具有加权庞加莱不等式的完备四维流形上杨-米尔斯理论的间隙定理

《Differential Geometry and its Applications》：Gap theorems in Yang-Mills theory for complete four-dimensional manifolds with a weighted Poincaré inequality

　　

# 摘要

在本论文中，我们证明了具有加权 Poincaré 不等式的完备四维流形上杨-米尔斯理论的 $L^\infty$ 型间隙定理。我们将这些定理应用到满足加权 Poincaré 不等式的一类广泛的完备流形上。特别地，我们获得了欧氏空间上的间隙定理，而无需假设有限杨-米尔斯能量。我们还证明了以原点为中心、单位标度的 BPST 瞬子的 $L^\infty$ 刻画。

# 引言

假设我们有一个结构群为 $\mathbf{G} \subset \mathbf{O}(N)$ 的黎曼向量丛，定义在黎曼流形 $X$ 上，以及该丛上的一个度量联络 $A$，其曲率为 $F$。若曲率 $F$ 的散度为零，则称联络 $A$ 为杨-米尔斯联络，这正是杨-米尔斯泛函 $\mathbf{Y}\mathbf{M}(A) = \int_X |F|^2$ 的欧拉-拉格朗日方程。当流形为四维时，若自对偶曲率 $\mathbf{F}^+$ 为零或反自对偶曲率 $\mathbf{F}^-$ 为零，则称联络 $A$ 为瞬子，其中 $\mathbf{F}^{\pm} = \frac{1}{2}(\mathbf{F} \pm {}^*\mathbf{F})$。任何瞬子都是杨-米尔斯联络。在 [2] 和 [3] 中，Atiyah-Drinfeld-Hitchin-Manin 以及 Belavin-Polyakov-Schwartz-Tyupkin 找到了一个显式的 $\mathbf{S}\mathbf{U}(2)$ 瞬子，即所谓的 BPST 瞬子。另一方面，也存在不是瞬子的杨-米尔斯联络。在 [28] 中，Sibner-Sibner-Uhlenbeck 证明了存在不是瞬子的 $\mathbf{S}\mathbf{U}(2)$ 杨-米尔斯联络（另见 Bor [5]、Parker [24] 和 Sadun-Segert [26]）。对于更大的结构群如 $\mathbf{S}\mathbf{U}(4)$，我们可以很容易地找到不是瞬子的杨-米尔斯联络（参见例如 [29] 第 2 节）。

自对偶曲率 $\mathbf{F}^+$ 的间隙定理的含义如下：在四维流形的某些假设条件下，若杨-米尔斯联络的自对偶曲率 $\mathbf{F}^+$ 的范数充分小（例如 $L^2$ 范数或 $L^\infty$ 范数），则自对偶曲率 $\mathbf{F}^+$ 为零。在 [6] 和 [7] 中，Bourguignon-Lawson-Simons 证明了具有某种正曲率的紧致四维流形上杨-米尔斯联络自对偶曲率 $\mathbf{F}^+$ 的 $L^\infty$ 间隙定理（关于完备流形的推广见 Shen [27]）。在 [22] 中，MinOo 证明了这些流形上杨-米尔斯联络自对偶曲率 $\mathbf{F}^+$ 的 $L^2$ 间隙定理（另见 Parker [23]，关于完备流形的推广见 Dodziuk-MinOo [10]）。在 [12] 中，Feehan 证明了具有良好度量的紧致四维流形上杨-米尔斯联络自对偶曲率 $\mathbf{F}^+$ 的 $L^2$ 间隙定理。在 [17] 中，Gursky-Kelleher-Streets 证明了具有正 Yamabe 不变量的紧致四维流形上杨-米尔斯联络自对偶曲率 $\mathbf{F}^+$ 的 $L^2$ 间隙定理。对于一般紧致四维流形的此类结果仍然是一个开放问题。在 [31] 中，我们将 Gursky-Kelleher-Streets 的间隙定理推广到完备流形，并且我们用 BPST 瞬子刻画了间隙定理中的等号情形，这对于紧致流形而言也是有趣的。杨-米尔斯联络完整曲率 $F$ 的间隙定理的含义如下：在 $n$ 维流形的某些假设条件下，若杨-米尔斯联络的曲率 $F$ 的范数充分小（例如 $L^{n/2}$ 范数或 $L^\infty$ 范数），则曲率 $F$ 为零。参见例如 Price [25]、Gerhardt [16]、Zhou [32] 和 [33]、Feehan [13] 和 [14]，以及上述参考文献。当流形为四维时，自对偶曲率 $\mathbf{F}^+$ 和反自对偶曲率 $\mathbf{F}^-$ 的间隙定理比完整曲率 $F$ 的间隙定理更为重要。

