刻画双侧中心化子与双侧广义导子的泛函方程

《Bulletin des Sciences Mathématiques》：Functional equations Characterizing two-sided centralizers and two-sided generalized derivations

　　

摘要

本文的主要目的是通过函数方程刻画某些加法映射。设 $\mathcal{A}$ 为有单位半素代数，$n>1$ 为整数。假设 $H,G:\mathcal{A}\to\mathcal{A}$ 是满足 $H(a^n)=a^{n-j}G(a^j)=G(a^k)a^{n-k}$ 的非零加法映射，其中 $j$ 和 $k$ 是满足 $1\leq k,j

章节摘要

引言与预备知识

设 $\mathcal{R}$ 为一个环。加法映射 $H:\mathcal{R}\to\mathcal{R}$ 若对所有 $x,y\in\mathcal{R}$ 满足 $H(xy)=H(x)y$（相应地 $H(xy)=xH(y)$），则称为 $\mathcal{R}$ 的左（相应地右）中心化子或乘子。若 $H$ 既是左中心化子又是右中心化子，则称其为双边中心化子（某些作者也称为中心化子）。$\mathcal{R}$ 上的加法映射 $H$ 若对所有 $x\in\mathcal{R}$ 满足 $H(x^2)=H(x)x$（相应地 $H(x^2)=xH(x)$），则称为Jordan左（相应地右）中心化子；若 $H(x^2)=H(x)x=xH(x)$ 对所有 $x\in\mathcal{R}$ 成立，则称为Jordan双边中心化子。加法

结果与证明

全文中，$\textbf{1}$ 表示任何有单位代数或环的单位元素，$Z(\mathcal{A})$ 表示 $\mathcal{A}$ 的中心。我们从以下定理开始。

定理 2.1

设 $\mathcal{A}$ 为有单位半素代数，$n>1$ 为整数。假设 $H,G:\mathcal{A}\to\mathcal{A}$ 是满足$$H(a^n)=a^{n?j}G(a^j)=G(a^k)a^{n?k}$$ 的非零加法映射，其中 $j$ 和 $k$ 是满足 $1\leq k,j的整数。则 $H$ 和 $G$ 要么都是双边广义导子，要么 $H=G$ 且它是 $\mathcal{A}$ 上的双边中心化子。此外， $G(a)-G(\textbf{1})a\in Z(\mathcal{A})$

Amin Hosseini