具有状态相关输入时滞的非线性积分微分方程的多层预测器反馈设计

《Automatica》：Multi-layer predictor feedback design for nonlinear integro-differential equations with state-dependent input delays

　　

**摘要**

本文提出了一种新颖的多层预测器反馈方法，实现对一般非线性积分-微分方程中状态依赖输入延迟的精确补偿。所研究的系统是一个非传统的混合偏微分方程（PDE）-常微分方程（ODE）系统，其中非线性ODE通过非齐次对流PDE进行驱动。此外，PDE的传播速度取决于ODE状态的移动窗口积分。上述两个特征在标准的基于PDE反步法的预测器反馈设计中尚未被解决。我们首先处理对应于线性再循环回路的源项，随后将该框架推广到源项为非线性再循环回路和线性摩擦项的情形。在后一种情形中，我们采用边界通量控制。我们证明，非齐次双重非线性混合PDE-ODE系统导致相应的"非齐次"控制律。稳定控制器由基于预测器反馈状态的标称无延迟控制律组成，并通过非线性多层预测机制增强，以补偿PDE的加性源项。我们的模块化设计基于两种新颖的非线性反步变换：第一种实现PDE状态的边界控制，第二种解决通量控制问题——即将ODE状态与PDE状态之积定义为受控边界条件。与领域内常用的基于Lyapunov的方法不同，我们的稳定性和适定性分析依赖于特征线法和不动点论证。两种设计均在上确界范数下实现了PDE和ODE状态的全局渐近稳定性（GAS），仅需假设PDE控制方程中的非线性是一致Lipschitz连续的。由ODE状态的积分所决定的传输速度，可建模如生产和排队过程，其中有限缓冲区的状态——即库存水平——决定了生产或服务速率。数值仿真表明，所提出的控制设计在缓冲区调控的生产线和排队系统中有效，在局部安全的软化的"bang-bang"反馈律下确保渐近稳定性，同时保持系统状态和驱动信号的正性。

**引言**

Smith预测器于20世纪50年代末为稳定的线性时不变（LTI）系统而引入，是死区系统补偿器设计的一项基础性发展。在Smith（1957, 1959）的工作中，通过利用无延迟模型引入预测概念：使用无延迟情况下系统的状态来估计其未来值，从而有效补偿恒定时延。Manitius和Olbrot（1979）将该方法通过有限谱配置（FSA）推广至不稳定被控对象。此后，Artstein（1982）通过引入基于预测器的变换，将Smith的预测器进行了推广，将具有恒定输入延迟的线性或非线性系统重新表述为等效的无延迟系统。该变换便于使用标准状态反馈设计方法，即使开环时延系统不稳定也可应用。

大约自2000年以来，基于Smith和Artstein的基础性工作，PDE反步法预测器控制（Krstic, 2008, Krstic, 2010a, Krstic, 2010b），其稳定性证明根本上基于Lyapunov论证，取得了相当有趣的进展。该方法推动了具有输入延迟的有限维系统预测器反馈设计的发展——涵盖时变延迟（Bekiaris-Liberis和Krstic, 2011, Krstic, 2010c）、状态依赖延迟（Bekiaris-Liberis和Krstic, 2012, Diagne等, 2017, Yu等, 2020）、输入历史依赖延迟（Diagne等, 2017a），以及随机（Kong & Bresch-Pietri, 2022）、不确定和分布式延迟（Bekiaris-Liberis & Krstic, 2010）。安全关键预测器反馈设计见Abel等（2019, 2021），规定时间稳定化见Espitia和Perruquetti（2021）。非线性预测器方案的保持稳定性数值实现见Karafyllis和Krstic（2017），极小极大寻优控制的预测器反馈设计见Oliveira等（2016），规定时间收敛见Yilmaz和Krstic（2024），以及Yilmaz等（2024）最近提出的指数和无偏收敛。

在PDE反步法设计之外，预测器反馈已广泛用于具有输入延迟的严格反馈非线性系统稳定化（Cacace等, 2016），以及具有输入和输出延迟的随机系统（Cacace等, 2020）。Mazenc和Malisoff（2016）提出了一种预测器稳定化方法，针对具有逐点输入延迟的一般非线性时变系统。Mazenc和Malisoff（2017）、Weston和Malisoff（2018）开发了顺序预测器反馈策略，并在Malisoff和Krstic（2020）中进一步扩展至多变量极小极大寻优。Zhou等（2017）提出了具有输入和状态延迟的线性系统的基于观测器的预测器设计。区间预测器设计应用于Polyakov等（2013）以实现具有未知、有界、时变输入延迟的线性系统的输出反馈稳定化。除预测器反馈方法外，Kolmanovskii和Richard（1999）基于Riccati矩阵方程正定解的存在性建立了时滞稳定性条件。Lyapunov-Krasovskii泛函方法被用于线性时滞系统的稳定性分析（Kolmanovskii, 1999）（参见Fridman和Shaked, 2003, Fridman等, 2003）。

