弹性边界约束下具有空间三维可设计复合材料组元的填充泡沫蜂窝夹层板振动分析的新型不等效离散化建模方法

《MECHANICAL SYSTEMS AND SIGNAL PROCESSING》：A novel inequivalent discretization modeling for vibration analysis of foam-filled honeycomb sandwich plates with spatially three-dimensional designable composite constituents under elastic boundary constraints

　　

# 摘要

泡沫填充蜂窝夹层复合板通常采用等效方法进行分析，该方法将蜂窝骨架和泡沫填充材料替换为有效均质连续体。这种处理方式消除了蜂窝骨架和泡沫填充区域之间的明确空间区别，限制了局部刚度、惯性和变形机制的表达，并阻止了将可变刚度和功能梯度设计直接引入芯层。本研究开发了一种非等效动态建模框架，用于预测具有泡沫填充蜂窝芯的双向可变刚度功能梯度复合夹层板的强迫振动和自由振动行为。本研究的主要创新在于三个方面。首先，引入几何相关的材料分配函数，以保留蜂窝骨架和泡沫填充区域之间的空间区别，并将其直接嵌入刚度、惯性和能量算子中，而非用平均属性替换异质芯层。其次，双向可变刚度公式与功能梯度相结合，实现了刚度定制。第三，这些几何和材料描述被集成到统一框架中，用于预测弹性边界约束下的自由振动和强迫振动行为。该公式基于一阶剪切变形理论、弹簧约束技术、瑞利-里兹法以及高斯-勒让德数值积分方法，建立了用于固有频率、振型和振动响应分析的方法。通过与高保真ABAQUS有限元仿真和已发表基准解的验证以及等效均质化方法的对比，量化了误差来源，最大固有频率偏差从79.69%降低到4.11%。参数研究表明了蜂窝拓扑结构、泡沫填充分布、双向铺层角变化、胞元尺寸、载荷类型和阻尼大小对振动特性的耦合效应。结果表明，非等效模型保留了蜂窝壁和泡沫填充区域之间的力学区别，同时捕捉了双向可变刚度功能梯度材料带来的额外设计灵活性，这可以为先进复合夹层结构的振动导向设计提供更高的精度和物理洞察。

# 引言

对优异轻量化性能[1]、卓越机械效率[2],[3]以及多功能集成[4]的不懈追求，横跨高超音速飞行器、高速列车、海洋平台以及其他苛刻工程领域[5],[6]，推动了先进结构构型和材料系统的持续创新[7],[8],[9]。泡沫填充复合蜂窝夹层板为这些应用提供了有效的结构解决方案[10]，其中蜂窝架构的承载能力通过蜂窝泡沫填充引入的能量耗散、热缓冲和芯层稳定特性得到协同增强[11]。这种混合结构结合了宽泛的可定制性[12]、高比刚度和比强度[13],[14]、抗冲击性[15]和疲劳耐久性[16]，以及设计灵活性[17]和增强振动阻尼[18],[19],[20],[21]，促进了其在重量敏感应用中的广泛采用，包括飞机结构蒙皮[22],[23]、航空航天热防护组件[24],[25]和潜艇耐压壳体[26],[27]。在这一背景下，可变刚度和功能梯度[28],[29]材料策略作为变革性设计范式出现，通过实现空间可编程刚度分布和连续厚度方向材料过渡，拓展了传统均匀复合材料的性能边界。将这些先进材料概念同时集成到泡沫填充蜂窝芯中，开辟了一个未经探索的设计维度。

尽管上述结构优势显著，泡沫填充复合蜂窝夹层板在其服役寿命中不可避免地会遇到严重且多方面的动态激励[30],[31],[32]，包括气动压力波动、声载荷、机械冲击以及耦合热-机械扰动。当这些激励在设计阶段没有得到充分评估时，由此产生的持续振动可能逐步恶化为关键失效事件，范围从过大位移幅度和界面分离，到疲劳裂纹扩展和最终结构断裂[33],[34]。泡沫填充和双向可变刚度功能梯度设计的存在，进一步通过引入空间异质刚度和惯性场来复杂化动态响应，而这些无法被均质化模型所捕捉，这使得精确预测振动行为变得尤为困难却又不可或缺。因此，一个既保留这种内部异质性又保持计算效率的建模框架，对于可靠预测振动行为以及具有改善动态扰动抵抗能力的轻量化夹层结构的合理设计而言，是必不可少的。

