欺骗攻击下高维系统的鲁棒滤波

《Digital Signal Processing》：Robust Filtering for High-Dimensional Systems Under Deception Attacks

　　

为高维系统在欺骗攻击下设计了一种min-max鲁棒滤波器。
通过新息白化将耦合问题分解为标量子问题。
博弈论分析刻画了纯策略均衡和混合策略均衡。
基于特征值形状提供了选择松弛方法的经验指导。
在持续攻击下，相对于标准卡尔曼滤波器实现了最高77.5%的RMSE改善。

引言
状态估计在现代信息物理系统中起着至关重要的作用，包括智能电网监控、自动驾驶导航和多智能体编队控制。在这些应用中，通过通信网络传输的传感器测量数据容易受到恶意篡改，攻击者注入精心构造的信号以破坏估计器对系统状态的认知。当真实状态无法直接测量，或状态数据在传输过程中被破坏时，状态估计技术（尤其是卡尔曼滤波器及其变体）对于重构系统内部动态变得至关重要。

然而，这些估计器的性能从根本上取决于测量数据的质量和完整性。在实际网络环境中，测量输出经常受到各种问题的破坏，包括数据包丢失[1]、[2]、[3]，传感器输出丢失[4]，以及蓄意网络攻击[5]、[6]、[7]、[8]、[9]。其中，最常见的攻击形式包括拒绝服务攻击[10]、[11]、[12]、[13]，重放攻击[14]、[15]、[16]，和欺骗攻击[17]、[18]、[19]、[20]、[21]、[22]。这些对抗行为不仅降低估计精度，还引入不可预测的偏差和方差，从而破坏整个控制回路的稳定性和可靠性。因此，解决存在攻击时的滤波问题既必要又关键。

现有的针对测量攻击的防御方法大致可分为三类。基于检测的方法，如卡方残差检验和基于CUSUM的变化检测，通过监控新息统计量与预设阈值进行比较来识别和拒绝受损测量。当攻击产生明显异常时这些方法有效，但它们依赖准确的噪声模型，可能无法抵御设计为规避检测的隐蔽攻击。鲁棒估计方法，包括H∞滤波、集合成员估计和基于M估计的卡尔曼滤波器，在不显式检测攻击的情况下界定最坏情况估计误差，但在高维情况下往往过于保守。博弈论方法将攻击者-防御者交互建模为策略博弈并寻求均衡解；然而，这些解通常要求双方都理性行动，这在对抗环境中无法保证。

越来越多的文献致力于开发明确考虑恶意攻击者存在的攻击感知滤波器。例如，Liu等人[23]研究了在DoS攻击和欺骗攻击下切换T-S模糊系统的事件触发异步故障检测滤波器设计。在[24]中，为过程噪声和测量噪声是一维平方可积信号的系统推导了一种滤波器，针对DoS攻击。Wang等人[25]为受欺骗攻击影响的二维马尔可夫跳跃系统提出了一种递归滤波策略。在[26]中，滤波问题在由伯努利分布和缺失测量刻画的攻击背景下得到解决。同时，Meng等人[27]设计了一种针对部分传感器节点的抗高斯攻击分布式滤波器。尽管这些研究代表了重要进展，但其适用性通常受到假设的限制，这些假设要么需要已知的攻击模型，要么需要控制攻击的固定概率分布。

这些现有工作中的一个共同局限性是它们依赖对攻击模式或其统计特性的先验知识。然而在实践中，攻击者往往是策略性和适应性的，使这些假设过于严格。为部分缓解这一问题，[28]中引入的非PDC耗散滤波器针对具有不确定但有界概率的网络攻击系统设计。类似地，Zhang和Sun[29]通过开发一种新型抗攻击本地联合滤波器，解决了具有不确定概率的欺骗攻击下的分布式滤波问题。尽管这些贡献承认了攻击行为的不确定性，但它们仍然预设攻击遵循已知的概率结构。具体而言，不确定性局限于发生概率而非攻击的结构形式或时间演化。这种区分至关重要，因为现实世界的攻击往往是时变的、结构灵活的和意图驱动的，使其精确的概率建模不可行。

最近，Liang等人[30]解决了具有未知参数的攻击的滤波问题，首先估计这些参数然后设计滤波器。然而，如果攻击是时变的，即使有参数化模型可用，准确估计也变得困难。Chen[31]和Zhou[32]考虑了受未知攻击影响下的系统，并证明在某些条件下估计误差方差保持有界。然而，这些研究中导出的上界并非严格紧致，且攻击模型通常假设为静态或慢变的，从而排除对更具动态和规避性攻击策略的分析。此外，在后者的工作中，要求测量维度超过系统维度，这一条件往往不切实际。在[33]、[34]、[35]、[36]中，为受未知随机攻击影响的系统开发了鲁棒滤波器。然而，这些方法通常将滤波问题重新表述为替代公式——例如最小化估计方差或在马氏距离约束下求解H∞滤波问题——而没有从攻击者的角度考虑问题。因此，从博弈论角度考虑策略性对抗行为、设计存在未知且时变攻击时的鲁棒线性滤波器的这一问题，在现有文献中尚未得到充分解决。

