(α, β) 型的道格拉斯度量

《Differential Geometry and its Applications》：Douglas metrics of ( α, β) type

　　

# 摘要

本文研究了$(\alpha,\beta)$-度量——一类由Riemann度量$\alpha$和1-形式$\beta$定义的Finsler度量的特殊类——的Douglas曲率。在维度$n \geq 3$下，利用一类称为$\beta$-变形的新度量变形方法，对Douglas曲率为零的这类度量进行了分类。结果表明，Riemann度量的共形1-形式起着关键作用，同时$\beta$-变形也提供了一种构造此类1-形式的有效方法。

# 引言

1927年，J. Douglas为Finsler度量引入了Douglas曲率[8]。Douglas曲率是Finsler几何中的一个重要射影不变量。它也是一个非Riemann量，因为所有Riemann度量本身就具有为零的Douglas曲率。Douglas曲率为零的Finsler度量称为Douglas度量。粗略地说，Douglas度量是一个局部射影等价于Riemann度量的Finsler度量[9]。

Douglas度量构成了一类丰富的Finsler度量，包括局部射影平坦的Finsler度量和Berwald度量，后者是指Berwald曲率为零的度量[3]。已知一个Finsler度量是局部射影平坦的——即其测地线在某个合适的局部坐标系下都是直线段——当且仅当其Douglas曲率和Weyl曲率同时为零。

本文将聚焦于一类重要的Finsler度量，称为$(\alpha,\beta)$-度量[2]，其形式为
$$F = \alpha \cdot \phi\left(\frac{\beta}{\alpha}\right),$$
其中$\alpha = \sqrt{a_{ij}(x)y^i y^j}$是一个Riemann度量，$\beta = b_i(x)y^i$是一个1-形式，$\phi(s)$是一个光滑函数。2011年，作者指出$(\alpha,\beta)$-范数是在正交群$O(n-1)$作用下保持不变的Minkowski范数，这意味着$(\alpha,\beta)$-范数的指标超曲面是一个旋转超曲面，其旋转轴通过原点[18]。欧几里得范数正是在$O(n)$作用下保持不变的Minkowski范数。在这个意义上，从几何角度来看，$(\alpha,\beta)$-度量类是在所有Finsler度量中距离Riemann度量最近的度量范畴。实际上，$(\alpha,\beta)$-度量可以看作是用1-形式$\beta$对Riemann度量$\alpha$进行扰动后的结果，函数$\phi$代表了扰动方式。

由于其优良的对称性和可计算性，在过去四十年中，关于$(\alpha,\beta)$-度量的许多优美结果已被获得[2]。此外，$(\alpha,\beta)$-度量为物理学和生物学提供了几个精彩的度量模型[1], [6]，其中最重要的就是所谓的Randers度量[11]。

Randers度量，形如$F = \alpha + \beta$（对应函数为$\phi(s) = 1 + s$），是Zermelo导航问题的解[4]。在物理学家G. Randers的原始讨论中，$\alpha$和$\beta$分别代表引力场和电磁场。已知一个Randers度量$F = \alpha + \beta$是Douglas度量当且仅当$\beta$是闭的[3]。

本文的目的是基于B. Li, Z. Shen和Y. Shen给出的一个结果，为Douglas $(\alpha,\beta)$-度量提供一个清晰的刻画。2009年，他们证明了一个刻画[9]：设$F = \alpha \cdot \phi\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)$是$\mathbb{R}^n$的维数$n \geq 3$的开子集$U$上的一个Finsler度量。假设(a) $F$不是Randers类型，即$F \neq \sqrt{c_1\alpha^2 + c_2\beta^2 + c_3\beta}$对任意常数$c_1, c_2$和$c_3$；(b) $\beta$关于$\alpha$不是平行的；(c) $db \equiv 0$或处处$db \neq 0$，则$F$是Douglas度量当且仅当$\phi(s)$满足以下ODE：
$$\{1 + (k_1 + k_3)s^2 + k_2 s^4\}\phi''(s) = (k_1 + k_2 s^2)\{\phi(s) - s\phi'(s)\},$$
其中$k_1, k_2, k_3$是常数且$k_2 \neq k_1 k_3$，同时$\beta$满足
$$b_{i|j} = \tau\{(1 + k_1 b^2)a_{ij} + (k_3 + k_2 b^2)b_i b_j\}$$
其中$\tau(x)$是某个标量函数。

