q-接触哈密顿系统中的完全可积性

《Bulletin des Sciences Mathématiques》：Complete Integrability in q-Contact Hamiltonian Systems

　　

## 摘要

本文研究q-接触哈密顿系统的几何与动力学性质。我们考察辛流形与q-接触流形之间的关系，并给出它们相互转化的定理。我们在q-接触流形上定义q-哈密顿系统，并建立Liouville-Arnold型可积性定理。我们探讨了q-哈密顿系统的可积性与Legendrian及co-Legendrian叶状结构几何之间的联系。最后，我们定义了守恒量（即首次积分）和耗散量，以及无穷小对称性，并探讨了它们之间的关系。

## 引言

众所周知，在经典哈密顿力学中，Liouville-Arnold定理描述了哈密顿系统的完全可积性。在$2n$维辛流形$M$上的哈密顿系统，若具有$n$个光滑的、泊松对合的、几乎处处独立的首次积分$f_1, f_2, \ldots, f_n$，则称该系统为可积的。系统的正则紧致连通不变流形是Lagrangian环面。此外，在任何环面的邻域内，存在正则角-作用坐标$(\varphi, I) = (\varphi_1, \ldots, \varphi_n, I_1, \ldots, I_n)$，其中首次积分$f_i$仅依赖于作用$I$，而流在$\varphi$坐标上仅为平移。因此，可积哈密顿系统可以视为环面型Lagrangian纤维化$\pi: M \to W$（参见Duistermaat [19]）。这一观点被Banyaga和Molino [5]针对接触流形$(M, \mathcal{H})$进行了重新表述。与考虑环面型Lagrangian纤维化不同，人们关注的是与接触分布$\mathcal{H}$横截的不变环面型纤维化，使得环面与$\mathcal{H}$的交集形成关于$\mathcal{H}$上辛结构共形类而言的Lagrangian分布。

接触流形[6], [10], [23], [29], [30]是辛流形的奇数维类比物。连通定向流形$M$上的接触结构可以理解为一类1-形式$\eta$的等价类，使得$\eta \wedge (d\eta)^n$在$M$上处处不为零。两个这样的1-形式$\eta$和$\eta'$等价，当且仅当存在光滑非零函数$f$使得$\eta' = f\eta$。我们假设接触结构是定向的，即函数$f$始终为正。另一种更简单地理解接触结构的方式是将其视为定向的$2n$-平面丛$\mathcal{D} = \ker \eta$。当$M$具有接触结构$\mathcal{D}$时，我们称其为接触流形，它必然是奇数维的，记为$(M, \mathcal{D})$。给定接触形式$\eta$，$\mathcal{D}$通过2-形式$d\eta$继承辛向量丛的结构。如果切换到另一个接触形式$\eta' = f\eta$，我们发现$d\eta'|_{\mathcal{D} \times \mathcal{D}} = f \cdot d\eta|_{\mathcal{D} \times \mathcal{D}}$，这表明$\mathcal{D}$自然获得了共形辛结构。对于每种接触1-形式$\eta$的选择，存在一个唯一确定的向量场$R_\eta$，称为Reeb向量场，满足$\eta(R_\eta) = 1$且$i_{R_\eta}(d\eta) = 0$。该向量场与接触分布$\mathcal{D} = \ker \eta$横截且保持结构，即$\mathcal{L}_{R_\eta}\eta = i_{R_\eta}(d\eta) + d \cdot i_{R_\eta}\eta = d \cdot i_{R_\eta}\eta = 0$。$R_\eta$的动力学性质随$\eta$的变化可能显著不同。由$R_\eta$生成的1维叶状结构$\mathcal{F}_{R_\eta}$通常称为特征叶状结构。