在本文中，我们将 Bourguignon-Lawson-Simons 的间隙定理推广到具有加权 Poincaré 不等式的完备四维流形。利用加权 Poincaré 不等式，我们可以克服 Bourguignon-Lawson-Simons 工作中关于正曲率的假设。这样，我们涵盖了空间形式、复空间形式、具有正谱的流形、稳定极小超曲面以及几种其他几何设定。与先前的工作不同，在定理 1 中我们未假设有限杨-米尔斯能量。在推论 5 中，我们获得了所有常曲率模型（实和复）的 $L^\infty$ 间隙定理。特别地，我们证明了满足 $|\mathbf{r}^2 \mathbf{F}^+|_{L^\infty} \leq 2/\gamma$ 的 $\mathbf{R}^4$ 上的杨-米尔斯联络必须是反自对偶的，而无需假设有限杨-米尔斯能量。与此推论相关的另一贡献是，我们找到了一个加权 Poincaré 不等式，改进了复双曲空间拉普拉斯算子的谱底（引理 9）。最后，在定理 6 中，我们给出了以原点为中心、单位标度的 BPST 瞬子的 $L^\infty$ 刻画。

假设完备黎曼流形 $X$ 上有一个 $L_{\text{loc}}^1$ 函数 $q$。若以下不等式成立，则称流形 $X$ 满足权函数为 $q$ 的加权 Poincaré 不等式：

$$\int_X q\, \phi^2 \leq \int_X |\nabla \phi|^2$$

对所有定义在流形 $X$ 上的紧支光滑函数 $\phi$ 成立。在 [8] 和 [21] 中，Carron 以及 Li-Wang 将加权 Poincaré 不等式应用于黎曼流形和子流形。在第 2 节中，我们给出了具有加权 Poincaré 不等式的许多流形的例子（欧氏空间、双曲空间、复双曲空间、具有正谱的流形、一般黎曼流形中的稳定极小超曲面以及欧氏空间中的极小超曲面），并给出了关于此主题的更多参考文献。

在本文中，我们证明了具有加权 Poincaré 不等式的完备四维流形上杨-米尔斯联络自对偶曲率 $\mathbf{F}^+$ 的两个 $L^\infty$ 型间隙定理。这两个定理具有不同的假设条件和互补的应用。

我们用 $\mathbf{r}(\cdot) = \mathbf{d}\mathbf{i}\mathbf{s}\mathbf{t}(\cdot, x_0)$ 表示距离函数。用 $\mathbf{B}_R = \{\mathbf{r} < R\}$ 表示开球。用 $\lambda_{\max}(\mathbf{W}^+)$ 表示自对偶 Weyl 曲率 $\mathbf{W}^+ = \frac{1}{2}(\mathbf{W} + {}^*\mathbf{W})$ 的最大特征值。用 $\gamma$ 表示仅依赖于结构群 $\mathbf{G}$ 的一个常数（见引理 13）。

在下面的结果中，假设流形具有体积增长 $\mathbf{v}\mathbf{o}\mathbf{l}(\mathbf{B}_R) = O(R^\alpha)$ 且自对偶曲率 $\mathbf{F}^+$ 具有增长 $|\mathbf{F}^+| = O(r^{2-\alpha})$，我们证明了自对偶曲率 $\mathbf{F}^+$ 的 $L^\infty$ 型间隙定理，而不对其积分做任何假设。据我们所知，这是第一个对完备流形不加任何曲率积分假设的间隙定理。

**定理 1** 设完备四维黎曼流形 $X$，具有标量曲率 $S$ 和 Weyl 曲率 $W$，满足权函数为 $q$（在 $X \setminus \{x_0\}$ 上光滑）的加权 Poincaré 不等式 (1)，且具有体积增长 $\mathbf{v}\mathbf{o}\mathbf{l}(\mathbf{B}_R) = O(R^\alpha)$，其中 $\alpha > 0$ 为某常数。设 $X$ 上有一个曲率为 $F$、结构群为 $\mathbf{G} \subset \mathbf{O}(N)$（$N \geq 3$）的杨-米尔斯联络 $A$，假设自对偶曲率 $\mathbf{F}^+$ 当 $r \to \infty$ 时具有增长 $|\mathbf{F}^+| = O(r^{2-\alpha})$，并且满足逐点不等式

$$|\mathbf{F}^+| \leq \frac{1}{\gamma}\left(2q + \frac{1}{3}S - 2\lambda_{\max}(\mathbf{W}^+)\right) \quad \text{在 } X \setminus \{x_0\} \text{ 上} \tag{2}$$