本工作处理具有时变延迟的非线性被控对象，该延迟取决于系统状态。我们的非线性复合PDE-ODE系统等价于具有隐含定义的状态依赖输入延迟的非线性积分-微分方程。

基于反步法的预测器反馈设计中，补偿输入延迟的关键方面是将对时延的重新解释为对流传输PDE，通过驱动状态的无穷维表示实现。该方法将带延迟的ODE转化为与非线性ODE耦合的非线性PDE。这种重新表述是Bekiaris-Liberis和Krstic（2010, 2011, 2012）、Diagne等（2017a, 2017）、Karafyllis和Krstic（2017）、Krstic（2010c）、Oliveira等（2016）中发展的控制设计策略的基础，其中对流方程具有守恒律的形式。在本文中，我们研究一类较少探索但重要的对流PDE系统，其中传输速度由ODE状态的积分——即状态的轨迹历史——给出。这些系统包含线性和非线性加性源项，并与非线性ODE耦合，其中对流项作为ODE动力学的输入通道。稳定化问题涉及一类具有依赖于状态积分的输入延迟的非线性积分-微分系统。本文的核心贡献总结如下。

**（1）多层预测器反馈设计。** 我们设计了一种多层预测器反馈，实现对耦合双重非线性PDE-ODE系统的渐近稳定和驱动动态的精确补偿，其中传输速度取决于ODE状态的积分，表明驱动生产速度的是生产过程的库存水平，而非生产阶段的工作量积累。该假设在生产或排队系统中尤为相关，其中原材料、半成品或成品具有有限的保质期（Soman等, 2004）。此外，PDE不再代表守恒律，而包含加性源项，这些源项可能是其状态的非线性函数——例如依赖于非受控边界值的再循环回路非齐次项。与先前的工作类似，我们的设计需要无延迟被控对象存在标称控制律。多层预测器反馈设计通过特征线法求解传输PDE来构建（参见Bekiaris-Liberis和Krstic, 2018, Diagne等, 2017a）。我们的控制律包含一个补偿器，假设PDE控制方程中的非线性是一致Lipschitz连续的，有效地消除PDE驱动状态中非齐次项的影响。Bekiaris-Liberis和Krstic（2011, 2012）中所需的可行性条件由假设传输速度的正性来保证，从而避免不适定问题（参见Diagne等, 2017a, 2017）。

**（2）新颖的非线性反步变换。** 遵循Krstic（2009）和Bekiaris-Liberis和Krstic（2013）的精神，我们使用反步变换结合预测器反馈设计来补偿延迟，并证明由受无延迟稳定控制律的被控对象和预测器状态组成的闭环系统是稳定的。但由于PDE中出现的状态依赖延迟和源项，我们引入了根植于多层非线性预测器的新变换，其状态能准确预测非线性被控对象和驱动器的未来轨迹。预测器状态被用作标称无延迟控制律的自变量，从而在保持预测器反馈设计结构的同时补偿非线性和非齐次驱动动态。更精确地说，我们工作的新颖性在于精心构建的稳定目标系统以及与之相容的反步变换。此外，我们的设计遵循"分离原理"，结合两个不同的补偿器：一个针对底层齐次动态，其被描述为守恒律；另一个用于抵消非齐次源项。该框架首先针对线性源项情形开发，其中第二个补偿器直接中和源项引起的"虚拟"扰动。对于更一般的情形——包括依赖非受控边界值的非线性源项、依赖PDE状态的线性摩擦项以及非线性边界条件（通量控制）——我们在控制设计中增加了一个显式的时变核函数，系统地缩放补偿器分量以抵消线性摩擦项。

**（3）适定性与稳定性。** 闭环系统的稳定性和适定性存在显著的技术挑战。反步变换将带有预测器反馈控制器的原始系统映射到目标系统，并在上确界范数下与其逆变换等价。不同于经典的Lyapunov方法，我们沿特征曲线表征解来证明目标系统的全局渐近稳定性，进而通过范数等价性确保原始闭环系统的稳定性。尽管适定性分析和稳定性证明遵循Li和Shang（2025）、Li等（2025）的步骤，但本文的技术挑战要大得多。首先，为了预测移动窗口积分，引入了额外的加权函数，这使适定性分析更加复杂。其次，源项存在下系统的PDE和ODE状态双重非线性结构引入了在简单情形（Li和Shang, 2025, Li等, 2025）中不存在的显著挑战。适定性分析在复杂耦合的非线性预测器和非线性反步变换上进行，而稳定性则要求首先证明专为补偿源项设计的额外预测器层本身是有界的。当PDE中没有源项时，Li和Shang（2025）提出了双层预测器反馈策略，其中一层预测未来ODE状态，另一层处理驱动器动态。然而，源项的存在需要三层预测器反馈设计。源项引起的额外层同时预测分布式PDE状态及其非受控边界值的演化。