本文通过为受有界能量欺骗攻击的高维系统设计一种鲁棒滤波框架来应对这一挑战。该框架采用适合最坏情况设计的min-max视角，仅需要攻击能量的上界而非任何概率模型。主要贡献如下。
•通过新息白化实现高维分解。将新息协方差对角化并对每个通道进行白化，将耦合的高维滤波问题分解为独立的标量子问题。通道间的耦合由单一各向异性约束捕获，然后通过最小特征值松弛为球形界，产生保守但可分析的标量公式。
•标量min-max问题的博弈论分析。在所提出的min-max框架内分析了攻击者与防御者之间的策略交互。在球形松弛下显式刻画了攻击者的最优策略，并证明了防御者的最优补偿参数存在且由标量min-max优化唯一确定。最坏情况损失函数被证明是单峰的，并刻画了纯策略均衡和混合策略均衡。
•松弛方法选择的经验指导。通过体积比分析量化了球形松弛的保守性。通过离散特征值模式和100个条件数的系统化参数扫描，数值结果表明松弛方法的选择取决于特征值分布形状而非仅条件数。基于这些观察，提供了初步指导：推荐λmin作为默认选择，当分布高度偏斜时算术平均松弛似乎更有优势。
•通过预计算查找表实现高效在线实施。由于最优补偿参数仅取决于已知的攻击能量上界和系统参数，可以离线预计算查找表。在线实施每个时间步仅需一次特征分解和一次查找表查询，使用10个表点的线性插值实现最大相对误差为0.43%。
•数值验证。在一维和三维系统上的仿真表明，在持续攻击下所提出的滤波器相对于传统鲁棒滤波器实现了显著改善，最高可达到相对于标准卡尔曼滤波器77.5%的RMSE改善。额外实验考察了滤波器对攻击上界M的敏感性、乘性传感器故障下的行为，以及不同特征值分布下替代松弛方法的性能。

本文其余部分组织如下。第2节形式化了欺骗攻击下的滤波问题，介绍了基于白化的通道解耦，并提出了标量minimax公式。第3节提供了博弈论分析并推导了最优min-max滤波器。第4节展示了多种攻击场景下的数值验证。第5节讨论了松弛的保守性、对攻击上界的敏感性以及所提方法的局限性。第6节总结全文并概述未来研究方向。

问题片段

问题表述
考虑离散时间线性系统
x_{k+1} = Ax_k + w_k
y_k = Cx_k + v_k
其中x_k∈?^n是系统状态，y_k∈?^p是无攻击测量向量。过程噪声w_k～N(0, Q_k)和测量噪声v_k～N(0, R_k)是零均值高斯白噪声序列，相互独立且独立于初始状态。初始状态x_0～N(x?_0, P_0)是具有已知均值和协方差的高斯分布。

主要结果：标量Minimax问题的求解

本节呈现了公式(20)中标量minimax优化问题的完整解。分析分三个阶段进行。3.1节建立了支撑所有后续推导的损失函数基本性质。3.2节刻画了策略性攻击者如何对给定防御参数c作出响应。3.3节推导了防御者的最优补偿参数，建立了纯策略最坏情况性能保证，然后

一维系统的实验结果

在本小节中，我们使用一维线性系统验证所提出的min-max鲁棒滤波器在不同攻击强度下的表现：
x_{k+1} = 0.9x_k + w_k, w_k～N(0, 0.1)
y_k = x_k + v_k, v_k～N(0, 1)
z_k = y_k + a_k
其中攻击a_k满足|a_k|≤M=5。仿真运行T=10000个时间步，进行200次蒙特卡洛试验。

我们比较了四种滤波器：标准卡尔曼滤波器(KF)，H∞滤波器(γ=0.1)，M估计鲁棒滤波器(Huber阈值c=2.0)，以及所提出的min-max鲁棒滤波器。所有滤波器

λmin松弛的保守性和选择指导
第2节引入的球形松弛将原始椭球约束∑(i=1到p) λ_i * m?^2_{k,i} ≤ M2替换为其外接球∑(i=1到p) m?^2_{k,i} ≤ M2/λ_min。由于对所有i有λ_i ≥ λ_min，满足原始约束的任何点也满足球形约束；球严格包含椭球。因此，松弛是有保证的上界：它保护免受真实可行攻击的超集。过度覆盖的程度由特征值分散度控制，该特征值

本文开发了一种min-max鲁棒滤波框架，用于受有界能量欺骗攻击的高维线性系统。该框架通过新息白化和保守的球形松弛解耦高维问题，将其简化为标量minimax优化。博弈论分析刻画了攻击者的最优策略，并建立了防御者最优补偿参数的存在性和唯一性。最坏情况损失函数被证明是

作者贡献声明
王畅宇：概念化、方法学、软件、验证、形式化分析、调查、写作——初稿、可视化。熊峻林：资源、写作——审阅与编辑、指导、资金获取。CRediT角色：概念化：想法；研究目标和目的制定。方法学：方法开发。软件：编程、软件开发。验证：结果验证。形式化分析：数学分析。调查：进行研究。

利益冲突声明
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王畅宇 | 熊峻林