样地随机选取一株黑云杉、每株树仅保留一个生长间隔的增量，以确保样本独立性。自变量包括区间初始DBH（cm）、两次测量间隔时长（年）以及大于对象木DBH的树木基面积（basal area of larger trees, BAL，m²·ha^-1）。该数据集此前曾被用于截断标准Tobit模型的初步验证。

研究构建了四种建模方法：(1) OLS回归，响应变量为W=ln(Y+1)；(2) 截断标准Tobit模型，同样以W为响应，但在对数似然函数中加入残差在零处左截断的累积分布函数项；(3) 基于Gamma分布的GLM，因Gamma分布定义域不含零，故将响应变量位移为Z=Y+0.01，采用倒数连接函数；(4) 基于逆高斯分布的GLM，同样采用Z=Y+0.01和倒数连接函数。四种方法的比较基于原始尺度上的总体偏差（bias）、相对偏差（relative bias, RBias）、按预测值十分位分解的偏差，以及广义Pearson χ²统计量与自由度之比（χ²/df），后者用于评估模型方差假设与观测离散度的一致性。

### 三、研究结果

**（一）参数估计与总体拟合指标**

参数估计结果显示，四种模型的所有参数（β₀–β₃）均在p<0.001水平上显著。从总体相对偏差看，Gamma GLM表现最佳（0.0%），OLS次之（0.9%），截断Tobit模型为-1.3%，逆高斯GLM最差（-1.8%）。在离散度诊断方面，OLS（χ²/df=0.998）、Gamma GLM（1.000）和逆高斯GLM（1.000）均接近理想值1，表明其方差假设与数据吻合；截断Tobit模型的χ²/df为0.833，提示存在一定程度的欠离散。

**（二）十分位偏差分析**

将预测值按大小分为十个十分位后，各方法的偏差格局更为清晰。截断Tobit模型在全部十分位中的平均偏差最小，其最大绝对偏差仅为-0.16 cm（出现在第4十分位），相对偏差的最大值为-13.1%（第4十分位）。Gamma GLM的最大偏差为-0.27 cm（第10十分位），相对偏差最大为-16.7%（第1十分位）。OLS的对应值为0.29 cm（第10十分位）和-19.3%（第4十分位）。逆高斯GLM表现最差，最大偏差达-0.56 cm（第10十分位），相对偏差最大为-19.9%（第10十分位）。综合而言，截断Tobit模型在预测值两端（低值和高值）的偏差控制明显优于其余三种方法。

### 四、讨论

文献中反对对数变换的主要理由有两点：一是OLS估计量对正态性假设偏离具有稳健性；二是GLM等新方法可在原始尺度上建模。本研究的比较表明，GLM的性能高度依赖于所假设的分布类型。Gamma GLM的总体偏差最小，十分位偏差与OLS相当甚至略优，是有效的替代方案；逆高斯GLM则因逆高斯分布在其参数空间中始终不对称，无法像Gamma分布那样灵活拟合数据形态，故偏差最大。

截断Tobit模型虽然总体相对偏差略逊于Gamma GLM，但其十分位偏差全面优于其他方法。该优势源于其对残差截断结构的显式刻画，说明对数变换本身并不会导致模型劣化，关键在于是否正确处理变换后遗留的分布约束。该模型的代价在于期望和方差的数学表达式较为复杂，且更易出现离散度误设。本研究中该模型表现出欠离散（χ²/df=0.833），即观测方差小于模型假设方差。欠离散不会改变点预测值，因为预测依赖于均值结构，而非离散度；但它会使方差估计偏高，导致置信区间和预测区间过宽，低估预测精度，并提高II类错误率。

McCullagh和Nelder曾提出在GLM框架下用χ²/df乘以估计方差作为校正方差估计量。若将该思路应用于截断Tobit模型，其欠离散因子0.833意味着校正后的标准误约为当前估计值的0.912倍，但该校正方法在截断Tobit模型中的适用性尚需进一步论证。此外，有观点认为截断Tobit模型难以处理随机效应，限制了其在混合效应建模中的应用。但SAS系统的NLMIXED过程已可实现该模型的混合效应版本，说明这一限制并非不可克服。本研究比较中向GLM响应变量添加常数（0.01 cm）虽引入细微扰动，但该常数远小于观测增量尺度，与测量误差量级相当，其影响可忽略。

### 五、结论

四种建模方法的比较显示出明显的性能权衡。截断标准Tobit模型通过显式刻画残差截断，在全部十分位中获得最小预测偏差，表现最佳；基于Gamma分布的GLM和传统OLS回归总体相对偏差较小，但在低值和高值十分位偏差较大，可作为备选方案；基于逆高斯分布的GLM因分布形态与数据不匹配，拟合效果最差，不适用于此类数据。截断Tobit模型的主要局限是欠离散，可能增加II类错误概率。需要强调的是，本研究仅基于魁北克省黑云杉单一树种的5,641个观测值，各方法的相对性能可能随树种而改变，尤其是当零值增量的比例或数据偏斜度发生变化时。因此，开展多树种比较是验证截断标准Tobit模型通用性的合理下一步。在当前证据下，对数变换与截断标准Tobit模型的组合应被视为树木DBH增量建模中一种统计上可靠的有效工具，不应仅因采用对数变换而被简单否定。