我们的贡献与Deutscher等（2018）、Gabriel和Deutscher（2023）、Irscheid等（2023）不同，后者考虑与线性或非线性ODE级联的异向耦合线性PDE，并假设常数系数——从而导致恒定的输入延迟。PDE-ODE级联系统的额外控制结果见Irscheid等（2022）、Strecker和Aamo（2017）、Strecker等（2019, 2022）。相比之下，我们的系统不是简单级联：传播速度取决于非线性ODE状态的积分，且驱动器动态中存在源项。这产生了一种具有随ODE状态历史变化的延迟的混合PDE-ODE结构。这也是在服务队列、供应链、高度重入式生产线以及其他工厂生产系统中常见的情形（Coron等, 2010, Shang和Wang, 2011）。

此外，在我们的情形中，通量控制导致了一个受控边界，该边界非线性地受到待稳定非线性常微分方程历史的影响，这标志着与Diagne、Bekiaris-Liberis、Otto和Krstic（2017）以及Li和Shang（2025）中的问题设定之间的一个关键区别。本文的组织如下。在第2节中，我们介绍了针对包含线性加性回收项和状态依赖传播速度的非齐次偏微分方程的多层预测器反馈设计。在第3节中，我们将设计原理扩展到一类带有回收项和摩擦源项的非线性执行器动力学。在第4节中，我们将预测器设计应用于一个包含回收项和摩擦项的缓冲区驱动生产线，并在第5节中提供数值仿真。最后，第6节对本文进行了总结并概述了未来的研究方向。

**问题描述与主要结果**

我们考虑一个耦合的偏微分方程-常微分方程系统，其中常微分方程为 $\dot{X}(t)=f(X(t),u(0,t))$，其中 $X:[0,\infty)\to\mathbb{R}^n$ 表示常微分方程状态，$f:\mathbb{R}^n\times\mathbb{R}\to\mathbb{R}^n$ 是满足 $f(0,0)=0$ 的连续可微函数。常微分方程子系统位于输运域的非受控边界 $x=0$ 处。

输运动力学由守恒律 $\partial_t u(x,t)=\lambda\left(\int_{t-\tau}^{t}X(s)ds\right)\partial_x u(x,t)+g(x)u(0,t)$，$u(D,t)=U(t)$ 控制，其中 $(x,t)\in[0,D]\times[0,\infty)$，$\tau>0$ 为固定时间窗口，$g:[0,D]\to\mathbb{R}$ 为连续可微函数。

**向非线性源项和边界通量控制的推广**

在本节中，我们通过对系统设计进行扩展以纳入边界通量控制来追求推广。该配置不仅在实践上具有相关性，还引入了重大挑战，因为流入和流出都是非线性函数，由状态积分与偏微分方程边界值的乘积定义。常微分方程动力学的不稳定性不可避免地通过非线性定义的边界条件表现出来。此外，我们纳入了摩擦型项和……

**带有源项和积压的缓冲区驱动传送带建模**

我们考虑一个缓冲区驱动的生产线或服务排队系统，将Diagne等人（2017a）的工作扩展到输运速度依赖于实时库存水平的系统。在工厂生产线的情况下，原材料从传送带下游端 $x=D$ 进入，向上游运输至 $x=0$，然后离开生产线进入缓冲区。

**仿真结果**

为评估所提控制策略的有效性，我们进行了数值仿真，目标是将排队状态 $Q$ 稳定在期望设定值 $Q^*=0.3$。系统参数选择如下：输出容量设为 $\mu=0.8$，处理时间为 $P=0.25$，缓冲区容量为 $Q_{\max}=1$。最大控制输入受限于 $B_{\max}=1.2$，分配系数固定为 $\alpha=0.5$。此外，长度 $\tau=0.2$ 的积分窗口在……

**结论**

在本文中，我们开发了一种针对耦合非守恒偏微分方程-常微分方程系统的控制框架，其中传播速度依赖于常微分方程状态的移动窗口积分。我们的方法引入了一种分层预测器结构，用于处理状态依赖输入延迟的非线性积分-微分方程，将其建模为一种非线性混合偏微分方程-常微分方程系统。通过引入通量驱动机制，边界条件变得高度非线性，提出了超出已有工作所解决的问题的挑战。

**致谢**

Peipei Shang和Tong Li的工作得到了国家自然科学基金（编号：12171368）的支持。Mamadou Diagne的工作得到了美国国家科学基金会CAREER奖励CMMI-2302030和美国国家科学基金会资助项目CMMI-2222250的资助。

Tong Li于2020年获得中国上海交通大学数学与应用数学学士学位，并于2026年获得应用数学博士学位。他的研究兴趣包括偏微分方程-常微分方程耦合系统的系统控制与稳定性理论。

Tong Li | Peipei Shang | Mamadou Diagne