基本准还原根数据与超群

《Indagationes Mathematicae》：Basic quasi-reductive root data and supergroups

　　

## 摘要

我们研究对 (??,??)，其中 ?? 是约化代数群，?? 是纯奇的 ??-上概形，探讨这样的对何时对应一个准约化代数超群 ??，即 ?? 的偶次部分 ?????? 同构于 ??，且商 ??/?????? 与 ?? 作为 ??-集合同构。我们证明，若 ?? 满足某些条件（基本的准约化根数据），则该问题有肯定答案，由存在性与唯一性定理给出。相应的超群称为基本准约化的，其在同素下可分类。随后，我们在以下条件成立时，确定了连通准约化代数超群的结构：(i) 根系不包含 0；(ii) ???Lie(??) 具有非退化的偶次超对称双线性形式；(iii) 所有奇反射均可逆。引人注目的是，这些超群恰好是单值型的基本准约化超群。

## 引言

准约化超群 ?? 是一个超群，其底层的普通群 ?????? 是约化的。它们一直是许多论文的研究对象，包括此前的 [19] 及其中的参考文献，以及较近的 [16]、[20] 及其中的参考文献。尽管它们代表了对基本超群（即具有基本李超代数的超群 [7]、[12]）的自然推广，但它们似乎更为难以捉摸。尽管有超 Harish-Chandra 对（SHCP）理论的帮助——该理论允许有效地将一个超群等同于由一个由其底层群和李超代数组成的对——它们仍然缺乏全面的处理 [3]、[9]、[14]。

在通常情形下，一个在代数闭域上的约化代数群 ?? 可由其根数据完全描述 [21]。一旦我们固定了一个极大环面 ?????，我们可以计算特征 ??(??) 和余特征 ??∨(??)，然后定义根数据 (??(??), ??(??), ??∨(??), ??∨(??))，其中 ??(??) 表示与 ?? 相关联的单群的根系。反之，给定根数据的公理化定义，我们总能关联一个连通的约化代数群，且两个群同构当且仅当它们的根数据等价（更多细节参见 [21]）。

在本文中，我们想解决两个不同的但相关的问题，它们将上述根数据与连通约化代数群之间的一一对应关系推广到上设定。

首先，我们想研究由超群 ??（在特征为 0 的代数闭域 ?? 上）所产生的对 (??,??)，该对由一个连通的约化代数群 ?? 和一个奇的 ??-上概形 ?? 组成，即 ??=?????? 是底层群，??=??/?????? 带有自然的 ??-作用。我们也称 (??,??) 为 ?? 的准约化对。

我们通过广义根系的概念 [19]（参见 [5]、[6] 中关于李超代数根系的另一种观点）来识别出这样一类有意义的对，我们称之为基本准约化对。如果一个超群的准约化对 (??????,??/??????) 是基本准约化的，则我们称该超群是基本准约化的。

我们的第一个主要结果如下（定理 3.11 和推论 3.12）：

**定理 1.1** 设 (??,??) 是一个不可分解的基本准约化对。则存在一个代数超群 ??，其准约化对为 (??,??)。此外，这样的 ?? 在同构意义下唯一。

然后，我们转向考察一类满足准约化对条件（参见定义 3.4）的准约化超群。对于这类超群，它们的根数据完全刻画了它们，我们可以证明以下分类结果（定理 3.14, 3.15）。关于同素类的概念，参见命题 3.13 之后。

**定理 1.2**
(1) 两个基本准约化超群同构，当且仅当它们对应于等价的根数据。
(2) 一个不可分解的基本准约化超群属于一个同素类，其代表元来自以下列表：
(2.1) SL(??,??) 其中 ??>??>0；SL?(??,??) 其中 ??>2，其中 SL(??,??) 定义为对于 ??∈??????????，SL(??,??)(??)={??=(??? ??? ??? ???)∈GL(??,??)(??)∣??????(??)=1}，其中 ??????(??)???????(???????????1???)??????(???)?1，而 SL?(??,??) 定义为对于 ??∈??????????，SL?(??,??)(??)=SL(??,??)(??)/???????∣??∈??(????)?，其中 ?????????? 表示交换 ??-超代数的范畴，??(????) 表示 ???? 中可逆元素的子集；
(2.2) OSp(2??+1,2??) 其中 ??≥0,??≥1，这里及以下 ?????? 表示相应的连通超群；
(2.3) OSp(2,2??) 其中 ??≥1；
(2.4) OSp(2??,2??) 其中 ??≥2, ??≥1；
(2.5) ??(2,1,??)，其中 ?? 是非零标量；
(2.6) ??(4)；
(2.7) ??(3)。

然后，在给定准约化超群 ?? 的李超代数 ??=Lie(??) 具有非退化偶次超对称双线性形式以及所有奇反射可逆的条件下，我们证明 ?? 是单值型的基本准约化超群（定理 4.11）。?? 为单值型意味着其极大环面对 ??/?????? 空间的作用具有单维权重空间。

**定理 1.3** 设 ?? 是一个连通的准约化超群，?? 是其底层群 ?????? 的一个极大环面。若 ??=Lie(??) 具有非退化的偶次超对称不变双线性形式，且所有奇反射具有可逆性，则 ?? 是一个单值型的基本准约化超群。

## 论文片段

### 预备知识

全文假定 ?? 为特征 0 的代数闭域。设 ?????????? 表示交换 ??-超代数的范畴。对于 ??=????⊕????∈??????????，记 ??(????) 为 ???? 中可逆元素的群，???? 为由奇幂零元生成的理想。若 ??=(|??|,????) 是一个仿射上概形，我们记 |??| 为底层拓扑空间，???? 为其结构层，??(??) 为其全局截面的超代数（记号和预备知识参见 [2]、[22]）。

### 基本准约化超群的基本准约化根数据

以下我们总是假定 ?? 是 ?? 上的连通约化代数群。

### 单值型的基本准约化超群

我们考虑一类具有非退化偶次超对称不变双线性形式 [12] 的李超代数的准约化代数超群。

### 致谢

R.F. 和 B.S. 感谢博洛尼亚大学 FaBiT（药学与生物技术）和 DIFA（物理与天文学系）在完成本工作期间的热情款待。R.F. 感谢 Gnsaga-Indam、COST Action CaLISTA CA21109、MSCA-2022-SE CaLIGOLA 101086123、MSCA-2023-DN CaLiForNIA - 101119552、PNRR MNESYS、PNRR SymQuSec、PNRR 国家高性能计算、大数据与量子计算中心、INFN 博洛尼亚分会的资金支持。B.S. 感谢 An Zhang 对于 Bin Shu 的帮助。