具有多面体不确定性的二维Navier-Stokes方程耗散边界控制——端口哈密顿形式

《IFAC Journal of Systems and Control》：Dissipative boundary control of a 2-D Navier Stokes equation with polytopic uncertainties in the form of port-Hamiltonian formulation

　　

针对用端口-哈密顿框架描述、含多胞体不确定性的二维纳维-斯托克斯方程系统，提出了一种鲁棒耗散边界控制策略。控制器的目标是通过抑制波的涡度来获得所需的流体行为。文中给出了完整的鲁棒性分析，包括鲁棒稳定性和鲁棒性能。耗散边界控制器通过选取适当的存储函数获得。作为案例研究，文中利用波浪水槽来展示所提出的方法。

引言

纳维-斯托克斯方程是建模压力与重力作用下流体系统行为的基础。在文献中，使用纳维-斯托克斯方程建模的流体系统已被深入研究。例如，Wang和Zhu（2025）提出了三维纳维-斯托克斯方程的全局适定性问题。随后，Chang和Kang（2026）确定了半空间中靠近边界的纳维-斯托克斯方程奇异性速度。在Chen等人（2026）中，给出了三维不可压纳维-斯托克斯方程的全局轴对称解。在Breit（2025）中，讨论了不规则区域中纳维-斯托克斯方程的部分边界正则性。然后，在Lin和Wang（2026）中，证明了不可压纳维-斯托克斯方程全局弱解的几乎必然存在性。

分布式参数系统中存在的确定性是常见的。在文献中，此类系统已考虑了不确定性问题。例如，Xiao等人（2025）展示了具有不确定边界条件的线性双曲型偏微分方程的并发学习自适应稳定化。在Ahmed-Ali等人（2016）中，提出了一种偏微分方程的自适应观测器。在Panahi等人（2025）中，提出了偏微分方程中参数不确定性的建模方法，参数不确定性通过物理信息神经网络获得。在Benabdelhadi等人（2021）中，针对波浪偏微分方程的自适应观测器设计考虑了参数不确定性。

多胞体不确定性在多种物理系统（如电气、机械、化学和流体系统）中很常见。例如，在Chen等人（2024）中，提出了含多胞体不确定性的鲁棒模型预测控制。在Zattoni等人（2025）中，展示了含多胞体不确定性的线性系统的模型匹配问题。在Chang等人（2015）中，提出了含多胞体不确定性的线性系统的鲁棒静态H-∞输出反馈控制器。在Zattoni等人（2024）中，给出了含多胞体不确定性的脉冲线性系统的模型匹配问题。最后，在Bhowmick和Lanzon（2021）中，提出了负虚系统理论在含多胞体不确定性的非方形系统中的应用。

本文将聚焦于在端口-哈密顿框架下，针对含多胞体不确定性的纳维-斯托克斯方程系统的鲁棒控制问题。多胞体不确定性考虑在纳维-斯托克斯方程的密度和黏度常数中。端口-哈密顿框架的主要优势在于，其保持结构的能量特性便于耗散边界控制器的设计。多胞体不确定性在此类问题中从未被处理过；因此，本文在多胞体不确定性的拓扑结构纳入纳维-斯托克斯方程的数学建模的同时，进行了耗散边界控制器的设计。

相关文献中有一些参考文献。在Gutiérrez-Oribio等人（2023）中，提出了波浪偏微分方程的鲁棒边界控制。在Bastin等人（2025）中，分析了不稳定流体流系统边界反馈控制中黏度对鲁棒性的影响。在Zhao等人（2025）中，提出了振动柔性系统的边界鲁棒自适应反饱和控制。最后，在Zhou等人（2025）中，提出了不确定反应-扩散系统的鲁棒滑模边界控制。

本文的主要贡献是：针对以端口-哈密顿形式描述的含多胞体不确定性的二维纳维-斯托克斯方程系统，设计了一种鲁棒耗散边界控制器。文中进行了鲁棒性分析，考虑了纳维-斯托克斯方程在端口-哈密顿形式中多胞体不确定性的拓扑结构。然后，设计了一种鲁棒耗散边界控制器，以建立边界控制律，从而抑制数值波浪水槽中的涡度，以减轻波浪的影响。本研究的实际应用在于设计一个数值波浪水槽系统，以减小波浪，应用于沿海可再生能源领域，如波浪能转换器和海上风力发电机。

含多胞体不确定性的二维纳维-斯托克斯方程系统的鲁棒控制在科学文献中尚未被处理过。不确定性的拓扑特征与纳维-斯托克斯方程的常数参数相关，即考虑了水密度ρ和水黏度μ及其相应不确定性。尽管水密度几乎是恒定的，但在盐水或含其他成分的情况下，水密度会发生变化。水黏度也会随不同水质特征而变化。因此，本研究考虑了多胞体不确定性。需要说明的是，系统是以端口-哈密顿框架建立的。因此，系统的能量和输入-输出特性简化了耗散边界控制器的设计，在本例中即边界耗散控制。该边界控制策略应用于所考虑的波浪水槽中的波浪抑制。