作为例子，可以看到函数$\phi(s) = (1+s)^2$满足方程(1.1)，其中$(k_1, k_2, k_3) = (2, 0, -3)$。对应的$(\alpha,\beta)$-度量$F = \frac{(\alpha+\beta)^2}{\alpha}$有时称为平方度量或Berwald类型度量，因为以下著名度量
$$F = \frac{(\sqrt{1-|x|^2}|y|^2 + \langle x,y\rangle^2 + \langle x,y\rangle)^2}{(1-|x|^2)^2\sqrt{1-|x|^2}|y|^2 + \langle x,y\rangle^2}$$
最早由L. Berwald在1929年构造[5]。这个定义在单位球$\mathbb{B}^n(1)$上的度量是射影平坦的，且具有为零的旗曲率，因此自然是Douglas度量。

除了Randers度量之外，平方度量可能是最重要的$(\alpha,\beta)$-度量，因为它拥有优异的几何性质。最近，E. Sevim等人研究了Douglas类型的Einstein $(\alpha,\beta)$-度量，并证明这样的Finsler度量必须是Randers度量或平方度量[7], [12]。之后，Z. Shen和作者提供了Einstein平方度量的简洁刻画[13]。更具体地说，如果$F = \frac{(\alpha+\beta)^2}{\alpha}$是一个Einstein-Finsler度量，则Riemann度量$\bar{\alpha} := (1-b^2)\alpha$和1-形式$\bar{\beta} := \sqrt{1-b^2}\beta$满足
$$\bar{\alpha}\text{Ric} = -(n-1)k^2\bar{\alpha}, \quad \bar{b}_{i|j} = k\frac{\sqrt{1+\bar{b}^2}}{}\bar{a}_{ij},$$
或者等价地，$\bar{\alpha} := (1-b^2)^{3/2}\sqrt{\alpha^2 - \beta^2}$和$\bar{\beta} := (1-b^2)^2\beta$满足
$$\bar{\alpha}\text{Ric} = 0, \quad \bar{b}_{i|j} = k\bar{a}_{ij},$$
其中$k$是常数，$\bar{b} := \|\bar{\beta}\|_{\bar{\alpha}}$。在上述两种情况下，$F$可以重新表示为
$$F = \frac{(\sqrt{1+\bar{b}^2}\bar{\alpha} + \bar{\beta})^2}{\bar{\alpha}}$$
和
$$F = \frac{(\sqrt{(1-\bar{b}^2)}\bar{\alpha}^2 + \bar{\beta}^2 + \bar{\beta})^2}{(1-\bar{b}^2)^2\sqrt{(1-\bar{b}^2)}\bar{\alpha}^2 + \bar{\beta}^2},$$
它们都属于一个更大的度量范畴，称为一般$(\alpha,\beta)$-度量[18]。

讨论Einstein平方度量的关键技术是作者开发的一类新的度量变形，称为$\beta$-变形[15]，它也适用于我们的问题。由Riemann度量$\alpha$和1-形式$\beta$确定的$\beta$-变形推广了Randers度量的经典导航变形。它已被成功应用于许多关于$(\alpha,\beta)$-度量的问题，甚至包括Riemann度量[16], [17]。

$\beta$-变形的效果是揭示出底层的几何结构。以平方度量为例，根据(1.2)，一个平方度量$F = \frac{(\alpha+\beta)^2}{\alpha}$是Douglas度量当且仅当
$$b_{i|j} = \tau\{(1+2b^2)a_{ij} - 3b_i b_j\}.$$
然而，$\beta$的几何含义非常模糊。通过进行上述某些$\beta$-变形，可以看到一个平方度量是Douglas度量当且仅当它可以表示为(1.4)或(1.5)的形式，其中根据定理3.2，$\bar{\beta}$关于$\bar{\alpha}$是闭的且共形的。也就是说，经过$\beta$-变形后，关于$\beta$的性质变得清晰了。

本文的主要结果是关于$n \geq 3$时Douglas $(\alpha,\beta)$-度量的分类定理。$n = 2$的情况已在[14]中研究。

**定理1.1（分类定理）** 设$F = \alpha \cdot \phi\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)$是$n$维流形$M$上的一个$(\alpha,\beta)$-度量，其中$n \geq 3$。则$F$的Douglas曲率为零当且仅当$F$属于以下情形之一：

1. $\beta$关于$\alpha$是平行的。在这种情况下，对任何适当的函数$\phi(s)$，$F$的Douglas曲率均为零；

2. $F$是Douglas-Randers度量；

3. 在$M$的开子集$\mathcal{U}$上，其中处处$db \neq 0$或$db \equiv 0$，$F$可以（如必要）重新表示为$F = \alpha \cdot \phi\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)$的形式，使得以下之一成立：