则要么不等式 (2) 在 $X \setminus \{x_0\}$ 上取等号，要么自对偶曲率 $\mathbf{F}^+$ 恒等于零。在上述定理中，我们还假设不等式 (2) 的右边非负且不恒等于零。我们指出，增长假设 $|\mathbf{F}^+| = O(r^{2-\alpha})$ 保证了证明中涉及对数截断的估计趋于零。

在下面的结果中，假设权函数 $q$ 具有增长 $q = O(r^2)$ 且自对偶曲率 $\mathbf{F}^+$ 属于空间 $L^2_{\text{p}}$，我们证明了自对偶曲率 $\mathbf{F}^+$ 的 $L^\infty$ 型间隙定理，而不对流形的体积做任何假设。

**定理 2** 设完备四维黎曼流形 $X$，具有标量曲率 $S$ 和 Weyl 曲率 $W$，满足权函数为 $q$（在 $X \setminus \{x_0\}$ 上光滑）且当 $r \to \infty$ 时具有增长 $q = O(r^2)$ 的加权 Poincaré 不等式 (1)。设 $X$ 上有一个曲率为 $F$、结构群为 $\mathbf{G} \subset \mathbf{O}(N)$（$N \geq 3$）的杨-米尔斯联络 $A$，假设自对偶曲率 $\mathbf{F}^+$ 对某常数 $p > 1/4$ 属于空间 $L^2_{\text{p}}$，并且满足逐点不等式

$$|\mathbf{F}^+| \leq \frac{1}{\gamma}\left\{\frac{4p-1}{2p^2}\, q + \frac{1}{3}S - 2\lambda_{\max}(\mathbf{W}^+)\right\} \quad \text{在 } X \setminus \{x_0\} \text{ 上} \tag{3}$$

则要么不等式 (3) 在 $X \setminus \{x_0\}$ 上取等号，要么自对偶曲率 $\mathbf{F}^+$ 恒等于零。在上述定理中，我们还假设不等式 (3) 的右边非负且不恒等于零。我们指出，假设 $p > 1/4$ 保证了证明中系数 $2 - \frac{1}{2p}$ 为正。

**注 3** 当 $q$ 在 $X$ 上光滑时，上述两个定理通过将"在 $X \setminus \{x_0\}$ 上"改为"在 $X$ 上"后仍然成立。

**注 4** 上述两个定理通过将"自对偶"、$\mathbf{F}^+$ 和 $\mathbf{W}^+$ 分别改为"反自对偶"、$\mathbf{F}^-$ 和 $\mathbf{W}^-$ 后仍然成立。

两个定理互为补充：

- 在定理 1 中，我们有体积增长假设但无积分假设。
- 在定理 2 中，我们有积分假设但无体积增长假设。

注意，在定理 2 中取 $p = 1/2$ 可以恢复定理 1 的逐点界。事实上

$$\frac{4p-1}{2p^2} \leq 2$$

等号成立当且仅当 $p = 1/2$。因此，当 $q \geq 0$ 时，定理 1 中的逐点界至少与定理 2 中的同样好。两个定理可能存在重叠，但没有任何一个假设集包含另一个。对于球面 $\mathbf{S}^4$ 和复射影空间 $\mathbf{C}\mathbf{P}^2$，两个定理给出相同的结果。对于欧氏空间 $\mathbf{R}^4$ 和圆柱面 $\mathbf{S}^3 \times \mathbf{R}$，定理 1 给出更强的结果，因为定理 2 需要额外的 $L^2_{\text{p}}$ 假设。对于双曲空间 $\mathbf{H}^4$ 和复双曲空间 $\mathbf{C}\mathbf{H}^2$，只有定理 2 适用，因为这些流形具有指数体积增长。