需要说明的是，本文仅实施了数值实验方法。基于本文展示的结果，可在实际实验装置中实现。以下参考文献展示了未来如何在水槽实验装置中实现波浪水槽。例如，在Boshenyatov和Zhiltsov（2019）中，在数值波浪水槽中实施了水下屏障以抑制涡流。在Du等人（2025）中，介绍了船舶月池中水动力及其波浪动力学。在Mao等人（2026）中，分析了红树林水流水流中的波浪衰减特性。最后，在Yue和Li（2026）中，展示了不同雷诺数下的破碎波浪。

如上一段所述，该数值波浪水槽不仅可以扩展到实时实验装置。如上所述文献所示，波浪抑制机制可以在实际海上应用中实施。已有多种被动和主动波浪抑制实现方案采用耗散边界控制器，以保护本研究所使用的波浪能转换器。

本文分为以下章节。首先，在第2节中给出了二维纳维-斯托克斯方程的定义。在第3节中，给出了不确定纳维-斯托克斯方程的端口-哈密顿框架建立。同时，在第4节中进行了系统的鲁棒性分析。第6节呈现了本文所使用的波浪水槽案例研究的仿真结果。最后，第7节给出了结论与未来工作。

本节展示本文所使用的数学符号。考虑以下数学标记：R为实数集，R???为n×m实矩阵集，R?为n个元素的实列向量，F为标量实向量场，0?和0???分别为n×n零矩阵和n×m零矩阵，I?为n×n单位矩阵，?为梯度算子，?/?t为欧拉偏时间导数，?/?x和?/?y分别为x和y轴方向的偏导数，‖x‖?为x的欧几里得范数，Δ为不确定性前缀，?2为拉普拉斯算子。

小节摘要

所考虑的纳维-斯托克斯方程

本节呈现了二维不确定纳维-斯托克斯方程。首先介绍了纳维-斯托克斯方程的数学背景，然后基于这些结果，以端口-哈密顿框架形式建立不确定纳维-斯托克斯方程。

纳维-斯托克斯方程的不确定端口-哈密顿框架

本节建立了纳维-斯托克斯方程的不确定端口-哈密顿框架。主要思想是获得一个合适的数学模型，用于耗散边界控制综合。该模型考虑了系统的能量特性。为此，考虑以下哈密顿量：

H(?, M?) = [(ρ+Δρ(x,y,t))/2] ??? ?? ? ∫???p?d?? + (μ+Δμ(x,y,t)) ∫???2???d?? + (ρ+Δρ(x,y,t)) g? ?

其中?∈R2为流体速度势，p∈R2为压力向量，g∈R2为...

不确定端口-哈密顿系统的鲁棒性分析

为建立式(8)所给系统的鲁棒稳定性和鲁棒性能，需要定义以下由偏微分方程给出的动态系统，以端口-哈密顿系统形式表示：

F = Φ(?, M?, t, Δρ, Δμ)

其中算子F的映射为F: R? → R?，n为端口-哈密顿系统维度及其相应系统变量，如本文前文所述。建立此表示很重要，因为...

鲁棒耗散边界控制

本节建立了耗散边界控制设计的条件。在开始之前，考虑以下推论（Macchelli & Califano, 2018）：

推论1

系统(8)具有耗散性，存储函数为E(x) = (1/2)‖x‖??2，供给率为：

s(u, y) = (1/2) u y? U S? S Y u

其中U=U?∈R2?2，S∈R2?2，Y?∈R2?2为正定矩阵，u∈R2为边界控制器输入，y∈R2为系统输出。因此得到：

E(x(t)) ? E(x(0)) ≤ ∫??? (u(τ), y(τ)) dτ

边界描述

为展示本文提出的方法，考虑了一个波浪水槽案例研究（见图1）。该类型水槽用于保护位于水槽内部的波浪能转换器。该应用示例包含以下组件：

• 一个二维水槽。该水槽装满水以模拟涡度甚至波浪，这些波浪由耗散边界控制器抑制。

• 一个水泵。水泵用于调节水压...

结论

本文提出了一种耗散边界控制器的综合方法，用于描述不确定纳维-斯托克斯方程、以端口-哈密顿框架建模的系统。该控制器应用于波浪水槽以减轻波浪影响，可应用于保护某些海上可再生能源系统。

该系统中发现的不确定性主要是水密度ρ和水黏度μ。在实际应用中，这些不确定性取决于...

CRediT作者贡献声明

Fernando E. Serrano：原稿撰写、软件、调查研究、概念化。Vicenc Puig：审阅与编辑。Jesús Mu?oz Pacheco：审阅与编辑。

利益冲突声明

作者声明不存在可能影响本文所述工作的已知竞争性财务利益或个人关系。

Fernando E. Serrano。他于2003年获得洪都拉斯特古西加尔巴中美洲技术大学（UNITEC）的工学学士学位，2007年获得美国佛罗里达国际大学电气工程硕士学位。他是若干期刊、书籍章节和会议论文及报告的作者，目前与来自埃及、西班牙、洪都拉斯、萨尔瓦多和墨西哥的教授合作研究。他的研究领域是复杂系统的控制。

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