基于参数化区域坐标的自由曲面网格壳三角形网格生成与结构稳定性优化

《Engineering Structures》：Triangular mesh generation and structural stability optimization of free-form grid shells based on parametric domain coordinates

　　

摘要

自由曲面单层网壳具有复杂的表面几何形状和网格拓扑结构，给均匀网格生成和结构稳定性优化带来了重大挑战。针对这些问题，本研究提出了一种基于NURBS参数域坐标的网格生成与结构优化框架。主要结论如下：1）所提方法能够为具有不同曲率特征的曲面生成网格，同时保持较高的杆件长度均匀性和单元规则性；2）开发了一种局部网格优化策略，通过最小化由平方相对长度偏差和单元质量惩罚项组成的加权和来实现；3）基于径向基函数（RBF）的代理模型具有较高的预测精度，能够有效捕捉网格尺寸与极限承载能力之间的非线性关系；4）结构稳定性随网格尺寸增大总体呈先升后降的趋势，并确定了合理的网格尺寸范围。这些发现为自由曲面单层网壳的架构与结构一体化设计提供了理论支撑和实践指导。

引言

单层网壳由于其自重轻、承载力高以及高效的空间荷载抵抗行为，已被广泛应用于大跨度屋盖结构 [1]。表面几何形状不仅对结构效率和整体稳定性起着至关重要的作用，还关系到建筑表现力和施工可行性 [2]。与球形和柱形等传统几何形状相比，自由曲面单层网壳提供了更大的设计灵活性，并促进了建筑与结构的一体化设计 [3]。因此，自由曲面单层网壳已被广泛应用于标志性建筑中 [4]。然而，自由曲面单层网壳的高度可变曲率和不规则边界使得网格生成尤为复杂 [5]。因此，生成具有均匀杆件长度和规则单元形状的网格仍然是学术研究和工程实践中的一项挑战性课题 [6]。对于自由曲面上的网格生成，映射是最常用的方法之一，其原理是将规则平面网格映射到目标表面上来构建表面网格 [7,8]。Persson 等人 [9] 通过桁架平衡分析确定节点位置，并利用 Delaunay 算法重建网格拓扑结构来生成平面三角形网格。通过将映射概念与曲面展开技术相结合，Gao 等人 [10] 提出了一种自由曲面网格生成方法，有效减少了杆件长度偏差。Shan 等人 [11] 进一步发展了一种基于 NURBS 的拟合法，利用光线与曲面交点的点云作为控制点，从而提高了网格均匀性。Li 等人 [12] 开发了一种基于参数化的框架，用于在自由曲面上生成结构化网格。尽管基于映射的方法通常高效且易于实现，但映射过程可能导致杆件长度和单元角度的畸变，从而产生不规则的单元形状 [13]。另一种重要方法是在三维曲面上直接生成网格 [14]。Tellier 等人 [15] 研究了具有平面曲率线的曲面离散化问题，并提出了一种双引导曲线方法来生成平面四边形网格。Zheleznyakova [16] 将网格节点建模为相同的带电粒子，通过建立粒子间力的平衡来生成高质量三角形网格。基于库仑定律，Liu 等人 [17] 实现了均匀的粒子分布，并在自由曲面上直接生成了高质量三角形网格。Zeng 等人 [18] 开发了一种虚拟相互作用力算法，通过自动更新节点坐标来为自由曲面单层网壳生成结构网格。Li 等人 [19] 将自由曲面网格建模为弹簧-质量系统，通过动态松弛优化节点分布。Wang 等人 [20] 利用气泡填充和 Delaunay 三角化在自由曲面上生成初始网格，随后使用考虑节点度的网格松弛目标函数优化节点位置。然而，这些直接曲面网格化方法通常需要预先指定节点数量，且该估计的准确性会显著影响生成网格的质量。此外，后续节点插入通常需要局部重新三角化以及对相应节点索引和单元连接性的更新，从而增加了管理的复杂性。