大多数关于振动蜂窝板的现有理论研究仍然依赖Gibson和Ashby型代表性单元均质化[2],[18],[20],[22],[23],[33],[35],[36],[37],[38],[39],[40],[41],[42],[43]。在这类处理方式中，蜂窝芯被替换为等效各向异性或正交各向同性均质层，其有效弹性常数和密度由代表性单元响应导出。这种策略很方便，但需要规则的蜂窝拓扑结构和蜂窝单元均匀的平面内分布。它还往往将芯层限制在各向同性、正交各向同性或传统复合材料描述中。一旦真实的蜂窝骨架被转换为平均连续体，蜂窝壁、空隙和填充相之间的空间区别就被抑制了，这使得将功能梯度材料和可变刚度设计直接引入蜂窝芯变得困难。基于这一均质化基础，Sorohan等人[35]使用具有周期性边界条件的代表性体积单元有限元模型来评估正交各向异性蜂窝常数。Zhou等人[36]随后将Gibson型等效芯层属性嵌入六边形蜂窝夹层板在超音速流动中的哈密顿有限元气动弹性框架。对于泡沫填充和拉普夹层系统，Li等人[18]结合Reddy高阶剪切变形理论、哈密顿原理、有限元和Gibson型等效参数，捕捉了泡沫填充蜂窝板的振幅相关阻尼。Liu等人[38]重新表述了Gibson函数，描述了拉普蜂窝板的非线性共振。Jiang等人[37]将此线从基于折线理论的凹进芯板自由振动预测推进到通过模态应变能分析评估的泡沫填充和阻尼层增强拉普板。更新的趋势是降阶但力学一致的等效建模。Liu和Zhong等人[33],[40],[41]使用变分渐近方法构建二维等效Reissner-Mindlin或等效板模型，用于正交手风琴型和蝴蝶形蜂窝板，涵盖静变形[41]、自由和随机振动[40]以及基础激励约束振动[40]。更广泛的方法论综合体现在Li等人[2]关于蜂窝建模解析、数值和实验路线的全面综述中，以及Zhang等人[39]为弯曲凹六边形芯提出的模态行为驱动等效参数优化。Carrera等人[42]对分层均质化模型进行

对于功能梯度材料，Huang 等人 [67] 将多层金属板视为梯度保护系统，并使用基于扩展哈密顿原理的解析建模方法，将组分梯度与大的非弹性变形及失效机理联系起来。Tan 等人 [68] 将介电和孔隙效应引入功能梯度石墨烯纳米片增强板中，其中通过两步微观力学模型、Mindlin-Reissner 板理论、von Kármán 非线性、差分求积法以及直接迭代法描述了非线性自由振动。Wang 等人 [69] 开发了一种双功能梯度锥壳模型，结合了改进的 Halpin-Tsai、Mori-Tanaka、修正 Schapery、高阶剪切变形理论及实验，将依赖于温度的梯度、厚度与振动指标联系起来。除了基于材料的刚度剪裁，基于几何的多孔结构架构也被探索用于有效的刚度调节。Hajighasemi 等人 [70] 开发了一种智能周期性宏观结构，通过单元胞的几何设计实现可调的有效刚度，并通过实验证明了其显著的刚度增强效果，突出了结构几何在刚度剪裁方面的潜力。

上述综述表明，仍有几个关键问题尚未解决。Gibson 型代表性体积均质化在蜂窝芯中仍被广泛使用，但它模糊了胞壁与填充区域之间的几何区别，并可能给频率和动态响应预测引入误差。基于体积含量的泡沫填充芯建模进一步忽略了实际的材料分布，且难以与位置相关的芯层属性耦合。此外，蜂窝夹层结构中的功能梯度和变刚度设计主要集中于面板，而芯层区域和双向纤维路径剪裁仍有待进一步探索。而且，针对此类复杂复合蜂窝系统，具有任意平动和转动约束的广义弹性边界的统一解析处理仍然有限。为了弥补这些差距，本研究开发了一种双向变刚度功能梯度复合夹层板在非等效动力学建模框架，该结构具有泡沫填充蜂窝芯并处于广义弹性边界约束下。在该框架中，几何依赖分配函数被嵌入到能量公式中，以区分蜂窝实体壁与泡沫填充区域，并根据其实际空间分布评估组分级刚度和惯性贡献。引入双向纤维导向函数，沿两个坐标方向剪裁两个面板和蜂窝壁的面内刚度，同时为不同的结构组分分配厚度方向的功能梯度增强分布，从而实现在所有三个空间维度上的协同刚度剪裁。该公式建立在一阶剪切变形理论框架内，并通过瑞利 - 里兹法结合高斯 - 勒让德数值积分求解，得出适用于弹性边界条件下自由和强迫振动分析的统一动力矩阵方程。本公式采用瑞利 - 里兹法建立，而非有限元公式。这一选择是基于开发一个高效的半解析理论框架的目标，该框架能够明确表示许可位移场，并便于进行广泛的参数研究，而无需重复生成网格。

