具有局部感知和短时-长时记忆的捕食者-猎物模型的全局动力学

《Bulletin des Sciences Mathématiques》：Global dynamics of the predator-prey model with local perception and short-long memory

　　

摘要

本文提出并研究了一种新颖的认知捕食者-猎物模型，该模型融合了局部感知与短期-长期记忆机制。首先，对模型的全局可解性进行了分析。理论结果表明，在二维有界区域中，模型解始终保持全局有界；此外，通过对捕食者种内竞争率的限制，可将此结论推广至三维区域。进一步地，所得结果表明，短期记忆在一定程度上能够抑制由长期记忆引起的爆性增长趋势。此外，通过构造合适的Lyapunov泛函，我们建立了常数稳态的全局稳定性，并确定了解的衰减率。最后，数值模拟验证并阐明了关键的理论结果。

章节片段

引言与主要结果

在自然界中，动物的运动模式并非完全由随机扩散决定。众多其他因素可能发挥作用，促使动物进行定向运动。例如，在秋季，松鼠利用记忆中的坚果藏匿点的大致位置，有目的地穿越树林，准确到达其食物储存地点。凭借其敏锐的嗅觉，它们检测到坚果的气味并进行梯度追踪运动，从而有效地定位。

局部存在性与初步结果

在展开讨论之前，我们介绍全文中使用的一组符号。

符号说明：为简化起见，我们用$\int_0^t \int_\Omega g$表示$\int_0^t \int_\Omega g(\cdot, s) dx ds$，用$\int_\Omega g$表示$\int_\Omega g(\cdot, t) dx$。此外，我们将$\|\cdot\|_{L^p(\Omega)}$简记为$\|\cdot\|_{L^p}$，将$\|\cdot\|_{W^{1,p}(\Omega)}$简记为$\|\cdot\|_{W^{1,p}}$。另外，符号$c_i$和$C_i$（其中$i \in \mathbb{N}^+$）用于表示一般的常数，这些常数在不同的推导步骤中可能取不同的值。

首先，我们给出系统(4)的局部可解性。

引理1

全局稳定性

本节的研究重点在于探讨系统(4)解的全局稳定性。为此，我们将给出若干基本引理。

引理16

设$(u, v, m_s, m_l)$为定理1和定理2所确立的系统(4)的解，则系统(4)的解具有如下性质：

$$\|u\|_{C^{\sigma, \sigma/2}(\bar{\Omega} \times [t, t+1])} + \|v\|_{C^{2+\sigma, 1+\sigma/2}(\bar{\Omega} \times [t, t+1])} + \|m_s\|_{C^{2+\sigma, 1+\sigma/2}(\bar{\Omega} \times [t, t+1])} + \|m_l\|_{C^{2+\sigma, 1+\sigma/2}(\bar{\Omega} \times [t, t+1])} \leq C_{17}$$

对所有$t \in (1, +\infty)$成立，其中$C_{17} > 0$且$\sigma \in (0, 1)$。

证明

首先，我们改写为……

数值模拟

本节通过数值模拟系统(4)，验证并补充定理3至定理5的理论结果。数值积分采用MATLAB中的ode23s求解器实现。对于空间导数的离散化，采用中心差分格式的有限差分法，时间积分则采用线方法（MOL）。我们考虑如下系统(4)，其中逻辑函数$g(v) = \mu v(1 - v/K)$，Holling I型功能反应$f(v)$。

结论

本文在捕食者-猎物模型中融入了长期和短期记忆效应，主要关注系统(3)的极限情形，即感知半径趋近于0的情况。由于对流项中存在非局部项，且系统(3)中的核函数具有不连续性，这将给适定性问题的分析带来实质性的挑战，未来将对此进行进一步研究。当我们考虑两种情形时……

声明与说明

利益冲突：作者声明不存在利益冲突。

资助：本工作得到国家自然科学基金（编号：12571163）的资助。

数据可用性：本研究未生成或分析任何数据集。

齐刚 邓 | Ali Rehman | 吴 ranchao