非周期性微观结构的子样本平均方法：计算微观力学中的偏差减小、分散度增加及实际折中

《European Journal of Mechanics - A/Solids》：Subsample averaging for non-periodic microstructures: Bias reduction, dispersion increase, and practical trade-offs in computational micromechanics

　　

•子采样平均可降低非周期性微观结构中的偏差。
•应力和应变的一致平均对于降低偏差至关重要。
•降低偏差以增加离散度为代价。
•优化的体积分数可缓解增加的离散度。
•结合子采样和方差降低可提高RVE的可靠性。

## 引言

通过代表性体积单元（RVE）（Hill, 1963, Drugan and Willis, 1996）计算非均质介质的有效材料属性是计算均匀化（Matou? et al., 2017, Gitman et al., 2007, Zohdi and Wriggers, 2008）的一项核心任务。在实践中，底层微观结构通常来自断层扫描或显微镜等成像技术（Kral et al., 2000, Tashman et al., 2007）。这些数据提供了材料的有限样本，通常称为快照，本质上是非周期性的。

在此设置下的一个关键困难在于，在有限样本上计算出的表观属性与底层无限介质的有效属性存在偏差。遵循随机均匀化的框架（Gloria and Otto, 2011, Gloria and Otto, 2012, Gloria et al., 2014），这一差异可以分解为离散度（在文献中也称为随机误差），描述不同实现之间的波动，以及系统误差（在文献中也称为偏差），描述系综平均值与有效属性之间的偏差。虽然离散度可以通过采样策略进行估计和控制（Kanit et al., 2003, Efendiev et al., 2015），但偏差在实践中更难量化。

周期化系综与非周期性样本（快照）之间存在根本区别，如图1所示。在周期化的情况下，微观结构的构建使得周期扩展不会在边界处引入不一致性。相比之下，快照微观结构是通过从更大的实现中截取有限样本获得的，这通常会导致边界处的不连续性。这些边界不一致性是快照微观结构中观察到的偏差增加的主要来源。更准确地说，对于周期化系综，偏差通常随单位胞尺寸的增加而快速衰减——与施加的位移波动边界条件无关。相比之下，对于快照微观结构，偏差显著更大且衰减更慢（Clozeau et al., 2023）。因此，直接计算实验获得的微观结构的表观属性可能会导致不可靠的结果，即使对于相对较大的样本也是如此（Khoromskaia et al., 2020, Schneider et al., 2022, Ravichandran et al., 2026）。为将这些研究放在背景下：均匀化误差分解为偏差和随机贡献已经确立（Kanit et al., 2003）。同样，周期化微观结构的优势也已报告（Sab and Nedjar, 2005）。对微观结构的随机模型的经典RVE研究（Bargmann et al., 2018, Mehta and Schneider, 2022, Donval et al., 2025），通常称为微观结构生成器，同时报告偏差和离散度以评估生成结构的代表性。然而，与快照微观结构相关的严重问题——实验样本提供的主要状态——仅在最近才被认识到（Clozeau et al., 2023）。此外，我们想强调的是，降低偏差的缓解策略仅在数学分析社区中被引入和分析。确实，只有少数微观结构模型可以像随机棋盘或高斯随机场那样进行严格的数学处理。计算研究主要是为了验证理论预测。相比之下，连续介质微力学和材料科学中的微观结构模型通常无法解析处理，而且在"学术"案例中观察到的现象在实际场景中是否起作用、所提出的缓解措施是否能按预期工作，远不明确。例如，只有少数研究（Schneider et al., 2022, Ravichandran et al., 2026）报告了现实材料快照系综的偏差量级，例如工业体积分数下的基体-夹杂复合材料。