接触可积性在文献中从各种角度进行了广泛研究。根据文献[5]，接触流形$M_{2n-1}$上的完全可积向量场是某个接触1-形式的Reeb向量场，首次积分的空间诱导一个纤维化，其纤维为$n$维的，局部由接触变换群$\mathbb{T}^n$的作用所定义。Liouville-Arnold定理后来被Colombo、de León、Lainz和López-Gordón [11]扩展到接触系统，他们为完全可积的接触哈密顿系统构造了角-作用坐标。同一研究小组（或其中的子集）的相关发展包括可积接触系统的Hamilton-Jacobi理论[18]、接触情形中的齐次双哈密顿结构[12]，以及受脉冲约束的接触Lagrangian系统[13]。同时，文献[3]研究了自治和非自治接触哈密顿系统中所谓的特殊积分，这使得运动方程可以通过求积来求解；这一概念被Azuaje和Escobar-Ruiz [4]进一步发展，他们引入了接触和co接触情形中的特殊可积性概念。各种对称性概念，包括动力学对称性、Cartan对称性和动力学相似性，被Zadra和Seri [50]进行了系统分类。Khesin和Tabachnikov [31]引入了另一种接触可积性概念，他们根据不变co-Legendrian叶状结构$\mathcal{F}$的存在来定义可积性（在此称为预-Legendrian叶状结构）。叶状结构$\mathcal{F}$与接触分布$\mathcal{H}$横截，交集$\mathcal{G} = \mathcal{F} \cap \mathcal{H}$是一个Legendrian叶状结构，并具有额外性质，即在$\mathcal{F}$的每个叶子上，限制$\mathcal{G}|_F$具有全纯不变的横截光滑测度。这一条件意味着存在全局接触形式$\alpha$（参见[31]），且$\mathcal{G}$是一个$\alpha$-完全Legendrian叶状结构，如Libermann [37]和Pang [47]所研究的。Bell和Sloan [7]从几何角度全面综述了约束接触系统。关于接触流形上可积性的更多结果，参见文献[33], [42], [43], [44], [45], [49]。

无论是辛流形上的哈密顿系统还是接触流形上的哈密顿系统，它们本质上都是更一般的Jacobi流形框架内的哈密顿系统[35], [36]（该框架还包括局部共形辛流形[4], [53]）。它们的可积性定理告诉我们，一个系统要完全可积，必须具有足够多的首次积分。因此，寻找首次积分变得至关重要。人们发现，寻找首次积分与寻找系统的某些无穷小对称性密切相关。在这一领域已经做了大量工作（参见[9], [15], [22], [28], [40], [46], [48], [51]）。对于哈密顿系统，对称性通常对应于由保持哈密顿结构的向量场所生成的变换。类似地，在哈密顿系统的背景下，对称性与底层接触结构密切相关，适当的无穷小生成元可以导致首次积分的发现。

根据文献[2], [20], [21]，存在一种接触流形的推广，即q-接触流形，它是具有q-接触结构的$2n+q$维流形。我们知道，q-接触结构推广了接触流形中出现的接触结构。在$(2n+q)$维流形$M$上，这样的结构诱导一个分解$TM = \xi \oplus \mathcal{R}$，其中$\xi$是完全不可积的丛，$\mathcal{R}$积分为q-接触叶状结构，即实数域$\mathbb{R}^q$在$M$上的Lie群作用的轨道叶状结构，称为q-接触作用。在接下来的章节中，我们将提供q-接触流形的详细定义和一些性质。本文主要关注以下方面：(1) 辛流形与q-接触流形之间的关系；(2) 如何在q-接触流形上定义哈密顿系统以及如何建立Liouville-Arnold型可积性定理；(3) q-哈密顿系统的完全可积性与Legendrian、co-Legendrian叶状结构之间的关系；(4) 如何定义q-接触哈密顿系统的守恒量、耗散量和无穷小对称性，以及它们之间的关系。在介绍了均匀q-接触流形上的哈密顿系统和Jacobi括号定义之后，文献[34]进一步研究了q-接触Lagrangian系统，建立了广义Noether定理和广义Herglotz原理，并进一步证明这一框架具有重要意义。

在本文中，第2节提供了q-接触流形的基本定义，以及一些基本概念和可积系统的定义。我们还证明了Liouville环面附近接触结构的形式。第3节解释了辛流形与q-接触流形之间的关系，并给出了它们如何相互转化的定理。第4节在q-接触流形上定义了q-哈密顿系统并建立了Liouville-Arnold型可积性定理。第5节研究了q-哈密顿系统的可积性与Legendrian和co-Legendrian叶状结构之间的联系，强调它们在刻画系统几何中的角色。第6节定义了守恒量和耗散量，以及无穷小对称性，并探讨了它们之间的关系。