在 [7] 中，Bourguignon-Lawson 证明了球面 $\mathbf{S}^4$ 上 $\mathbf{F}^{\pm}$ 的 $L^\infty$ 间隙定理。对于结构群 $\mathbf{G} = \mathbf{S}\mathbf{O}(3)$，我们将此结果改进了一个 $\sqrt{2}$ 的因子。他们还证明了复射影空间 $\mathbf{C}\mathbf{P}^2$ 上 $\mathbf{F}^-$ 的 $L^\infty$ 间隙定理（见 [7] 中定理 5.26）。对于结构群 $\mathbf{G} \subset \mathbf{S}\mathbf{O}(N)$（$N \geq 4$）（分别 $\mathbf{G} = \mathbf{S}\mathbf{O}(3)$），我们将此结果改进了一个 $\sqrt{2}$（分别 $2$）的因子。在 [10] 中，Dodziuk-MinOo 证明了欧氏空间 $\mathbf{R}^4$ 上 $\mathbf{F}^{\pm}$ 的 $L^2$ 间隙定理。我们在不加任何积分假设的情况下，证明了欧氏空间 $\mathbf{R}^4$ 上 $\mathbf{F}^{\pm}$ 的 $L^\infty$ 型间隙定理。在 [25] 中，Price 证明了维数 $n \geq 5$ 的双曲空间 $\mathbf{H}^n$ 上完整曲率 $F$ 的 $L^2$ 型间隙定理。在 [33] 中，Zhou 证明了维数 $n \geq 16$ 的双曲空间 $\mathbf{H}^n$ 上完整曲率 $F$ 的 $L^{n/2}$ 型间隙定理。我们证明了双曲空间 $\mathbf{H}^4$ 上 $\mathbf{F}^{\pm}$ 的 $L^\infty$ 型间隙定理。我们还证明了复双曲空间 $\mathbf{C}\mathbf{H}^2$ 上 $\mathbf{F}^-$ 的 $L^\infty$ 型间隙定理，以及圆柱面 $\mathbf{S}^3 \times \mathbf{R}$ 上 $\mathbf{F}^{\pm}$ 的 $L^\infty$ 间隙定理，均不加任何积分假设。将定理 1 应用于具有非负曲率的流形，将定理 2 应用于具有负曲率的流形，并利用第 2 节中的加权 Poincaré 不等式，我们得到：

**推论 5** 固定一个李群 $\mathbf{G} \subset \mathbf{O}(N)$（$N \geq 3$）。则：

**(i)** 设球面 $\mathbf{S}^4$（截面曲率为 $1$）上有一个曲率为 $F$、结构群为 $\mathbf{G}$ 的杨-米尔斯联络 $A$，若 $\mathbf{F}^{\pm}$ 满足不等式

$$|\mathbf{F}^{\pm}|_{L^\infty} \leq \frac{4}{\gamma}$$

则要么 $|\mathbf{F}^{\pm}| = 4/\gamma$（处处），要么 $\mathbf{F}^{\pm}$ 恒等于零。

**(ii)** 设复射影空间 $\mathbf{C}\mathbf{P}^2$（全纯截面曲率为 $4$）上有一个曲率为 $F$、结构群为 $\mathbf{G}$ 的杨-米尔斯联络 $A$，若 $\mathbf{F}^-$ 满足不等式

$$|\mathbf{F}^-|_{L^\infty} \leq \frac{8}{\gamma}$$

则要么 $|\mathbf{F}^-| = 8/\gamma$（处处），要么 $\mathbf{F}^-$ 恒等于零。

**(iii)** 设圆柱面 $\mathbf{S}^3 \times \mathbf{R}$（乘积度量）上有一个曲率为 $F$、结构群为 $\mathbf{G}$ 的杨-米尔斯联络 $A$，若 $\mathbf{F}^{\pm}$ 满足不等式

$$|\mathbf{F}^{\pm}|_{L^\infty} \leq \frac{2}{\gamma}$$

则要么 $|\mathbf{F}^{\pm}| = 2/\gamma$（处处），要么 $\mathbf{F}^{\pm}$ 恒等于零。

**(iv)** 设欧氏空间 $\mathbf{R}^4$ 上有一个曲率为 $F$、结构群为 $\mathbf{G}$ 的杨-米尔斯联络 $A$，若 $\mathbf{F}^{\pm}$ 满足不等式

$$|\mathbf{r}^2 \mathbf{F}^{\pm}|_{L^\infty} \leq \frac{2}{\gamma}$$

则 $\mathbf{F}^{\pm}$ 恒等于零。

**(v)** 设双曲空间 $\mathbf{H}^4$（截面曲率为 $-1$）上有一个曲率为 $F$、结构群为 $\mathbf{G}$ 的杨-米尔斯联络 $A$，若 $\mathbf{F}^{\pm}$ 对某常数 $3/8 \leq p \leq 3/4$ 属于空间 $L^2_{\text{p}}$ 且满足逐点不等式

$$|\mathbf{F}^{\pm}| \leq \frac{1}{\gamma}\left\{\frac{4p-1}{2p^2}\left(\frac{9}{4} + \frac{1}{4}\mathbf{r}^{-2} + \frac{3}{4}(\sinh \mathbf{r})^{-2}\right) - 4\right\}$$