在接下来的内容中，我们聚焦于非周期性微观结构的这一设置，并讨论数学社区提出的控制相关偏差的方法。实际上有两种通用策略。第一种方法基于对控制方程——线性弹性中的线动量平衡——进行修改，增加一个零阶（"质量"）项，这在随机均匀化（Gloria and Otto, 2011, Gloria, 2011, Gloria et al., 2014）和计算多尺度方案（Mourrat, 2018, Abdulle et al., 2019, Hannukainen et al., 2021）的背景下被提出和分析。这些方法将偏差的缓慢下降与电导率（和线性弹性）格林函数的衰减率联系起来：在快照微观结构的胞边界处引入的扰动会污染整个胞上的解场。作为一种缓解，所求解的方程被修改，使得相关的格林函数在空间上具有更快（通常是指数）的衰减。从物理角度看，该方法可以解释为从具有无限传播速度的静态模型转变为具有有限波传播速度的动态模型。由于这种有限的信息传播速率，对于适当选择的时间，胞的内部部分不受胞边界上发生任何事情的影响。虽然在理论上是有效的，但这些方法需要对底层方程和求解器实现进行修改。因此，这些方法仅在电导率设置的学术示例中进行了分析和测试。据我们所知，没有将这些想法应用于现实微观结构和线性弹性的研究。

一种替代方法通过对解场进行滤波，或者等价地，通过丢弃边界层来实现，最初用于周期均匀化问题（Hou and Wu, 1997, Vreman and Kuerten, 2007, Efendiev and Hou, 2009, Efendiev et al., 2013），其中表观属性的评估被限制在内部子域上。这种所谓的子采样平均策略基于这样的想法：考虑更大的域来求解底层偏微分方程，自然会为子采样域提供边界条件，从而减少边界层效应。近期的理论结果（Bella et al., 2024）建立该方法可以改善随机均匀化问题（Blanc and Le Bris, 2010）中偏差的收敛速率，至少在电导率设置下且对于可以用数学分析处理的系综。然而，其在弹性问题和现实微观结构上的实际性能，以及与离散度的相互作用，仍然在很大程度上未被探索。此外，将评估限制在更小的内部域会减少可用的采样体积，导致离散度增加。因此，子采样平均引入了降低偏差与增加离散度之间的权衡。这种权衡直接与子采样平均域的大小有关，如图2所示。

经典计算均匀化最常使用有限元方法（FEM）（Segurado and LLorca, 2006, Kanouté et al., 2009, Yvonnet, 2019）进行，该方法在几何和边界条件方面具有灵活性，并广泛应用于多尺度模拟。然而，在过去的几十年中，基于FFT的计算微力学（最初由Moulinec和Suquet于1994年、1998年引入）作为单位胞计算的有效替代方案兴起（Schneider, 2021, Lucarini et al., 2021）。通过利用底层方程的卷积结构并借助平均应力的超收敛性（Ye and Chung, 2023, Schneider, 2022, Schneider and Wicht, 2023），基于FFT的方法能够实现极高分辨率的模拟，使其对基于图像的微观结构和工业规模问题特别具有吸引力（Gehrig et al., 2022, Schneider et al., 2018, Schneider, 2016）。基于FEM和基于FFT的方法的相对优势和局限性在若干比较研究中进行了调查（Prakash and Lebensohn, 2009, Zeman et al., 2017, Chen et al., 2020），强调了在精度、计算效率和边界条件处理方面的差异（Risthaus and Schneider, 2024b, Risthaus and Schneider, 2024a, Risthaus and Schneider, 2025）。然而，我们想强调的是，基于FFT的计算均匀化方法使得能够对真实且具有工业意义的微观结构大规模分析RVE方法相关的偏差和离散度。这一特性对于理解微观结构系综的属性和随机均匀化中的误差缓解策略极具吸引力。

先前的数值研究表明，对于弹性复合材料，快照微观结构中的偏差可能与离散度量级相当，使其控制至关重要（Ravichandran et al., 2026）。在本工作中，我们对现实微观结构上弹性问题的子采样平均提供了全面的计算研究，更精确地说是具有弹性填充物在聚合物基体中的基体-夹杂复合材料。虽然先前的工作为电导率问题和理想化设置建立了理论改进，但其在大规模弹性模拟和此类具有工业意义的微观结构上的实际性能尚未得到系统评估。