网格均匀性不仅影响建筑美学，还影响荷载传递路径和整体结构稳定性 [21,22]。Zhao 等人 [23] 表明，网格壳体的稳定性受网格构型、表面几何形状和边界条件的强烈影响。Tomei 等人 [24] 将几何设计、数值分析、杆件尺寸确定和优化整合在一个统一框架中，在该框架中可调整节点位置以生成并选择满足规定强度和刚度要求的轻量化网格模式。网格尺寸是影响结构稳定性和承载能力的关键参数 [25,26]。因此，在保证高效荷载传递的同时维持高质量网格，对单层网壳的设计至关重要 [27,28]。Fuller 开发的测地线穹顶是一个代表性实例，它能够实现球面壳体的高度均匀网格细分，同时提供更高的结构稳定性和材料效率 [29]。Winslow 等人 [30] 提出了一种网壳优化方法，根据荷载条件调整网格朝向，从而获得具有相对均匀网格、精细几何形状和性能提升的结构拓扑。Teranishi 等人 [31] 以节点坐标作为设计变量，研究了单层网壳中网格拓扑与结构性能之间的关系。Meng 等人 [32] 提出了一种生成具有嵌入几何图案的壳体结构的优化方法，实现了结构美学与力学性能的融合。Zhang 等人 [33] 建立了规定设计条件与 Kiewit 壳体环向和径向划分数量及杆件截面尺寸之间的映射关系。Wang 等人 [34] 开发了一种元启发式驱动的优化框架，自适应调整结构设计参数和拓扑优化参数，以生成多样化的空间网格构型。Lai 等人 [35] 提出了一种基于节点位移的进化结构优化方法，通过在规定范围内动态调整节点坐标来改善桁架结构的应力分布和整体刚度。然而，数据驱动方法通常需要大量高质量训练数据，而元启发式和进化结构优化方法往往需要大量的计算成本。代理模型可以通过近似结构响应来减轻这种计算负担，减少对重复昂贵数值分析的需求，从而增强全局搜索效率。Bemporad [36] 开发了一种基于反距离加权法和径向基函数的全局优化算法，证明了代理模型在降低计算成本的同时能够提高全局搜索效率的能力。Zhang 等人 [37] 提出了一种图注意力网络，将球形网壳的拓扑特征映射到其力学性能，从而能够预测杆件应力比和截面类型。

自由曲面单层网壳具有众多杆件和复杂的表面几何形状，难以建立网格生成参数与极限承载能力之间的显式关系。目前仍缺乏一种在保持网格均匀性的同时优化结构稳定性的可靠方法。鉴于参数域提供了一个统一的二维设计空间 [38]，本研究提出了一种基于参数域坐标的自由曲面单层网壳网格生成与优化方法。利用 NURBS 从参数域到三维物理空间的映射来确定初始三角形网格的节点位置，然后通过最小化杆件长度偏差和单元畸变来优化节点坐标，从而能够在复杂自由曲面上生成均匀网格。随后建立参数化数值模型，采用弧长法追踪非线性平衡路径并确定极限承载能力。进一步开发了一种径向基函数（RBF）代理模型，以表征网格尺寸与极限承载能力之间的关系。利用该代理模型量化网格尺寸对结构性能的影响，识别合适的网格尺寸范围，实现自由曲面单层网壳网格布局的快速优化。最后，通过代表性算例验证所提方法在建筑与结构一体化设计中的有效性和适用性。

章节摘要

自由曲面单层网壳的三角形网格生成与均匀性优化

本节介绍了一种利用 NURBS 参数域与三维物理空间之间的映射在自由曲面上生成并优化三角形网格的方法。初始网格通过基于弧长的离散化和约束 Delaunay 三角化生成，随后通过优化节点坐标来提高网格均匀性。

考虑极限承载能力的自由曲面网壳网格尺寸优化方法

基于生成的均匀三角形网格，构建了一种 RBF 代理模型来近似网格尺寸与自由曲面单层网壳极限承载能力之间的关系，随后对代理模型的预测精度进行了评估。经验证的代理模型用于快速网格尺寸优化，从而实现建筑美学与结构性能的协同优化。

数值算例

为进一步评估所提方法的适用性和有效性，本节给出了两个自由曲面单层网壳的数值算例，综合考虑网格均匀性和结构性能来确定最优网格布局。

结论

针对现有方法在生成均匀网格和优