### 各节摘要

#### q-接触流形与Liouville环面

**q-接触叶状结构** [2], [20] 是由余定向接触结构所确定的Reeb向量场流的推广。确定接触叶状结构的类似结构称为q-接触结构，定义如下。

**定义2.1**（q-接触流形[2], [20], [21]）设$n, q$为正整数，考虑$2n+q$维微分流形$M$。$M$上的q-接触结构是由$q$个（逐点）线性无关的非零1-形式$\vec{\lambda} = (\lambda_1, \ldots, \lambda_q)$组成的集合，其中……

#### q-接触化与辛化

在本节中，我们将考虑一种从$2n$维辛流形构造$2n+q$维q-接触流形的方法，称为q-接触化。反之，我们将讨论辛化方法，该方法允许我们从$(2n+q)$维q-接触流形构造$2n+2q$维辛流形。

要从$(2n+2q)$维辛流形构造$2n+q$维q-接触流形，需要在……

#### q-接触哈密顿与完全可积性

众所周知，在辛流形$(M, \omega)$上，哈密顿系统的形式为$\dot{z} = X_f(z)$，其中$f$是$M$上的光滑函数，$X_f$是$M$上称为哈密顿向量场的特殊向量场（由公式$i_{X_f}\omega = df$定义）。接下来，我们将介绍均匀q-接触流形上的哈密顿系统。在给出该定义之前，我们先陈述以下定理，该定理也在文献[34]中使用。

**定理4.1** 设$(M, \vec{\lambda}, \mathcal{R} \oplus \xi)$为满足命题3.2的均匀q-接触流形……

#### q-哈密顿系统完全可积性与Legendrian、co-Legendrian叶状结构的关系

在辛几何中，辛流形有特殊的子流形类，例如各向异性子流形、Lagrangian子流形等。在q-接触几何中，我们有类似的特殊子流形。一些定义与Pfaffian几何中已知的定义类似，或者是接触几何和Pfaffian几何中概念的直接推广[38]。关于接触结构和Pfaffian几何的更多讨论，参见文献[14], [16], [17], [26], [32]。

**定义5.1** 设$(M, \vec{\lambda}, \mathcal{R} \oplus \xi)$为……

#### q-接触哈密顿系统的守恒量、耗散量与无穷小对称性

如第4节所述，在满足命题3.2的均匀q-接触流形$(M, \vec{\lambda}, \mathcal{R} \oplus \xi)$上，对于$f, g \in C^\infty(M)$，我们有$\{f, g\} = X_f(g) + g(R_1(f) + \cdots + R_q(f))$。因此，在我们的语境中，若$f, g$对合，即$\{f, g\} = 0$，则有$X_f(g) = -g\left(\sum_{i=1}^q R_i(f)\right)$。由于这一原因，我们可以做出如下定义。

**定义6.1** 对于满足命题3.2的均匀q-接触流形$(M, \vec{\lambda}, \mathcal{R} \oplus \xi)$上的q-接触哈密顿向量场$X_H$，我们称函数$f$为耗散的，如果$\{H, f\} = 0$。

**注6.1** 我们注意到耗散函数的集合……

## 利益冲突声明

所有作者的代表，通讯作者声明不存在利益冲突。

## 数据可用性

本论文不涉及数据共享，因为本研究未创建或分析新数据。

## 未引用参考文献

[24] [27] [41]

## 致谢

第一作者的研究得到国家自然科学基金的资助（批准号：12401234）。第二作者得到中国吉林省产业创新专项资金（批准号：2017C028-1）、吉林省科技发展规划项目（批准号：20190201302JC）、中国国家基础研究计划（批准号：2013CB834100）、国家自然科学基金（批准号：12071175）、国家自然科学基金（批准号：12471183）的资助。

赵学峰 | 李勇