本研究通过以下贡献弥补了这一差距：
•我们表明子采样平均必须一致地应用于应力和应变场；仅对表观应力进行子采样平均可能会降低偏差的量级，但不会改善其收敛速率。
•我们识别出偏差-离散度权衡：子采样平均降低了偏差但增加了离散度，单独使用时仅导致总误差的边际改善。
•我们证明结合子采样平均和方差降低（Le Bris et al., 2016, Blanc et al., 2016, Fischer and Neukamm, 2021, Brisard et al., 2023），通过优化的体积分数，可以显著提高精度和可靠性。

我们特别强调第一点：子采样平均旨在通过丢弃边界区域的数据来最小化边界效应。然而，当简单地仅应用于表观应力时，它不会改善偏差的收敛速率。从微力学角度来看，这种方法与Hill-Mandel宏观均匀条件（Hill, 1963, Mandel, 1966）不一致。对表观应变和应力场进行子采样平均，即由Hill-Mandel条件指导的选择，带来了预期的改善。

## 偏差、离散度和子采样平均

在本节中，我们简要回顾随机均匀化误差分解为偏差和离散度的内容，并介绍子采样平均方法，后者是后续分析的核心。

我们考虑在$d$个空间维度中的刚度分布集合$\mathcal{C}=\{\mathbb{C}:\mathbb{R}^d\to\mathcal{L}(\operatorname{Sym}(d))\mid \alpha_-\|\varepsilon\|^2\leq\varepsilon:\mathbb{C}(x):\varepsilon\leq\alpha_+\|\varepsilon\|^2,\ \varepsilon\in\operatorname{Sym}(d),\ x\in\mathbb{R}^d\}$，其中$\varepsilon$为应变，$\alpha_\pm$为正常数，$\operatorname{Sym}(d)$表示对称二阶张量的向量空间。由于它来源于弹性储能...

## 大纲

在本节中，我们描述微观结构的生成以及用于系统研究第2节中引入的偏差与离散度之间相互作用的数值方法。

### 微观结构生成

具有球形夹杂的微观结构使用机械收缩方法（MCM）（Williams and Philipse, 2003）生成，该方法在预设体积分数下产生随机堆积。纤维增强微观结构使用顺序添加与迁移（SAM）算法生成...

设置...

以下结果一致地证明了子采样平均引入的偏差-离散度权衡：虽然偏差降低了，但由于采样域减小，离散度增加了。

我们考虑由两相组成的生成的微观结构，两者都具有线弹性和各向同性材料行为。材料参数列于表1，取自Hessman等（2021）的研究，该研究调查了工业中常用的纤维增强塑料微观结构。

## 结论

在本工作中，我们调查了使用子采样平均和优化的体积分数（OVF）从非周期性（快照）微观结构计算有效弹性属性的问题。非周期性微观结构在实践中自然产生，因为实验样本必然是有限的，因此代表底层随机介质的（非周期性）快照。这一观察尤其适用于从基于成像的表征技术获得的数据，但也更广泛地...

## CRediT作者贡献声明

Tim Sentler：撰写——初稿、可视化、验证、软件、调查、形式分析、数据整理。
Peter Bella：撰写——审阅与编辑、方法论、调查、形式分析、概念化。
Matti Schneider：撰写——审阅与编辑、撰写——初稿、监督、软件、资源、项目管理、方法论、资金获取、概念化。

## 利益冲突声明

作者声明没有已知的可能影响本文所报告工作的竞争性财务利益或个人关系。

## 致谢

TS和MS感谢欧洲研究委员会在Horizon Europe计划内项目101040238的支持。PB感谢德国研究基金会（DFG）在优先计划2256内项目441469601的支持。感谢与Maximilian Krause（UDE）的有益讨论。我们感谢匿名审稿人基于对稿件的仔细阅读提供了详细且建设性的反馈。

Tim Sentler|Peter Bella|Matti Schneider