广义 Stieltjes-Poisson 变换的新 Lp 估计

《Bulletin des Sciences Mathématiques》：New Lp estimates for a generalized Stieltjes-Poisson transform

　　

摘要

在本文中，我们建立了一类广义 Stieltjes–Poisson 变换的新的加权 $\mathbb{L}^p$ 估计，该变换由依赖于参数 $\alpha$、$\beta$ 和 $\rho$ 的幂型核定义。所考虑的算子同时推广了经典的 Stieltjes 变换、Poisson 变换（Widder 势）和 Glasser 变换，因此为它们之间的映射理论提供了一个统一的分析框架。

分析基于三个独立的核估计：$t$ 主导界、$x$ 主导界和对称混合估计。这些界使我们能够推导加权 Lebesgue 空间之间以及加权 Banach 空间（类型为 $\mathbb{B}_{a,b}$，$a,b \in \mathbb{R}$）之间的有界性的锐利充分条件。在每种情况下，权参数的可容许范围通过精确的可积性条件进行刻画。

此外，在最小假设条件下得到了 Parseval–Goldstein 型恒等式，由此建立了广义变换及其伴随的对偶关系。这些结果扩展了几类经典积分变换的已知 $\mathbb{L}^p$ 映射性质，并提供了一种系统的加权方法，适用于调和分析与分数阶分析的进一步发展。

分节概要

引言与预备知识

积分变换在现代分析中发挥着基础性作用，特别是在微分方程、调和分析与广义函数理论的研究中。Widder [17]、Hirschman 和 Widder [18]、Doetsch [22] 以及 Pathak [8] 等人的经典专著展示了 Laplace 型和 Stieltjes 型算子在纯数学与应用数学领域中的核心重要性。在分布理论与泛函分析中，系统的处理可见于相关著作……

核估计与映射性质

在本节中，设 $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$，且 $\alpha \neq 0$，$\rho > 0$。假设所有函数在 $\mathbb{R}_+ = (0, \infty)$ 上可测。

初始值与终值性质

本节致力于建立广义 Stieltjes–Poisson 变换（GSP）的初始值定理与终值定理，提供极限刻画，将变换的渐近行为与原函数的渐近行为联系起来，这些刻画基于前一节中获得的三个核界。

结论与未来展望

本文建立了与核 $t^\beta (x^\alpha + t^\alpha)^\rho$ 相关的广义 Stieltjes–Poisson 变换的综合加权 $\mathbb{L}^p$ 理论。通过建立三个基本的核估计，我们推导了加权 Lebesgue 空间之间以及加权 Banach 空间（类型为 $\mathbb{B}_{a,b}$）之间的有界性结果。所得关于参数 $a$、$b$、$\alpha$、$\beta$ 和 $\rho$ 的条件以锐利的可积性不等式形式明确表达，从而澄清了核增长在……中的精确作用。

未引用参考文献：[21]、[23]、[24]、[25]

致谢

作者非常感谢审稿人提出的宝贵且富有建设性的意见和建议。

H.M. Srivastava | E.R. Negrín | Jeetendrasingh Maan