(a) $\phi(s)$由
$$\phi_\sigma = \text{hypergeom}([-\tfrac{1}{2}, -\sigma],[\tfrac{1}{2}], s^2) + \epsilon s, \quad \sigma \neq 0, -\tfrac{1}{2}$$
给出。$\alpha$和$\beta$由
$$\alpha = (1-\bar{b}^2)^{-\sigma-1/2}\bar{\alpha}, \quad \beta = (1-\bar{b}^2)^{-\sigma-1/2}\bar{\beta}$$
确定；

(b) $\phi(s)$由
$$\phi_\sigma = e^{-\sigma s^2} - \sqrt{\sigma\pi}\,s\,\text{erf}(\sqrt{\sigma}\,s) + \epsilon s, \quad \sigma = \pm 1$$
给出。$\alpha$和$\beta$由
$$\alpha = e^{\sigma\bar{b}^2}\bar{\alpha}, \quad \beta = e^{\sigma\bar{b}^2}\bar{\beta}$$
确定；

(c) $\phi(s)$由
$$\phi_\sigma(s) = 1 + \epsilon s + \sum_{n=1}^{\infty} a_{2n}s^{2n}, \quad |\sigma| < 1$$
给出，其中$\{a_{2n}\}$由递推公式
$$a_{2n+2} = -\frac{2\sigma \cdot 2n(2n-1)}{(2n+2)(2n+1)}a_{2n} - \frac{(2n-1)(2n-3)}{(2n+2)(2n+1)}a_{2n-2}$$
确定，初始项为$a_0 = 1$和$a_2 = 0$。$\alpha$和$\beta$由
$$\alpha = \exp\left(-\frac{\sigma}{2\sqrt{1-\sigma^2}}\arctan\frac{\bar{b}^2}{\sqrt{1-\sigma^2}}\right)(1+2\sigma\bar{b}^2+\bar{b}^4)^{1/4}\bar{\alpha},$$
$$\beta = \exp\left(-\frac{\sigma}{2\sqrt{1-\sigma^2}}\arctan\frac{\bar{b}^2}{\sqrt{1-\sigma^2}}\right)(1+2\sigma\bar{b}^2+\bar{b}^4)^{1/4}\bar{\beta}$$
确定。

在(a)-(c)中，$\bar{\alpha}$是任意Riemann度量，$\bar{\beta}$是关于$\bar{\alpha}$闭且共形的1-形式，$\bar{b} := \|\bar{\beta}\|_{\bar{\alpha}}$。

函数(1.6)在$\sigma = 1$且$\epsilon = 2$时，$\phi(s) = (1+s)^2$。由定理1.1可知，平方度量$F = \frac{(\alpha+\beta)^2}{\alpha}$也可以表示为
$$F = \frac{(\bar{\alpha}+\bar{\beta})^2}{(1-\bar{b}^2)^{3/2}\bar{\alpha}},$$
且它是Douglas度量当且仅当$\bar{\beta}$关于$\bar{\alpha}$闭且共形。实际上，正如我们在平方度量中所看到的，表示一个给定的$(\alpha,\beta)$-度量有无穷多种方式（更多讨论见[15]）。然而，不同的表示之间存在内在的关联。以(1.5)和(1.9)为例，根据命题5.2，如果$\beta$关于$\alpha$闭且共形，则$\bar{\beta} = \frac{\beta}{\sqrt{1-b^2}}$关于$\bar{\alpha} = \frac{\sqrt{(1-b^2)}\alpha^2 + \beta^2}{1-b^2}$闭且共形（命题5.2中对应的因子为$\kappa = \frac{-1}{1-b^2}$, $\rho = 0$和$\nu = \frac{1}{\sqrt{1-b^2}}$）。注意在这种情况下$\bar{b} = b$，将它们全部代入(1.9)将得到表达式(1.5)。

