关于维度 n ≥ 2 中的尖点型叶层（foliation）的解析变形

《Bulletin des Sciences Mathématiques》：On analytic deformations of cusp type foliations in dimension n?≥?2

　　摘要
本研究致力于探讨在 ?2 的原点具有奇点的全纯叶状结构中的微分方程。基本模型是形如 ????3??+ ?= 0 的尖点型奇点。这引出了形如 ??3(??2+ ????)+ ?= 0 的奇点，其中 ?? ∈ ? 且 ?? ≥ 3。我们研究了由复参数 t 参数化的全纯 1-形式 ????= ??3(??2+??3)+∑∞??=1???????? 的解析变形。我们的假设基于尖点纤维化 ?? := ??3(??2+??3)= 0 和纤维化 ?? := 2???????3??????= 0。简而言之，我们研究了变形存在适当正规形式与 ??= 0 或 ??= 0 的纤维的第一同调类中 ???? 的消失之间的联系。在维度 m ≥ 3 的情况下，证明了存在一个一参数族的全纯第一积分 ???? ∈ ???。我们还证明了某些参数化版本以及多项式 1-形式的具体结果。最后，对于形如 ??3(??2+ ??3)+ ????2(2???????3??????)= 0 的尖点型叶状结构的变形，也得到了更具体的结果。

**引言和主要结果**
本研究致力于研究在二维空间中，靠近奇点的形如 ????3??+ ?= 0 的复解析方程。更具体地说，对于平面叶状结构，我们研究了尖点型奇点的解析变形，即形如 ??3(??2+ ??3)+ ??2(??,??)(2???????3??????)= 0 的方程，其中 g 是 ?2 原点附近的全纯函数。我们还研究了由复参数 t 参数化的解析一形式 {????}??∈?? 在原点附近的解析变形，其中 ???? 是在原点附近定义的全纯 1-形式。

**曲线 ??2+ ??3= ?? 和 ??2/??3= ?? 的拓扑**
我们现在将研究这两种纤维化的纤维的拓扑：
??:=3???????2??????=0 和 ??:=2??????+3??2????=0。
我们从 ??= 0 的纤维开始，即曲线 ????2+ ????3= 0，[?? :??] ∈ ???。

**命题 2.1**
曲线 ????,??:????2+????3=0,[??:??]∈??? 在 ?2 原点 0 附近局部是以原点为中心的圆盘。由 1-形式 ??= 2???????3?????? 给出的叶状结构 ??? 的相应局部叶片 ????,?? 是由 ????,??=(????,???{0})∩?? 在给定的原点邻域 U 中确定的。因此，????,?? 与一个带孔的圆盘同胚。

**纤维化 ??2/??3= ?? 的情况**
在本节和下一节中，我们将陈述并证明在证明定理 I、定理 II（见 §1）以及其他一些结果时所需的基本定理。我们从一个非常基础的评论开始。我们用 ??? 表示由 ??= 2???????3?????? 在 (?2,0) 中给出的叶状结构。我们设 Γ :(??2+ ??3= 0) 并考虑一个水平面 Σ?? :??2+ ??3= ??，其中 ?? ∈ ??。让我们研究 ??? 的叶片与 Σ?? 的交集。设 ??:=??3(??2+ ??3)=2??????+3??2????。那么 ??∧??=(2??????+3??2????)∧(3???????2??????)=+6??2????∧???????6??3????∧??????=?6??3+??2)∧??????。

**引理 4.1**
设 α 是在 ?2 原点 0 附近定义的全纯 1-形式。对于每个 ?? ∈ ?，设 ???? 是在 U 中的纤维 (??2+ ??3= ??)。以下条件是等价的：
(i) ??= ??3?+??????(??2+ ??3)，其中 ??,? 是某些全纯函数。
(ii) ∫????,????=0 对所有 1-循环 ???? ?????，且 ?? ≠ 0。
**证明**(i) ? (ii)：如果 ??= ??3?+??????(??2+ ??3)，那么 ????=??3??∧????(??2+ ??3)，因此 ??3??∧????(??2+ ??3)=0。此外，对于任何 1-循环 ???? ????? :(??2+ ??3= ??)，我们有 ∫??????=∫????(??3?+??????(??2+ ??3))=∫???????+∫??????????(??2+ ??3)=0，因为 ∫???????= 0（由于 ???? 是闭合的），且 ??3(??2+ ??3)|????= 0。
**证明**(ii) ? (i)：让我们...**