本文后续章节安排如下。第 2 节建立了具有泡沫填充蜂窝芯的双向变刚度功能梯度复合夹层板的理论模型，包括结构构型、建模假设、材料描述、固体 - 泡沫分配函数、本构关系、能量表达式、弹性边界约束以及许可中面位移函数。第 3 节展示了求解过程，其中结合了高斯 - 勒让德积分、瑞利 - 里兹法、瑞利阻尼模型和时域响应算法，以推导和求解动力学控制方程。第 4 节进行了收敛分析并确定了合适的数值参数和边界弹簧刚度，证明了所提出模型的有效性和数值稳定性。第 5 节将所提出的非等效模型与有限元结果及参考文献基准数据进行了验证，并与传统的等效方法进行了比较。第 6 节讨论了蜂窝拓扑、胞元尺寸、泡沫填充、双向刚度轨迹、功能梯度方案、载荷形式、阻尼和芯层厚度比对振动特性和动态响应的影响。最后，第 7 节总结了贡献，并为泡沫填充蜂窝复合夹层板提供了设计启示。

章节概要
模型描述与假设
图 1 展示了处于弹性边界约束下的具有泡沫填充蜂窝芯的双向变刚度功能梯度复合夹层板的几何构型及基本建模要素，定义了结构构型、全局和局部坐标系、尺寸参数、变刚度增强设计、厚度方向功能梯度模式、蜂窝胞元拓扑以及分布式弹簧边界处理。

高斯 - 勒让德数值积分路径
为了实现由蜂窝实体骨架、泡沫填充区域及变刚度功能梯度复合组分引起的空间非均匀质量和刚度贡献的评估，高斯 - 勒让德数值积分策略被引入动能、弹性应变能、边界弹簧势能和外力功的面内积分中，以容纳雅可比多项式的特征展开区间。

收敛分析与模型参数确定
在验证和参数研究之前，进行了系统的收敛研究，以确定雅可比多项式展开的截断数 M 和 N、两个雅可比自由参数 a 和 b 的最佳组合，以及达到稳定可靠结果所需的高斯 - 勒让德积分点数，针对具有泡沫填充蜂窝芯的双向变刚度功能梯度复合夹层板。a 和 b 的选择需要...

模型验证与对比研究
为了全面评估所提出的非等效动力学建模框架的准确性和可靠性，从三个独立角度进行了系统验证研究，每个角度针对本公式的一个不同关键组件。验证共同涵盖了非等效泡沫填充蜂窝芯建模策略、功能梯度材料表征以及双向变刚度描述，以及...的灵活性。

动态行为的参数驱动因素及其机制解释
利用第 4 节收敛分析与模型参数确定和第 5 节模型验证与对比研究中收敛并验证的理论框架，具有泡沫填充蜂窝芯的双向变刚度功能梯度复合夹层板的动态行为受一组广泛的相互作用的结构、材料和载荷参数控制，其单独和组合影响作用于固有频率、模态形状和强迫振动响应。

结论
已开发了一种非等效动力学建模框架，用于处于广义弹性边界约束下的具有泡沫填充蜂窝芯的双向变刚度功能梯度复合夹层板。通过将几何依赖分配函数直接嵌入到能量泛函中，所提出的公式明确区分了蜂窝骨架与泡沫填充蜂窝区域，无需等效均质化，从而实现同时建模...

CRediT 作者贡献声明
Bocheng Dong：写作 - 审阅与编辑，写作 - 初稿，可视化，方法论，调查，资金获取，概念化。Rui Zhao：写作 - 审阅与编辑，验证，方法论，数据整理，概念化。Hua Li：写作 - 审阅与编辑，监督，软件。Jinze Li：写作 - 审阅与编辑，调查，形式分析。Kaiping Yu：写作 - 审阅与编辑，监督，资源，方法论，资金获取。

利益冲突声明
作者声明他们没有已知的竞争财务利益或个人关系，这些关系可能会影响本论文报告的工作。

致谢
本研究得到了中央高校基本科研业务费（项目编号：HIT.DZJJ.2025053）、国家自然科学基金（项目编号：12272105）、黑龙江省自然科学基金（项目编号：BS2025A002）以及中国科协青年科技人才培养计划博士生项目（CAST）的支持。第一作者感谢国家留学基金委（项目编号：202506120073）的财政支持。图像生成...
Bocheng Dong|Rui Zhao|Hua Li|Jinze Li|Kaiping Yu