为了构造Douglas $(\alpha,\beta)$-度量，最重要的是构造Riemann度量及其非平凡的共形1-形式。在第5节中我们提供了一种有效的方法。仍以平方度量为例，假设它表示为(1.9)的形式，则由推论5.3可知，以下所有度量
$$F = \frac{(e^{\rho}\sqrt{|y|^2} - \kappa\langle x,y\rangle^2 + Ce^{2\rho}\sqrt{1-\kappa}|x|^2\langle x,y\rangle)^2}{(1-C^2 e^{2\rho}|x|^2)^{3/2}e^{\rho}\sqrt{|y|^2 - \kappa\langle x,y\rangle^2}}$$
对任意函数$\kappa(|x|^2)$, $\rho(|x|^2)$和非零常数$C$都是Douglas度量。它们都属于所谓的球对称Finsler度量[10]。特别是，如果取$\kappa = \frac{\mu}{1+\mu|x|^2}$, $\rho = 0$和$C = 1$，则可以得到以下一系列Douglas平方度量：
$$F = \frac{(\sqrt{(1+\mu|x|^2)|y|^2 - \mu\langle x,y\rangle^2 + \langle x,y\rangle})^2}{\sqrt{(1+\mu|x|^2)(1-|x|^2)^3\sqrt{(1+\mu|x|^2)|y|^2 - \mu\langle x,y\rangle^2}}.$$
当$\mu = -1$时对应的度量正是Berwald的原始度量(1.3)。更多解析性例子可以通过定理1.1和推论5.3来构造。

# 截面片段

## 基本的Finsler几何概念和$\beta$-变形

流形$M$上的Finsler度量$F$是切丛$TM$上的正齐次连续函数$F: TM \to [0, +\infty)$，其中$F$在裂隙切丛$TM^o$上是光滑的，且Hessian矩阵$g_{ij} := [\frac{1}{2}F^2]_{y^i y^j}$在$TM^o$的任何点$(x,y)$处正定。这里$(x^i, y^i)$表示$TM$上的自然坐标系。

$M$上的任何Finsler度量$F$诱导裂隙切丛$TM^o$上的一个喷流向量场$G := y^i\frac{\partial}{\partial x^i} - 2G^i\frac{\partial}{\partial y^i}$。$G$的积分曲线从$TM^o$到$M$的投影确定了Finsler流形$(M,F)$的测地线。系数$G^i(x,y)$：

## 满足(1.2)的数据$(\alpha,\beta)$的变形

在讨论之前，应该指出两个事实。首先，如果$\beta$关于$\alpha$是平行的，则对任何函数$\phi$和任何度量$\alpha$，$F = \alpha \cdot \phi\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)$总是Douglas度量。这是一个平凡情形。其次，当$k_2 = k_1 k_3$时，(1.1)的解为$\phi(s) = \sqrt{c_1\alpha^2 + c_2\beta^2 + c_3\beta}$。因此条件$k_2 \neq k_1 k_3$确保了对应的$(\alpha,\beta)$-度量不是Randers类型。

假设$F = \alpha \cdot \phi\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)$是一个非Randers类型的Douglas度量，且$\beta$关于$\alpha$不是平行的，则$\beta$满足(1.2)

## 定理1.1的证明

任何给定的$(\alpha,\beta)$-度量的表示不是唯一的。为了说明这一点，让我们引入对函数$\phi$的两个变换：
$$g_u(\phi(s)) := \sqrt{1+us^2}\,\phi\left(\frac{s}{1+us^2}\right), \quad h_v(\phi(s)) := \phi(vs),$$
其中$u$和$v$是常数且$v \neq 0$。容易验证
$$g_{u_1} \circ g_{u_2} = g_{u_1+u_2}, \quad h_{v_1} \circ h_{v_2} = h_{v_1 v_2}, \quad h_v \circ g_u = g_{uv^2} \circ h_v.$$
通过上述生成关系，变换$g_u$和$h_v$生成一个变换群$G$，作用于所有适用于$(\alpha,\beta)$-度量$F = \alpha\cdot\phi\left(\frac{\beta}{\alpha}\right)$的适当函数$\phi$的集合上。

## Riemann度量与共形1-形式

为了构造解析性的Douglas $(\alpha,\beta)$-度量，我们需要构造具有非平凡闭且共形1-形式的Riemann度量。我们不知道任何给定的Riemann度量是否具有这样的1-形式。但如果它确实具有，则这样的性质在$\beta$-变形下可以保持！具体地，由命题2.1我们得到以下结果。

**引理5.1** 如果$\beta$关于$\alpha$闭且共形，即$b_{i|j} = c(x)a_{ij}$，则在$\beta$-变形后，
$$\bar{r}_{ij} = c\nu\frac{1+2b^2\rho'}{1-b^2}\kappa(a_{ij} - \kappa b_i b_j) + c\{\nu\frac{\kappa + b^2\kappa'}{1-}...$$

Yu Changtao