**定理 I 和 II 的证明**
我们现在有条件完成定理 I 和定理 II 的证明。
定理 I 的证明（i) ? (ii) 在引理 3.4 中已经证明。收敛性来自引理 3.6。□

**定理 II 的证明：**
根据引理 4.2，变形可以表示为 ????=?????????(??2+ ??3)+??3?????，其中 ?????,????? ∈ ??? ???1 是一些横截形式函数。假设 cod?(Sing?[???? ∧??3(??2+ ??3)]) ≥ 2。那么 Sing(?????(??2+ ??3) 的余维数 ≥ 2。根据 Stein 因式分解定理（引理 1.1），这两个条件意味着 ????= ????2(????,??2+ ??3)，其中 ????2(??,??) 是某个函数。这说明了...

**示例**
接下来我们给出一些关于定理 I、定理 II 中的假设以及我们引入的一些概念的示例。下面的示例 6.1 表明，在定理 II 中不能忽略同调条件 ∫????????= 0。

**示例 6.1**
我们考虑解析变形 ????=??3(??2+ ??3)+??????????。那么 ????=2????????+3??2??????+??????=(2??+??????)3??????+3??2??????。**命题 6.2** 如果 ?? ≠ 0，则 1-形式 ???? 不允许存在全纯第一积分。**证明**
实际上这并不难理解。在原点 (??,??) 进行三维膨胀，其中 ??= ??????，得到 ???=??, ???=?[3??2??+1...

**同调平凡的变形**
我们现在将继续研究纤维化的变形。为了使事情更清晰，让我们引入一些概念和术语。

**定义 7.1 同调平凡的变形**
我们所说的局部纤维化是指由方程 ??3??= 0 定义的叶状结构，其中 ?? :(??,0) → (?,0) 且 ??3?? ≠ 0。给定一个全纯叶状结构 ? :(??= 0)，其中 ω 是在邻域 ?? ??? 中的全纯 1-形式，我们说：
(i) ω 相对于纤维化 ??3??= 0 是同调平凡的，或者简单地说 f-同调平凡的。

**多项式齐次情况：定理 III**
现在我们考虑多项式 1-形式的情况，这些形式嵌入到齐次多项式的微分变形中。设 {????}??∈?? 是由多项式 1-形式定义的解析变形，其中 ????=??3??++∞∑??=1????????，df 和 ???? 是有界度数 ν 的多项式，f 是度数为 ν 的齐次多项式。

**引理 8.1**
设 ??=????????+??3? 是一个度数为 ??? 1 的多项式 1-形式，其中 f 是度数为 ν 的齐次多项式，a 和 h 是在 0 ∈?? 附近的全纯函数。那么存在 ??? ∈ ? 和一个多项式 ?? 使得 ??=???...

**尖点叶状结构的回顾：定理 IV**
在接下来的内容中，我们将重新探讨一些关于尖点叶状结构的基本事实。更多细节请参考 [10]。我们从 ?2 原点 0 处的全纯 1-形式的芽空间 Ω2 开始。如果一个 1-形式 ?? ∈Ω2 的一阶射流是幂零的，那么我们称其为退化的。这意味着如果 Ω2 ???= ??2(??,??)3????(??,??)3??????，则其对偶向量场 ????=??2(??,??)??????2(??,??)??? 的线性部分 ??????2(0) 是幂零的。如果这个一阶射流是幂零的但不为零，那么经过某些复线性变换后，我们可以将其写为 ??1??=????????...