则 $\mathbf{F}^{\pm}$ 恒等于零。

**(vi)** 设复双曲空间 $\mathbf{C}\mathbf{H}^2$（全纯截面曲率为 $-4$）上有一个曲率为 $F$、结构群为 $\mathbf{G}$ 的杨-米尔斯联络 $A$，若 $\mathbf{F}^-$ 属于空间 $L^1$ 且满足逐点不等式

$$|\mathbf{F}^-| \leq \frac{2}{\gamma}\left(\frac{1}{4}\mathbf{r}^{-2} + (\sinh \mathbf{r})^{-2} - (\sinh(2\mathbf{r}))^{-2}\right)$$

则 $\mathbf{F}^-$ 恒等于零。

据我们所知，第(iv)项是首个不要求杨-米尔斯能量有限的R?上的间隙定理。请注意，第(i)–(iv)项涉及非负曲率模型，而第(v)–(vi)项涉及负曲率模型。在文献[7]中，Bourguignon-Lawson证明了：给定球面S?上一个非平凡的杨-米尔斯连接，其结构群G?SO(4)，若其曲率F满足不等式|F|_{L^∞}≤4/γ，则该丛必为四维切自旋子丛之一，且具有典范Riemannian连接。注意SU(2)?SO(4)。当结构群恰好为G=SU(2)时，我们给出了以原点为中心、单位尺度的BPST瞬子的L^∞刻画，这似乎是首个基于L^∞极值性质的该瞬子刻画。定理6 给定球面S?（截面曲率为1）上一个非平凡的SU(2)杨-米尔斯连接A，若其曲率F满足不等式|F|_{L^∞}(S?)≤4/γ，则在球极投影下，连接A规范等价于欧几里得空间R?上以原点为中心、单位尺度的BPST瞬子（或反BPST瞬子）。特别地，我们可以将以原点为中心、单位尺度的BPST与反BPST瞬子刻画为球面S?上仅有的满足曲率F等式|F|_{L^∞}(S?)=4/γ的相应SU(2)瞬子，直至规范等价。另一方面，我们无法将这些瞬子刻画为球面S?上仅有的满足曲率F等式|F|_{L2}(S?)=(4/γ)·vol(S?)^{1/2}的相应SU(2)瞬子。事实上，球面S?上荷为1的五参数SU(2)瞬子族的任意连接的曲率都满足该等式（详见定理6的证明）。换言之，我们无法用L2范数来刻画以原点为中心、单位尺度的BPST瞬子和反BPST瞬子，但可以用L^∞范数来刻画它们。本工作的关键分析工具是Bochner不等式（引理13）与加权Poincaré不等式的结合。乘以适当的截断函数后，我们得到一个积分不等式，并由此得出F?恒为零的结论。该论证受到满足加权Poincaré不等式的完备流形上调和形式消失定理的启发。我们感谢Detang Zhou、Gon?alo Oliveira和Alex Waldron的支持。我们同样感谢审稿人提出的非常有用的建议。章节摘要 模型空间 我们首先讨论对推论5重要的加权Poincaré不等式。下一引理的加权Poincaré不等式即为Hardy不等式。将下一引理的权函数q代入定理1，即可得到欧几里得空间R?在推论5中的结果。引理7 欧几里得空间R^n满足一个带权函数q=((n-2)/2)2r?2的加权Poincaré不等式，其中r(x)=|x|。双曲空间H^n的Laplace算子谱底为λ?。Bochner公式 在定理1和定理2的证明中，我们使用了基于Bourguignon-Lawson[7]和Gursky-Kelleher-Streets[17]的Bochner型公式（详见[31]）。尽管Weyl曲率项中的常数不同，但结果可从[31]中的证明直接得到。引理13 设有一个四维Riemannian流形X，具有标量曲率S和Weyl曲率W，以及流形X上一个杨-米尔斯连接A，其曲率为F，结构群G?O(N)（N≥3）。固定常数p>0。Matheus Vieira